精品解析：河北省沧州市南皮县第一中学2025-2026学年高一下学期4月期中数学试题

高一数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. “”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据数量积的运算律求出的等价条件，即可判断得出答案. 【详解】因为，. 所以. 综上所述，“”是“”的充分必要条件． 故选：C． 2. 若复数为纯虚数，则实数的值为（ ） A. 2 B. 2或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用纯虚数的定义列式计算作答. 【详解】因为复数为纯虚数，则有，解得， 所以实数的值为. 故选：C 3. 下列说法正确的是（ ） A. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 B. 过空间内不同的三点，有且只有一个平面 C. 棱锥的所有侧面都是三角形 D. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 【答案】C 【解析】 【分析】根据定义逐项分析即可 【详解】对：根据棱柱的定义知，有两个面平行，其余各面都是四边形， 且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱，所以错误，反例如图： 对：若这三点共线，则可以确定无数个平面，故错误； 对：棱锥的底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，故正确； 对：只有用平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故错误， 故选：. 4. 设非零向量的夹角为，若，且不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题先利用平面向量的数量积的运算法则进行转化为恒成立，然后结合函数的恒成立，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，非零向量的夹角为，且， 则， 不等式对任意恒成立， 所以，即， 整理得恒成立， 因为，所以，即，可得， 即实数的取值范围为. 故选：A. 【点睛】求平面向量的模的两种方法： 1、利用及，把向量模的运算转化为数量积的运算； 2、利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解. 5. 在复平面内，复数满足，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则，求得复数的代数形式，再利用虚部的定义可以求解. 【详解】因为， 所以， 所以复数的虚部为, 故选：C. 6. 如图，在正方体中，动点在棱上，动点在线段上，为底面的中心，若，则四面体的体积（ ） A. 与都有关 B. 与有关，与无关 C. 与有关，与无关 D. 与都无关 【答案】B 【解析】 【分析】作出辅助线，求出，点到平面的距离为定值，故四面体体积为，得到体积与有关，与无关. 【详解】连接AC，BD相交于点O，过点E作EG⊥AC于点G， 设正方体的边长为，则， 因为平面平面，平面， 所以平面， 因为动点在线段上，所以点到平面的距离为定值， 因为，故， 由相似知识可知：，即， 所以， ， 故四面体的体积为， 故体积与有关，与无关. 故选：B 7. 已知点，点，点都在单位圆上，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设的中点为，得，，将化为，根据可得结果. 【详解】设的中点为，因为，，所以，， ， 因为，所以. 故选：A 8. 如图，在边长为2的正方形中，分别是的中点，D是的中点，将分别沿折起，使两点重合于G，下列说法错误的是（ ） A. 若把沿着继续折起，与G恰好重合 B. C. 四面体的外接球体积为 D. 点G在面上的射影为的重心 【答案】D 【解析】 【分析】根据，可说明 与G恰好重合，判断A;根据线面垂直的性质定理可判断B;将四面体 补成长方体，可求得其外接球半径，进而求得外接球体积，判断C;根据线面垂直证明线线垂直，说明点G在面SEF上的射影为三角形的高的交点，判断D. 【详解】对于A，因为，故把沿着继续折起，与恰好重合，正确； 对于B,因为,D是EF的中点，故; 又，故平面GEF, 而平面GEF,故,又平面SGD, 所以平面，平面,所以正确； 对于，由翻折的性质可知，两两垂直， 将其补成相邻三条棱长为1,1,2的长方体，则长方体外接球和四面体外接球相同， 其体对角线长，所以长方体外接球的半径为， 故外接球的体积为，故正确； 对于D，因为两两互相垂直，故平面GEF,则, 设P为点G在平面SEF上的射影，连接EP,SP,则 , 而平面SGP,故平面SGP, 平面SGP, 故，同理可证,即点P为三角形高线的交点， 所以点在平面上的射影为的垂心，故D错误， 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 设、为复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. C. D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】利用特殊值法可判断AD选项的正误；利用复数的乘法运算以及复数的模长公式可判断B选项的正误；利用复数的加减运算以及共轭复数的定义可判断C选项的正误. 【详解】对于A选项，取，，则，A错； 对于B选项，设，， 则， 所以，，B对； 对于C选项，设，，则，， ，则， ，则， 故，C对； 对于D选项，取，，则，但，D错. 故选：BC. 10. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则（ ） A. B. C. 的面积为 D. 的周长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正余弦定理和已知条件，解三角形，验证各个选项. 【详解】由，有，得，选项A正确． 因为，由正弦定理有，，得，选项B正确． 的面积为，选项C错误． 因为，由余弦定理， 解得，故的周长为，选项D正确. 故选：ABD 11. 在正方体中，下列结论正确的是（ ） A. B. 平面 C. D. 平面 【答案】BD 【解析】 【分析】画出图形，结合正方体的性质逐一判断各选项：选项A，根据正方体性质得出四边形是平行四边形，得出，结合正方形的对角线互相垂直的性质，得出；选项B：根据线面平行定理进行判断；选项C：根据正方体性质得出是等边三角形，结合，得出即为与所成夹角；选项D：根据线面垂直定理进行判断. 【详解】设正方体的棱长为， 如图，连接. 选项A：根据正方体性质可知，， 四边形是平行四边形， 又平面，且平面， 平面 又平面， ，故A错. 选项B：由选项A知，平面，故B正确. 选项C：根据正方体的性质可知，， 为等边三角形，又， 等于与所成的角，故C错. 选项D：根据正方体的性质可知，平面， 又平面，. 根据正方形的性质，的对角线. 又平面， 平面，故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若是关于的实系数方程的一个复数根，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据实系数方程虚根成对出现得另一根，再结合韦达定理求得结果. 【详解】因为是关于的实系数方程的一个复数根， 所以是关于的实系数方程的另一个复数根， 因此 故答案为： 13. 在棱长为4的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面四边形内（不含边界）一点，若平面，则线段长度的最小值是___________. 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，的中点，由面面平行的性质证明点轨迹就是线段，求出等腰底边上的高即得最小值． 【详解】如图，取的中点，的中点，连接，并连接， 由于点分别是棱的中点， 所以， 平面，平面，平面， 与，平行且相等，则是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 面，平面， 所以平面平面， 平面，平面，且平面平面， 所以，即点轨迹是线段， 正方形棱长为4，则，， 所以的最小值即为底边上高等于． 故答案为：． 14. 如图，扇形中，半径为1，的长为2，则所对的圆心角的大小为_____ 弧度；若点是上的一个动点，则当取得最大值时，_____. 【答案】 ①. 2 ②. 0 【解析】 【分析】由弧长公式得：，可求圆心角的大小，由三角函数定义可建立以点O为坐标原点，OA所在直线为x轴的直角坐标系，易得：，，，结合两角和差的正弦公式则，进而即可得解. 【详解】由弧长公式得：， 即所对的圆心角的大小为2弧度， 由三角函数定义可建立以点O为坐标原点，OA所在直线为x轴的直角坐标系，易得：，， 设，则， 则， 又，所以， 当即时，取得最大值， 故答案为2，0． 【点睛】 本题考查了弧长公式及三角函数的定义及二倍角公式，两角和差的正弦公式，属中档题． 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知复数． （1）若z为实数，求m的值； （2）若z为纯虚数，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）虚部为0列出方程即可；（2）实部为0，虚部不为0列出方程即可 【小问1详解】 由题意得，解得 【小问2详解】 由题意得,即,解得 16. 已知，. （1）求证：，不共线： （2）若，求实数m，n的值； （3）若与平行，求实数k的值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用坐标关系即可求解； （2）计算向量坐标使和坐标相等； （3）计算与的坐标，再利用向量平行的坐标运算. 【小问1详解】 ，，由于，故，不共线， 【小问2详解】 则，解得. 【小问3详解】 ， 与平行，则，得. 17. 如图，在四棱锥中，和均为正三角形，，，，为上一点，设平面与平面的交线为． （1）证明面； （2）当平面时，面与交于，求的值； 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明线线平行，从而证明线面平行； （2）通过相似三角形从而确定动点的位置，进而根据体积之间的比例进行求解； 【小问1详解】 ，平面， 平面，面， 面，面面，， 面，面，面. 【小问2详解】 如下图所示，连接交于点，连接，作交于， 设，平面，平面， 平面平面，， 在梯形中，，， ，，，即， 可得 ，故. 18. 在中,内角所对的边分别为,已知, ,且. (1)求角的大小; (2)若,的面积为,求的周长 【答案】(1)；(2) 【解析】 【分析】 （1）由向量垂直关系得到数量积为零的等式，利用正弦定理边化角，结合两角和差公式、诱导公式可化简得到，进而求得； （2）根据三角形面积公式构造方程求得，利用余弦定理可求得，进而得到所求周长. 【详解】（1） 由正弦定理得： 即： （2） 由余弦定理得： 的周长 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理边化角的应用、利用两角和差公式和诱导公式化简、平面向量数量积、三角形面积公式和余弦定理的应用等知识，属于常考题型. 19. 如图1，在直角梯形中，，，且，现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形折叠，使，为的中点，如图2. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析；(2) 证明见解析；(3). 【解析】 【分析】(1)利用中位线构造平行四边形，证明线线平行，再利用线面平行的判定定理证明线面平行； (2)先证平面，再根据面面垂直的判定定理得面面垂直； (3)几何法求解点到平面的距离，先作出并证明表示所求距离的线段，再利用三角形面积公式求线段长. 【详解】证明：取中点，连接，． 在中，，分别为，的中点， 所以，且． 由已知，，所以，且． 所以四边形为平行四边形．所以． 又因为平面，且平面，所以平面． （2）在正方形中，．又由题知， 直线，在平面内，且相交于点，所以平面， 又平面，所以平面平面，即平面平面. (3)在直角梯形中，，，可得，． 在中，， 所以．所以． 由(2)知，平面与平面垂直且交线为，所以平面． 又因为平面，所以平面平面． 过点作的垂线交于点，则平面 所以点到平面的距离等于线段的长度 在直角三角形中， ， 所以 所以点到平面的距离等于． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. “”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 若复数为纯虚数，则实数的值为（ ） A. 2 B. 2或 C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 B. 过空间内不同的三点，有且只有一个平面 C. 棱锥的所有侧面都是三角形 D. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 4. 设非零向量的夹角为，若，且不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 在复平面内，复数满足，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方体中，动点在棱上，动点在线段上，为底面的中心，若，则四面体的体积（ ） A. 与都有关 B. 与有关，与无关 C. 与有关，与无关 D. 与都无关 7. 已知点，点，点都在单位圆上，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在边长为2的正方形中，分别是的中点，D是的中点，将分别沿折起，使两点重合于G，下列说法错误的是（ ） A. 若把沿着继续折起，与G恰好重合 B. C. 四面体的外接球体积为 D. 点G在面上的射影为的重心 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 设、为复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. C. D. 若，则 10. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则（ ） A. B. C. 的面积为 D. 的周长为 11. 在正方体中，下列结论正确的是（ ） A. B. 平面 C. D. 平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若是关于的实系数方程的一个复数根，则__________. 13. 在棱长为4的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面四边形内（不含边界）一点，若平面，则线段长度的最小值是___________. 14. 如图，扇形中，半径为1，的长为2，则所对的圆心角的大小为_____ 弧度；若点是上的一个动点，则当取得最大值时，_____. 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知复数． （1）若z为实数，求m的值； （2）若z为纯虚数，求m的值． 16. 已知，. （1）求证：，不共线： （2）若，求实数m，n的值； （3）若与平行，求实数k的值. 17. 如图，在四棱锥中，和均为正三角形，，，，为上一点，设平面与平面的交线为． （1）证明面； （2）当平面时，面与交于，求的值； 18. 在中,内角所对的边分别为,已知, ,且. (1)求角的大小; (2)若,的面积为,求的周长 19. 如图1，在直角梯形中，，，且，现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形折叠，使，为的中点，如图2. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求点到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $