专题03图形的变换23大题型（期中复习专项训练）2025-2026学年七年级数学下册（苏科版）

专题03 图形的变换23大题型（期中复习专项训练） 题型1 生活中的平移现象 1 题型2 利用平移的性质求解（重点） 2 题型3 利用平移解决实际问题（常考点） 4 题型4 平移作图（重点） 7 题型5 轴对称图形（常考点） 11 题型6 作已知线段的垂直平分线（重点） 12 题型7 作垂线（重点） 14 题型8 作角平分线（重点） 17 题型9 根据轴对称图形的性质进行求解（重点） 19 题型10 台球桌面上的轴对称问题 23 题型11 轴对称电的光线反射问题 26 题型12 折叠问题（难点） 30 题型13对称轴 35 题型14镜面对称 39 题型15旋转现象（常考点） 41 题型16旋转中心、旋转角、对应点（常考点） 42 题型17根据旋转的性质求解（重点） 44 题型18画旋转图形 50 题型19中心对称图形（常考点） 56 题型20根据中心对称性质求面积、长度、角度 58 题型21在方格纸补画图形成为中心对称图形 61 题型22图形的折叠综合（难点） 65 题型23图形的旋转综合（难点） 73 题型1 生活中的平移现象 1．2026年4月12日湖北省城市足球联赛（“楚超”）正式开赛，吉祥物“楚小焱”昂首握拳、目光有神，头戴鎏金凤冠，尾羽似火焰，展现了湖北儿女敢闯敢拼的精神风貌，以下图案可以通过平移“楚小焱”得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】平移只改变图形的位置，不改变图形的形状，大小和方向，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，只有B选项中的图形可以由题干中的图形平移得到． 2．由杭州宇树科技研发的通用人形机器人（如图）在2026年春晚表演节目《武》．由该机器人平移得到的图案为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】平移只改变图案的位置，不改变图案的大小，方向和形状，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，只有A选项中的图案是由机器人平移得到的． 3．在下列四幅图中，哪几幅图是可以经过平移变换得来的________． 【答案】①②④ 【分析】本题考查平移的概念，正确掌握平移的概念是解题的关键． 根据平移的概念逐一判断即可求解． 【详解】解：根据平移的概念可得①②④是由平移得到的，③无法平移得到． 故答案为：①②④． 题型2 利用平移的性质求解（重点） 4．如图，将沿方向平移2个单位长度得到，若四边形的周长为15，则的周长为（    ）    A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】C 【分析】根据平移的性质得到，，再根据周长公式即可求解． 【详解】解：∵将沿方向平移2个单位长度得到， ∴，， ∵四边形的周长为15， ∴， ∴， ∴， 即的周长为11． 5．如图，在四边形中，，，将四边形沿方向平移得到四边形，与相交于点E，若，，则阴影部分的面积为_____． 【答案】13 【分析】根据平移的性质得到，，，，则可证明，再利用梯形面积公式求解即可． 【详解】解：由平移的性质得，，，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 6．如图，在四边形中，，与互余，将分别平移到和的位置，． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据平移的性质和平行的性质得到，再利用互余的定义即可计算出的度数； （2）根据平移的性质得到，所以，再利用线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：∵平移到的位置， ∴， ∴， ∵与互余， ∴． （2）解：∵分别平移到和的位置， ∴， ∴， ∵， ∴，即，解得：． 题型3 利用平移解决实际问题（常考点） 7．如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移就是它的右边线，那么这块草地青草覆盖的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平移的性质可得，这块草地可看作是一个长为，宽为的矩形，然后进行计算即可解答． 【详解】由题意得，这块草地青草覆盖的面积是． 8．如图是南湖公园里一处桃花观赏区（长方形），米，米．为方便游人观赏，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分）．小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的正中间从入口到出口所走的路线（图中虚线）的长为（   ） A．84米 B．80米 C．61米 D．82米 【答案】B 【分析】根据平移的性质得出所走路程为即可． 【详解】解：∵是长方形， ∴米， 由平移的性质可知， 从入口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为（米）． 9．图形操作：（图1、图2中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段向上平移1米到，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线（其中点B叫做折线的一个“折点”）向上平移1米到折线（阴影部分）． (1)问题解决，设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，，求，，并比较大小； (2)联想探索：如图3，在一块长为a米，宽为b米的长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），请你直接写出空白部分表示的草地的面积是________平方米（用含a，b的式子表示）； (3)实际运用：如图4，在长方形地块内修筑同样宽为4米的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为耕地，求剩余的耕地面积． 【答案】(1)，， (2)平方米 (3)平方米 【分析】（1）原长方形除去阴影部分，剩下部分仍为长方形，且长方形的长为10米，宽为米，从而得到平方米； （2）原长方形除去阴影部分，剩下部分仍为长方形，找到新长方形的长与宽，从而求出草地面积； （3）原长方形除去阴影部分，剩下部分仍为长方形，找到新长方形的长与宽，从而求出耕地面积． 【详解】（1）解：设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，， 根据平移的性质可得（平方米），（平方米）； ． （2）解：原长方形的长为米，宽为米，小路的宽度是1米， 原长方形去掉弯曲小路后，剩下的图形重新拼接仍为长方形， 此时新长方形的长为米，宽为米， 空白部分表示的草地的面积是平方米； （3）解：长方形的长为32米，宽为20米，道路宽为4米， 空白部分表示的耕地的面积是平方米． 题型4 平移作图（重点） 10．如图，在网格中将先向右平移4个单位，再向上平移2个单位，得到． (1)画出平移后的三角形． (2)在网格中找到一个格点，使的面积与的面积相等，请画出格点三角形．（只需要画出一个符合条件的三角形） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平移的方式找到的各个顶点平移后的对应点，顺次连接即可； （2）根据网格的特点构造同底等高的三角形即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）如图，即为所求． 11．把放在直角坐标系中如图所示，现将向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度就得到． (1)在图中画出； (2)写出的坐标； (3)求在平移过程中扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3) 【分析】本题考查平移，平面直角坐标系的知识，解题的关键是掌握平移的性质，平面直角坐标系的应用，进行解答，即可． （1）根据平移，画出图形，即可； （2）根据平面直角坐标系，即可得到； （3）根据平移可得，在平移过程中扫过的面积为：，即可． 【详解】（1）解：即为所求． （2）解：如图可知：，，． （3）解：在平移过程中扫过的面积为： ． 12．（1）如图，火车站、码头分别位于A，B两点，直线a，b分别表示河流与铁路． ①请画图说明从火车站到码头怎么走最近？画图的依据是______． ②请画图说明从火车站到河流怎么走最近？画图的依据是______． （2）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的位置如图所示现将平移，使点C变换为点D，点A、B的对应点分别是点E、F．在图中请画出平移后得到的． 【答案】（1）①画图见详解，两点之间线段最短；②画图见详解，垂线段最短；（2）见详解 【分析】本题考查了线段的性质、垂线段的性质，网格平移画图；理解相关性质，会平移作图是解题的关键． （1）①连接，沿线段走最近，即可求解； ②作直线交于，沿线段走最近，即可求解； （2）由点C变换为点D得向右平移，向下平移，即可求解． 【详解】（1）解：①如图，连接，沿线段走最近， 依据：两点之间，线段最短； 故答案为：两点之间线段最短； ②如图，作直线交于，沿线段走最近， 依据：垂线段最短； 故答案为：垂线段最短； （2）解：点C变换为点D， 向右平移，向下平移； 如图， 为所求作． 题型5 轴对称图形（常考点） 13．中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，故本选项符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 14．窗格经历了千年的传承与发展，是中国建筑装饰文化的重要标志之一．在如图所示的窗格中，与①成轴对称的是_____________． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了轴对称的概念．轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合． 把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，根据轴对称的定义判断即可． 【详解】解：如图所示，图形①与图形②关于直线成轴对称，图形①与图形③关于直线成轴对称，图形①与图形④关于直线成轴对称． 故答案为：②③④． 15．以下是中国七个银行的图标，这些图标中是轴对称图形的是有______个． 【答案】4 【分析】本题主要考查了轴对称图形．熟练掌握轴对称图形的概念，是解决问题的关键．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念逐一判断，即得． 【详解】解：七个图标中，以下四个图形是轴对称图形，共 故答案为：4 题型6 作已知线段的垂直平分线（重点） 16．如图，四边形和四边形关于直线成轴对称． (1)请你在图中用直尺和圆规作出对称轴；（保留作图痕迹，不写作法） (2)如果你只有一把无刻度的直尺，请你在图中画出对称轴．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，作出的垂直平分线即为所求作直线； （2）利用无刻度的直尺，通过连接对应点，依据对应点连线被对称轴垂直平分来确定对称轴．连接、交于点，延长、交于点，连接，所在直线即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求． 17．尺规作图： (1)作边的垂直平分线交于点，连接； (2)作边的垂直平分线交于点，连接（要求：保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质作出图形即可； （2）根据线段垂直平分线的性质作出图形即可． 【详解】（1）解：如图，点，即为所求； （2）解：如图，点，即为所求． 18．如图，、表示两条相交的公路，A、B为公路边上的两个村庄，现要在区域内建一个超市P，要求超市到A、B两个村庄的距离相等，且．请利用尺规作图确定超市的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】连接，作的垂直平分线，作，交于点，则点即为所作． 【详解】解：如图，点即为超市的位置． 题型7 作垂线（重点） 19．如图，在铁路旁边有一村庄，现要建一火车站，使该村庄的人乘火车最方便（即距离最近），请你在铁路边选一点来建火车站，并说明理由．（不写作法） 【答案】见解析，垂线段最短 【分析】过点A作铁路所在直线的垂线，垂足为B，根据垂线段最短可知，点B即为所求． 【详解】解：如图所示，点B即为所求，理由是垂线段最短． 20．按要求作图，不要求写画法：如图，点P、Q分别在的边上． (1)过点作的垂线； (2)过点作的平行线； (3)在上找一点，使线段最短．理由为：___________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析，垂线段最短 【分析】（1）根据垂线的定义作图即可； （2）根据三角板与直尺作平行线的步骤作图即可； （3）根据垂线段最短作图即可． 【详解】（1）解：如图所示，直线m即为所求； （2）解：如图所示，直线即为所求； （3）解：如图所示，线段即为所求； 理由为垂线段最短． 21．阅读与思考 请认真阅读下面的材料，并完成相应的任务． 尺规作图 尺规作图起源于古希腊的数学课题，只允许使用圆规和没有刻度的直尺，来解决平面几何作图问题．还记得我们用尺规作图完成的第一个问题吗？那就是“作一条线段等于已知线段”，尺规作图的背后都与我们学习的数学原理密切相关． 下面是用尺规过直线外一点作已知直线的平行线的方法． 已知：直线，直线外一点 求作：过点且平行于的直线 作法：①在直线上任取一点，连接；②以点为圆心，的长为半径作弧，交直线于点；③以点为圆心，的长为半径作弧；④以点为圆心，长为半径作弧，交前弧于点；⑤作直线，则． 任务： (1)写出一种上述作法中用到的你学过的基本尺规作图：___________； (2)这种作法判断直线的依据是___________ (3)你还有别的作平行线的方法吗？在下图中作出．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；作出一种即可） 【答案】(1)作一个角等于已知角 (2)内错角相等，两直线平行 (3)见解析 【分析】（1）根据作图进行求解即可； （2）根据平行线的判定，进行求解即可； （3）先过点A作，再过点A作，则根据在同一平面内，垂直同一条直线的两条直线互相平行，即可得出． 【详解】（1）解：根据作图可知：上述作法中用到的基本尺规作图是作一个角等于已知角； （2）解：根据作图可知：， ∴根据“内错角相等两直线平行”可得：； （3）解：如图，即为所求作的平行线． 题型8 作角平分线（重点） 22．角是轴对称图形，角平分线所在的直线就是对称轴，用圆规和无刻度直尺可以作出一个角的平分线．下列图形展示的是尺规作平分线的过程，请根据图形写出每一步的作图方法． 作法： (1) ； (2) ； (3) ．即： 为所求． 【答案】(1)以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线于点 (2)再分别以为圆心，大于一半的长为半径画弧，在角的内部交于点C (3)连接，射线 【详解】（1）解：以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线于点； （2）解：再分别以为圆心，大于一半的长为半径画弧，在角的内部交于点； （3）连接，即：射线为所求． 23．已知：如图， 求作：四边形，使点D到边的距离相等，且，垂足为C．（请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．） 【答案】见解析 【详解】解：如图，四边形即为所作， 24．如图，已知和． (1)尺规作图：在的外部作（不写作法，保留作图痕迹）； (2)画图与计算：在（1）的基础上，画出的平分线，当，时，求和的度数． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查作图—复杂作图、角平分线的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可． （2）由题意得，由角平分线的定义得，进而可求出的度数． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，平分， 由（1）可知， 由图可知，， 平分，， ． 故答案为：，． 题型9 根据轴对称图形的性质进行求解（重点） 25．如图，四边形的顶点均在正方形网格的格点上． (1)画出四边形关于直线l对称的四边形； (2)连接，，则与的位置关系为________． 【答案】(1)见解析 (2)平行 【分析】本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的． （1）根据对称的性质，画出A、B、C、D的对称点再顺次连接即可． （2）根据轴对称图形的性质解答即可． 【详解】（1）解：如图，四边形为所作． （2）解：连接与， 由图知，与的位置关系为平行， 故答案为：平行． 26．作图 (1)如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的顶点均在格点上，点的坐标为． ①作，使其与关于轴对称． ②在轴上画出点，使的值最小． (2)如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔与两个城镇的距离相等，到两条高速公路和的距离也相等，发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作角平分线和线段的垂直平分线，轴对称作图，角平分线的判定，线段的垂直平分线的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）①根据轴对称的性质求解即可； ②作点A关于y轴的对称点，首先根据轴对称的性质得到，进而得到，推出当点，P，C三点共线时，有最小值，连接与y轴的交点即为所求点P； （2）作的角平分线，连接，作线段的垂直平分线交的角平分线于点，点即为所求． 【详解】（1）解：①如图，即为所求作的三角形； ②如图，点P即为所求作的点． 连接，根据轴对称可得：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴最小，即最小； （2）解：如图，点P即为所求作的点． 27．如图①，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l处饮马，然后回到B地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路程最短？ 小明同学用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题：如图②，作点B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点P，点P就是饮马的位置． 下面是小明根据这一方法写出的证明过程： 证明：如图③，作点B关于直线l的对称点，连接A与直线l交于点，在直线l上任取一点P（与点不重合），连接 点B与点关于直线l对称 ________，_________； 当A，P，三点共线，即点P与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置． (1)解决问题：补全证明过程； (2)模型应用：如图④，红星村A和幸福村B在一条大河的同侧，现要在河岸CD 上建一水厂P，并从水厂向两村铺设管道以输送自来水．请你在河岸上选择水厂P的位置，使铺设管道的长度最短．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题是几何变换综合题，考查轴对称的最短路径问题中的应用，两点之间，线段最短，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． （1）根据题意补全即可； （2）根据轴对称的最短路径问题，作图即可． 【详解】（1）解：如图③，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，连接，， ，， ， 当，，三点共线，即点与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置， 故答案为：，，； （2）解：如图，作点A关于的对称点，连接交于点P，则点P即为所求的水厂位置，使铺设管道的长度最短． 题型10 台球桌面上的轴对称问题 28．如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了台球桌面上的轴对称问题，根据题意画出图形，可得弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点，据此解答即可求解，找出弹性小球的反弹规律是解题的关键． 【详解】解：如图所示， 可知弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点， ∵， ∴弹性小球第次落脚点为图中的点， 故选：． 29．2005年4月3日，斯诺克中国公开赛，中国江苏神奇小子丁俊晖奇迹般地战胜了世界头号选手亨德利，夺得了自己首个世界台球职业排名赛冠军，如图，是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中阴影部分分别表示六个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是____________号袋． 【答案】3 【分析】主要考查了轴对称的性质．根据题意画出图形，由轴对称的性质判定正确选项． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： ∴该球最后将落入的球袋是3号． 故答案为：3． 30．如图是由相同的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．长方台球桌的顶点都是格点，台球桌上有两个小球，分别位于格点处．    (1)在图1中，先在边上画点，使，再在边上画点，使； (2)在图2中，先在边上画点，连接，使，再画一条路径，使球两次撞击台球桌边，经过两次反弹（反射角等于入射角）后，正好撞到球． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图—应用与设计作图，生活中的轴对称现象等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）取格点，连接交于点，连接，构造等腰直角三角形，取格点，连接，将平移，使点与点重合，交于，交于点，点，点即为所求； （2）作点关于的对称点，连接交一点，连接，点即为所求，作点关于的对称点，连接分别交于点，连接，路径即为所求． 【详解】（1）解：如图1中，点，点即为所求；   ， 由勾股定可得：，，，，，， ，，， 、、是等腰直角三角形， ，， 由平移的性质可得， 是等腰直角三角形， ， ； （2）解：如图2中，点即为所求，路径即为所求．   ． 题型11 轴对称电的光线反射问题 31．如图，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列判断错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键．根据反射的性质和平行线的性质和判定逐项判断即可． 【详解】解：A、 ∵入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角， ∴，正确，故此选项不符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∵， ∴，正确，故此选项不符合题意； C、 ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，不能得出，原结论错误，故此选项符合题意； D、∵， ∴， ∵，，， ∴，正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 32．如图所示，是光在进入单反相机中的五棱镜时两次全反射的光路图，已知，光从点平行于进入棱镜，在边上点处反射，到达边点处，经过再一次反射，然后沿垂直边方向，从点处离开棱镜，若，则的度数为________． 【答案】/64度 【分析】本题主要考查轴对称，平行线的性质的应用，灵活运用平行线的性质是解题的关键． 由平行线的性质推出，由光的反射定律得到，求出，由直角三角形的性质求出，即可求出的度数． 【详解】解：如图：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由光的反射定律得到：， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 33．如图1是光的反射示意图，点A处有一个光源，入射光线经过镜面l反射后，恰好经过点B，点O叫入射点，已知反射角等于入射角，法线． (1)若，则________． (2)如图2，在空心圆柱口放置一面平面镜，与水平线的夹角，入射光线经平面镜反射后反射光线为（点A，B，C，D，E，F，M在同一竖直平面内），若要使反射光线恰好垂直于圆柱底面射出，则入射光线与水平线的夹角的度数为________． (3)如图3，点A处有一个光源，入射光线经过镜面l反射后，恰好经过点B，请用无刻度直尺和圆规作出入射点O，并画出光线（不写作法，保留作图痕迹，用铅笔加黑加粗） (4)某台球桌为如图4所示的长方形，，小球从A沿角击出，恰好经过5次碰撞后到达B处．则________． 【答案】(1)38 (2)42 (3)见解析 (4)5 【分析】（1）由已知条件可得出，，进而可得． （2）由题意可得，由平角的定义求出，再由计算即可得解． （3）以作垂直平分线的方法结合（1）作图即可． （4）先根据题意画出图形，根据图形得出5次碰撞后是2个半以为边长的正方形，进而可求出的值． 【详解】（1）解：根据题意可知：， ∵， 则， ∴， （2）解：由题意可得：， ∴， ∴． （3）解：以点A为圆心，适当半径为弧，交l与点C于点D，分别以点C，点D为圆心，以大于为半径画弧交点G，连接交l于点E，再以点E为圆心，为半径画弧交于点，连接交l于点O，点O即为所求． （4）解：如下图： 小球从长方形的点A沿射出，到的点E，． 从E点沿与成射出，到边的F点，， 从F点沿与成射出，到边的G点，， 从G沿与成射出，到边的H点， 从H点沿与成射出，到边的M点， 从M点沿与成射出，到B点， 由（1）中的结论以及轴对称的性质可知： ，，． 根据图可知5次碰撞后是2个半以为边长的正方形， ∵， ∴． 题型12 折叠问题（难点） 34．如图，四边形为一张长方形纸片，点E，F分别为边上一点，将这张纸片沿折叠，使点A，B分别落在点M，N的位置，的对应边与交于点G，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠的性质得，进而得到，再由两直线平行，同旁内角互补进行求解． 【详解】解：由折叠可知， 又， ， 在长方形中，， （两直线平行，同旁内角互补）， ． 35．图1是一张足够长的纸条，其中，点，分别在，上，．如图2，将纸条折叠，使与重合，得折痕．如图3，将纸条展开后再折叠，使与重合，得折痕．将纸条展开后继续折叠，使与重合，得折痕…依次类推，第次折叠后，的度数为__________．（用含和的代数式表示） 【答案】 【分析】由折叠的性质折叠n次可得，然后根据四边形内角和及补角性质可得答案． 【详解】解：如图， 由折叠可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得，， .....， ∴； 故答案为：． 36．综合与实践 【问题情境】 若两角之差的绝对值为，则称这两个角是一组“巧角”．即若，则与是一组“巧角”（，）． (1)如图1，在长方形中，点在边上，点在边上，沿着将四边形对折，点落在点处，点落在点处，若，判断与是否是一组“巧角”．并说明理由． 【拓展延伸】 (2)如图2，点为长方形的边上一点，点、点分别是射线，射线上一点，连接、，沿着、分别对折三角形和三角形，点落在点处，点落在点处，把记为，记为． ①如图3，当点、、三点共线时，与是一组“巧角”，求的度数； ②当点、、三点不共线时，与是一组“巧角”，且，请直接写出的度数． 【答案】(1)与是一组“巧角”，理由见解析 (2)①或；②或或或 【分析】（1）利用折叠的角相等性质，计算出两个角的差，验证是否符合“巧角”定义； （2）①由三点共线和折叠性质得到，结合“巧角”的绝对值方程求解； ②分重叠和无重叠两种情况，利用角度关系建立方程，结合“巧角”定义求解． 【详解】（1）解：根据题意可知，， 若，则，解得， ，故与是一组“巧角”． （2）①解：根据题意可知，，， ， 可得，即， 与是一组“巧角”，则， 若，即， 则有， 解得； 若，即， 则有， 解得， 综上，或． ②解：如图，当折叠后与无重叠部分， ，，， ， ， ， 与是一组“巧角”， ， 当，即， 可得， 解得， ； 当，即， 可得， 解得， ； 如图，当折叠后与有重叠部分， ，，， ， ，即， ， ， 解得， 与是一组“巧角”， ， 当，即， 可得， 解得， ； 当，， 可得， 解得， ． 综上，或或或． 题型13对称轴 37．与关于直线对称，仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)在图中，作出直线． (2)在图中，是中点，在对称轴上作出一点，使得周长最小． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查作图一复杂作图，轴对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （）根据轴对称的性质即可求解； （）根据轴对称的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求． 38．小明同学在画对称轴的过程中，忘记带圆规，只带了一把无刻度的直尺，他选择仅使用直尺工具完成以下问题探究 (1)问题1：轴对称图形对应点连线互相______．（填“平行”或“垂直”） (2)问题2：如图1，画出线段AB与的对称轴．小明采用以下画法：连接与，两条线段交于点，延长BA与交于点，连接，，． ①根据小明的画法完成作图； ②证明：； ③证明：由②结论证明：是与的垂直平分线，也就是对称轴； (3)问题3：如图2，设计一种方法，只用直尺作出与的对称轴，用文字描述你的画法并证明这样画出的直线即为对称轴． 【答案】(1)平行 (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1）利用轴对称图形的性质判断即可； （2）①根据要求画出图形； ②证明1可得结论； ③证明，推出1，推出1，可得结论； （3）连接交于点，作直线即可．证明点，点在线段的垂直平分线上即可． 【详解】（1）解：轴对称图形对应点连线互相平行． 故答案为：平行； （2）解：图形如图所示： ②证明：∵线段，线段关于某条直线对称， ∴两条线段交点在对称轴上，且，， ； ③证明：在和中， ， ， ， ， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵点也在的垂直平分线上， ∴直线垂直平分线段， 同法可证直线垂直平分线段， ∴直线是线段，的对称轴； （3）如图，直线即为所求． 方法：连接，交于点，作直线即可． 理由：连接． 同法可证， ， ， 点在线段的垂直平分线上， ∵， 点也在线段的垂直平分线上， 直线垂直平分线段， ∴直线是与的对称轴． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了轴对称图形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 39．按要求完成下列各小题．    (1)在图1中，画出灰色图形的对称轴直线； (2)在图2各图中的适当位置涂灰一个小方格，使整个灰色图形关于直线成轴对称． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查轴对称的应用，熟练掌握轴对称图形的性质是解题关键． （1）利用轴对称图形的性质画出对称轴即可； （2）利用轴对称图形的性质补全图形即可． 【详解】（1）解：作图如下：    （2）解：作图如下：    题型14镜面对称 40．小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是（    ） A．2653 B．5623 C．3562 D．3265 【答案】D 【分析】本题考查了镜面对称的性质，解题的关键是正确将镜像号码进行水平翻转并转换对应字符．把镜子中的号码水平翻转（左右镜像），同时转换每个字符的镜像对应，得到实际号码． 【详解】 解：镜面对称为水平翻转（左右镜像），将镜子里的号码进行水平翻转后，字符的镜像对应为，即组合得到实际号码为3265． 故选：D． 41．小华在镜中看到身后墙上的钟，你认为实际时间最接近8点的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查镜面对称，根据镜面对称的性质，在平面镜中的钟面上的时针、分针的位置和实物应关于过12时、6时的直线成轴对称． 【详解】解：实际时间为8点的时针关于过12时、6时的直线的对称点是4点， 那么8点的时钟在镜子中看来应该是4点的样子， 所以应该是A或D答案之一，这两个答案中更接近八点的应该是第四个图形． 故选：D． 42．小明发现站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间与电子钟的实际时间成对称如图1，若从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间为如图2所示，则电子钟的实际时间应该是______． 【答案】15∶01 【分析】本题镜面对称的知识；得到相应的对称轴是解决本题的关键；难点是作出相应的对称图形；注意2，5的关于竖直的一条直线的轴对称图形是5，2． 实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称，画出相关图形可得实际时间． 【详解】解：实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称， 电子钟的实际时间应该是， 故答案为：． 题型15旋转现象（常考点） 43．下列选项中属于旋转运动的是（    ） A．小华向西走10米再向北走10米 B．传送带传送货物 C．电梯从1楼到11楼再回到1楼 D．小亮正在荡秋千 【答案】D 【分析】本题主要考查旋转运动；旋转运动是指物体围绕一个固定点或轴做圆周运动．选项A、B、C均为平移运动，只有选项D的荡秋千是围绕固定点旋转． 【详解】解：∵ 旋转运动需围绕固定点转动， A项为平移运动，无旋转中心； B项传送带为平移运动； C项电梯为上下平移运动； D项荡秋千是围绕悬挂点做圆弧运动，属于旋转运动． 故选：D． 44．临沭柳编是山东省临沂市临沭县的传统工艺，也是国家级非物质文化遗产之一．下列选项为一组传统柳编工艺品，其中能近似看作由如图旋转一周得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了面动成体的几何原理，解题的关键是判断平面图形绕轴旋转一周后形成的立体图形的形状．先分析题干中平面图形的轮廓特征，再与选项中立体工艺品的形状进行匹配，即可得出答案． 【详解】解：题干中的平面图形左右两侧向内凹陷，呈“腰鼓”状的对称曲线． A、该立体为圆柱，由矩形旋转得到，此选项不符合题意； B、该立体上下宽、中间窄，呈“腰鼓”状，与题干平面图形旋转后的形状一致，此选项符合题意； C、该立体中间鼓、上下窄，由不同曲线旋转得到，此选项不符合题意； D、该立体为圆柱，由矩形旋转得到，此选项不符合题意． 故选：B． 45．如图，均在格点上，是由经过两次图形的变换（平移、轴对称、旋转）得到的．下列结论：①1次旋转和1次平移；②2次轴对称；③1次平移和1次轴对称；④1次轴对称和1次旋转．其中所有正确结论的序号是________． 【答案】③④/④③ 【分析】本题主要考查了图形的平移，旋转和轴对称，平移和旋转不会改变中三个内角字母的排列顺序（例如A、O、B顺时针排列），那么经过平移或者旋转得到的是按照顺时针排列，一次轴对称会改变中三个内角字母的排列顺序（例如A、O、B顺时针排列），那么经过1次轴对称得到的是按照逆时针排列，据此可得轴对称的次数一定要是奇数次，平移和旋转不能得到，据此可得答案． 【详解】解：∵旋转和平移都不会改变中三个内角字母的排列顺序（例如A、O、B顺时针排列），那么经过平移或者旋转得到的是按照顺时针排列， ∴不能由经过1次旋转或者1次平移，故①不符合题意； ∵1次轴对称一定会改变变中三个内角字母的排列顺序（例如A、O、B顺时针排列），那么经过经过1次轴对称得到的是按照逆时针排列， ∴轴对称的次数一定要满足奇数次，故②不符合题意，③④符合题意， 故答案为；③④． 题型16旋转中心、旋转角、对应点（常考点） 46．如图，在的方格纸中，格点（三个顶点都是小正方形的顶点的三角形）经过旋转后得到格点，则其旋转中心是（   ） A．格点 B．格点 C．格点 D．格点 【答案】D 【分析】先由图中两个三角形各边的长度得出旋转图形的对应顶点，再由旋转性质求解即可找到旋转中心． 【详解】解：由图可知，， 的对应点为、的对应点为、的对应点为， 由旋转性质可知，对应点与旋转中心的连接构成的线段相等，则格点中只有， 即其旋转中心是格点． 47．如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将旋转，得到，则旋转中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【详解】解：如图，线段与线段的垂直平分线交于点B， ∴旋转中心是点B． 48．如图，经过旋转后得到． （1）旋转中心是点______，旋转角是______； （2）点的对应点是点______； （3）线段的对应线段是______；的对应角是______． 【答案】 C （或） D 线段 【分析】把一个平面图形绕平面内某一定点转动一个角度，叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后的图形全等． 【详解】解：（1）∵经过旋转后得到， ∴旋转中心是点C，旋转角是（或）； （2）点的对应点是点D； （3）线段的对应线段是线段；的对应角是． 题型17根据旋转的性质求解（重点） 49．将一副三角板如图放置，点B、D重合，点F在上，与交于点G．，，，现将图中的绕点F按每秒的速度沿逆时针方向旋转，在旋转的过程中，恰有一边所在直线与垂直的时间为（   ） A．5秒或9秒 B．3秒或11秒 C．3秒或5秒或11秒 D．3秒或5秒或9秒 【答案】D 【分析】根据旋转的性质，垂线的性质，分三种不同的情况讨论解答即可． 【详解】解：由题意知，分以下几种情况讨论： ①如图，当时，设与交点为H，与交点为K， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴旋转时间为； ②如图，当时，设与交点为H， ∵，， ∴， ∴旋转时间为； ③如图，当时，设与交点为H，与交点为K， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴旋转时间为， 综上所述，恰有一边所在直线与垂直的时间为3秒或5秒或9秒． 50．如图1， 已知与摆放在一起， 点A、C、E在同一直线上，其中，，． 如图2， 固定， 将绕点A 按顺时针方向旋转，记旋转角 ． (1)当时， (2)在旋转过程中，试探究与间的关系； ①当时， ， ②当时， ， ③当  时， (3)当的一边与的某一边平行（不共线）时，直接写出旋转角所有可能的度数． 【答案】(1)30 (2)①； ②； ③ (3)，，，， 【分析】（1）根据旋转角的定义进行解答即可； （2）根据旋转过程中各个角之间的变化关系进行解答即可； （3）在旋转过程中，画出的一边与的某一边平行（不共线）的所有可能出现的情况图，再根据各个角之间的关系进行计算即可． 【详解】（1）解：如图2，当时，， 即； （2）解：①当时，如图2， ，， ∴； ②当时，如图3， ， 即； ③当时，如图4，，， ∴； （3）解：当时，如图，此时旋转角α，即； 当时，如图，此时旋转角α，即； 当时，如图，此时旋转角α，即； 当时，如图，此时旋转角α，即； 当时，如图，此时旋转角α，即； 综上所述，当的一边与的某一边平行（不共线）时，旋转角所有可能的度数为，，，，． 51．在数学综合与实践课上，老师让同学们借助“平行线和直角三角尺”开展数学活动． 【操作发现】如图1，将一个含角的直角三角尺的一边与直线重合，其中，．将该三角尺绕点逆时针旋转，如图2所示，过点作直线，的角平分线与直线交于点． (1)当时，求的度数； (2)当为多少度时，？请说明理由． (3)【拓展探究】如图3，延长得射线，与的角平分线交于点．在旋转过程中，的度数是否会随的变化而变化？若会，用含的代数式表示；若不会，求出的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)不会， 【分析】（1）求得，再利用平行线的性质可得，即可解答； （2）利用平行线的性质可得，再根据角平分线的定义推出，即可解答； （3）过点作，可得，再推出，利用平行线的性质即可解答． 【详解】（1）解：，， ，   ， ，    ； （2）解：，理由如下： 当时， ， ， ，    平分， ， ． . （3）解：不会，，理由如下： 过点作， ，      ，， 为的角平分线， ， 由对顶角相等得：， 为的角平分线， ， ， ． 题型18画旋转图形 52．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，，请按要求解决下列问题． (1)将绕点旋转，画出旋转后对应的（点，的对应点分别为点，）； (2)平移，使点平移后的对应点为，画出平移后的（点，的对应点分别为点，）； (3)和是否成中心对称？如果是，请直接写出对称中心的坐标． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)是，对称中心坐标为． 【分析】（）根据图中的网格结构分别找出点绕点旋转后的对应点的位置，然后顺次连接即可； （）根据网格结构找出点平移后的位置，然后顺次连接即可； （）根据旋转的性质，确定出旋转中心即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：是，如图，连接，， ∴对称中心坐标为． 53．如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均在格点（网格线的交点）上，已知点，，的坐标分别为，和． (1)画出以点为旋转中心，将逆时针旋转得到的． (2)用无刻度的直尺，在边上确定一点，使得点到点，的距离相等． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（）根据旋转的性质分别找出点，再依次连接，即可作答； （）利用线段垂直平分线的性质结合网格的特征，即可作答． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，作的垂直平分线，交于点，则即为所求． 54．图形运动藏奥秘，动手实践出真知！某校七年级数学兴趣小组围绕直角三角形运动，解锁几何探究新乐趣． 【操作】 如图，在正方形中，点是边上一动点（不与、重合），连结． （1）将三角形绕点逆时针旋转得到三角形（点、分别与点、对应），请在图中画出旋转后的图形；（不要求写作图步骤，只写结论） 【探究】 （2）在（1）所画图形的基础上，已知，（其中），连结． ①当，时，求三角形的面积； ②如果三角形的面积为，三角形的面积为，求线段的长． 【拓展】 （3）在（2）的条件下，画出三角形关于直线成轴对称的三角形（点A与点G是对称点），设交于点，直接写出三角形与三角形的面积差．（用含b的代数式表示） 【答案】（1）详见解析；（2）①三角形的面积是；②线段的长是6；（3） 【分析】本题考查旋转的性质，图形面积的计算，以及列代数式等知识点，掌握相关的知识点，准确添加辅助线是解题的关键． （1）根据题意作图即可； （2）①联结，根据旋转的性质，得出，根据面积公式进行计算即可；②得出面积的相关表达式，，，即可求出线段的长； （3）根据面积关系进行计算即可． 【详解】解：（1）如图1，三角形即为所求． （2）①联结，如图2所示， ∵将三角形绕点旋转到三角形， ∴，，， ∵正方形， ∴． ∴，． ∴． ∴ ． 又∵， ∴． 解得． 答：三角形的面积是． ②如图2，由①可知： ， ， ． 根据题意，得；，， ∴，． ∵， 又∵， ∴． 答：线段的长是6． （3）如图3所示： 题型19中心对称图形（常考点） 55．下列图形中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、B、C选项图形绕中心旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意； D选项图形绕中心旋转后能与原图形重合，是中心对称图形，故符合题意． 56．下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的概念，即如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；根据中心对称图形的概念，即在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，由此判断选项即可． 【详解】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意． 57．如图是的正方形网格，其中已有个小方格涂成了黑色．现在要从其余个白色的小方格中选出一个也涂成黑色，使形成的图形成为中心对称图形，这样的白色小方格有___________个． 【答案】 【分析】根据中心对称的定义，逐个验证剩余白色方格，填入后旋转可以使图形重合的即为所求． 【详解】解：如图，只有将方格涂黑可以使形成的图形成为中心对称图形， 故这样的小方格有个． 题型20根据中心对称性质求面积、长度、角度 58．如图，与关于点成中心对称，已知，，，则的周长为________． 【答案】 【分析】根据中心对称的性质可得，，，即可求出的周长． 【详解】解：∵与关于点成中心对称，，，， ∴，，， ∴． 59．如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心． (2)若，则的度数为______． (3)若，，，的周长为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)20 【分析】（1）根据中心对称图形的性质知：对应点的连线交于一点，此点即为对称中心，由此连接即可得对称中心O； （2）由中心对称的性质：对应角相等，即可求解； （3）由中心对称的性质：大小不变，则周长与面积不变，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，交于点O，此点即为对称中心； （2）解：∵和关于点成中心对称， ∴． （3）解：∵和关于点成中心对称， ∴和的周长相等， ∵的周长为， ∴的周长为20． 60．已知长方形，，，边长为（）的正方形的顶点与点重合，边、分别与、重合（如图所示）．将正方形沿着射线方向平移，设平移距离为． (1)当点恰好落在线段上时，直线、分别与长方形的边交于点、、（如图所示）．下列编号①-④中，两个图形能关于某点成中心对称的是___________，面积相等的是__________；（在横线上填入相应的编号） ①三角形与三角形；②三角形与三角形； ③三角形与三角形；④长方形与长方形． (2)在（1）的条件下，当时，求的值； (3)在平移过程中，当正方形的顶点落在线段上时，求的值． 【答案】(1)①②③；①②③④ (2) (3)或 【分析】（1）根据“中心对称图形”的定义，对选项依次判断；再利用“中心对称图形面积相等”以及“大图形面积相等，减去同样面积的部分，剩下的面积也相等”的逻辑，判断各组图形的面积是否相等； （2）由平移距离，用表示出长方形和的边长，结合（1）的“面积相等”关系列方程，求解得； （3）分“在上”“在上”两种情况进行讨论，根据面积相等列方程，用表示，再计算． 【详解】（1）解：长方形是中心对称图形，且对称中心在长方形的对角线上， ①三角形与三角形；②三角形与三角形；③三角形与三角形，都可以组成长方形， ∴①②③两个图形能关于某点成中心对称， ∴①②③中的两个三角形的面积相等； ①三角形与三角形；②三角形与三角形的面积相等， ∴四边形和四边形的面积相等， 又③三角形与三角形的面积相等， 则四边形和四边形的面积分别减去三角形与三角形的面积之后的图形面积相等， 即④长方形与长方形的面积相等， 答：①②③；①②③④． （2）解：依题意，，，， 由（1）可得长方形与长方形的面积相等， ， 解得：． 答：． （3）解：如图，当在上时， 依题意，，，，， ，，， 同理可得长方形与长方形的面积相等， ， 解得：， ； 当在上时，如图， ，，， 由（1）可得长方形与长方形的面积相等， ， 解得：， ． 综上所述，的值为或． 答：或． 【点睛】本题考查中心对称图形的判定，图形面积的等量关系，平移的性质，一元一次方程的应用，根据面积相等关系列方程求解未知量是解题关键． 题型21在方格纸补画图形成为中心对称图形 61．结论开放题 图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的顶点叫作格点，点A，B，C均在格点上，要求作一个多边形，使这三个点在这个多边形的边（包括顶点）上，且多边形的顶点在格点上． (1)在图①中作一个三角形，使它是轴对称图形． (2)在图②中作一个四边形，使它是中心对称图形但不是轴对称图形． (3)在图③中作一个四边形，使它既是轴对称图形又是中心对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的定义及网格作图，掌握轴对称图形沿某条直线折叠后能完全重合，中心对称图形绕某点旋转后能完全重合是解题的关键． （1）根据轴对称图形的定义，找一个格点与构成三角形，使三角形有一条对称轴，且在三角形的边上． （2）根据中心对称图形的定义，构造一个普通平行四边形，使在四边形的边上． （3）根据既是中心对称又是轴对称图形的特征，构造矩形，使在矩形的边上． 【详解】（1）解：如图①，即为所求．（答案不唯一） （2）解：如图②，四边形即为所求．（答案不唯一） （3）解：如图③，四边形即为所求．（答案不唯一） 62．如图，图1和图2均为正方形网格，按下列要求作图： (1)如图1，网格中已将4个小正方形涂上了阴影，请再把其中一个白色小方格涂上阴影，使整个阴影部分成为中心对称图形； (2)如图2，网格中已将3个正方形涂上了阴影，请将其绕着点顺时针旋转后，得到的图形涂上阴影． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查中心对称图形的概念与作图，旋转作图，掌握好相关知识是关键． （1）根据中心对称图形的定义进行作图即可； （2）由旋转的要求进行作图即可． 【详解】（1）解：如图1所示； （2）解：如图2所示． 63．作图题． (1)如图1是的正方形网格，请在其中选取一个白色的正方形涂上阴影，使阴影部分为中心对称图形； (2)如图2是边长为1个单位长度的正方形网格，以点为旋转中心，将按逆时针方向旋转，画出旋转后的； (3)如图3是边长为1个单位长度的正方形网格，点、、、都是格点，作关于点的中心对称图形． 【答案】(1)图见详解 (2)图见详解 (3)图见详解 【分析】本题主要考查旋转变换及中心对称图形，熟练掌握旋转的性质及中心对称的性质是解题的关键； （1）根据中心对称图形的性质可进行作图； （2）根据旋转的性质可进行求解； （3）根据中心对称图形的性质可进行作图． 【详解】（1）解：所作图形如图所示： （2）解：所作如图所示： （3）解：所作如图所示： 题型22图形的折叠综合（难点） 64．【综合与实践▪操作探究】 在学习了平行线的判定后，老师让同学们通过折纸探究平行线的画法．请根据以下步骤完成操作并回答相关问题． 操作步骤： 1．如图，准备锐角三角形纸片； 2．第一次折叠，将折叠，使点落在边上的点处，折痕为（在上，在上）； 3．第二次折叠：将折叠，使点落在边上点处，折痕为（在上）． 问题： (1)（操作理解）在第一次折叠后，判断折痕与的位置关系，并说明理由； (2)（结论验证）根据折叠结果，请你用所学知识证明； (3)（拓展应用）请你利用（2）的结论，证明：． 【答案】(1)，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，折叠的性质. （1）根据折叠的性质得到，即可判断； （2）由折叠可知，，，可得，再由同旁内角两直线平行证明即可； （3）过点作交于点，根据平行线的判定和性质得到，，由折叠得，由可得. 【详解】（1） 理由：由折叠可知， （2）证明：由折叠可知，， ， 即 由（1）知， （3）过点作交于点 又 ∴ 又 ∴ 由折叠得， ， 由折叠得 65．【综合探究】探究小组通过动手折叠一张长方形纸片来研究角度问题． (1)【操作探究】如图1，将长方形纸片的一角折叠，使顶点落在点处，点是边上的点，为折痕，此时测量，则_____： (2)【深入探究】如图2，按（1）的折叠方式，将长方形纸片的一角沿EF为折痕折叠，使得恰好平分，求的度数； (3)【拓展提升】如图3，在长方形纸片中，连接，在上取一点，沿经过点的折痕折叠，使得点落在直线上的点处，沿经过点的折痕折叠，使得点落在线段上的点处，展开后，连接，请直接用含的代数式写出两条折痕所夹的的度数． 【答案】(1)70 (2) (3)或 【分析】本题考查折叠的性质，角平分线的性质，角的和差关系推导，熟练掌握相关知识，分类讨论，数形结合借助方程解决问题是解题的关键； （1）根据折叠的性质即可解答； （2）设，使得恰好平分，，，根据折叠的性质列方程求解即可； （3）分是否在或内部两种情况讨论，设，，则 ，，根据和差关系得，或，分别求解即可． 【详解】（1）解：由折叠的性质得； （2）解：设， ∵使得恰好平分， ∴，， 由折叠的性质得， ， 解得， ∴； （3）解：设，，则，， 如图3，当 在或 内部时； ∵， ∴， 由于、、共线，， ∴ ∴， ∴； 如图4，当 不在或 内部时； ∵， ∴， 由于、、共线，， ∴ ∴， ∴， ∴或． 66．综合实践 折纸中的数学 问题背景 折纸与数学有着密切的联系，我们可以将几何学原理运用到折纸中，也可以利用折纸研究几何学． 折垂直平分线 折角平分线       提出问题   如图，能折出过P点且与边平行的折痕吗？ 问题解决 折平行线的方法步骤   说明：第一次过点P折叠使点B落在BC边上的点，折痕为，第二次折叠使点N落在射线上的点，展开压平得到折痕，则．    (1)证明：； 迁移探究 再次折叠得到，又能提出哪些问题呢？ (2)如图4，将沿过点A的某射线折叠得到，与边交于F． ①作出折痕（保留作图痕迹，不写作法）； ②若，，，直接写出当的某一边与平行时的大小； 高阶探究 过点P能折一个角等于已知角吗？ (3)如图5，如何过点P折出一条折痕，使得？请画出折叠的示意图并简要描述折叠过程，无需证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)①图见解析；②的度数为或或 (3)见解析 【分析】（1）由第一次折叠得，第二次折叠得，根据平行线的判定证明即可； （2）①作的角平分线即可；以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交、于点I、G，分别以I、G为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点H，作射线，交于点F，射线即为所求折痕；②分，，三种情况，结合折叠性质与平行线性质，分别求解即可； （3）先过点折叠纸片，使得点落在上的处，展平纸片，得到折痕；再过点再次折叠纸片，使得点落在的处，展平纸片，得到折痕；最后过点再次折叠纸片，使得点D落在射线上，展平纸片，得到折痕，即为所求；先过点A折叠纸片，使点C落在上的处，由折叠的全等性质得；再两次过点P折叠，构造出与平行的折痕，利用平行线的同位角相等，得，则． 【详解】（1）证明：由第一次折叠得，折痕是线段的垂直平分线， ∴； 由第二次折叠得，折痕是线段的垂直平分线， ∴， ∴； （2）解：①折痕如下图： ②由题意得，当时，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，且， ∴ ； 由题意得，当时，如图： 同理可得，， ∵， ∴， ∵平分，且， ∴ ； 由题意得，当时，如图： 由折叠可得，， ∵， ∴， ∴ ， 综上所述，的度数为或或； （3）解：如图，即为所求： 【点睛】本题核心是折叠的性质与平行线判定，通过折叠得到垂直或角相等关系，结合分类讨论思想求解角度，关键是几何直观与逻辑推理的结合． 题型23图形的旋转综合（难点） 67．如图是一个微型风车模型，风车的四叶分别标记为“①、②、③、④”，观察图形，回答以下问题． (1)图1的风车绕中心先顺时针旋转，形成图2的状态，再逆时针旋转180°，形成图3的状态，请在图2、图3的四叶上分别标记“①、②、③、④”． (2)图1的风车绕中心顺时针旋转2610度后，风叶①到达了图4____的位置、（填入A、B、C、D） (3)图1所示风车绕中心逆时针最少旋转_____度，风叶①也能到达第（2）问中位置． (4)图1所示风车中风叶①最少翻折______次，也能到达第（2）问中位置．（对称轴可以自己选择） 【答案】(1)见解析； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查旋转对称图形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用旋转变换的性质解决问题即可； （2）观察图形可知，旋转一次循环，由可得结论； （3）利用旋转变换的性质判断即可； （4）利用翻折变换作出图形判断即可． 【详解】（1）解：答案见图2，图3； （2）解：观察图形可知，旋转一次循环， ， 所以风叶①到达了图4位置． （3）解：图1所示风车绕中心逆时针旋转度（旋转一周内），风叶①也能到达第（2）问中位置． 故答案为：； （4）解：由如图5可知，最少翻折次，也能到达第（2）问中位置． 故答案为：． 68．如图1，点为直线上一点，为射线，，将一个三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方． (1)如图2，将三角板绕点逆时针旋转，若恰好平分，则_____． (2)将图1中的三角板绕点逆时针旋转，若在内部，且，则旋转角_____°． (3)将图1中的射线和三角板同时绕点顺时针旋转2周，射线、三角板的旋转速度分别为每秒和每秒．第几秒时，射线与三角板的边恰好在同一直线上？ 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题考查了旋转的三要素，角的和差计算，一元一次方程的应用，解题的关键注意分类讨论的思想和数形结合的思想． （1）根据角平分线得到，再由平角的意义求解即可； （2）设，则，由建立方程求解，即可求解旋转角的度数； （3）分四种情况讨论，注意转动停止时，继续转动． 【详解】（1）解：因为，平分， 所以， 因为， 所以， 故答案为：； （2）解：如图， 因为， 设，则， 因为， 所以， 解得， 所以， 所以旋转角， 故答案为：； （3）解：当第一次共线时，如图： ； 当第二次共线时，如图： ； 当停止转动时，，则转动了，如图： ∴， 当第三次共线时，如图： 此时， ∴； 当第四次共线时，如图： 则 综上：第或或或秒时，射线与三角板的边恰好在同一直线上． 69．在期中复习中，小杰对数学课本第62页习题的第5题进行了再探究． 【原题再现】 如图1，直线，垂足为，点与点关于直线对称，点与点关于直线对称．点与点有怎样的对称关系？ 小杰发现点可看作是由点绕着点旋转后得到，即点与点关于点成中心对称．为了探寻轴对称与旋转之间的奥秘，为此他邀请爱思考的小华一起继续探究． 【初步探究】 （1）如图2，他们先把一个沿直角边翻折到的位置，然后沿斜边翻折到的位置．他们发现可以看作是由通过一次________得到（填“平移”、“轴对称”或“旋转”）；若，则两条对称轴所形成的夹角（锐角）度数为________°． 【深入探究】 （2）如图3，与关于直线对称，与关于直线对称，直线和相交于点；他们通过研究发现可以看作是由绕某个点按顺时针方向旋转一次即可得到． ①旋转中心为点________； ②经过探究，他们发现两条对称轴之间的夹角与旋转角之间存在等量关系，请写出它们之间的等量关系，并说明理由． 【答案】（1）旋转，；（2）①，②． 【分析】本题考查了中心对称、轴对称性质． （1）由图形的变换可知，可以看作是由通过一次旋转可得，两条对称轴是、，根据对称的性质可知：，由此即得出； （2）由对称性质可知：点到和的对应点距离相等，故旋转中心为点， ②连接、、，由对称的性质可得，，由此可得． 【详解】解：（1）由题意可以，两条对称轴是、，根据对称的性质可知：， ∵， ∴， ∴可以看作是由通过绕旋转的度数得到． 故答案为：旋转，． （2）①由对称性质可知：点到和的对应点距离相等，故旋转中心为点， ②结论：． 连接、、， 由对称性质可知：，， ∵两条对称轴之间的夹角， 旋转角， ∴． 过关检测 70．南昌汉代海昏侯国遗址博物馆中的龙凤纹韘（shè）形玉佩是一件不可多得的艺术珍品，彰显了汉代玉器制作的精湛技艺和独特风格．下列“龙凤纹韘形玉佩”的图形中，可以由如图所示的图形只经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平移性质：只改变位置，不改变大小和形状判断即可． 【详解】解：由平移性质可得如图所示的图形只经过平移得到的是C选项． 71．如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由旋转的性质得到的度数，再由角的和差关系可得答案． 【详解】解：由旋转的性质可得， ∵， ∴． 72．下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 73．如图，点、、、、、、都为格点（方格纸中小正方形的顶点），若，则点N可能是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】根据平移的性质即可求解． 【详解】∵，观察图形可知，点是点先向右平移个单位，再向上平移个单位得到的，点是由点先向右平移个单位，再向上平移个单位得到的， ∴， ∴点可能是点． 74．如图，把长方形纸片（， ）沿折叠，点B落在P点处，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质以及平行线的性质，先根据折叠得出，结合平角定义得出的度数，再结合两直线平行，同旁内角互补，即可求解． 【详解】解：∵把长方形纸片沿折叠，点落在点处， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 75．语文的浪漫是诗歌里的乡愁与生机，物理的浪漫是公式描述星辰的诗意，数学的浪漫则在数形之间．下列平面直角坐标系中的图象是中心对称图形的是（　　） A．笛卡尔心形线 B．三叶玫瑰线 C．笛卡尔叶形线 D．星形线 【答案】D 【分析】根据中心对称图形的概念，对四个图形逐一分析，再作出判断据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形． 76．如图，将绕点A顺时针旋转一定的角度得到，此时点恰在边上，若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由旋转的性质可得 ，结合 的长度利用线段的和差关系即可求解 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到 ， ， ， 点恰在边 上，， ． 77．如图，在中，，现将沿方向平移得到，与交于点M，以下说法①当时，B到的距离为线段的长；②当，时，则；③四边形与四边形的周长差为；④四边形与四边形的面积相等．正确的是（        ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】D 【分析】根据平移的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵平移， ∴，，， ∴，，即， 当，则，即， ∴B到的距离为线段的长；故①错误； ∵，， ∴， ∴， ∴；故②正确； 四边形与四边形的周长差为 ；故③正确； ∵， ∴，即四边形与四边形的面积相等；故④正确． 综上，正确的是②③④． 78．如图，将长方形纸片沿折叠后，点，分别落在，的位置，再沿边将折叠到处，已知，则_____． 【答案】/15度 【分析】延长到点，根据折叠的性质，得，，再根据折叠的性质，平行线的性质，邻补角的定义，角的和差计算即可． 【详解】解：如图，延长到点， ∵将长方形纸片沿折叠，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵沿边将折叠到处， ∴， ∵， ∴， ∴． 79．如图摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转得到，第2026个图案与第1个至第4个中的第_____个箭头方向相同．（填序号） 【答案】4 【分析】一圈有360度，每次旋转60度，那么每6次旋转为一个循环，求出除以6的余数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴每6次旋转为一个循环， ∵， ∴第2026个图案与第1个至第4个中的第4个箭头方向相同． 80．如图，已知，，，将三角形沿方向平移个单位长度，得到三角形，连接，则阴影部分的周长为_______ 【答案】 【详解】解：由平移的性质可得，，，， 则阴影部分的周长为． 81．某商场重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设一种红色的地毯．已知这种地毯的批发价为每平方米元，主楼梯的宽为米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要______元． 【答案】 【分析】根据图中数据可以求出地毯的长度为米，宽度为米，根据矩形的面积即可求出地毯的面积为平方米，根据每平方米元，计算出购买地毯所需要的费用． 【详解】解：由图可知，需要购买地毯的长度为米， 主楼梯的宽为米， 地毯的长度为米，宽度为米， 地毯的面积为平方米， 地毯的批发价为每平方米元， 购买地毯至少需要元． 82．如图，在中，，点在边上，且，将沿翻折得，此时，则__________． 【答案】 【分析】根据可得，再根据翻折的性质可得，最后根据三角形的内角和求解即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵沿翻折得， ∴，． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． 83．如图，分别按下列要求在网格图中作出平移后的图形． (1)在图1中将三角形平移，点平移到点的位置，点，平移后的对应点分别是，． (2)在图2中平移线段，使之与线段组成一个三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）将点分别向右平移2个单位，向下平移2个单位得出，顺次连接，即可求解． （2）将线段向右平移2个单位，再向上平移2个单位；将线段向左平移2个单位，再向上平移3个单位，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：如图所示， 84．如图，网格中的每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，A，B，C，D，E，F，P均为格点，请按要求仅用一把无刻度的直尺作图． (1)将绕点P逆时针旋转得到，请画出； (2)将绕点旋转得到，请画出点和； (3)将格点线段平移至格点线段（点E，F的对应点分别为M，N），使得平分四边形的面积，请画出线段MN； 【答案】(1)见解析． (2)见解析． (3)见解析． 【分析】（）根据旋转的性质：连接，，，分别将各线段绕点P逆时针旋转得到，，，顺次连接，，，即可得到． （）线段的中点为，作关于的对称点，连接，即可． （）平移使其经过即可． 【详解】（1）解： ∴即为所作图形． （2）解： ∴点和如图所作； （3）解： ∴线段如图所作． 85．将沿边向右平移得到，如图． (1)若，则 度； (2)若的周长为15，，求四边形的周长． 【答案】(1)70 (2) 【分析】（1）根据平移的性质解答即可； （2）由平移的性质可得，，再由三角形周长计算公式可推出，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵沿边向右平移得到，， ； （2）解：由平移的性质知：，， ∵的周长为15， ∴， 即， 又∵， 四边形的周长 ． 86．如图，直线，一副三角尺（，，，）按如图①放置，点在直线上，点，均在直线上，且． (1)求的度数； (2)如图②，若将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（、的对应点分别为、）．设旋转时间为秒； ①在旋转过程中，若边，求的值； ②若在绕点旋转的同时，绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转（、的对应点分别为、），请直接写出时的值． 【答案】(1) (2)①或；②或或 【分析】（1）求出，继而得到，再根据平行线的性质求出，再根据角的和差可得答案； （2）①分两种情况，画出图形，根据旋转速度以及平行线的性质列出关于的方程，解之即可； ②表示出，，分三种情况，画出图形，根据平行线的性质列出方程，再求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴ ∵，， ∴， ∴； （2）解：①如图，当在上方时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（、的对应点分别为、），旋转时间为秒， ∴， ∴； 如图，当在下方时， ∵， ∴， ∵， ∴， 此时旋转了， ∴， ∴， ∴在旋转过程中，若边，的值为或； ②如图，延长交于点， ∵将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（、的对应点分别为、），同时绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转（、的对应点分别为、），设旋转时间为秒， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得：； 如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 解得：； 如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； 综上所述，的值为或或． 87．【知识初探】 王芳同学在探究“过直线外一点画已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线． (1)如图1，在纸上折出一条折痕，在外取一点P．过点P折叠纸片，使得点C的对应点落在上（如图2），记折痕与的交点为A，将纸片展开铺平．则折痕与的位置关系是______． (2)【深入探究】 接着，过点P将纸片进行折叠，使得点E的对应点落在直线上（如图3），再将纸片展开铺平（如图4）．此时王芳说，就是的平行线．王芳的说法正确吗？请予以证明． (3)【拓展延伸】 王伟同学改变折痕和点P的位置，按照王芳同学的方法折叠得到后（点B，C，K，F分别在线段，，，上），再画出和的角平分线、，、所在的直线交于点G，请求出的度数． 【答案】(1) (2)王芳的说法正确，证明见解析 (3)或 【分析】（1）由折叠推出，进而得到，即可得出结论； （2）同（1）可得，，然后结合即可得到； （3）作，得到，推出，求出，然后分交点在的上方和下方，两种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：由折叠可知： 又∵ ∴ ∴； （2）解：王芳的说法正确，证明如下： 同（1）可得， ∵ ∴； （3）解：如图，作，则：， ∴，， ∴， ∵， ∴ 当点在直线的下方时，如图：过点作，则：， ∴， ∴， ∵分别平分和， ∴， ∵， ∴； 当点在上方时，如图，作，则：， 则：， ∴， ∵分别平分和， ∴， ∵， ∴； 综上：或． 88．青岛灯光秀，尤其是浮山湾灯光秀，是青岛城市夜景的核心品牌，被官方和媒体广泛认可为集科技、文化与生态于一体的高水平城市光影工程．青岛利用浮山湾180度扇面地理优势，以53栋连续高层建筑为舞台，打造世界最长的滨海曲面灯光影视屏幕，通过水墨崂山、“五月的风”雕塑、胶东机场、青岛港、海洋生物等元素，展现青岛的开放、宜居与海洋文化．灯光秀中，灯带作为建筑立面亮化的基础单元，与投影、激光等技术融合，共同构成“以城为景、以天为幕”的巨型视觉叙事载体，展现青岛历史、科技与生态等多元主题．如图1，灯A位于灯带上，灯B位于灯带上．灯A射线自逆时针旋转至便立即回转，灯B射线自顺时针旋转至便立即回转．若灯A转动的速度是秒，灯B转动的速度是秒．假定两侧的灯带是平行的，即，且． (1)当时，灯A射线经过多少秒，第一次照射到灯B； (2)若，，且两灯同时转动．设两灯转动的时间为秒，若满足两灯的射线光束互相平行，求此时对应的t； (3)两灯以（2）中的速度同时转动，在灯B射线到达之前，若灯A射出的光束与灯B射出的光束交于点C． ①用含t的代数式表示； ②若D是上一点，且，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)灯A射线经过20秒，第一次照射到灯B (2) (3)①或；②或 【分析】（1）根据平行线的性质求出，据此可得答案； （2）设和为灯A和灯B发出的射线，再根据平行线的性质求解即可； （3）①分当时，当时，当时三种情况进行讨论求解即可；②根据①所求，分当时，当时，两种情况分别求出与即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ， 灯A转动的速度是秒， 灯A射线经过秒，第一次照射到灯B； （2）解：如图所示，设和为灯A和灯B发出的射线，则， ，， ，， ， 解得； （3）解：①如图所示，当时，过点C作，则， ，， ； 当时，两条射线的交点C不在两灯带之间，不符合题意，舍去； 如图所示，当时， 同理可得 ； 综上所述，或； ②如图所示，当时， 由（3）①得，． ， ， ； 如图所示，当时， 由（3）①得， ， ， ； 综上所述，或． 【点睛】本题的关键是利用平行线的性质（内错角相等、同旁内角互补），结合光线的动态转动，分情况讨论角度变化，通过构造辅助线和用含t的代数式表示角度，再消元求解数量关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 图形的变换23大题型（期中复习专项训练） 题型1 生活中的平移现象 1 题型2 利用平移的性质求解（重点） 2 题型3 利用平移解决实际问题（常考点） 3 题型4 平移作图（重点） 4 题型5 轴对称图形（常考点） 5 题型6 作已知线段的垂直平分线（重点） 6 题型7 作垂线（重点） 6 题型8 作角平分线（重点） 8 题型9 根据轴对称图形的性质进行求解（重点） 9 题型10 台球桌面上的轴对称问题 10 题型11 轴对称电的光线反射问题 11 题型12 折叠问题（难点） 13 题型13对称轴 14 题型14镜面对称 15 题型15旋转现象（常考点） 16 题型16旋转中心、旋转角、对应点（常考点） 17 题型17根据旋转的性质求解（重点） 18 题型18画旋转图形 19 题型19中心对称图形（常考点） 21 题型20根据中心对称性质求面积、长度、角度 21 题型21在方格纸补画图形成为中心对称图形 22 题型22图形的折叠综合（难点） 23 题型23图形的旋转综合（难点） 26 题型1 生活中的平移现象 1．2026年4月12日湖北省城市足球联赛（“楚超”）正式开赛，吉祥物“楚小焱”昂首握拳、目光有神，头戴鎏金凤冠，尾羽似火焰，展现了湖北儿女敢闯敢拼的精神风貌，以下图案可以通过平移“楚小焱”得到的是（    ） A． B． C． D． 2．由杭州宇树科技研发的通用人形机器人（如图）在2026年春晚表演节目《武》．由该机器人平移得到的图案为（    ） A． B． C． D． 3．在下列四幅图中，哪几幅图是可以经过平移变换得来的________． 题型2 利用平移的性质求解（重点） 4．如图，将沿方向平移2个单位长度得到，若四边形的周长为15，则的周长为（    ）    A．7 B．9 C．11 D．13 5．如图，在四边形中，，，将四边形沿方向平移得到四边形，与相交于点E，若，，则阴影部分的面积为_____． 6．如图，在四边形中，，与互余，将分别平移到和的位置，． (1)求的度数； (2)若，求的长． 题型3 利用平移解决实际问题（常考点） 7．如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移就是它的右边线，那么这块草地青草覆盖的面积是（   ） A． B． C． D． 8．如图是南湖公园里一处桃花观赏区（长方形），米，米．为方便游人观赏，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分）．小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的正中间从入口到出口所走的路线（图中虚线）的长为（   ） A．84米 B．80米 C．61米 D．82米 9．图形操作：（图1、图2中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段向上平移1米到，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线（其中点B叫做折线的一个“折点”）向上平移1米到折线（阴影部分）． (1)问题解决，设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，，求，，并比较大小； (2)联想探索：如图3，在一块长为a米，宽为b米的长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），请你直接写出空白部分表示的草地的面积是________平方米（用含a，b的式子表示）； (3)实际运用：如图4，在长方形地块内修筑同样宽为4米的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为耕地，求剩余的耕地面积． 题型4 平移作图（重点） 10．如图，在网格中将先向右平移4个单位，再向上平移2个单位，得到． (1)画出平移后的三角形． (2)在网格中找到一个格点，使的面积与的面积相等，请画出格点三角形．（只需要画出一个符合条件的三角形） 11．把放在直角坐标系中如图所示，现将向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度就得到． (1)在图中画出； (2)写出的坐标； (3)求在平移过程中扫过的面积． 12．（1）如图，火车站、码头分别位于A，B两点，直线a，b分别表示河流与铁路． ①请画图说明从火车站到码头怎么走最近？画图的依据是______． ②请画图说明从火车站到河流怎么走最近？画图的依据是______． （2）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的位置如图所示现将平移，使点C变换为点D，点A、B的对应点分别是点E、F．在图中请画出平移后得到的． 题型5 轴对称图形（常考点） 13．中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（   ） A． B． C． D． 14．窗格经历了千年的传承与发展，是中国建筑装饰文化的重要标志之一．在如图所示的窗格中，与①成轴对称的是_____________． 15．以下是中国七个银行的图标，这些图标中是轴对称图形的是有______个． 题型6 作已知线段的垂直平分线（重点） 16．如图，四边形和四边形关于直线成轴对称． (1)请你在图中用直尺和圆规作出对称轴；（保留作图痕迹，不写作法） (2)如果你只有一把无刻度的直尺，请你在图中画出对称轴．（保留作图痕迹，不写作法） 17．尺规作图： (1)作边的垂直平分线交于点，连接； (2)作边的垂直平分线交于点，连接（要求：保留作图痕迹，不写作法） 18．如图，、表示两条相交的公路，A、B为公路边上的两个村庄，现要在区域内建一个超市P，要求超市到A、B两个村庄的距离相等，且．请利用尺规作图确定超市的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 题型7 作垂线（重点） 19．如图，在铁路旁边有一村庄，现要建一火车站，使该村庄的人乘火车最方便（即距离最近），请你在铁路边选一点来建火车站，并说明理由．（不写作法） 20．按要求作图，不要求写画法：如图，点P、Q分别在的边上． (1)过点作的垂线； (2)过点作的平行线； (3)在上找一点，使线段最短．理由为：___________． 21．阅读与思考 请认真阅读下面的材料，并完成相应的任务． 尺规作图 尺规作图起源于古希腊的数学课题，只允许使用圆规和没有刻度的直尺，来解决平面几何作图问题．还记得我们用尺规作图完成的第一个问题吗？那就是“作一条线段等于已知线段”，尺规作图的背后都与我们学习的数学原理密切相关． 下面是用尺规过直线外一点作已知直线的平行线的方法． 已知：直线，直线外一点 求作：过点且平行于的直线 作法：①在直线上任取一点，连接；②以点为圆心，的长为半径作弧，交直线于点；③以点为圆心，的长为半径作弧；④以点为圆心，长为半径作弧，交前弧于点；⑤作直线，则． 任务： (1)写出一种上述作法中用到的你学过的基本尺规作图：___________； (2)这种作法判断直线的依据是___________ (3)你还有别的作平行线的方法吗？在下图中作出．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；作出一种即可） 题型8 作角平分线（重点） 22．角是轴对称图形，角平分线所在的直线就是对称轴，用圆规和无刻度直尺可以作出一个角的平分线．下列图形展示的是尺规作平分线的过程，请根据图形写出每一步的作图方法． 作法： (1) ； (2) ； (3) ．即： 为所求． 23．已知：如图， 求作：四边形，使点D到边的距离相等，且，垂足为C．（请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．） 24．如图，已知和． (1)尺规作图：在的外部作（不写作法，保留作图痕迹）； (2)画图与计算：在（1）的基础上，画出的平分线，当，时，求和的度数． 题型9 根据轴对称图形的性质进行求解（重点） 25．如图，四边形的顶点均在正方形网格的格点上． (1)画出四边形关于直线l对称的四边形； (2)连接，，则与的位置关系为________． 26．作图 (1)如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的顶点均在格点上，点的坐标为． ①作，使其与关于轴对称． ②在轴上画出点，使的值最小． (2)如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔与两个城镇的距离相等，到两条高速公路和的距离也相等，发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置． 27．如图①，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l处饮马，然后回到B地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路程最短？ 小明同学用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题：如图②，作点B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点P，点P就是饮马的位置． 下面是小明根据这一方法写出的证明过程： 证明：如图③，作点B关于直线l的对称点，连接A与直线l交于点，在直线l上任取一点P（与点不重合），连接 点B与点关于直线l对称 ________，_________； 当A，P，三点共线，即点P与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置． (1)解决问题：补全证明过程； (2)模型应用：如图④，红星村A和幸福村B在一条大河的同侧，现要在河岸CD 上建一水厂P，并从水厂向两村铺设管道以输送自来水．请你在河岸上选择水厂P的位置，使铺设管道的长度最短．（保留作图痕迹，不写作法） 题型10 台球桌面上的轴对称问题 28．如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（    ） A． B． C． D． 29．2005年4月3日，斯诺克中国公开赛，中国江苏神奇小子丁俊晖奇迹般地战胜了世界头号选手亨德利，夺得了自己首个世界台球职业排名赛冠军，如图，是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中阴影部分分别表示六个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是____________号袋． 30．如图是由相同的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．长方台球桌的顶点都是格点，台球桌上有两个小球，分别位于格点处．    (1)在图1中，先在边上画点，使，再在边上画点，使； (2)在图2中，先在边上画点，连接，使，再画一条路径，使球两次撞击台球桌边，经过两次反弹（反射角等于入射角）后，正好撞到球． 题型11 轴对称电的光线反射问题 31．如图，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列判断错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 32．如图所示，是光在进入单反相机中的五棱镜时两次全反射的光路图，已知，光从点平行于进入棱镜，在边上点处反射，到达边点处，经过再一次反射，然后沿垂直边方向，从点处离开棱镜，若，则的度数为________． 33．如图1是光的反射示意图，点A处有一个光源，入射光线经过镜面l反射后，恰好经过点B，点O叫入射点，已知反射角等于入射角，法线． (1)若，则________． (2)如图2，在空心圆柱口放置一面平面镜，与水平线的夹角，入射光线经平面镜反射后反射光线为（点A，B，C，D，E，F，M在同一竖直平面内），若要使反射光线恰好垂直于圆柱底面射出，则入射光线与水平线的夹角的度数为________． (3)如图3，点A处有一个光源，入射光线经过镜面l反射后，恰好经过点B，请用无刻度直尺和圆规作出入射点O，并画出光线（不写作法，保留作图痕迹，用铅笔加黑加粗） (4)某台球桌为如图4所示的长方形，，小球从A沿角击出，恰好经过5次碰撞后到达B处．则________． 题型12 折叠问题（难点） 34．如图，四边形为一张长方形纸片，点E，F分别为边上一点，将这张纸片沿折叠，使点A，B分别落在点M，N的位置，的对应边与交于点G，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 35．图1是一张足够长的纸条，其中，点，分别在，上，．如图2，将纸条折叠，使与重合，得折痕．如图3，将纸条展开后再折叠，使与重合，得折痕．将纸条展开后继续折叠，使与重合，得折痕…依次类推，第次折叠后，的度数为__________．（用含和的代数式表示） 36．综合与实践 【问题情境】 若两角之差的绝对值为，则称这两个角是一组“巧角”．即若，则与是一组“巧角”（，）． (1)如图1，在长方形中，点在边上，点在边上，沿着将四边形对折，点落在点处，点落在点处，若，判断与是否是一组“巧角”．并说明理由． 【拓展延伸】 (2)如图2，点为长方形的边上一点，点、点分别是射线，射线上一点，连接、，沿着、分别对折三角形和三角形，点落在点处，点落在点处，把记为，记为． ①如图3，当点、、三点共线时，与是一组“巧角”，求的度数； ②当点、、三点不共线时，与是一组“巧角”，且，请直接写出的度数． 题型13对称轴 37．与关于直线对称，仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)在图中，作出直线． (2)在图中，是中点，在对称轴上作出一点，使得周长最小． 38．小明同学在画对称轴的过程中，忘记带圆规，只带了一把无刻度的直尺，他选择仅使用直尺工具完成以下问题探究 (1)问题1：轴对称图形对应点连线互相______．（填“平行”或“垂直”） (2)问题2：如图1，画出线段AB与的对称轴．小明采用以下画法：连接与，两条线段交于点，延长BA与交于点，连接，，． ①根据小明的画法完成作图； ②证明：； ③证明：由②结论证明：是与的垂直平分线，也就是对称轴； (3)问题3：如图2，设计一种方法，只用直尺作出与的对称轴，用文字描述你的画法并证明这样画出的直线即为对称轴． 39．按要求完成下列各小题．    (1)在图1中，画出灰色图形的对称轴直线； (2)在图2各图中的适当位置涂灰一个小方格，使整个灰色图形关于直线成轴对称． 题型14镜面对称 40．小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是（    ） A．2653 B．5623 C．3562 D．3265 41．小华在镜中看到身后墙上的钟，你认为实际时间最接近8点的是（　　） A． B． C． D． 42．小明发现站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间与电子钟的实际时间成对称如图1，若从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间为如图2所示，则电子钟的实际时间应该是______． 题型15旋转现象（常考点） 43．下列选项中属于旋转运动的是（    ） A．小华向西走10米再向北走10米 B．传送带传送货物 C．电梯从1楼到11楼再回到1楼 D．小亮正在荡秋千 44．临沭柳编是山东省临沂市临沭县的传统工艺，也是国家级非物质文化遗产之一．下列选项为一组传统柳编工艺品，其中能近似看作由如图旋转一周得到的是（    ） A． B． C． D． 45．如图，均在格点上，是由经过两次图形的变换（平移、轴对称、旋转）得到的．下列结论：①1次旋转和1次平移；②2次轴对称；③1次平移和1次轴对称；④1次轴对称和1次旋转．其中所有正确结论的序号是________． 题型16旋转中心、旋转角、对应点（常考点） 46．如图，在的方格纸中，格点（三个顶点都是小正方形的顶点的三角形）经过旋转后得到格点，则其旋转中心是（   ） A．格点 B．格点 C．格点 D．格点 47．如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将旋转，得到，则旋转中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 48．如图，经过旋转后得到． （1）旋转中心是点______，旋转角是______； （2）点的对应点是点______； （3）线段的对应线段是______；的对应角是______． 题型17根据旋转的性质求解（重点） 49．将一副三角板如图放置，点B、D重合，点F在上，与交于点G．，，，现将图中的绕点F按每秒的速度沿逆时针方向旋转，在旋转的过程中，恰有一边所在直线与垂直的时间为（   ） A．5秒或9秒 B．3秒或11秒 C．3秒或5秒或11秒 D．3秒或5秒或9秒 50．如图1， 已知与摆放在一起， 点A、C、E在同一直线上，其中，，． 如图2， 固定， 将绕点A 按顺时针方向旋转，记旋转角 ． (1)当时， (2)在旋转过程中，试探究与间的关系； ①当时， ， ②当时， ， ③当  时， (3)当的一边与的某一边平行（不共线）时，直接写出旋转角所有可能的度数． 51．在数学综合与实践课上，老师让同学们借助“平行线和直角三角尺”开展数学活动． 【操作发现】如图1，将一个含角的直角三角尺的一边与直线重合，其中，．将该三角尺绕点逆时针旋转，如图2所示，过点作直线，的角平分线与直线交于点． (1)当时，求的度数； (2)当为多少度时，？请说明理由． (3)【拓展探究】如图3，延长得射线，与的角平分线交于点．在旋转过程中，的度数是否会随的变化而变化？若会，用含的代数式表示；若不会，求出的度数． 题型18画旋转图形 52．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，，请按要求解决下列问题． (1)将绕点旋转，画出旋转后对应的（点，的对应点分别为点，）； (2)平移，使点平移后的对应点为，画出平移后的（点，的对应点分别为点，）； (3)和是否成中心对称？如果是，请直接写出对称中心的坐标． 53．如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均在格点（网格线的交点）上，已知点，，的坐标分别为，和． (1)画出以点为旋转中心，将逆时针旋转得到的． (2)用无刻度的直尺，在边上确定一点，使得点到点，的距离相等． 54．图形运动藏奥秘，动手实践出真知！某校七年级数学兴趣小组围绕直角三角形运动，解锁几何探究新乐趣． 【操作】 如图，在正方形中，点是边上一动点（不与、重合），连结． （1）将三角形绕点逆时针旋转得到三角形（点、分别与点、对应），请在图中画出旋转后的图形；（不要求写作图步骤，只写结论） 【探究】 （2）在（1）所画图形的基础上，已知，（其中），连结． ①当，时，求三角形的面积； ②如果三角形的面积为，三角形的面积为，求线段的长． 【拓展】 （3）在（2）的条件下，画出三角形关于直线成轴对称的三角形（点A与点G是对称点），设交于点，直接写出三角形与三角形的面积差．（用含b的代数式表示） 题型19中心对称图形（常考点） 55．下列图形中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 56．下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 57．如图是的正方形网格，其中已有个小方格涂成了黑色．现在要从其余个白色的小方格中选出一个也涂成黑色，使形成的图形成为中心对称图形，这样的白色小方格有___________个． 题型20根据中心对称性质求面积、长度、角度 58．如图，与关于点成中心对称，已知，，，则的周长为________． 59．如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心． (2)若，则的度数为______． (3)若，，，的周长为______． 60．已知长方形，，，边长为（）的正方形的顶点与点重合，边、分别与、重合（如图所示）．将正方形沿着射线方向平移，设平移距离为． (1)当点恰好落在线段上时，直线、分别与长方形的边交于点、、（如图所示）．下列编号①-④中，两个图形能关于某点成中心对称的是___________，面积相等的是__________；（在横线上填入相应的编号） ①三角形与三角形；②三角形与三角形； ③三角形与三角形；④长方形与长方形． (2)在（1）的条件下，当时，求的值； (3)在平移过程中，当正方形的顶点落在线段上时，求的值． 题型21在方格纸补画图形成为中心对称图形 61．结论开放题 图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的顶点叫作格点，点A，B，C均在格点上，要求作一个多边形，使这三个点在这个多边形的边（包括顶点）上，且多边形的顶点在格点上． (1)在图①中作一个三角形，使它是轴对称图形． (2)在图②中作一个四边形，使它是中心对称图形但不是轴对称图形． (3)在图③中作一个四边形，使它既是轴对称图形又是中心对称图形． 62．如图，图1和图2均为正方形网格，按下列要求作图： (1)如图1，网格中已将4个小正方形涂上了阴影，请再把其中一个白色小方格涂上阴影，使整个阴影部分成为中心对称图形； (2)如图2，网格中已将3个正方形涂上了阴影，请将其绕着点顺时针旋转后，得到的图形涂上阴影． 63．作图题． (1)如图1是的正方形网格，请在其中选取一个白色的正方形涂上阴影，使阴影部分为中心对称图形； (2)如图2是边长为1个单位长度的正方形网格，以点为旋转中心，将按逆时针方向旋转，画出旋转后的； (3)如图3是边长为1个单位长度的正方形网格，点、、、都是格点，作关于点的中心对称图形． 题型22图形的折叠综合（难点） 64．【综合与实践▪操作探究】 在学习了平行线的判定后，老师让同学们通过折纸探究平行线的画法．请根据以下步骤完成操作并回答相关问题． 操作步骤： 1．如图，准备锐角三角形纸片； 2．第一次折叠，将折叠，使点落在边上的点处，折痕为（在上，在上）； 3．第二次折叠：将折叠，使点落在边上点处，折痕为（在上）． 问题： (1)（操作理解）在第一次折叠后，判断折痕与的位置关系，并说明理由； (2)（结论验证）根据折叠结果，请你用所学知识证明； (3)（拓展应用）请你利用（2）的结论，证明：． 65．【综合探究】探究小组通过动手折叠一张长方形纸片来研究角度问题． (1)【操作探究】如图1，将长方形纸片的一角折叠，使顶点落在点处，点是边上的点，为折痕，此时测量，则_____： (2)【深入探究】如图2，按（1）的折叠方式，将长方形纸片的一角沿EF为折痕折叠，使得恰好平分，求的度数； (3)【拓展提升】如图3，在长方形纸片中，连接，在上取一点，沿经过点的折痕折叠，使得点落在直线上的点处，沿经过点的折痕折叠，使得点落在线段上的点处，展开后，连接，请直接用含的代数式写出两条折痕所夹的的度数． 66．综合实践 折纸中的数学 问题背景 折纸与数学有着密切的联系，我们可以将几何学原理运用到折纸中，也可以利用折纸研究几何学． 折垂直平分线 折角平分线       提出问题   如图，能折出过P点且与边平行的折痕吗？ 问题解决 折平行线的方法步骤   说明：第一次过点P折叠使点B落在BC边上的点，折痕为，第二次折叠使点N落在射线上的点，展开压平得到折痕，则．    (1)证明：； 迁移探究 再次折叠得到，又能提出哪些问题呢？ (2)如图4，将沿过点A的某射线折叠得到，与边交于F． ①作出折痕（保留作图痕迹，不写作法）； ②若，，，直接写出当的某一边与平行时的大小； 高阶探究 过点P能折一个角等于已知角吗？ (3)如图5，如何过点P折出一条折痕，使得？请画出折叠的示意图并简要描述折叠过程，无需证明． 题型23图形的旋转综合（难点） 67．如图是一个微型风车模型，风车的四叶分别标记为“①、②、③、④”，观察图形，回答以下问题． (1)图1的风车绕中心先顺时针旋转，形成图2的状态，再逆时针旋转180°，形成图3的状态，请在图2、图3的四叶上分别标记“①、②、③、④”． (2)图1的风车绕中心顺时针旋转2610度后，风叶①到达了图4____的位置、（填入A、B、C、D） (3)图1所示风车绕中心逆时针最少旋转_____度，风叶①也能到达第（2）问中位置． (4)图1所示风车中风叶①最少翻折______次，也能到达第（2）问中位置．（对称轴可以自己选择） 68．如图1，点为直线上一点，为射线，，将一个三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方． (1)如图2，将三角板绕点逆时针旋转，若恰好平分，则_____． (2)将图1中的三角板绕点逆时针旋转，若在内部，且，则旋转角_____°． (3)将图1中的射线和三角板同时绕点顺时针旋转2周，射线、三角板的旋转速度分别为每秒和每秒．第几秒时，射线与三角板的边恰好在同一直线上？ 69．在期中复习中，小杰对数学课本第62页习题的第5题进行了再探究． 【原题再现】 如图1，直线，垂足为，点与点关于直线对称，点与点关于直线对称．点与点有怎样的对称关系？ 小杰发现点可看作是由点绕着点旋转后得到，即点与点关于点成中心对称．为了探寻轴对称与旋转之间的奥秘，为此他邀请爱思考的小华一起继续探究． 【初步探究】 （1）如图2，他们先把一个沿直角边翻折到的位置，然后沿斜边翻折到的位置．他们发现可以看作是由通过一次________得到（填“平移”、“轴对称”或“旋转”）；若，则两条对称轴所形成的夹角（锐角）度数为________°． 【深入探究】 （2）如图3，与关于直线对称，与关于直线对称，直线和相交于点；他们通过研究发现可以看作是由绕某个点按顺时针方向旋转一次即可得到． ①旋转中心为点________； ②经过探究，他们发现两条对称轴之间的夹角与旋转角之间存在等量关系，请写出它们之间的等量关系，并说明理由． 过关检测 70．南昌汉代海昏侯国遗址博物馆中的龙凤纹韘（shè）形玉佩是一件不可多得的艺术珍品，彰显了汉代玉器制作的精湛技艺和独特风格．下列“龙凤纹韘形玉佩”的图形中，可以由如图所示的图形只经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 71．如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 72．下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 73．如图，点、、、、、、都为格点（方格纸中小正方形的顶点），若，则点N可能是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 74．如图，把长方形纸片（， ）沿折叠，点B落在P点处，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 75．语文的浪漫是诗歌里的乡愁与生机，物理的浪漫是公式描述星辰的诗意，数学的浪漫则在数形之间．下列平面直角坐标系中的图象是中心对称图形的是（　　） A．笛卡尔心形线 B．三叶玫瑰线 C．笛卡尔叶形线 D．星形线 76．如图，将绕点A顺时针旋转一定的角度得到，此时点恰在边上，若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 77．如图，在中，，现将沿方向平移得到，与交于点M，以下说法①当时，B到的距离为线段的长；②当，时，则；③四边形与四边形的周长差为；④四边形与四边形的面积相等．正确的是（        ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 78．如图，将长方形纸片沿折叠后，点，分别落在，的位置，再沿边将折叠到处，已知，则_____． 79．如图摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转得到，第2026个图案与第1个至第4个中的第_____个箭头方向相同．（填序号） 80．如图，已知，，，将三角形沿方向平移个单位长度，得到三角形，连接，则阴影部分的周长为_______ 81．某商场重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设一种红色的地毯．已知这种地毯的批发价为每平方米元，主楼梯的宽为米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要______元． 82．如图，在中，，点在边上，且，将沿翻折得，此时，则__________． 83．如图，分别按下列要求在网格图中作出平移后的图形． (1)在图1中将三角形平移，点平移到点的位置，点，平移后的对应点分别是，． (2)在图2中平移线段，使之与线段组成一个三角形． 84．如图，网格中的每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，A，B，C，D，E，F，P均为格点，请按要求仅用一把无刻度的直尺作图． (1)将绕点P逆时针旋转得到，请画出； (2)将绕点旋转得到，请画出点和； (3)将格点线段平移至格点线段（点E，F的对应点分别为M，N），使得平分四边形的面积，请画出线段MN； 85．将沿边向右平移得到，如图． (1)若，则 度； (2)若的周长为15，，求四边形的周长． 86．如图，直线，一副三角尺（，，，）按如图①放置，点在直线上，点，均在直线上，且． (1)求的度数； (2)如图②，若将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（、的对应点分别为、）．设旋转时间为秒； ①在旋转过程中，若边，求的值； ②若在绕点旋转的同时，绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转（、的对应点分别为、），请直接写出时的值． 87．【知识初探】 王芳同学在探究“过直线外一点画已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线． (1)如图1，在纸上折出一条折痕，在外取一点P．过点P折叠纸片，使得点C的对应点落在上（如图2），记折痕与的交点为A，将纸片展开铺平．则折痕与的位置关系是______． (2)【深入探究】 接着，过点P将纸片进行折叠，使得点E的对应点落在直线上（如图3），再将纸片展开铺平（如图4）．此时王芳说，就是的平行线．王芳的说法正确吗？请予以证明． (3)【拓展延伸】 王伟同学改变折痕和点P的位置，按照王芳同学的方法折叠得到后（点B，C，K，F分别在线段，，，上），再画出和的角平分线、，、所在的直线交于点G，请求出的度数． 88．青岛灯光秀，尤其是浮山湾灯光秀，是青岛城市夜景的核心品牌，被官方和媒体广泛认可为集科技、文化与生态于一体的高水平城市光影工程．青岛利用浮山湾180度扇面地理优势，以53栋连续高层建筑为舞台，打造世界最长的滨海曲面灯光影视屏幕，通过水墨崂山、“五月的风”雕塑、胶东机场、青岛港、海洋生物等元素，展现青岛的开放、宜居与海洋文化．灯光秀中，灯带作为建筑立面亮化的基础单元，与投影、激光等技术融合，共同构成“以城为景、以天为幕”的巨型视觉叙事载体，展现青岛历史、科技与生态等多元主题．如图1，灯A位于灯带上，灯B位于灯带上．灯A射线自逆时针旋转至便立即回转，灯B射线自顺时针旋转至便立即回转．若灯A转动的速度是秒，灯B转动的速度是秒．假定两侧的灯带是平行的，即，且． (1)当时，灯A射线经过多少秒，第一次照射到灯B； (2)若，，且两灯同时转动．设两灯转动的时间为秒，若满足两灯的射线光束互相平行，求此时对应的t； (3)两灯以（2）中的速度同时转动，在灯B射线到达之前，若灯A射出的光束与灯B射出的光束交于点C． ①用含t的代数式表示； ②若D是上一点，且，请直接写出与的数量关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $