10.3分式的加减讲义 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

本讲义聚焦分式加减运算核心知识点，通过类比分数加减法则构建学习支架，先探究同分母分式分母不变分子相加减的法则，再深入异分母分式通分转化（强调最简公分母确定及分母多项式因式分解），涵盖结果化简与特殊情况处理，为分式方程学习奠定基础。 资料以“类比探究”为主线，课前预习激活旧知，知识探秘环节通过分数到分式的推理过程培养学生运算能力与推理意识，经典例题与分层练习（基础过关、强化提优）助力课中教学实施与课后查漏补缺，突出分子符号处理等易错点，提升数学表达的严谨性。

2025-2026学年苏科版八年级数学下 《第十章分式第三节分式的加减》讲义 一．学习目标 ( 1.   理解并掌握同分母、异分母分式的加减运算法则，能熟练运用法则进行分式的加减运算，能将运算结果化为最简分式或整式，掌握分母是多项式的分式加减运算步骤。 2.通过类比分数的加减运算法则，经历分式加减法则的探究过程，体会类比、转化的数学思想，提升代数运算能力和逻辑推理能力。 3.   在自主探究、合作交流中感受数学运算的严谨性，培养认真审题、规范计算、及时检查的学习习惯，增强解决数学问题的信心。 4.   能运用分式的加减运算解决简单的代数化简问题，为后续分式方程的学习奠定基础。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.   同分母分式的加减运算法则及运算，核心是分母不变，分子直接相加减，运算后及时合并同类项、约分。 2.   异分母分式的加减运算法则及运算，核心是先通分，将异分母分式转化为同分母分式，再按同分母分式加减法则计算，通分的关键是准确确定最简公分母。 3.   分式加减运算的结果化简，确保结果为最简分式或整式，无公因式、无多余括号。 （二）难点 1.   异分母分式通分时，准确确定多个分式的最简公分母，尤其是分母为多项式时，需先分解因式再找最简公分母，容易出现公分母找错、漏乘项的问题。 2.   分子是多项式时，相加减需将分子整体加括号，避免出现符号错误，尤其是减法运算中，括号内每一项都要变号，是学生易出错的核心点。 3.   分式加减运算与因式分解、约分的综合运用，能灵活处理分母互为相反数、整式与分式相加减的特殊情况，规范运算步骤。 4.   区分分式加减与分式乘除的运算规则，避免混淆运算法则导致计算错误，熟练掌握不同运算的解题思路。 ) 三．课前预习 1.同分母分数相加减，______不变，_______相加减，结果要化为_________。 2.异分母分数相加减，先______，化为______分数，再按照______分数加减法则进行计算。 3.类比分数加减，同分母分式相加减，_________不变，_________相加减，用字母表示为：±=____。 4. 异分母分式相加减，先______，化为______分式，再按照______分式加减法则计算，用字母表示为：±=______。 5.把几个异分母分式化为与原来分式相等的______分式的过程，叫做分式的通分，通分的关键是确定______。 6.整式与分式相加减时，把整式看作分母是______的分式，再按照异分母分式加减法则计算。 四．知识探秘 探究一：同分母分式的加减法则 1.情境导入： 回顾小学同分母分数加减法， 计算+=、-==， 回忆运算法则：分母不变，分子相加减，结果约分。 2.类比探究： 尝试计算分式+、-。 计算：+，分母都是a，和同分母分数加法一致，分母保持不变，分子1和2相加 得到+=； 计算：-，分母都是x，分母不变，分子3减1，得到=。 3.法则总结： 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。 字母表达式：±=（a≠0） 4.注意事项： （1）分子相加减时，若分子是多项式，必须将分子用括号括起来，避免符号错误； （2）运算后，分子合并同类项，若分子分母有公因式，要进行约分，化为最简分式或整式。 探究二：异分母分式的加减法则 1.情境导入： 回顾异分母分数加减法，计算+、-，核心步骤是先通分，再计算。 2.类比探究： 尝试计算分式+、-。 计算：+，分母不同，先找最简公分母ab，通分后变为+，转化为同分母分式，再按法则计算得； 计算：-，最简公分母是2x，通分后变为-，计算得。 3.法则总结： 异分母分式相加减，先通分，化为同分母分式，再按同分母分式加减法则计算。 字母表达式：±= 4.通分关键： 确定最简公分母- 分母是单项式：取各分母系数的最小公倍数，相同字母取最高次幂，单独字母保留； （1）分母是多项式：先对分母分解因式，再按单项式方法找最简公分母； （2）分母互为相反数：通过提取负号，转化为同分母分式，简化运算。 5.完整运算步骤： ① 观察分母，判断是同分母还是异分母； ② 异分母分式先分解因式、找最简公分母、通分； ③ 按法则进行分子加减运算，多项式分子加括号； ④ 合并分子同类项，约分得到最简结果。 探究三：特殊情况的分式加减 1.分母互为相反数：如+，将化为-，转化为同分母分式计算； 2.整式与分式加减：如2+，将2看作，再按异分母分式加减计算。 五．经典例题 例1. 计算 （1） （2） （3） 例2. 已知，求A、B的值． 例3. 先化简，再求值:，其中． 例4. 请你先将分式化简，再选取一个你喜欢且使原式有意义的数代入并求值. 六．基础过关 （一）．选择题 1. 化简结果正确的是（　　） A. X B. 1 C. D. 2. 化简的结果是（ ） A. m+n B. n﹣m C. m﹣n D. ﹣m﹣n 3. 在下面的计算中，正确的是(　　) A. B. C. D. 4. 若，则M为（       ） A．0 B． C． D． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 7. 分式x-y+的值为（ ） A. B. x+y C. D. 以上都不对 8. 如果分式，那么的值( ) A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 9. 化简等于（ ） A. B. C. D. 10. 计算得（ ） A. B. C. D. 2 （二）．填空 11. 计算：=_____． 12. 计算：＝________ 13. 计算 =_____________ 14. 已知x－y=xy,则_______________. 15. =________. 16. 与的最简公分母是__________ 17. 的和是________ 18. ___________ 19. 分式 ____________ 20.已知x﹣=4，则x2﹣4x+5的值为　　． （三）．解答题 21．化简： (1)＋；　　(2)－；　(3)－. 22．化简求值：＋＋，其中＝. 23. 阅读理解：若＝＋.试求M、N的值． 解：等式右边通分，得＝，依题意，得，解得.依照上题解法，解答下题． 已知＝＋.试求A、B的值． 24.已知A＝，B＝. (1)计算：A＋B和A－B； (2)若已知A＋B＝2，A－B＝－1，求x、y的值． 25.从甲地到乙地有两条路，每条路都是6km，其中第一条路是平路，第二条路有3km的上坡路、3km的下坡路． 小丽在上坡路上的骑车速度为v（km/h），在平路上的骑车速度为2v（km/h），在下坡路上的骑车速度为3v（km/h）． （1）当走第二条路时，她从甲地到乙地需要多少时间？ （2）她走哪条路花费的时间少？少多长时间？ 26．已知：， （1）若A=，求m的值； （2）当a取哪些整数时，分式B的值为整数； （3）若a＞0，比较A与B的大小关系． 七．知识清单 1.同分母分式相加减，______不变，把______相加减。 2.同分母分式加减法则用式子表示为：±==______（a≠0）。 3.异分母分式相加减，先______，化为______分式，再按照同分母分式加减法则进行计算。 4.把几个异分母分式化为与原来分式相等的______分式的过程，叫做分式的通分。 5.异分母分式通分时，通常取各分母所有因式的______次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做______。 6.异分母分式加减法则用式子表示为：±=______（a≠0，c≠0）。 7.分式加减运算的结果必须化为______分式或整式。 8.分子相加减时，如果分子是多项式，要先给分子加上______，再进行运算。 9.若分式的分母是多项式，通分前要先对分母进行______，再确定最简公分母。 10.整式与分式相加减时，可把整式看作分母为______的分式，再进行通分计算。 11.分式加减运算后，若分子、分母有公因式，要进行______，化为最简形式。 12.计算异分母分式加减的核心步骤是：先找最简公分母完成______，再进行同分母分式的加减运算。 八．强化提优 （一）选择题 1. 计算的结果是（       ） A．3 B． C． D． 2. 计算，结果正确的是（       ） A．1 B． C． D． 3. 下若，则分式的值为( ) A. 0 B. 1 C. －1 D. －2 4. 计算得（ ） A. B. C. D. 2 5．计算＋的结果是(　　) A． B． 　C．1 D．x＋1 6．下列计算中正确的是(　　) A．＋＝ B．＋＝ C．＋＝ D．＋＝0 7．化简＋的结果是(　　) A．a＋b B．a－b C． D． 8. 化简的结果是（       ） A． B． C． D． 9. 化简﹣的结果等于为（　　） A．﹣a﹣2 B．﹣ C． D． 10. 若x=－1，y=2，则 的值等于 A． B． C． D． （二）填空题 11. 设，则=_____. 12.计算：x﹣y+=　　       . 13.化简：=　      　． 14. 计算：＋＝__ 15. 计算： ． 16. 已知，则实数A B 17.计算： =　　     　　. 18.计算：=　            . 19.已知沪宁高速公路全长274 km，如果一辆货车的速度是a km/h，一辆客车的速度是b km/h（b＞a），那么从南京到上海，客车将比货车少用　　      h． 20. 观察下列各式：，…．请利用你观察所得的结论，化简代数式（且n为整数），其结果是 ． （三）解答题 21. 计算： （1）+； （2）-+. （3） （4） 22. （8分）按要求答题 （1）已知a2－a＋1＝2，求＋a－a2的值． （2）.已知＋＝3，求的值． 23．已知分式M=+． （1）若x=6且分式M的值等于4，求y的值； （2）若y=4，当x取哪些整数时，M的值是整数？ 24．对于两个非零实数x、y，定义一种新的运算：． (1)若，求的值； (2)试判断“*”运算是否满足交换律，即是否成立？ 25. 阅读材料，回答下列问题： 要比较a与b的大小，可先求出a与b的差，再看这个差是正数、负数还是零. 由此可见，要判断两个代数式值的大小，只要考虑它们的差就可以了. 已知甲、乙两人两次同时在同一粮店购买粮食（假设两次购买粮食的单价不相同），甲每次购买粮食100kg，乙每次购买粮食用去100元. （1）假设x，y分别表示两次买粮食的单价（单位：元/kg）. ①试用含x，y的代数式表示：甲两次购买粮食共需付款 元； ②乙两次共购买 kg的粮食； ③若甲两次购粮的平均单价为每千克Q1元，乙两次购粮的平均单价为每千克Q2元，则Q1= ，Q2= ； （2）规定：谁两次购粮的平均单价低，谁的购粮方式就更合算. 请你判断甲、乙两人的购粮方式中哪一个更合算. 并说明理由. 26．探索： （1）如果=3+，则m=　　； （2）如果=5+，则m=　　； 总结：如果=a+（其中a、b、c为常数），则m=　　； 应用：利用上述结论解决：若代数式的值为整数，求满足条件的整数x的值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年苏科版八年级数学下 《第十章分式第三节分式的加减》讲义 一．学习目标 ( 1.   理解并掌握同分母、异分母分式的加减运算法则，能熟练运用法则进行分式的加减运算，能将运算结果化为最简分式或整式，掌握分母是多项式的分式加减运算步骤。 2.通过类比分数的加减运算法则，经历分式加减法则的探究过程，体会类比、转化的数学思想，提升代数运算能力和逻辑推理能力。 3.   在自主探究、合作交流中感受数学运算的严谨性，培养认真审题、规范计算、及时检查的学习习惯，增强解决数学问题的信心。 4.   能运用分式的加减运算解决简单的代数化简问题，为后续分式方程的学习奠定基础。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.   同分母分式的加减运算法则及运算，核心是分母不变，分子直接相加减，运算后及时合并同类项、约分。 2.   异分母分式的加减运算法则及运算，核心是先通分，将异分母分式转化为同分母分式，再按同分母分式加减法则计算，通分的关键是准确确定最简公分母。 3.   分式加减运算的结果化简，确保结果为最简分式或整式，无公因式、无多余括号。 （二）难点 1.   异分母分式通分时，准确确定多个分式的最简公分母，尤其是分母为多项式时，需先分解因式再找最简公分母，容易出现公分母找错、漏乘项的问题。 2.   分子是多项式时，相加减需将分子整体加括号，避免出现符号错误，尤其是减法运算中，括号内每一项都要变号，是学生易出错的核心点。 3.   分式加减运算与因式分解、约分的综合运用，能灵活处理分母互为相反数、整式与分式相加减的特殊情况，规范运算步骤。 4.   区分分式加减与分式乘除的运算规则，避免混淆运算法则导致计算错误，熟练掌握不同运算的解题思路。 ) 三．课前预习 1.同分母分数相加减，______不变，_______相加减，结果要化为_________。 2.异分母分数相加减，先______，化为______分数，再按照______分数加减法则进行计算。 3.类比分数加减，同分母分式相加减，_________不变，_________相加减，用字母表示为：±=____。 4. 异分母分式相加减，先______，化为______分式，再按照______分式加减法则计算，用字母表示为：±=______。 5.把几个异分母分式化为与原来分式相等的______分式的过程，叫做分式的通分，通分的关键是确定______。 6.整式与分式相加减时，把整式看作分母是______的分式，再按照异分母分式加减法则计算。 【答案】1.分母；分子；最简分数2.通分；同分母；同分母3.分母；分子； 4.通分；同分母；同分母； 5.同分母；最简公分母 6.1 四．知识探秘 探究一：同分母分式的加减法则 1.情境导入： 回顾小学同分母分数加减法， 计算+=、-==， 回忆运算法则：分母不变，分子相加减，结果约分。 2.类比探究： 尝试计算分式+、-。 计算：+，分母都是a，和同分母分数加法一致，分母保持不变，分子1和2相加 得到+=； 计算：-，分母都是x，分母不变，分子3减1，得到=。 3.法则总结： 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。 字母表达式：±=（a≠0） 4.注意事项： （1）分子相加减时，若分子是多项式，必须将分子用括号括起来，避免符号错误； （2）运算后，分子合并同类项，若分子分母有公因式，要进行约分，化为最简分式或整式。 探究二：异分母分式的加减法则 1.情境导入： 回顾异分母分数加减法，计算+、-，核心步骤是先通分，再计算。 2.类比探究： 尝试计算分式+、-。 计算：+，分母不同，先找最简公分母ab，通分后变为+，转化为同分母分式，再按法则计算得； 计算：-，最简公分母是2x，通分后变为-，计算得。 3.法则总结： 异分母分式相加减，先通分，化为同分母分式，再按同分母分式加减法则计算。 字母表达式：±= 4.通分关键： 确定最简公分母- 分母是单项式：取各分母系数的最小公倍数，相同字母取最高次幂，单独字母保留； （1）分母是多项式：先对分母分解因式，再按单项式方法找最简公分母； （2）分母互为相反数：通过提取负号，转化为同分母分式，简化运算。 5.完整运算步骤： ① 观察分母，判断是同分母还是异分母； ② 异分母分式先分解因式、找最简公分母、通分； ③ 按法则进行分子加减运算，多项式分子加括号； ④ 合并分子同类项，约分得到最简结果。 探究三：特殊情况的分式加减 1.分母互为相反数：如+，将化为-，转化为同分母分式计算； 2.整式与分式加减：如2+，将2看作，再按异分母分式加减计算。 五．经典例题 例1. 计算 （1） （2） （3） 解：（1）原式＝＝＝＝； （2）原式＝＝＝； （3）原式＝＝＝＝； 例2. 已知，求A、B的值． 解：＝＝＝， ∴，解得：． 例3. 先化简，再求值:，其中． 解：原式＝＝＝＝＝， 当x＝时，原式＝＝． 例4. 请你先将分式化简，再选取一个你喜欢且使原式有意义的数代入并求值. 解：原式==a-1+a，=2a-1，∵a-1≠0，a+1≠0∴a的取值不能是1，和-1．∴选取a=2，把a=2，代入化简的结果得：2×2-1=3，∴当a=2时，=3 六．基础过关 （一）．选择题 1. 化简结果正确的是（　　） A. X B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】：＝．故选：B． 2. 化简的结果是（ ） A. m+n B. n﹣m C. m﹣n D. ﹣m﹣n 【答案】A 【解析】：====m+n．故选A． 3. 在下面的计算中，正确的是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】：A、原式，故本选项错误；B、原式，故本选项错误；C、原式，故本选项错误；D、原式，故本选项正确，故选D． 4. 若，则M为（       ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【解析】∵，∴，故选D 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A、= =，所以A选项错误；B、==，所以B选项错误；C、=，所以C选项错误；D、，所以D选项正确.故选：D. 6. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】+===.故选B. 7. 分式x-y+的值为（ ） A. B. x+y C. D. 以上都不对 【答案】C 【解析】：原式＝＝＝．故选C． 8. 如果分式，那么的值( ) A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 【答案】B 【解析】：∵，∴(a＋b)2＝ab，即a2＋b2＋2ab＝ab，a2＋b2＝－ab， 原式＝＝＝＝－1，故选B． 9. 化简等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】：＝＝．故选C． 10. 计算得（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】：＝＝＝＝＝2． 故选D． （二）．填空 11. 计算：=_____． 【答案】x 【解析】：===x．故答案为：x 12. 计算：＝________ 【答案】 【解析】：原式＝＝．故答案为：． 13. 计算 =_____________ 【答案】 【解析】：＝＝．故答案为：． 14. 已知x－y=xy,则_______________. 【答案】—1 【解析】试题分析：＝＝＝＝－1．故答案为－1． 15. =________. 【答案】 【解析】：＝＝＝＝．故答案为：． 16. 与的最简公分母是__________ 【答案】 【解析】：m2－1＝(m＋1)(m－1)，所以最简公分母是m2－1．故答案为：m2－1． 17. 的和是________ 【答案】 【解析】：＝＝ ＝．故答案为：． 18. ___________ 【答案】 【解析】原式＝＝＝．故答案为． 19. 分式 ____________ 【答案】 【解析】：原式＝＝＝＝．故答案为：． 20.已知x﹣=4，则x2﹣4x+5的值为　　． 【答案】6 【解析】∵x﹣=4，∴x2﹣1=4x，∴x2﹣4x=1，∴x2﹣4x+5=1+5=6．故答案为：6． （三）．解答题 21．化简： (1)＋；　　(2)－；　(3)－. 解：(1)原式＝＋＝＝1. (2)－＝－＝. (3)－＝－＝. 22．化简求值：＋＋，其中＝. 解：原式＝＋＋ ＝＝＝， ∵＝，∴n＝5m，∴原式＝＝. 23. 阅读理解：若＝＋.试求M、N的值． 解：等式右边通分，得＝，依题意，得，解得.依照上题解法，解答下题． 已知＝＋.试求A、B的值． 解：等式右边通分得＝，依题意得，解得. 24.已知A＝，B＝. (1)计算：A＋B和A－B； (2)若已知A＋B＝2，A－B＝－1，求x、y的值． 解：(1)由题意A＝，B＝，A＋B＝＋＝＝；A－B＝－＝＝；　 (2)∵A＋B＝2，∴＝2，由倒数的意义得x＋y＝，∵A－B＝－1，∴＝－1，∴x－y＝－1，∴，∴. 25.从甲地到乙地有两条路，每条路都是6km，其中第一条路是平路，第二条路有3km的上坡路、3km的下坡路． 小丽在上坡路上的骑车速度为v（km/h），在平路上的骑车速度为2v（km/h），在下坡路上的骑车速度为3v（km/h）． （1）当走第二条路时，她从甲地到乙地需要多少时间？ （2）她走哪条路花费的时间少？少多长时间？ 解：（1）当走第二条路时，从甲地到乙地需要的时间为＋＝＋＝（h）． （2）当走第一条路时，从甲地到乙地需要的时间为＝（h）． ∵－＝（h），∴小丽走第一条路花费的时间少，少h. 26．已知：， （1）若A=，求m的值； （2）当a取哪些整数时，分式B的值为整数； （3）若a＞0，比较A与B的大小关系． 解：（1）由A=，得=1﹣=，2﹣m=1，解得m=1； （2）B==1﹣，∴当a+4=±1时B为整数a=﹣3，a=﹣5． （3）当a＞0时，A﹣B=﹣＜0，A＜B． 七．知识清单 1.同分母分式相加减，______不变，把______相加减。 2.同分母分式加减法则用式子表示为：±==______（a≠0）。 3.异分母分式相加减，先______，化为______分式，再按照同分母分式加减法则进行计算。 4.把几个异分母分式化为与原来分式相等的______分式的过程，叫做分式的通分。 5.异分母分式通分时，通常取各分母所有因式的______次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做______。 6.异分母分式加减法则用式子表示为：±=______（a≠0，c≠0）。 7.分式加减运算的结果必须化为______分式或整式。 8.分子相加减时，如果分子是多项式，要先给分子加上______，再进行运算。 9.若分式的分母是多项式，通分前要先对分母进行______，再确定最简公分母。 10.整式与分式相加减时，可把整式看作分母为______的分式，再进行通分计算。 11.分式加减运算后，若分子、分母有公因式，要进行______，化为最简形式。 12.计算异分母分式加减的核心步骤是：先找最简公分母完成______，再进行同分母分式的加减运算。 【答案】 1.分母；分子 2. 3.通分；同分母 4.同分母 5.最高；最简公分母 6. 7.最简 8.括号 9.因式分解 10.1 11.约分 12.通分 八．强化提优 （一）选择题 1. 计算的结果是（       ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【解析】原式．故选：A． 2. 计算，结果正确的是（       ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解析】：原式，故选：A． 3. 下若，则分式的值为( ) A. 0 B. 1 C. －1 D. －2 【答案】C 【解析】：∵即x2＝1，＝＝x2－2＝1－2＝－1，故选C． 4. 计算得（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】：＝＝＝＝＝2．故选D． 5．计算＋的结果是(　　) A． B． 　C．1 D．x＋1 【答案】A 【解析】：原式＝＝. 6．下列计算中正确的是(　D　) A．＋＝ B．＋＝ C．＋＝ D．＋＝0 【答案】D 【解析】A.＋＝≠，错误；B.＋＝≠，错误； C．＋＝≠，错误；D.＋＝－＝0，正确． 7．化简＋的结果是(　　) A．a＋b B．a－b C． D． 【答案】B 【解析】原式＝－＝＝＝a－b. 8. 化简的结果是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】：原式． 9. 化简﹣的结果等于为（　　） A．﹣a﹣2 B．﹣ C． D． 【答案】B 【解析】原式= = = = 故选：B 10. 若x=－1，y=2，则 的值等于 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】：通分后，约分化简．然后代x、y的值求值： ， 当x=－1，y=2时，．故选D． （二）填空题 11. 设，则=_____. 【答案】3 【解析】：∵，∴x=3y,∴=. 故答案为3. 12.计算：x﹣y+=　　       . 【答案】 【解析】原式==． 13.化简：=　      　． 【答案】2a 【解析】原式==a﹣2+a+2=2a． 14. 计算：＋＝__ 【答案】2 【解析】原式故答案为2. 15. 计算： ． 【答案】 【解析】原式． 故答案为：． 16. 已知，则实数A B 【答案】1；2 【解析】；对比等号两边分式，分母相同，所以分子相同，所以：且；解得： 17.计算： =　　     　　. 【答案】1 【解析】原式==1. 18.计算：=　            . 【答案】 【解析】原式====. 19.已知沪宁高速公路全长274 km，如果一辆货车的速度是a km/h，一辆客车的速度是b km/h（b＞a），那么从南京到上海，客车将比货车少用　　      h． 【答案】 【解析】﹣=，则客车将比货车少用h． 20. 观察下列各式：，…．请利用你观察所得的结论，化简代数式（且n为整数），其结果是 ． 【答案】 【解析】∵，，，∴ ∴ ．故答案为：． （三）解答题 21. 计算： （1）+； （2）-+. （3） （4） 解：（1）原式= （2）原式= （3）原式= （4）原式=（或） 22. （8分）按要求答题 （1）已知a2－a＋1＝2，求＋a－a2的值． 解：由条件式得a2－a＝1，故原式＝－(a2－a)＝－1＝1. （2）.已知＋＝3，求的值． 解：由已知条件＋＝3，得a＋b＝3ab.对待求式进行变形，得＝.将a＋b视为一个整体，代入得＝＝＝－. 23．已知分式M=+． （1）若x=6且分式M的值等于4，求y的值； （2）若y=4，当x取哪些整数时，M的值是整数？ 解：（1）∵x=6且分式M的值等于4，∴4=+，整理得：2=解得：y=6； （2）∵y=4，∴M=+4，当x=0时，M=4，当x=2时，M=2，当x=4时，M=0，当x=6时，M=6； ∵x、y均为正整数，使M的值等于2，∴2=+，∴所有x、y的值为：x=2，y=4；x=4，y=2． 24．对于两个非零实数x、y，定义一种新的运算：． (1)若，求的值； (2)试判断“*”运算是否满足交换律，即是否成立？ 解： （1），，即 ； （2） ，， ∴当，即时，成立，即“*”运算满足交换律； 当a≠b，即，当，即时，成立，即“*”运算满足交换律； 当，即时，不成立，即“*”运算不满足交换律 故当时，可能成立或不成立，即“*”运算可能满足或不满足交换律． 25. 阅读材料，回答下列问题： 要比较a与b的大小，可先求出a与b的差，再看这个差是正数、负数还是零. 由此可见，要判断两个代数式值的大小，只要考虑它们的差就可以了. 已知甲、乙两人两次同时在同一粮店购买粮食（假设两次购买粮食的单价不相同），甲每次购买粮食100kg，乙每次购买粮食用去100元. （1）假设x，y分别表示两次买粮食的单价（单位：元/kg）. ①试用含x，y的代数式表示：甲两次购买粮食共需付款 元； ②乙两次共购买 kg的粮食； ③若甲两次购粮的平均单价为每千克Q1元，乙两次购粮的平均单价为每千克Q2元，则Q1= ，Q2= ； （2）规定：谁两次购粮的平均单价低，谁的购粮方式就更合算. 请你判断甲、乙两人的购粮方式中哪一个更合算. 并说明理由. 解：（1）①100（x+y） ② ③ （2）-==，∵x≠y，∴（x-y）2＞0，x+y＞0，∴＞0，∴乙的方式更合算. 26．探索： （1）如果=3+，则m=　　； （2）如果=5+，则m=　　； 总结：如果=a+（其中a、b、c为常数），则m=　　； 应用：利用上述结论解决：若代数式的值为整数，求满足条件的整数x的值． 解：探索：（1）已知等式整理得： =，即3x+4=3x+3+m， 解得：m=1；故答案为：1；﹣13 （2）已知等式整理得： =，即5x﹣3=5x+10+m， 解得：m=﹣13；总结：m=b﹣ac； 故答案为：m=b﹣ac； 应用： ==4+，∵x为整数且为整数，∴x﹣1=±1， ∴x=2或0． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $