精品解析：北京市第三十五中学2025-2026学年第二学期期中测试高二数学

北京市第三十五中学2025-2026学年第二学期期中测试 高二数学 2026.4 试卷说明：试卷分值150，考试时间120分钟. I卷 一.选择题（共10个小题，每题4分，共40分.每小题只有一个正确选项，请选择正确答案填在答题卡相应的题号处） 1. 下列函数中，求导错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据初等函数的求导公式逐项判定可得答案． 【详解】A选项：，故A正确； B选项：，B正确； C选项：，C正确； D选项：，故D错误． 2. 下列函数中，是奇函数且在定义域内是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】对A，因为和都是定义在上的增函数，所以是增函数， 又，所以为奇函数，正确； 对B，由反比例函数性质可知，在定义域内不单调，错误； 对C，由对勾函数性质可知，在定义域内不单调，错误； 对D，因为，所以，所以是偶函数， 由幂函数性质可知，函数在上单调递增，在上单调递减，错误. 3. 已知函数的导函数，其图象如图所示，则以下选项中正确的是（ ） A. 和是函数的两个零点 B. 函数的单调递增区间为 C. 函数在处取得极小值，在处取得极大值 D. 函数的最大值为，最小值为 【答案】C 【解析】 【分析】由的正负性可以确定函数的单调性以及极值点，可判断B C；但因无具体的解析式，故无法确定具体的函数值，故AD无法确定. 【详解】由图象可知，或时，，时，， 则在和上单调递减，在上单调递增， 则当时取极小值，当时取极大值，故B错误，C正确， 由图只能确定函数的单调性以及极值点，无法确定具体的函数值，故A D无法确定. 故选：C 4. 有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出每次取到次品的概率，再利用独立重复试验的概率公式列式计算. 【详解】依题意，每次取1件，取到次品的概率， 所以. 故选：B 5. 已知函数，下面说法正确的是（ ） A. 在上的平均变化率为1 B. C. 是的一个极大值点 D. 在处的瞬时变化率为2 【答案】D 【解析】 【分析】本题运用平均变化率公式及运用复合函数求导并根据导数的意义来作出判断. 【详解】由在上的平均变化率为，所以选项A是错误的； 利用复合函数求导法则，由，所以选项B是错误的； 因为，当时，，所以选项C是错误的； 因为，当时，，所以选项D是正确的； 故选：D. 6. 在曲线上一点处的切线平行于直线，则点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，进而结合题意得，解方程即可求得答案. 【详解】设， 由题意得：，则， 因为曲线上一点处的切线平行于直线， 直线的斜率为， 所以，解得， 所以，即 7. 位于坐标原点的一个支点按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，质点移动次后位于点的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】质点移动次后位于点，则质点向右移动2次，向上移动4次，根据组合公式即可求解. 【详解】质点移动次后位于点， 则质点向右移动2次，向上移动4次， 因此质点移动次后位于点的概率为： . 故选：B. 8. 已知函数，则“”是“函数在上是单调函数”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】对函数进行求导得，进而得时，，在上为增函数，然后判断充分性和必要性即可. 【详解】因为的定义域是， 所以， 当时，，在上为增函数，即在上是单调函数. 所以在上为单调函数，是充分条件； 反之，在上为单调函数或，不是必要条件. 故选：A. 9. 已知函数在其定义域内可导，且满足，则对任意的实数，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接构造函数，再用导数判断函数的单调性，进而可判断AC选项，对BD选项通过举反例可得. 【详解】令，则，所以在上单调递减， 因为，所以，即，故A错误，C正确； 对于BD，举反例，取，则， 若，则，得， 若，则，，得， 所以BD选项无法对任意成立，故BD错误. 10. 对于函数，若存在区间，当时的值域为，则称为倍值函数.若是倍值函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】可看出在定义域内单调递增，可得出是方程的两个不同根，从而得出，通过求导，求出的值域，进而可得到的范围． 【详解】解：在定义域内单调递增， ， 即， 即是方程的两个不同根， ∴， 设， ∴时，；时，， ∴是的极小值点， 的极小值为：， 又趋向0时，趋向；趋向时，趋向， 时，和的图象有两个交点，方程有两个解， ∴实数的取值范围是． 故选B． 【点睛】本题考查了对倍值函数的理解，根据导数符号判断函数极值点的方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题． II卷 二.填空题（共5个小题，每题5分，共25分.请将正确答案填写在答题卡相应位置处.） 11. 设函数，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求函数的导函数，再由导函数求值可得. 【详解】因为函数，定义域为，所以， 因此. 12. 抛掷甲､乙两枚质地均匀的骰子，在已知甲骰子的点数为偶数的条件下，乙骰子的点数小于甲骰子点数的概率为__________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】先求出总的事件数目，再求出符合的事件数目，即可求出概率. 【详解】甲投掷骰子可能出现的点数为：，乙投掷骰子可能出现的点数为：1，2， 3，4，5，6， 则所有出现的情况为（第一个表示甲投掷的，第二个表示乙投掷的）： 一共有18种， 乙骰子的点数小于甲骰子点数的情况有： ，共有9种， 则甲骰子的点数为偶数的条件下，乙骰子的点数小于甲骰子点数的概率为. 13. 李明参加中央电视台《同一首歌》大会的青年志愿者选拔，在已知备选的10道题中，李明能答对其中的6道，规定考试从备选题中随机地抽出3题进行测试，至少答对2题才能入选.则李明入选的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据超几何分布公式可得答案. 【详解】设所选3题中李明能答对的题数为X,则X服从参数为的超几何分布，且， 故所求概率为， 故答案为：. 【点睛】本题考查超几何分布，属于基础题. 14. 某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植1千克莲藕，成本增加1元.种植x万千克莲藕的销售额（单位：万元）是，则要使利润最大，每年需种植莲藕______万千克. 【答案】5 【解析】 【分析】根据题设有利润且，再应用导数求其最值，即可得. 【详解】由题意，利润且， 所以，则， 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 所以万千克，利润最大. 故答案为：5 15. 对于偶函数，下列结论中正确的是__________． ①函数在处的切线斜率为： ②，使得； ③若，则； ④若，都有成立，则的最大值为． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据偶函数定义：求出a的值，求导利用导数的几何意义即可判断①；根据可得：，移项构造新函数根据单调性判断上的最值比较与0的大小可判断②；利用导函数的正负判断函数在上的单调性即可判断③；恒成立，即，根据③可得在上的单调性，求得可判断④． 【详解】因为为偶函数，故，可得；故； 对于①：函数在处的切线斜率为，故①正确； 对于②：令，；则恒成立，故在上单调递减；故，故，得到恒成立；故，使得；②正确； 对于③：，令，则，当时，；故，在上单调递减；故；故；在上单调递减，故若，则；③错误； 对于④：由③知，在上单调递减，则，即恒成立，因为，故，故的最大值为，④正确． 三.解答题（共6个小题，共85分.请将正确答案填写在答题卡相应位置处.） 16. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）求函数的单调区间及极值. 【答案】（1） （2）单调增区间：和；单调减区间：；极大值为，极小值为 【解析】 【分析】（1）利用函数解析式求切点坐标，利用导数求切线斜率，点斜式得切线方程. （2）利用导数求函数的单调区间和极值. 【小问1详解】 由，有， 则，， 故切点坐标为，切线斜率为， 切线方程为，即； 【小问2详解】 由（1）知，，令，解得或， 故当时，，当时，，当时， 故函数在和上单调递增，在上单调递减； 故函数的极大值为，极小值为. 17. 某大学有A，B两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位同学每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下： 选择餐厅情况（午餐，晚餐） 甲同学 9天 6天 12天 3天 乙同学 6天 6天 6天 12天 假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率. （1）分别估计一天中甲同学午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率，乙同学午餐选择A餐厅就餐的概率； （2）记X为乙同学在未来4天中选择A餐厅进行午餐的天数，求X的分布列和数学期望. 【答案】（1）； （2）分布列见解析； 【解析】 【分析】（1）利用古典概率公式求解即可； （2）由题意可得，的可能取值为，再利用二项分布的概率公式求出相应的概率，列出分布列，再用期望公式求出期望即可； 【小问1详解】 设事件表示“一天中甲同学午餐和晚餐都选择B餐厅就餐”，事件表示“乙同学午餐选择A餐厅就餐”， 因为30天中，甲同学午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的有3天，乙同学午餐选择A餐厅就餐有天， 用频率估计概率， 所以，； 【小问2详解】 由题意可知，， 的可能取值为， 则；； ；； ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 所以. 18. 已知函数. （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）求在区间上的最小值. 【答案】（Ⅰ）单调减区间为，单调增区间为；（Ⅱ）详见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据导函数的正负与函数单调性的关系求解；（Ⅱ）按分类讨论函数的单调，根据单调性求最值. 【详解】解：（Ⅰ）. 由，解得； 由，解得. 所以函数的单调减区间为，单调增区间为. （Ⅱ）① 当，即时， 在上单调递减， 所以 ② 当，即时， 在上单调递增， 所以 ③ 当时， 极小值 所以 综上，当时，；当时，；当时， 【点睛】本题主要考查导函数与原函数单调性的关系和二次函数的性质. 19. 为了调研某地区学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地区随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据： （1）从这10所学校中随机选取1所，已知这所学校参与“自由式滑雪”人数超过40人，求该校参与“单板滑雪”超过30人的概率； （2）已知参与“自由式滑雪”人数超过40人的学校评定为“基地学校”.现在从这10所学校中随机选取2所，设“基地学校”的个数为，求的分布列和数学期望； （3）现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，并专门对这3个动作进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”.在此集训测试中，李华同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响，每轮测试也互不影响.如果李华同学在集训测试中想获得“优秀”的次数的均值达到5次，那么至少要进行多少轮测试？（结果不要求证明） 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）先将题设的数据整理为表格，根据表中数据结合条件概率的计算公式可求概率； （2）结合超几何分布可求的分布列和数学期望； （3）先求出李华在一轮测试中“优秀”的概率，再结合二项分布的期望公式可求至少要进行多少轮测试. 【小问1详解】 由题设可得如下数据： 自由 单板 设为“学校参与“自由式滑雪”人数超过40人”， 为“该校参与“单板滑雪”超过30人”，则， 而，故. 故已知这所学校参与“自由式滑雪”人数超过40人， 该校参与“单板滑雪”超过30人的概率为. 【小问2详解】 参与“自由式滑雪”人数在40人以上的学校共4所，的所有可能取值为， 所以，，， 所以的分布列如下表： 0 1 2 所以. 【小问3详解】 记“李华在一轮测试中获得“优秀””为事件，则， 由题意，甲同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布， 由题意列式，得， 因为，所以的最小值为，故至少要进行轮测试. 20. 已知函数. （1）若，求的极值 （2）若恒成立，求的取值范围 （3）判断函数的零点个数.（直接写出结论） 【答案】（1）的极大值为，无极小值； （2） （3）当时，函数的零点个数为0个；当或时，函数的零点个数为1个；当时，函数的零点个数为2个. 【解析】 【分析】（1）先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，进而确定单调区间和极值； （2）结合题意转化为，,再构造函数，，求解函数的最大值即可求得答案. （3）将问题转化为求方程的实数根，再结合（2）中函数的单调性与极值，讨论函数值的分布情况，并分类讨论求解即可. 【小问1详解】 解：当时，，其定义域为， 所以，令，得，令，得. 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以，的极大值为，无极小值. 【小问2详解】 解：由题意知在恒成立，即在恒成立， 所以在恒成立，即，， 令，， 则，令，解得. 当在内变化时，，的变化情况如下表： 0 单调递增 单调递减 由表知，当时，函数有最大值，且最大值为， 所以，即实数的取值范围为. 【小问3详解】 解：函数的零点即为的实数根，即方程的实数根， 由（2）知，当时，；当时，；当时，； 又因为当时，，当时，， 所以，当时，方程无实数根，即函数的零点个数为0个； 当或时，方程有1个实数根，即函数的零点个数为1个； 当时，方程有2个实数根，即函数的零点个数为2个； 综上，当时，函数的零点个数为0个；当或时，函数的零点个数为1个；当时，函数的零点个数为2个. 21. 已知函数的定义域为，如果存在，使得，则称为的一阶不动点；如果存在，使得，且，则称为的二阶周期点. （1）分别写出函数的一阶不动点及二阶周期点； （2）若函数在上单调递增，求证：不存在二阶周期点； （3）求的二阶周期点的个数. 【答案】（1）一阶不动点为，二阶周期点为； （2）证明见详解； （3）2. 【解析】 【分析】（1）根据一阶不动点的定义和二阶周期点直接计算即可； （2）根据二阶周期点的定义，利用反证法即可得证； （3）根据分段函数写出，结合二阶周期点的定义判断. 【小问1详解】 设是函数的一阶不动点，则， 解得，即函数的一阶不动点为. 设为函数的二阶周期点，则， 解得或，又，所以， 即函数的二阶周期点为. 【小问2详解】 假设是函数的二阶周期点，则， 若，由在上单调递增，则， 若，由在上单调递增，则， 综上，，假设不成立. 所以，若函数在上单调递增，则不存在二阶周期点. 【小问3详解】 由， 当时，，所以， 设，，恒成立， 所以在上单调递减，且，， 所以在上只有一个零点，即在上只有一个解，记为， 则，若，则，解得， 所以，即在上只有一个二阶周期点； 当时，，且， 所以时，，， 令，解得成立， 所以方程在上只有一个解， 又，所以不是的二阶周期点； 当时，，， 设，恒成立， 所以在上单调递减，且，， 所以在只有一个零点，即在上只有一个解，记为， 则，若，则， 所以，所以是的一个二阶周期点； 综上所述，的二阶周期点的个数为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第三十五中学2025-2026学年第二学期期中测试 高二数学 2026.4 试卷说明：试卷分值150，考试时间120分钟. I卷 一.选择题（共10个小题，每题4分，共40分.每小题只有一个正确选项，请选择正确答案填在答题卡相应的题号处） 1. 下列函数中，求导错误的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，是奇函数且在定义域内是增函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的导函数，其图象如图所示，则以下选项中正确的是（ ） A. 和是函数的两个零点 B. 函数的单调递增区间为 C. 函数在处取得极小值，在处取得极大值 D. 函数的最大值为，最小值为 4. 有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，下面说法正确的是（ ） A. 在上的平均变化率为1 B. C. 是的一个极大值点 D. 在处的瞬时变化率为2 6. 在曲线上一点处的切线平行于直线，则点坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 位于坐标原点的一个支点按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，质点移动次后位于点的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则“”是“函数在上是单调函数”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 已知函数在其定义域内可导，且满足，则对任意的实数，，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 对于函数，若存在区间，当时的值域为，则称为倍值函数.若是倍值函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. II卷 二.填空题（共5个小题，每题5分，共25分.请将正确答案填写在答题卡相应位置处.） 11. 设函数，则__________. 12. 抛掷甲､乙两枚质地均匀的骰子，在已知甲骰子的点数为偶数的条件下，乙骰子的点数小于甲骰子点数的概率为__________. 13. 李明参加中央电视台《同一首歌》大会的青年志愿者选拔，在已知备选的10道题中，李明能答对其中的6道，规定考试从备选题中随机地抽出3题进行测试，至少答对2题才能入选.则李明入选的概率为__________. 14. 某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植1千克莲藕，成本增加1元.种植x万千克莲藕的销售额（单位：万元）是，则要使利润最大，每年需种植莲藕______万千克. 15. 对于偶函数，下列结论中正确的是__________． ①函数在处的切线斜率为： ②，使得； ③若，则； ④若，都有成立，则的最大值为． 三.解答题（共6个小题，共85分.请将正确答案填写在答题卡相应位置处.） 16. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）求函数的单调区间及极值. 17. 某大学有A，B两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位同学每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下： 选择餐厅情况（午餐，晚餐） 甲同学 9天 6天 12天 3天 乙同学 6天 6天 6天 12天 假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率. （1）分别估计一天中甲同学午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率，乙同学午餐选择A餐厅就餐的概率； （2）记X为乙同学在未来4天中选择A餐厅进行午餐的天数，求X的分布列和数学期望. 18. 已知函数. （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）求在区间上的最小值. 19. 为了调研某地区学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地区随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据： （1）从这10所学校中随机选取1所，已知这所学校参与“自由式滑雪”人数超过40人，求该校参与“单板滑雪”超过30人的概率； （2）已知参与“自由式滑雪”人数超过40人的学校评定为“基地学校”.现在从这10所学校中随机选取2所，设“基地学校”的个数为，求的分布列和数学期望； （3）现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，并专门对这3个动作进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”.在此集训测试中，李华同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响，每轮测试也互不影响.如果李华同学在集训测试中想获得“优秀”的次数的均值达到5次，那么至少要进行多少轮测试？（结果不要求证明） 20. 已知函数. （1）若，求的极值 （2）若恒成立，求的取值范围 （3）判断函数的零点个数.（直接写出结论） 21. 已知函数的定义域为，如果存在，使得，则称为的一阶不动点；如果存在，使得，且，则称为的二阶周期点. （1）分别写出函数的一阶不动点及二阶周期点； （2）若函数在上单调递增，求证：不存在二阶周期点； （3）求的二阶周期点的个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $