精品解析：广东河源市龙川县第一中学2025-2026学年第二学期高二年级期中考试数学试卷

龙川一中2025-2026学年第二学期高二年级期中考试 数学试卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在等差数列中，，，则的值为（ ） A. 2 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质求出公差即可求解作答. 【详解】在等差数列中，，则数列的公差， 所以. 故选：B 2. 已知各项均为正数的等比数列中，，，成等差数列，则（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 1.或 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差中项的性质得到方程，再解方程即可. 【详解】设公比为，因为，，成等差数列， 所以，即，显然， 所以，解得或（舍去）. 故选：B. 3. 已知数列的前项和为，且满足，则（ ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】利用进行计算. 【详解】依题意，. 故选：B 4. 二项式展开式中含x项的系数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式定理写出通项公式进而求解. 【详解】二项式的通项公式， 令，则. 则二项式展开式中含x项的系数是. 故选：C 5. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，再利用导数求函数的单调减区间即可. 【详解】由，当，得， 所以的单调递减区间为． 故选：B 6. 已知函数​，则​（ ） A. ​ B. 1 C. ​ D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数运算求得. 【详解】， 令得. 故选：B 7. 现有名男同学和名女同学站成一排合影，则名女同学不相邻的站法种数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将名男同学排序，再将名女同学插入名男同学形成的个空位中的个，结合插空法可求得结果. 【详解】将名男同学和名女同学站成一排合影， 若名女同学不相邻，先将名男同学排序， 再将名女同学插入名男同学形成的个空位中的个， 所以，不同的排法种数为种. 故选：D. 8. 已知是函数的导数，且满足对恒成立，，是锐角三角形的两个内角，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先令，求导，根据题意，得到在区间上单调递增，再由题意，得到，进而可得出结果. 【详解】令，则，因为对恒成立，所以对恒成立， ∴在区间上单调递增； 又∵，是锐角三角形的两个内角，∴，∴，∴， 因此，即，∴. 故选：C. 【点睛】本题考查由导数的方法研究函数单调性，以及由函数单调性比较大小，解决此类问题，通常需要构造函数，结合题中条件，用导数的方法研究函数单调性即可，属于常考题型. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据二项展开式通式以及赋值法即可得到答案. 【详解】对于 A， 取 , 则 ，则A正确； 对B，根据二项式展开通式得的展开式通项为，即，其中 所以，故B正确； 对C，取，则， 则，故C错误； 对D，取，则， 将其与作和得， 所以，故D正确； 故选：ABD. 10. 已知函数在处有极值，且极值为8，则（ ） A. 有三个零点 B. C. 曲线在点处的切线方程为 D. 函数为奇函数 【答案】AC 【解析】 【分析】由条件根据极值与导数的关系求，判断B，利用导数分析函数的单调性，结合零点存在性定理判断A，根据导数的几何意义求切线，判断C，根据奇函数的定义判断D. 【详解】由题意得，又，又，解得(舍去）或，故B项错误； ，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 又，，，， 所以有三个零点，故A项正确； 又，， 则曲线在点处的切线方程为，即，故C项正确； ，故D项错误. 故选：AC. 11. 已知抛物线，准线为，过焦点的直线交抛物线于两点，过分别作的垂线，垂足分别为，则（ ） A. B. 若，则直线的斜率为 C. 三点共线（其中为坐标原点） D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由抛物线的定义可得，，再利用角的关系即可得出；根据定义可得，即可得出角，进而得出直线的斜率为；设，则，证明即可；由题可得，结合焦半径公式即可证明. 【详解】 连接，根据抛物线定义可知，所以， 又由于轴，所以， 所以，同理可证， 所以， 即，故正确； 过作于，设，则，， 所以， 所以，由对称性可知直线的斜率为，故B错误； 设，则， 由于，由于三点共线， 则， 又由于，则，由于， 则，所以，， 所以， 即，所以三点共线，故C正确； 由于，则，即，所以， 所以，故D正确． 故选：ACD． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若椭圆的右焦点为，则的长轴长为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知椭圆的焦点在轴上，且，由椭圆中的平方关系可求得的值，进而可求得长轴长. 【详解】因为椭圆的右焦点为，所以，且焦点在轴上， 所以，所以长轴长为． 故答案为：． 13. 若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为__________. 【答案】 【解析】 【分析】变形得到，故为公比为2的等比数列，从而得到通项公式. 【详解】， 又，故为公比为2的等比数列， 故，所以. 故答案为： 14. 已知数列满足，则的前40项和为__________. 【答案】1980 【解析】 【分析】根据数列的递推式得到奇数项、偶数项分别为等差数列，再利用分组并项求和从而可求解. 【详解】已知，当为奇数时，；当为偶数时，. 对任意正整数，有， 因此奇数项构成首项，公差为的等差数列. 同理，，可得，因此偶数项构成首项，公差为的等差数列. 奇数项和. 偶数项和. 前40项和为. 四､解答题：本题共9小题，共77分､解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在公差不为0的等差数列中，，且，，成等比数列． （1）求的通项公式和前n项和； （2）设，求数列的前n项和公式． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用已知条件和等比中项，求出数列的首项和公差，即可求出通项公式； （2）利用裂项相消法即可求出结果. 【小问1详解】 公差不为零的等差数列中，，又成等比数列， 所以，即， 解得， 则， . 【小问2详解】 由（1）可知，， 可得数列的前项和 . 16. 如图，在正方体中，是的中点． （1）求证：平面； （2）若，求点 到平面的距离. 【答案】（1）证明：在正方体中，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据正方体的性质得到，即可得证； （2）利用等体积法求出点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设正方体的棱长为 ，则，解得， 所以，， 所以， 设点 到平面的距离为 ，则，即， 即，解得， 即点 到平面的距离为. 【点睛】 17. 已知函数，. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）试判断函数的单调性. 【答案】（1） （2） 当时，的减区间为，无增区间； 当时，的减区间为，增区间为. 【解析】 【分析】（1）当时，求出、的值，结合导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）对求导，得到，对进行讨论，判断的单调性． 【小问1详解】 当时，，则，所以，，， 故当时，函数在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 函数的定义域为，， 当时，，的减区间为，无增区间； 当时，令，， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 综上所述，当时，的减区间为，无增区间； 当时，的减区间为，增区间为. 18. 已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，过的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点．当l与x轴垂直时，面积为12． （1）求双曲线C的标准方程； （2）当l与x轴不垂直时，作线段AB的中垂线，交x轴于点D．试判断是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）是定值1 【解析】 【分析】（1）根据面积为12，结合双曲线基本量关系求解即可； （2）设直线l的方程为，，，联立直线与双曲线的方程，得出韦达定理，根据弦长公式求解即可. 【小问1详解】 双曲线可化为 ，即 双曲线C的标准方程为． 【小问2详解】 设直线l的方程为，，， 联立双曲线C与直线l：消去x可得：， ，则恒成立， 又直线与双曲线交于右支两点，故，，即， 进而可得，即AB中点M为， 线段AB的中垂线为， 则，即． ． 即为定值1． 【点睛】方法点睛： （1）根据题意设直线方程，联立圆锥曲线的方程，得出韦达定理； （2）将条件利用点的坐标结合弦长公式，代入韦达定理化简证明. 19. 已知函数． （1）若，判断并证明的单调性； （2）当时，若函数有两个不同的零点，． （ⅰ）求m的取值范围； （ⅱ）证明：． 【答案】（1）在上单调递增； （2）（ⅰ）； （ⅱ）证明：由（ⅰ）可知，要证明，即证， 因为，且在上单调递增， 所以只需要证，又因为， 所以只需要证，即证， 即证，两边同时除以，得， 化简为，因为， 所以只需证，即证 令， 求导得， 令， 求导得在上恒成立， 所以在上单调递增， ， 即在上恒成立，所以在上单调递减， 所以， 即，故， 即，所以. 【解析】 【分析】（1）若时，，对其求导得，设，求导得，求其单调性再判断的单调性； （2）（ⅰ）当时，可化为，令，求导得，求其单调性，找到最小值，根据题意求m的取值范围即可； （ⅱ）要证明，即证，只需要证，即证，令，根据导函数求其单调性，然后证明即可. 【小问1详解】 若时，，求导得， 设，求导得， 令，解得， 当时，，则即单调递减； 当时，，则即单调递增； 所以在处取得最小值， 因为，所以， 即在上恒成立，所以在上单调递增. 【小问2详解】 （ⅰ）当时，可化为， 令，求导得， 令，因为，所以，解得. 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以的最小值为， 当时，；当时，. 函数有两个不同的零点，， 即与在上有两个不同交点， 所以的取值范围是； （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙川一中2025-2026学年第二学期高二年级期中考试 数学试卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在等差数列中，，，则的值为（ ） A. 2 B. 6 C. 8 D. 12 2. 已知各项均为正数的等比数列中，，，成等差数列，则（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 1.或 3. 已知数列的前项和为，且满足，则（ ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 25 4. 二项式展开式中含x项的系数是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数​，则​（ ） A. ​ B. 1 C. ​ D. 5 7. 现有名男同学和名女同学站成一排合影，则名女同学不相邻的站法种数是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是函数的导数，且满足对恒成立，，是锐角三角形的两个内角，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数在处有极值，且极值为8，则（ ） A. 有三个零点 B. C. 曲线在点处的切线方程为 D. 函数为奇函数 11. 已知抛物线，准线为，过焦点的直线交抛物线于两点，过分别作的垂线，垂足分别为，则（ ） A. B. 若，则直线的斜率为 C. 三点共线（其中为坐标原点） D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若椭圆的右焦点为，则的长轴长为_____________． 13. 若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为__________. 14. 已知数列满足，则的前40项和为__________. 四､解答题：本题共9小题，共77分､解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在公差不为0的等差数列中，，且，，成等比数列． （1）求的通项公式和前n项和； （2）设，求数列的前n项和公式． 16. 如图，在正方体中，是的中点． （1）求证：平面； （2）若，求点 到平面的距离. 17. 已知函数，. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）试判断函数的单调性. 18. 已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，过的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点．当l与x轴垂直时，面积为12． （1）求双曲线C的标准方程； （2）当l与x轴不垂直时，作线段AB的中垂线，交x轴于点D．试判断是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 19. 已知函数． （1）若，判断并证明的单调性； （2）当时，若函数有两个不同的零点，． （ⅰ）求m的取值范围； （ⅱ）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $