2026年内蒙古中考数学模拟卷·基础夯实版

**基本信息** 贴合内蒙古中考趋势，以智能机器人采摘、隧道安全警示、黄金矩形等真实情境为载体，覆盖代数（函数、方程）、几何（相似、圆）核心考点，通过基础运算、统计应用到综合几何证明的梯度设计，培养数学眼光（空间观念）、思维（推理能力）与语言（模型意识）。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|科学记数法、三视图、调查方式、运算、位似、反比例函数、一元二次方程、二次函数|结合宇宙探索情境，考查基础概念辨析与空间观念| |填空题|4/12|代数式意义、统计估计、相似三角形、角平分线性质|智慧教育平台调查问题，强化数据意识与几何直观| |解答题|6/64|实数运算、加权平均数、分式方程、圆的切线、二次函数应用、黄金矩形折叠|智能机器人采摘（分式方程建模）、隧道限高（二次函数应用）、黄金矩形折叠（几何综合推理），突出应用意识与创新思维|

2026 年 内 蒙 古 自 治 区 初 中 学 业 水 平 考 试 数 学 模 拟 试 卷 （十一） 贴合内蒙古中考命题趋势，突出核心考点，适合综合自测与查漏补缺。 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。本套试卷满分100分，测试时间90分钟； 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。每小题只有一项是符合题目要求的。 1.人类探索浩瀚宇宙的步伐从未停止，天文学家已经探明一年之中地球与太阳之间的距离随时间变化而变化，地球与太阳之间的平均距离约为，用科学记数法将数据表示为(    ) A. B. C. D. 2.如图是由五个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是(    ) A. B. C. D. 3.下列调查中最适合采用全面调查普查的是(    ) A. 调查某种柑橘的甜度情况 B. 调查某品牌新能源汽车的抗撞能力 C. 调查某市垃圾分类的情况 D. 调查全班观看电影哪吒的情况 4.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 5.如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点若点的对应点为，则点的对应点的坐标为(    ) A. B. C. D. 6.若，则反比例函数的图象在(    ) A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 7.设，是方程的两个实数根，则的值为(    ) A. B. C. D. 8.在平面直角坐标系中，两点，在抛物线上，则下列结论中正确的是(    ) A. 当且时，则 B. 当且时，则 C. 当时，则 D. 当时，则 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.要使代数式有意义，则的取值范围是          ． 10.为了解某校学生利用全国中小学智慧教育平台辅助学习的情况，从该校全体名学生中，随机调查了名学生，统计结果显示仅有名学生从未使用该平台辅助学习由此，估计该校全体学生中，从未使用该平台辅助学习的学生有          名 11.如图，在中，点，分别在，上，，若，则     ． 12.如图，在中，，平分，已知，，则点到的距离为          ． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分计算： ； ． 14.本小题分 为了弘扬中华优秀传统文化，某校开展主题为“多彩非遗，国韵传扬”的演讲比赛评委从演讲的内容、能力、效果三个方面为选手打分，各项成绩均按百分制计进入决赛的前两名选手需要确定名次不能并列，他们的单项成绩如表所示： 选手 内容 能力 效果 甲 乙 分别计算甲、乙两名选手的平均成绩百分制，能否以此确定两人的名次？ 如果评委认为“内容”这一项最重要，内容、能力、效果的成绩按照：：的比确定，以此计算两名选手的平均成绩百分制，并确定两人的名次； 如果你是评委，请按你认为各项的“重要程度”设计三项成绩的比，并解释设计的理由． 15.本小题分 智能机器人广泛应用于智慧农业为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘． 若用人工采摘的成本为元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低求用智能机器人采摘的成本是多少元；用含的代数式表示 若要采摘千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比个工人同时采摘所需的天数还少天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的倍求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克． 16.本小题分 如图，在四边形中，，以为直径的经过点，且与边交于点，连接，． 求证：为的切线； 若，，求的长． 17.本小题分 某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组考察了如图所示的双向通行隧道以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题． 图1 发现问题确定目标 涉水线设置 限高架设置 数学抽象绘制图形 隧道及斜坡的侧面示意图可近似如图所示． 图为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成． 信息收集资料整理 当隧道内积水的水深为米时即积水达到涉水线处，车辆应避免通行． 车辆进入隧道，应在行驶车道内通行禁止压线，且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于米． 实地考察数据采集 斜坡的坡角为，并查得，，． 隧道的最高点到地面距离为米，两侧墙面高米，地面跨度米车辆行驶方向的右侧车道线宽度忽略不计与墙面的距离为米． 问题解决： 如图，求涉水线离坡底的距离精确到米； 在图中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； 限高架上标有警示语“车辆限高米”即最大安全限高，求的值精确到米． 18.本小题3分 宽与长的比是约为的矩形叫做黄金矩形现有一张黄金矩形纸片，长如图，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，连接，然后将纸片展开． 求的长； 求证：四边形是黄金矩形； 如图，点为的中点，连接，折叠纸片，使点落在上的点处，折痕为，过点作于点四边形是否为黄金矩形？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【解答】 解：． 故选：． 2.【答案】  【解析】【分析】 根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图． 【解答】 解：从左边看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形， 该图的左视图为：． 故选：． 3.【答案】  【解析】解：调查某种柑橘的甜度情况，适合抽样调查，故本选项不合题意； B.调查某品牌新能源汽车的抗撞能力，适合抽样调查，故本选项不合题意； C.调查某市垃圾分类的情况，适合抽样调查，故本选项不合题意； D.调查全班观看电影哪吒的情况，适合全面调查，故本选项符合题意； 故选：． 根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可． 本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 4.【答案】  【解析】解：，则不符合题意， ，则不符合题意， 与不一定是同类二次根式，无法合并，则不符合题意， ，则符合题意， 故选：． 利用二次根式的加减法，同底数幂乘法，积的乘方法则逐项判断即可． 本题考查二次根式的加减法，同底数幂乘法，积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 5.【答案】  【解析】解：与是位似图形，点的对应点为，  与的位似比为，  点的对应点的坐标为，即，  故选：． 根据点、的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解． 本题考查了位似变换，掌握位似变换的性质是解题的关键． 6.【答案】  【解析】解：， ， 反比例函数的图象在第二、四象限． 故选：． 根据绝对值的性质得，再根据反比例函数的图象与的关系即可得出答案． 本题主要考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 7.【答案】  【解析】解：、是方程的两个实数根，  ，，  ，    故选：． 根、是方程的两个实数根，求出，，得出，把变形后进行计算即可． 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 8.【答案】  【解析】解：， 抛物线的开口向上，与轴交于和， 则对称轴为直线， 把代入得， 顶点为， 两点在抛物线上， 当且时，因时抛物线在轴上方， 故， 此时，故A选项的结论正确； 当且时，， 此时应满足或，故B选项的结论错误； 当时，抛物线在时递减， 故越大，越小， 即，故C选项的结论错误； 当时，抛物线在时递增， 故越大，越大， 即，故D选项的结论错误； 故选：． 抛物线开口向上，顶点为，与轴交于和，分析各选项时需结合抛物线的对称性、增减性及函数值的符号，据此进行作答即可． 本题考查了二次函数的图象性质，掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 9.【答案】且  【解析】解：要使代数式有意义， 则且， 解得：且， 故答案为：且． 根据二次根式及分式有意义的条件即可求得答案． 本题考查二次根式及分式有意义的条件，熟练掌握其有意义的条件是解题的关键． 10.【答案】  【解析】【分析】 用总人数乘以样本中“未使用该平台辅助学习”的人数所占比例即可得． 本题主要考查样本估计总体，熟练掌握样本估计总体的思想及计算方法是解题的关键． 【解答】 解：估计该校全体学生中，从未使用该平台辅助学习的学生有：名． 故答案为：． 11.【答案】  【解析】解：， ∽， ， 故答案为：． 根据题意可证明∽，根据相似三角形的性质即可求解． 本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握其性质是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：过点作于点． ，， 可以假设，，则， 平分，，， ， 设点到的距离为，则有， 解得． 故答案为：． 过点作于点可以假设，，则，证明，利用面积法求解． 本题考查解直角三角形，角平分线的性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 13.【答案】；  【解析】解：原式    ；  原式    ． 先利用二次根式的性质化简，再求负整数指数幂，立方根，再计算加减运算即可；  先把分式的除法转化成乘法，约分，最后再计算分式减法即可． 本题考查分式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 14.【答案】解：甲的平均成绩为：分， 乙甲的平均成绩为：分， 所以不能以此确定两人的名次； 甲的平均成绩为：分， 乙甲的平均成绩为：分， ， 甲排第一，乙排第二； 将内容、能力和效果三项得分按：：的比例确定各人的测试成绩，确定录用者，因为能力比内容更重要答案不唯一．  【解析】根据算术平均数计算即可； 根据加权平均数公式解答即可； 将内容、能力和效果三项得分按：：的比例确定各人的测试成绩答案不唯一． 本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义． 15.【答案】解：根据题意得：用智能机器人采摘的成本是元， 所以用智能机器人采摘的成本是元；  设一个工人每天可采摘该种水果千克，则这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果千克， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 千克． 答：这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果千克．  【解析】利用用智能机器人采摘的成本用人工采摘的成本，可用含的代数式表示出用智能机器人采摘的成本； 设一个工人每天可采摘该种水果千克，则这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果千克，利用工作时间工作总量工作效率，结合用这台智能采摘机器人采摘比个工人同时采摘所需的天数还少天，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值，再将其代入中，即可求出结论． 本题考查了分式方程的应用以及列代数式，解题的关键是：根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出用智能机器人采摘的成本；找准等量关系，正确列出分式方程． 16.【答案】证明：是的直径， ， ， ， ， ， ， 是的半径，且， 为的切线． 解：作于点，则，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 的长是．  【解析】由是的直径，得，由，得，而，则，所以，即可证明为的切线； 作于点，则，，由，，得，求得，则，由，得，则，再证明，则． 此题重点考查圆周角定理、等腰三角形的性质、切线的判定、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 17.【答案】解：过点作， 斜坡的坡角为，隧道内积水的水深为米， ，， ，， 在中，，， 米； 以点为坐标原点，建立平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为， 隧道的最高点到地面距离为米，两侧墙面高米，地面跨度米， ， 把代入， 得， ， ； 抛物线的解析式为：； 答案不唯一  车辆行驶方向的右侧车道线宽度忽略不计与墙面的距离为米，必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于米， ， 当时，， 如图，则， 米， 限高架上标有警示语“车辆限高米”即最大安全限高，  米， 涉及安全问题， 米．   【解析】认真研读题干，过点作，代入数值得进行计算，即可作答； 先以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为，再把代入进行计算，得即可作答； 认真研读题干，得出，再算出当时，，则，，即可得出米，即可作答． 本题考查了解直角三角形的相关应用，二次函数的应用，求二次函数的解析式，正确掌握相关知识的性质是解题的关键． 18.【答案】解：，矩形是黄金矩形， ， ； 证明：折叠黄金矩形纸片，点落在上的点处， ，， 又四边形是矩形， ，，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 由可知，， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 四边形是黄金矩形； 四边形是黄金矩形，证明如下： ，四边形是正方形， ， 四边形是矩形， 由可知，， 为的中点， ， ， 如图，连接，由折叠可得：，，， 设，则， ， 解得：， ， ， 四边形是黄金矩形．  【解析】根据黄金矩形的定义可得：，再进一步求解即可； 先证明四边形是正方形；可得，，再证明四边形是矩形，从而可得答案； 先证四边形是矩形，然后求解，由折叠可得：，设，则，由面积可得：，可得：，再进一步可得结论． 本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，理解黄金矩形的定义是关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $