10.2 《分式的基本性质》分层讲义 2025--2026学年苏科版八年级数学下册

分子分母的“变形记”——分式基本性质深度探秘 ——苏科版数学八年级下册 第10章第2节《分式的基本性质》分层讲义 一、知识导航 1. 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。 用字母表示为： = ； = ，其中 A，B，C 是整式，且 C ≠ 0。 【核心要点】 【特别提醒】 （1）分式的基本性质是分式变形的理论依据，约分和通分均由此导出。 （2）运用基本性质时，分子分母必须同时进行相同的运算。 2. 约分与最简分式 约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分。 最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。 约分的一般步骤： （1）找出分子与分母的公因式； （2）分子、分母同时除以这个公因式； （3）确认结果是否为最简分式（分子分母是否还有公因式）。 特别注意：若分子或分母是多项式，需先分解因式，再约分。 3. 通分与最简公分母 通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。 最简公分母：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母。 确定最简公分母的步骤： （1）取各分母系数的最小公倍数； （2）取各分母中所有字母（或因式）的最高次幂； （3）将以上部分相乘，即得最简公分母。 4. 分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数。 常用变形： = （分子分母同时变号，分式的值不变） = - （分式本身加负号，等于取相反数） =（分子分母同时去掉负号） 二、新知讲授 题型一：分式的基本性质辨析——理解“同乘同除，非0整式” 解法口诀：分子分母同乘除，零外整式是前提。同乘同除值不变，加加减减不成立！ ◆ 例题 1（基础）——基本性质正误判断 题目：（2025江苏南京期中）下列等式一定成立的是（ ） A. =　　B. = C. =　D. = 【解析】 根据分式的基本性质，分子分母必须乘（或除以）同一个不等于0的整式。 A项：分子加1，分母加1，不是同乘同除，不恒等； B项：分子平方，分母平方，不是同乘同除，不恒等； C项：分母减1，分子不变，不恒等； D项：分子分母同时乘以 y（y ≠ 0），符合基本性质，恒等。 答案：D ▲ 变式训练 1-1 下列从左到右的变形中，正确的是（ ） A. = B. = C. = （m是整式）　D. = （x ≠ 0） 【答案】D 【解析】A项分子分母加同一个数，不符合；B项分子乘a，分母乘b，不是“同一个”；C项分子分母同乘m（需注意m ≠ 0时成立）；D项分子分母同除以x（x ≠ 0），符合基本性质。 ▲ 变式训练1-2 （2025江苏泰州姜堰期中）下列各式中，从左到右的变形正确的是（ ） A. = 　　B. = C. = 　D. = 【答案】A 【解析】A项分子分母同乘c（c ≠ 0），符合基本性质；B项分子乘a，分母乘b，不是“同一个”；C项分母加1，分子不变；D项分子分母同除以c（需c ≠ 0），若c ≠ 0则成立。 ▲ 变式训练1-3 下列从左到右的变形中，一定正确的是（ ） A.=　　B. = C. = 　　D. = 【答案】C 【解析】C项分子分母同乘2，符合基本性质；A项分子分母分别平方，非同时乘同一个整式；B项分子分母同时加m，非乘除；D项分母乘k，分子不变。 题型二：分式的约分——找出公因式，化简到最简 解法口诀：约分先分（因式分解）后约，公因式全提走。多项式要先分组，最简分式是追求！ ◆ 例题 2（基础）——分式的约分 题目：化简分式 的结果是（ ） A. x+2　　B. x-2　　C. x²-4　　D. 【解析】 分子 x²-4 可用平方差公式因式分解：x²-4 = (x+2)(x-2)。 原式 = 分子分母有公因式 (x+2)，约去（需 x ≠ -2）。 约分后得 x-2。答案：B ▲ 变式训练 2-1 （2025宿迁宿城期末）下列分式中，属于最简分式的是（ ） A. 　　B. 　C. 　　D. 【答案】C 【解析】A项 = （可约分）；B项 = = （可约分）；C项分子分母无公因式，是最简分式；D项 =（可约分）。 ▲ 变式训练2-2 约分：的结果是（ ） A. 　B. 　　C. 　D. 【答案】D ▲ 变式训练2-3 下列约分正确的是（ ） A. = a³　　B. = C. = a+b　　D. 【答案】D 题型三：通分与最简公分母——统一分母，铺平计算路 解法口诀：通分先定公分母，系数取最小公倍数，字母取最高次幂，乘积即是最简公分母！ ◆ 例题 3（中等）——最简公分母的确定 题目：（2025淮安清江浦期末）分式 和 的最简公分母是__________。 【解析】 系数：2 和 3 的最小公倍数是 6。 x 的最高次幂：分母中有 x² 和 x，取 x²。 y 的最高次幂：分母中有 y 和 y²，取 y²。 最简公分母 = 6x²y²。 答案：6x²y² ▲ 变式训练 3-1 分式 和 的最简公分母是__________。 【答案】 x(x+1)(x-1) 【解析】x²-1 = (x+1)(x-1)；x²+x = x(x+1)。各因式的最高次幂：x 最高1次，x+1 最高1次，x-1 最高1次。最简公分母 = x(x+1)(x-1)。 ▲ 变式训练3-2 通分：与 【答案】 = ； = ▲ 变式训练3-3 分式 ，，的最简公分母为__________。 【答案】 12a²b² 【解析】系数 3, 4, 6 的最小公倍数为 12；a 的最高次幂 a²；b 的最高次幂 b²。最简公分母 = 12a²b²。 题型四：分式的系数化整与符号处理——把分式变得“整洁” 解法口诀：系数化整乘公倍，符号处理两两变。分子分母同处理，分式整洁又美观。 ◆ 例题 4（中等）——系数化整 题目：（2025南通海安模拟改编）不改变分式的值，将分式 中分子与分母的各项系数化为整数。 【解析】 0.5、1、0.2、0.6 这四个数扩大为整数的公倍数为 10。 分子分母同时乘以10： 原式 = = = 最终结果： 【方法总结】 分子分母各项系数为小数（或分数）时，先找各系数化为整数所需的最小公倍数，分子分母同乘该公倍数，再化简。 ▲ 变式训练 4-1 不改变分式的值，把分式中分子、分母的各项系数都化为整数，结果为__________。 【答案】 ▲ 变式训练4-2 不改变分式的值，使分式 的分子与分母的最高次项的系数为正数。 【答案】 题型五：分式值的条件变化——字母放大缩小的规律 解法口诀：字母共乘k倍，代入分式看结果。分子分母同次幂，值的倍数在k上找！ ◆ 例题 5（提优）——字母倍数变化对分式值的影响 题目：（2025镇江句容期末）若将分式 中的 a 和 b 都扩大到原来的3倍，则分式的值（ ） A. 不变　　B. 扩大到原来的3倍　　C. 缩小到原来的　　D. 缩小到原来的 【答案】A。 变式训练 5-1 （2025江苏徐州新沂月考改编）把分式的分子、分母中的 a，b 都扩大为原来的2倍，则分式的值（ ） A. 不变　　B. 缩小为原来的　　C. 扩大为原来的4倍　　D. 扩大为原来的2倍 【答案】B 变式训练5-2 （2025南通海安期末）若分式 的值为8，当 x，y 都扩大为原来2倍后，所得分式的值是__________。 【答案】 4 变式训练5-3 如果把分式 中的 x 和 y 都扩大到原来的5倍，那么分式的值扩大到原来的多少倍？ 【答案】 5倍 题型六：创新拓展——比例设k法与整体代入 解法口诀：连等比例设参数k，化多元为一元。条件关系巧变形，整体代入思路宽！ ◆ 例题 6（提优）——比例设k法求值 题目：（2025江苏扬州期中）已知 ，求分式 的值。 【解析】 【比例设k法】 设 = k（k ≠ 0）， 则 x = 2k，y = 3k，z = 4k。 原式 == ▲ 变式训练 6-1已知 ，求 的值。 【答案】 【解析】设 = k，则 x=3k，y=4k，z=5k。原式 = = ▲ 变式训练6-2 已知 - = 4，求分式的值。 【答案】 【解析】由 - = 4，得 = 4，推出 b-a = 4ab，推出 a-b = -4ab。 原式分子 = (a-b)-2ab = -4ab-2ab = -6ab。 原式分母 = 2(a-b)+7ab = 2(-4ab)+7ab = -8ab+7ab = -ab。 原式 = = 6。 ▲ 变式训练6-3 已知 x²-3x+1=0，求 x² + 的值。 【答案】 7 【解析】由 x²-3x+1=0，x ≠ 0，两边除以 x：x - 3 + = 0， 即 x + = 3。x² + = (x+)² - 2 = 9 - 2 = 7。 三、分层达标检测 ★ 基础巩固 1. 下列从左到右的变形一定正确的是（ ） A. 　　B. = C. = 　 D. = 2. （2025宿迁宿城期末）下列分式中，属于最简分式的是（ ） A. 　B. 　　C. 　　D. 3. 约分：的结果是__________。 4. 不改变分式的值，使分式的分子与分母都不含“-”号。 ★★ 能力进阶 5. （2025南京金陵中学河期末）下列从左到右的变形中，正确的是（ ） A. = 　B. = C. = 　　D. = 6. （2025南通海安模拟）不改变分式的值，将分式中分子与分母的各项系数化为整数，化简结果正确的是（ ） A. 　　B. 　　C. 　D. 7. 已知 = ，求的值。 ★★★ 思维拓展 8. （2025江苏扬州期中）阅读下列材料，并完成相应任务。 〖问题提出〗 已知= = ，求分式的值。 〖思路分析〗 根据题意可设= = = k，于是 x=2k，y=3k，z=4k，将它们分别代入分式，即可通过化简求得分式的值。 〖任务〗 （1）按以上方法，求该分式的值。 （2）已知 x，y，z 满足= = ，xyz ≠ 0，求的值。 四、答案解析 基础巩固 1. B【解析】A项分子分母同时加1，不是同乘同除；B项分子分母同乘c（需c ≠ 0时成立），严格来说是“不一定成立”，但四个选项中B最接近性质（c ≠ 0时成立）；C项分子分母分别平方，非同乘同除；D项分母乘c，分子不变。 2. C【解析】A项 =（可约分）；B项 = （可约分）；C项分子分母无公因式，是最简分式；D项 = （可约分）。故选C。 3. 4. 【解析】分子分母同时变号或同时去掉负号：(-a)/(-b) = a/b。 能力进阶 5. B【解析】A项需m ≠ 0才成立；B项分子分母同除以a（a ≠ 0）= ，正确；C项分子分母分别平方，不恒等；D项看似同乘k，仍要求k ≠ 0。故选B。 6. C 【解析】小数化为整数：0.3、0.5、0.2、1（注：1即整数）。同时乘10：分子 = 10(0.3x+0.5) = 3x+5；分母 = 10(0.2x-1) = 2x-10。结果： 。故选C。 7. -5【解析】设 a=2k，b=3k（k ≠ 0）。原式 = = -5。 思维拓展 8. （1）　　（2） 【解析】 （1）设 x=2k, y=3k, z=4k（k≠0），则 = = 　。 （2）设 x=3k, y=4k, z=5k（k≠0），则= 五、解题方法口诀大全 教师寄语： 如果说分式的概念是走进这片新世界的“入场券”，那么分式的基本性质就是这片世界运行的“基本法”。从约分到通分，从符号处理到恒等变形，无一不以此为基础。掌握了分式的基本性质，从此分式运算不再是难题。希望同学们勤加练习，在分式的世界里越走越稳，越走越远！ 学科网（北京）股份有限公司 $