精品解析：重庆市第八中学校2025-2026学年度下学期期中考试高一年级数学试题

重庆八中2025-2026学年度（下）半期考试高一年级 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数是纯虚数，则实数（ ） A. B. C. D. 2. 已知是角终边上的一点，则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，内角的对边分别为．已知，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知复数（为实数），且，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 在中，点在边上且是的中点.设，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一架无人机悬停在河岸上方高处，无人机､近岸点和远岸点在同一铅垂平面内且垂直于河岸.无人机测得点的俯角为，测得点的俯角为，则河流宽度为（ ） A. B. C. D. 7. 在直角边长分别为3和4的直角三角形内有一内切圆是内切圆的直径，点为三角形三条边上的动点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四边形中，，为等边三角形，则面积的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则为实数 D. 10. 血压是指血液在血管内流动时作用于单位面积血管壁的侧压力，其心动周期中的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压．在本题的简化模型中，我们将一天中血压的最高值和最低值分别视为收缩压和舒张压来进行诊断．根据《中国高血压防治指南》，在未使用降压药物的情况下，18岁以上成人若收缩压或舒张压，可诊断为高血压．李某今年52岁，未使用过降压药，在某日早晨6:00开始检测动态血压（记此时），其动态血压值（单位：）与经历的时间（单位：）近似满足关系式：，则下列说法正确的是（ ） A. 当天早晨，李某的血压逐渐上升 B. 当天早晨9:00时，李某的血压约为 C. 当天李某的血压未达到高血压诊断标准 D. 当天李某达到收缩压的时刻与下次达到舒张压的时刻相差约 11. 设点为所在平面内一点，内角的对边分别为，则下列说法正确的有（ ） A. 若与共线，且与共线，则是的内心 B. 若是的外心，则 C. 若，则是的垂心 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量满足与的夹角为，则_____． 13. 函数（其中）的部分图象如图所示，则__________. 14. 在中，内角的对边分别为.已知，，当最小时，的面积为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角的对边分别为，且满足． （1）求； （2）若的面积为，求的周长． 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期及单调递增区间； （2）若，且，求． 17. 在中，内角所对的边分别为，且满足. （1）求； （2）设点在边上，，且，，求的面积. 18. 如图，在矩形中，，点在边上运动（含端点），点在边上运动（含端点），与交于点. （1）若是的中点，，，求实数的值； （2）若是的中点，，求实数的取值范围； （3）若，，求的最大值. 19. 如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴､轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标. （1）已知，向量，在该坐标系下的坐标分别为和，求； （2）在的坐标系中，点分别在轴､轴的正半轴上，且，点在线段上运动，设. （i）若对于线段上的任意一点，都有成立（为常数），求的值； （ii）在（i）的条件下，记向量在向量上的投影向量为，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆八中2025-2026学年度（下）半期考试高一年级 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数是纯虚数，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】. 因为该复数为纯虚数，因此且，解得. 2. 已知是角终边上的一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意，，其中. 则，故. 3. 在中，内角的对边分别为．已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由正弦定理得：， ， 或， 若，则， 由，由三角形大角对大边的性质可得，不合题意； 故． 4. 已知复数（为实数），且，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的模的公式结合可求出的取值范围，确定复数实部和虚部的符号，利用复数的几何意义可得出结论. 【详解】由，则，得， 复数化简得， 由可得，， 则复数对应的点在第三象限. 5. 在中，点在边上且是的中点.设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为是的中点，所以. 由向量减法得. 又，故. 在中，， 代入得. 6. 如图，一架无人机悬停在河岸上方高处，无人机､近岸点和远岸点在同一铅垂平面内且垂直于河岸.无人机测得点的俯角为，测得点的俯角为，则河流宽度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】如图，设无人机位置为在地面投影为O，则. 在中，，故. 在中，. 所以，故. 7. 在直角边长分别为3和4的直角三角形内有一内切圆是内切圆的直径，点为三角形三条边上的动点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出三角形内切圆半径，再求出，结合已知条件运用几何法和坐标法，求出的取值范围． 【详解】已知三角形边长，，设内切圆半径为，三角形面积为， 则， 解得，即，则： ， 点在三角形三条边上运动，则为内切圆半径， 为到三角形顶点的距离最大值，即为，以为坐标原点建立坐标系， 则， ， 的取值范围为． 8. 如图，在四边形中，，为等边三角形，则面积的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先在中用三角形面积公式表示出面积、由余弦定理求出，再代入等边的面积公式得其面积，利用与全等的性质，推出面积为与面积和的一半，将表达式化简为正弦型函数，最后根据三角函数最值条件求出面积的最大值. 【详解】在中，设，则. 由余弦定理知. 中，. 又，为等边三角形. 所以,即 所以可通过判断和全等. 故. 所以当，即时，. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则为实数 D. 【答案】BD 【解析】 【详解】选项A：反例：设，满足，但，故A错误. 选项B：由模的性质可得，故B正确. 选项C：当时，，符合题意，此时是纯虚数，故C错误. 选项D：设，则， 此时，得到，故D正确. 10. 血压是指血液在血管内流动时作用于单位面积血管壁的侧压力，其心动周期中的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压．在本题的简化模型中，我们将一天中血压的最高值和最低值分别视为收缩压和舒张压来进行诊断．根据《中国高血压防治指南》，在未使用降压药物的情况下，18岁以上成人若收缩压或舒张压，可诊断为高血压．李某今年52岁，未使用过降压药，在某日早晨6:00开始检测动态血压（记此时），其动态血压值（单位：）与经历的时间（单位：）近似满足关系式：，则下列说法正确的是（ ） A. 当天早晨，李某的血压逐渐上升 B. 当天早晨9:00时，李某的血压约为 C. 当天李某的血压未达到高血压诊断标准 D. 当天李某达到收缩压的时刻与下次达到舒张压的时刻相差约 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于选项A：早晨6：00~7：00对应， 此时单调递增，故A正确； 对于选项B：早晨对应，代入有： ，故B错误； 对于选项C：收缩压， 舒张压，收缩压， 故当天李某的血压未达到高血压诊断标准，故C正确； 对于选项D：当时，达到收缩压，时，达到舒张压， 两个时刻的最小差值即为半个周期， ，故相差约6h，故D正确． 11. 设点为所在平面内一点，内角的对边分别为，则下列说法正确的有（ ） A. 若与共线，且与共线，则是的内心 B. 若是的外心，则 C. 若，则是的垂心 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量的线性运算及向量数量积的运算律求解判断即可. 【详解】选项A：是两边单位向量的和，且与角平分线共线， 而与共线，即平分， 同理平分，则是的内心，故A正确； 选项B：， 因为是的外心，，且， 所以， 故， 而，故，故B错误； 选项C：由于， 则 ， 整理得， 即； 由于与不共线，故， 即，，则是的垂心，故C正确； 选项D：由，可知是的重心， 对等式两边平方得到， 由边长与向量的关系， 同理可得，， 三式子相加得， 则，即，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量满足与的夹角为，则_____． 【答案】 【解析】 【详解】由向量数量积的定义，得， 又， ． 13. 函数（其中）的部分图象如图所示，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】由图易得，该函数的最小正周期满足，则， 由，则， 将代入，可得， 即，因，则，解得， 所以，故. 14. 在中，内角的对边分别为.已知，，当最小时，的面积为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】先由正弦定理将边的关系转化为角的正切关系，再结合三角形内角和与正切和角公式，推导出；接着利用均值不等式，得到的最小值，此时最小且，故；最后根据求出，代入三角形面积公式计算出结果. 【详解】由已知条件和正弦定理可得：， 即，显然， 故，左右同除以可得：. 故， 故， 当且仅当即时，取得最小值，则最小时， 此时，所以，且由可得， 故. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角的对边分别为，且满足． （1）求； （2）若的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由结合余弦定理得出，再利用三角形内角关系得出； （2）由三角形面积公式求出，结合（1）求出，进而求出的周长． 【小问1详解】 ， 由余弦定理得， ， ； 【小问2详解】 由面积公式得， ， 由（1）知， ， 又， ， ，解得， 的周长为. 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期及单调递增区间； （2）若，且，求． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式对进行化简变形，求出最小正周期，利用正弦型函数的性质构造不等式求出单调递增区间； （2）由结合求出，进而求出，由求出，最后利用结合两角差的正弦公式计算求解． 【小问1详解】 ； 的最小正周期； 的单调递增区间为，令， 则，解得， 的单调递增区间为． 【小问2详解】 由，得， ，则， ，故，则， 由为锐角且，得， ． 17. 在中，内角所对的边分别为，且满足. （1）求； （2）设点在边上，，且，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理把边转化为角的正弦形式，再通过两角和的正弦公式以及三角形内角和性质化简等式，结合三角形内角范围舍去不为零的正弦值，进而求出角的大小. （2）根据线段比例设未知数表示各线段长度，分别在两个小三角形中用余弦定理表示互补两角的余弦值，利用互补角余弦互为相反数建立方程，再在大三角形中用余弦定理列关系式，联立方程求出边长，最后代入公式算出三角形面积. 【小问1详解】 由正弦定理，为外接圆半径. 所以， 化为：， 即， 因为，所以， 因为，所以化简得. 【小问2详解】 设，则， 在中：， 在中：， 由，得， 整理得； 在中：， 即，即. 解得（负值舍去），面积. 18. 如图，在矩形中，，点在边上运动（含端点），点在边上运动（含端点），与交于点. （1）若是的中点，，，求实数的值； （2）若是的中点，，求实数的取值范围； （3）若，，求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立平面直角坐标系，确定坐标及、，设点坐标，由用表示，再结合列方程组，求解. （2）确定矩形各顶点与坐标，由用表示，再由联立方程，推出，根据范围求出取值区间. （3）由三点共线得，设，写出各点与相关向量，把用线性表示，利用建立等式，求出关于的解析式，化简后借助函数单调性求得最大值. 【小问1详解】 如图，以A为原点建立平面直角坐标系， 则，所以， 设点，则，由，得， 所以，即， 设，则， 所以，解得； 【小问2详解】 易知， 由得：， 设，则， 所以，可得. 由于，所以； 【小问3详解】 因为三点共线，且， 所以， 设. 则. 所以， 所以， 又，，所以， 所以， 所以， 若，则，若，则， 由对勾函数性质可知当时，单调递减， 故当时，取得最大值为. 综上所述：的最大值为. 19. 如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴､轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标. （1）已知，向量，在该坐标系下的坐标分别为和，求； （2）在的坐标系中，点分别在轴､轴的正半轴上，且，点在线段上运动，设. （i）若对于线段上的任意一点，都有成立（为常数），求的值； （ii）在（i）的条件下，记向量在向量上的投影向量为，求的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）将用基向量表示后直接展开数量积，代入及即可计算. （2）（i）由线段端点得向量，利用模长平方等于3及列出方程解得. (2)（ii）写出与，计算投影向量的模为，化简得，在上求值域得. 【小问1详解】 已知， 因此，且， 则； 【小问2详解】 （i）若，则. 因为线段上的任意一点，都有成立，所以端点也满足，点分别在轴､轴的正半轴. 所以，， ， 整理得：，解得； （ii）由（i）知，且，， 且 所以 所以，其中， 最小值在处取得，最小值为， 最大值在处取得，最大值为1，故的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $