广东省广州实验中学2025-2026学年中考数学第二次模拟练习试卷

**基本信息** 立足中考二模定位，融合冬奥碳中和、中国结文化、高铁座椅等真实情境，梯度设计覆盖基础运算到综合探究，突出抽象能力、几何直观与推理意识考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/20|实数比较、科学记数法、图形变换|第2题以氢能源汽车数据考查科学记数法，体现科技前沿| |填空题|6/18|因式分解、概率、圆与切线|第9题结合中国结菱形求对角线，渗透文化传承| |解答题|9/82|统计分析、几何证明、函数综合|20题高铁座椅几何建模，23题折纸探究等腰三角形，24题抛物线综合考查运算与推理能力|

答案与解析 1.【答案】  【解析】解：由题知， ，，， 因为负数小于正数且所给四个数中只有是负数， 所以选项符合题意． 故选：． 先化简各选项，再根据实数大小比较规则：负数小于任意正数，即可判断出最小的数． 本题主要考查了实数大小比较、算术平方根及立方根，熟知实数大小比较的方法是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解：． 故选：． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解决问题的关键． 3.【答案】  【解析】解：选项中的图形是轴对称图形而不是中心对称图形，故不符合题意； B.选项中的图形不是轴对称图形而是中心对称图形，故不符合题意； C.选项中的图形是轴对称图形而不是中心对称图形，故不符合题意； D.选项中的图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意． 故选：． 根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 本题主要考查了中心对称图形的定义和轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 4.【答案】  【解析】解：选项与不是同类项，不能合并，错误； 选项，缺少，错误； 选项与不是同类项，不能合并，错误； 选项，计算正确。 故选：。 5.【答案】  【解析】解：， ， ． 故选：． 由平行线的性质推出，由邻补角的性质得到 本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出． 6.【答案】  【解析】解：， ， ，且， ， ， 将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上， ， ， ， 故选：． 由，得，而，则，求得，由折叠得，则，所以，即可得到问题的答案． 此题重点考查等腰三角形的性质、翻折变换的性质、三角形内角和定理、四边形的内角和等于等知识，求得是解题的关键． 7.【答案】  【解析】解：每辆大货车的货运量是吨， 每辆小货车的货运量是 吨， 依题意得：． 故选：． 由每辆大货车的货运量是吨，则每辆小货车的货运量是吨，根据用大货车运送吨货物所需车辆数与小货车运送吨货物所需车辆数相同，即可得出关于的分式方程． 本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 8.【答案】  【解析】解：， 函数在第二，四象限内的函数值随的增大而增大，且当时，，当时，， ， 故选：． 由反比例函数的增减性判断即可． 本题考查了反比例函数的增减性，反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟知反比例函数的性质． 9.【答案】  【解析】解：四边形是菱形，且边长为，对角线的长为， ， 根据勾股定理得，， ， 则另一条对角线的长为， 故选：． 根据菱形的性质解答即可 本题考查了菱形的性质，关键是菱形性质的熟练掌握． 10.【答案】  【解析】解：作点关于轴的对称点，连接、，与轴于点，过点作交于点，交轴于点，过点作交于点，如图： 则坐标为， ，，， 在中，， ， 由条件可知， ， 当点、、三点共线时，即，的值最小， 此时， 当点为与轴的交点时，的值最小，最小值为的长，即点与点重合， ，， ， 在中，， 即， ， 即的最小值为． 由条件可知， 在中，， 即， ， ， 点的坐标为． 使得的值最小时，点的坐标为，的最小值为． 故选：． 作点关于轴的对称点，连接、，与轴于点，过点作交于点，交轴于点，过点作交于点，根据对称的性质得出，，，根据特殊角的三角函数值求出，得出，结合垂线段最短得出当点为与轴的交点时，的值最小，最小值为的长，求出，根据特殊角的三角函数值求出，求出，求出，求出点的坐标，即可求解． 本题考查了胡不归问题，正确作出辅助线是关键． 11.【答案】  【解析】解：． 故答案为：． 根据提取公因式法分解因式即可． 本题考查了分解因式，熟练掌握该知识点是关键． 12.【答案】  【解析】解：代数式在实数范围内有意义， ， 解得：． 故答案为：． 根据分式的分母不为，二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是关键． 13.【答案】  【解析】解：列表如下： 由表知，共有种等可能结果，其中选出的两个数字之和是偶数的有种结果， 所以选出的两个数字之和是偶数的概率为， 故答案为：． 列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 本题主要考查列表法或树状图法求概率，解题的关键是利用列表或画树状图的方法列出所有等可能情况，并从中找到符合条件的结果数． 14.【答案】  【解析】解：与相切于点，  ，  ，  ，  ∽，  ，  ，  ，      故答案为：． 利用平行线的判定与性质求得，再利用直角三角形的边角关系定理解答即可． 本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键． 15.【答案】  【解析】【分析】 考查矩形的性质、直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质等知识，作合适的辅助线，恰当的利用题目中的已知条件，是解决问题的关键． 已知，可作辅助线构造直角三角形，设未知数，利用勾股定理可求出、，进而求出，再利用三角形相似和折叠的性质求出． 【解答】 解：过点作，交、分别于点、，则，， 由折叠得：，，， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得： ， 解得：，舍去， ，， ， 易证∽， ，即：， 解得：． 故答案为：． 16.【答案】   【解析】解：，是中线， ，， 是高， 的面积， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 故答案为：． ， ， ， ， ， 故答案为：． 由等腰三角形的性质推出，，由三角形的面积公式得到，判定是等边三角形，得到，求出，得到； 由平行线的性质推出，由，求出． 本题考查等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形的角平分线、中线和高，解直角三角形，关键是判定是等边三角形，掌握锐角的正切定义． 17.【答案】   【解析】解： ； ， ． 先计算负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂，再算加减即可； 先计算括号内分式的减法运算，再计算除法运算即可． 本题考查的是特殊角的三角函数值，分式的混合运算，零指数幂及负整数指数幂，熟知以上知识是解题的关键． 18.【答案】；；；   我认为该校七年级学生环保知识掌握较好，因为七年级这名学生成绩的平均数较高，且方差较小；答案不唯一，言之有理即可；   估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数为人  【解析】， ， 由统计图可发现八年级学生成绩波动性大， 所以； 故答案为：；；； 我认为该校七年级学生环保知识掌握较好，因为七年级这名学生成绩的平均数较高，且方差较小；答案不唯一，言之有理即可； ， 估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数为人． 根据平均数、中位数、方差的定义即可得解； 根据中位数、平均数、方差等方面分析即可； 由用样本估计总体，分别计算出七年级和八年级优秀的人数，进而得解． 本题主要考查了平均数、中位数、方差、用样本估计总体等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 19.【答案】证明过程见解答；   ．  【解析】证明：在矩形中，，， 在和中， ， ≌； 解：由知：≌， ， ， ． 根据矩形的性质得，，然后利用即可证明≌； 由≌，得，根据勾股定理即可求出的长． 本题考查矩形的性质，全等三角形的判定，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键． 20.【答案】解：过点作，    ，  ，  ，  ，  故答案为：；  当靠背可以绕点旋转至与小桌板支架重合的位置，  由知，  ，  故答案为：；  如图，过点作的垂线交于点，    在中，，  乘客水杯的最大高度约为．  【解析】过点作，由平行线的性质得出，由已知条件得出，进而可求出；  根据题意可知代入计算即可；  过点作的垂线交于点，通过解，求出，再加上即可求出答案． 本题主要考查了解直角三角形的相关应用，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 21.【答案】【小题】 设甲校每季度开设的个性化课程个，则乙校每季度开设的个性化课程个， 依据题意可列式． 解得 ， 经检验，是方程的根． 答：甲校每季度开设的个性化课程个，乙校每季度开设的个性化课程个． 【小题】 设甲校应提供个季度的服务，则乙校应提供个季度的服务， 依据题意可得． 解不等式得． 答：甲校至少应提供个季度的服务．   【解析】 详细解答和分析过程见【答案】．  详细解答和分析过程见【答案】． 22.【答案】如图，即为所求；  与重叠部分的面积的面积扇形的面积  【解析】解：如图，即为所求； 设交于点，连接． ，， ， ， ， ，， 是等边三角形， ， ， 与重叠部分的面积的面积扇形的面积． 作线段的垂直平分线，垂足为，以为圆心，为半径作即可； 设交于点，连接与重叠部分的面积的面积扇形的面积． 本题考查作图复杂作图，线段垂直平分线的性质，扇形的面积，等边三角形的判定和性质，含度的直角三角形，圆周角定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 23.【答案】四边形是矩形，， ， 由折叠性质得：， ， ， 是等腰三角形，   【解析】证明：四边形是矩形， ， ， 由折叠性质得：， ， ， 是等腰三角形， 解：过点作于点，如图所示： ， 是直角三角形， 矩形的长：宽：， ：：， 设，， 点是的中点， ， 又， 四边形是矩形， ， 由折叠性质得：， 在中，， 的值． 由矩形性质得，由此得，再由折叠性质得，进而得，据此可判定是等腰三角形； 过点作于点，依题意设，，根据点是的中点得，证明四边形是矩形得，再由折叠性质得，然后在中，根据正弦函数的定义可得的值． 此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，矩形的性质，等腰三角形的判定，解直角三角形，理解图形的翻折变换及其性质，矩形的性质，熟练掌握等腰三角形的判定，锐角三角函数的定义是解决问题的关键． 24.【答案】抛物线与轴有个交点，理由如下：   将代入抛物线表达式得：，判   别式，   则抛物线与轴有个交点   或  【解析】解：抛物线与轴有个交点，理由如下：  将代入抛物线表达式得：，判  别式，  则抛物线与轴有个交点；  根据题意得，抛物线的对称轴为，  点，在抛物线上，  抛物线的对称轴为，  ，  解得，  抛物线的表达式为，  抛物线的顶点坐标为，  当时，，  分情况讨论：  当时，最大值为，  ，  ，  令得：，  解得或，  由图象可知，抛物线在时，随增大而增大，  ，即时，符合题意；  当时，抛物线在上，随增大而减小，  在处，取得最大值，即，  在处，取得最小值，即，  ，  解得，  ，  此种情况不符合题意；  综上所述，的取值范围为；  由知，抛物线的表达式为，  则平移后抛物线的表达式为：，  抛物线的对称轴为，  令得：，  解得或，  、，  令得：，  ，  设直线的表达式为，  将和代入得：，  解得：，  直线的表达式为，  设，则、、，  分两种情况讨论：  当点在点的上方时，令直线交直线于点，    将代入得：，  ，  点在直线的右侧的第一象限内，  ，  ，，，，  ，，  直线将四边形的面积分成：的两个部分，  ，  ，  整理得：，  解得：或，  ，  ，  将代入得：，  ；  当点在点的上方时，设与交于点，    将代入得：，  解得，  ，  ，，  由题意得：，  ，  整理得：，  解得或不符合题意，舍去，  将代入得：，  ；  综上所述，点的坐标为或． 25.【答案】；；   ；理由见解析；  ．  【解析】解：≌， ， ， ， ，， ≌， ， 故答案为：；； ； 理由：如图，把绕点顺时针旋转得到，连接， ，，，，， ，， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ≌， ， 在中，， ； 正方形的边长为， ， ， 如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接， 由，可得． 设， ，， ， 根据勾股定理可得， 解得， ． 第14页，共18页 学科网（北京）股份有限公司 $广东省广州实验中学2025-2026学年度中考数学 第二次模拟练习试卷 (总分：120分考试时间：120分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用船笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时。将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1.下列实数中，最小的是() A.|-2 B.2 C.-V3 D.(-1)2 2.氢被认为是21世纪理想的清洁能源，在助力北京2022年冬奥会实现碳中和目标的过程中扮演了重要角 色.北京和延庆两大赛区，312辆氢燃料电池汽车自2月4日到2月14日，累计用氢约42040kg.将数据42040 用科学记数法表示，其结果是() A.42.04×103 B.42.04×104 C.4.204×104 D.4.204×105 3.下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是() ★区囍 4.下列运算正确的是() A.a2+a5=a7 B.(a+b)2=a2+b2 C.4mn-m=4n D.(-3a)2=9a2 5.如图，AB/CD,∠1=65°，则∠2的度数是() A.1059 B.115° C.125 D.135 第1页，共8页 6.如图，在△ABC中，AB=AC,D是边AB上的点，将△BCD沿直线CD折叠，点B的对应点E恰好落在边 AC上.若∠A=34°，则∠ADE的大小是() A.35° B.37° C.39° D.41° 7.某运输公司运输一批货物，己知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆 数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设大货车每辆运输x吨，则所列方程正确的是() A.75=50 ·x-5=x D空 8.若点A(-2,),B(-1,b),C(4,c)在反比例函数y=k<0)的图象上，则a,b,c的大小关系是() A.c>b>a B.b>a>c C.a>b>c D.b>c>a 9.中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴主体部分是一个菱形， 如图所示，若菱形ABCD的边长为5cm,对角线BD的长为8Cm,则另一条对角线AC的长为() A.4cm B.3v 2cm C.6cm D.8cm 10.在平面直角坐标系中，点A坐标为(3，√③)，在x轴上找点P,使得PA+P0的值最小，则此时的点P的 坐标及PA+P0的最小值分别为() A.(√3,0)：3 B.(2,0);3 C.(3,0):2 D.(2,0);2 第2页，共8页 二、填空题：本题共6小题，共18分。 11.因式分解：4m2+6m=一· 12,若代数式一在实数范围内有意义，则x的取值范围为一· 13.从3,4,5三个数字中任选两个，则选出的两个数字之和是偶数的概率为 14.如图，AB与⊙O相切于点B,连接B0,过点0作B0的垂线0C,交⊙O于点C,连接AC,交线段OB于点 D.若AB=3,0C=2,则tanA的值为· 0 D 15.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=V5,E为CD边上一点，将△BCE沿BE折叠，使得C落到矩形内 点F的位置，连接AF,若tan-BAF=2,则CE=一 B 16.如图，△ABC中，AD是中线，BE是高，AD,BE交于点F,AD=BE,AB=AC (1)LAFE=; (2)过点F作FH/AB交AC于点H,若EH=2V3,则EF=一· 三、解答题：本题共9小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题6分) (1)计算：(-为)-1-4sin60°-（π+2025）°+V12: ②计算：1-为) 第3页，共8页 18.(本小题9分) 为了增强学生的环保意识，普及环保知识，某校在“世界环境日”当天采取自愿报名的方式组织了环保知 识竞赛.竞赛结束后，从七、八年级参赛学生的成绩（单位：分，满分100分）中各随机抽取了10名学生的成 绩，并进行整理，绘制了如下统计图表： 七年级10名学生成绩统计图 八年级10名学生成绩统计图 成绩分 成绩分 55 100 10 978100 100 97 -99 95 87.90 90 90 90 88 85 $ ● 80 0 123 45678910 0 12345678910 平均数中位数方差 七年级a 95 52 八年级92.5 b s经 根据以上信息，解答下列问题： (1)表格中的a=,b=一，S一，S(慎“>”“<”或“=”) (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级哪个年级的学生环保知识掌握较好？请说明理由： (3)该校七年级200名学生和八年级160名学生参加了本次环保知识竞赛，得分90分及以上为“优秀”等 级，请估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数， 19.(本小题8分) 如图，在矩形ABCD中，点E,F在边BC上，连接AE,DF,∠BAE=∠CDF (1)求证：△ABE≌△DCF, (2)当AB=12,DF=13时，求BE的长. 第4页，共8页 20.(本小题9分) 如图1是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图2，支架BC连接靠背AB和小桌板CD, 点E是杯托处，此时靠背AB垂直于地面，小桌板CD平行于地面，测得CE=15cm,∠ABC=37° (1)在图2中，∠BCD=一—一： (2)靠背AB绕点B旋转至与小桌板支架BC重合的位置，如图3所示，杯托E处凹陷深度为0.7cm.若乘客水杯 FG竖直放在杯托E处(F与E重合，水杯FG宽度不计)，出于安全考虑，水杯顶端点G到靠背AB的距离不得小 于0.6cm. ①LACD= ②求乘客水杯的最大高度.（参考数据：tam37°≈是tan53°≈拿，sin37°≈爱，sim53°≈争 A A -D 龙D E(F) B 图1 图2 图3 21.(本小题8分) 为丰富学生课余生话，某区计划让甲、乙两校作为试点校，开设个性化课程。已知乙校每季度开设的个性 化课程数是甲校的2倍，且甲、乙两校分别完成240个课程数时，甲校比乙校多用了3个季度。 (1)求甲、乙两校每季度分别开设的个性化课程数： (2)已知甲校提供1个季度的个性化课程服务会产生2000元材料费用，乙校提供1个季度的个性化课程服务 会产生3000元材料费用。现计划由甲、乙两校共同提供12个季度的个性化课程服务，每季度只需要一所学 校承担，若总费用不超过31000元，则甲校至少应提供多少个季度的服务？ 第5页，共8页 22.(本小题8分) 如图，在Rt△ABC中，∠C=90° (1)尺规作图：作⊙O,使得BC为直径（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）： (2)在(1)的条件下，若LABC=60,AB=4,求⊙0与△ABC重叠部分的面积. 23.(本小题8分) 在一堂“折纸与数学”的实践探究课上，每个小组分到若干张A4纸进行折纸， 下面给出了“遥遥领先”小组利用半张A4纸（矩形ABCD的长：宽=2√2：1）折特殊三角形的方法，我们一 起来探究其中的数学原理. A H D D B G C 图1 图2 (1)折法一：如图1，将矩形ABCD的顶点D与BC边上的任意一点G重合对折，折痕为EF.求证：△EFG是等 腰三角形， (2)在折法一的条件下，若E是AD的中点，求sinLEGF的值. 第6页，共8页 24.(本小题13分) 综合与探究 【问题情景】 如图1，抛物线l1:y=-x2+bx+2与y轴交于点A. 【猜想证明】 (1)请你判断抛物线1与x轴有几个交点，并说明理由： 【深入探究】 (2)点(-4，n),(2,n)在抛物线l1上，当t≤x≤0时，记函数y=-x2+bx+2的最大值和最小值分别为y大 和y小，且y大-y小=1，求t的取值范围； 【拓展延伸】 (3)在(2)的条件下，如图2，抛物线2由抛物线l1先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得， 且l2与x轴分别交于点B,C,与y轴交于点D,直线l为l2的对称轴.点P为l2上一点，且点P在直线的右侧的 第一象限内，过点P作PMIl于点M,作PN/几交直线CD于点N,过点N作NQIl于点Q.当直线CD将四边形 PMQN的面积分成1：2的两个部分时，求此时点P的坐标. y D 图1 图2 第7页，共8页 25.(本小题13分) 【知识技能】 (1)如图1，点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上，LEAF=45,连接EF,试猜想EF,BE,DF之间 的数量关系 梳理解答思路并完成填空， A.旋转法：把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与 AD重合，则BE=DG,∠ADG=∠B=90°，可得∠FDG= 易证△AFG≌， 故EF, 180°，即F,D,G三点共线. BE,DF之间的数量关系为 B.截长补短法：延长CD至点G,使得DG=BE,由LB三 ∠ADG=90°，AB=AD,即△ABE≌△ADG,可以得到AE= AG 【数学理解】 (2)如图2，在△ABC中，∠BAC=90,AB=AC,点D,E均在边BC上，且LDAE=45°，试猜想BD, DE,EC之间的数量关系，并说明理由。 【拓展探索】 (3)如图3，正方形ABCD的边长为V2,∠EAF=45,连接BD,分别交AE,AF于点M,N.若M恰好为线段 BD上靠近点B的三等分点，求线段MN的长. B B A D E N M D G B E 图1 图2 图3 第8页，共8页 广东省广州实验中学2025-2026学年度中考数学 第二次模拟练习试卷 （总分：120分 考试时间：120分钟） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列实数中，最小的是(    ) A. B. C. D. 2.氢被认为是世纪理想的清洁能源，在助力北京年冬奥会实现碳中和目标的过程中扮演了重要角色．北京和延庆两大赛区，辆氢燃料电池汽车自月日到月日，累计用氢约将数据用科学记数法表示，其结果是(    ) A. B. C. D. 3.下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 5.如图，，，则的度数是(    ) A. B. C. D. 6.如图，在中，，是边上的点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上若，则的大小是(    ) A. B. C. D. 7.某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输吨货物，且大货车运输吨货物所用车辆数与小货车运输吨货物所用车辆数相同，设大货车每辆运输吨，则所列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 8.若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 9.中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴主体部分是一个菱形，如图所示，若菱形的边长为，对角线的长为，则另一条对角线的长为(    ) A. B. C. D. 10.在平面直角坐标系中，点坐标为，在轴上找点，使得的值最小，则此时的点的坐标及的最小值分别为(    ) A. ； B. ；C. ；D. ； 二、填空题：本题共6小题，共18分。 11.因式分解：        ． 12.若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为        ． 13.从，，三个数字中任选两个，则选出的两个数字之和是偶数的概率为      ． 14.如图，与相切于点，连接，过点作的垂线，交于点，连接，交线段于点若，，则的值为          ． 15.如图，在矩形中，，，为边上一点，将沿折叠，使得落到矩形内点的位置，连接，若，则          ． 16.如图，中，是中线，是高，，交于点，，．         ； 过点作交于点，若，则        ． 三、解答题：本题共9小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 计算：； 计算：． 18.本小题分 为了增强学生的环保意识，普及环保知识，某校在“世界环境日”当天采取自愿报名的方式组织了环保知识竞赛竞赛结束后，从七、八年级参赛学生的成绩单位：分，满分分中各随机抽取了名学生的成绩，并进行整理，绘制了如下统计图表： 平均数 中位数 方差 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： 表格中的______，______，______，填“”“”或“”； 根据以上数据，你认为该校七、八年级哪个年级的学生环保知识掌握较好？请说明理由； 该校七年级名学生和八年级名学生参加了本次环保知识竞赛，得分分及以上为“优秀”等级，请估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数． 19.本小题分 如图，在矩形中，点，在边上，连接，，． 求证：≌． 当，时，求的长． 20.本小题分 如图是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图，支架连接靠背和小桌板，点是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，． 在图中，______ ； 靠背绕点旋转至与小桌板支架重合的位置，如图所示，杯托处凹陷深度为若乘客水杯竖直放在杯托处与重合，水杯宽度不计，出于安全考虑，水杯顶端点到靠背的距离不得小于． ______ ； 求乘客水杯的最大高度参考数据：，， 21.本小题分 为丰富学生课余生活，某区计划让甲、乙两校作为试点校，开设个性化课程。已知乙校每季度开设的个性化课程数是甲校的倍，且甲、乙两校分别完成个课程数时，甲校比乙校多用了个季度。 求甲、乙两校每季度分别开设的个性化课程数； 已知甲校提供个季度的个性化课程服务会产生元材料费用，乙校提供个季度的个性化课程服务会产生元材料费用。现计划由甲、乙两校共同提供个季度的个性化课程服务，每季度只需要一所学校承担，若总费用不超过元，则甲校至少应提供多少个季度的服务？ 22.本小题分 如图，在中，． 尺规作图：作，使得为直径请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法； 在的条件下，若，，求与重叠部分的面积． 23.本小题分 在一堂“折纸与数学”的实践探究课上，每个小组分到若干张纸进行折纸． 下面给出了“遥遥领先”小组利用半张纸矩形的长：宽折特殊三角形的方法，我们一起来探究其中的数学原理． 折法一：如图，将矩形的顶点与边上的任意一点重合对折，折痕为求证：是等腰三角形． 在折法一的条件下，若是的中点，求的值． 24.本小题分 综合与探究 【问题情景】 如图，抛物线：与轴交于点． 【猜想证明】 请你判断抛物线与轴有几个交点，并说明理由； 【深入探究】 点，在抛物线上，当时，记函数的最大值和最小值分别为和，且，求的取值范围； 【拓展延伸】 在的条件下，如图，抛物线由抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度所得，且与轴分别交于点，，与轴交于点，直线为的对称轴点为上一点，且点在直线的右侧的第一象限内，过点作于点，作交直线于点，过点作于点当直线将四边形的面积分成：的两个部分时，求此时点的坐标． 25.本小题分 【知识技能】 如图，点，分别在正方形的边，上，，连接，试猜想，，之间的数量关系． 梳理解答思路并完成填空． A.旋转法：把绕点逆时针旋转至，可使与重合，则，，可得，即，，三点共线． 易证≌______，故EF，，之间的数量关系为______． B.截长补短法：延长至点，使得，由，，即≌，可以得到． 【数学理解】 如图，在中，，，点，均在边上，且，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 【拓展探索】 如图，正方形的边长为，，连接，分别交，于点，若恰好为线段上靠近点的三等分点，求线段的长． 第8页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $