精品解析：四川自贡市富顺县多校2025-2026学年下学期第1次定时作业 八年级数学

2025-2026学年度（下期）第1次定时作业 八年级数学 一．选择题（本题有8个小题） 1. 若代数式有意义，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 2. 下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（ ） A. 10、20、26 B. 0.5、1.2、1.3 C. D. 6、8、10 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在四边形中，与相交于点，，以下条件能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形中，，分别以四边形的四条边向外作正方形，这四个正方形的面积分别是为、、、，若，则的值是（ ） A. 5 B. C. D. 7. 如图所示，有一个棱长为2米的正方体纸盒，一只小蚂蚁从A点爬到B点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为（ ） A. 6米 B. 米 C. 米 D. 4米 8. 如图，在平行四边形中，，点E是的中点，的平分线交于点F，将沿折叠，点D恰好落在上点M处，分别延长，交于点N，下列四个结论：①；②；③是等边三角形；④．其中正确的有（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（本题有 6 个小题） 9. 比较大小：__________．（填“”、“”或“”） 10. 如图，，则数轴上点所表示的数为_________． 11. 已知实数a，b，c对应的点在数轴上的位置如图所示，化简=____________． 12. 如图，中，于，于，，，，则的面积等于__________． 13. 如图，在矩形中，平分交于点，连接，点为的中点，连接，若，，则的长为______． 14. 如图，在等边中，是的平分线，点E、P分别是上的动点．若，则的最小值是________________ ． 三、解答题（本题有5个小题） 15. 计算： （1）； （2）． 16. 已知x、y为实数，且，求的值． 17. 如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点修了一条垂直的小路（垂足为），恰好是的中点，且．请连接，试判断的形状 18. 如图，折叠长方形的一边，使点D落在边上的点F处，若．求的长． 19. 已知：如图，在中，E，F分别为和上的点，和相交于点O，且．求证：四边形为平行四边形． 四、解答题（本题有3个小题） 20. 如图，的对角线，相交于点O．已知，的周长比的长小， （1）求的长． （2）若，求的长． 21. 图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径． （1）判断的形状，并说明理由． （2）若购物车上篮子的左边缘与点的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘到地面的距离． 22. 如图，点是两直角边上的两点，连接，已知点D、E、F分别是的中点． （1）求度数； （2）连，取中点G，连接，若，求的长． 五、解答题（本题共有2个小题，25题9分，26题12分，共21分） 23. 观察下列一组等式，然后解答后面的问题： ； ； ； ． （1）观察以上规律，请写出第5个等式：________． （2）利用上面的规律，计算． （3）请利用上面的规律，比较与的大小，并写出详细过程 24. 如图，在中，，． （1）观察猜想：如图1，作边上的中线，得出以下结论： ①的形状是___________； ②与之间的数量关系为___________． （2）探索发现：如图2，是的中线，是边上任意一点，连接，作等边，且点在的内部，连接．试探究线段与之间的数量关系，写出你的猜想并说明理由． （3）拓展应用：如图3，分别以为边作等边三角形和等边三角形，连接交于点，若，则的长为___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度（下期）第1次定时作业 八年级数学 一．选择题（本题有8个小题） 1. 若代数式有意义，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列式求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴，且， 解得且． 故选：A． 2. 下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（ ） A. 10、20、26 B. 0.5、1.2、1.3 C. D. 6、8、10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是根据勾股定理的逆定理逐一验证各组数是否满足两短边的平方和等于长边的平方． 分别计算每个选项中三个数的平方，验证是否满足两数平方和等于第三个数的平方，若不满足则不能构成直角三角形． 【详解】解：对于选项A：，，， 不能构成直角三角形． 对于选项B：，，， 能构成直角三角形． 对于选项C：，，， 能构成直角三角形． 对于选项D：，，， 能构成直角三角形． 故选A． 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加法、减法、乘法、除法．根据相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 4. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，被开方数不含能开得尽的因数（即不含平方因子）且被开方数不含分母，这样的二次根式叫做最简二次根式，据此可得答案． 【详解】解：A、被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式，该选项不符合题意； B、被开方数含有分母，不是最简二次根式，该选项不符合题意； C、被开方数含有分母，不是最简二次根式，该选项不符合题意； D、是最简二次根式，该选项符合题意； 故选：D． 5. 如图，在四边形中，与相交于点，，以下条件能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定定理逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、，，根据一组对边平行，另一组对边相等不能判断四边形是平行四边形，该选项不符合题意； 、由可得，又，根据一组对边平行且相等能判断四边形是平行四边形，该选项符合题意； 、，，只能得到一组对边相等，不能判断四边形是平行四边形，该选项不符合题意； 、，，根据一组对边及一组对角相等不能判断四边形是平行四边形，该选项不符合题意； 故选：． 6. 如图，四边形中，，分别以四边形的四条边向外作正方形，这四个正方形的面积分别是为、、、，若，则的值是（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，由得到，是直角三角形，根据勾股定理得到，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴在中，， 在中，， ∴， ∴． 故选：A． 7. 如图所示，有一个棱长为2米的正方体纸盒，一只小蚂蚁从A点爬到B点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为（ ） A. 6米 B. 米 C. 米 D. 4米 【答案】B 【解析】 【分析】先把正方体展开，连接，再根据勾股定理求出的值即可． 【详解】解：将正方体展开，如图所示： 在直角中， ∵，，， ∴， ∴这只蚂蚁爬行的最短路径为米． 8. 如图，在平行四边形中，，点E是的中点，的平分线交于点F，将沿折叠，点D恰好落在上点M处，分别延长，交于点N，下列四个结论：①；②；③是等边三角形；④．其中正确的有（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查折叠的性质，矩形的判定与性质，角平分线的性质以及全等三角形的判定和性质，熟练掌握这些性质定理是解题的关键．根据题意得到四边形是矩形，由折叠的性质得到：，由角平分线的性质得到，即可证明①正确；证明，，根据，求出，即可得到②正确；假设是等边三角形，则，则，而明显，故③错误；，得到，得到④正确． 【详解】解：平行四边形中，， 四边形是矩形， ， 由折叠的性质得到：， 即， 平分， ， ，故①正确； ， ， ， ， ， ， 即，故②正确； 在和中， ， ， ， ， 假设是等边三角形，则， 则， ，则， 而明显， 不是等边三角形，故③错误； ， ， ， ，故④正确； 故选B． 二、填空题（本题有 6 个小题） 9. 比较大小：__________．（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了无理数的大小比较，熟练掌握无理数的大小比较方法是解题的关键. 因为，，，得到，即可得到答案. 【详解】解：，，， ， 故答案为：. 10. 如图，，则数轴上点所表示的数为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，熟记定理并求出的长是解题的关键．先根据勾股定理列式求出的长，即为的长，再根据数轴上的点的表示解答．． 【详解】解：由勾股定理得， ， 点在数轴上表示的数为， 数轴上点所表示的数为， 故答案为：． 11. 已知实数a，b，c对应的点在数轴上的位置如图所示，化简=____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，化简二次根式和绝对值，有理数的加减运算法则，正确推出是解题的关键． 【详解】解：由数轴，得， ∴， ∴ ． 12. 如图，中，于，于，，，，则的面积等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】在四边形中，利用四边形的内角和为，先求出的度数；再根据平行四边形的性质，即可求得的度数；然后在中，利用含角的直角三角形的性质和勾股定理求出的长，然后利用平行四边形的面积公式列式计算即可． 【详解】解：∵在四边形中，内角和为，，，， ∴， ∵中，，， ∴，， ∵中，，， ∴， ∴， ∴． 13. 如图，在矩形中，平分交于点，连接，点为的中点，连接，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，进而求出的长，勾股定理求出的长，利用斜边上的中线求出的长即可． 【详解】解：∵矩形，，， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵点F为的中点，且， ∴． 14. 如图，在等边中，是的平分线，点E、P分别是上的动点．若，则的最小值是________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】连接，易得，进而得到，根据垂线段最短得到当时，最小，此时的值最小，三线合一结合勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵等边，，是的平分线， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当三点共线时，， 又∵点是上的动点， ∴当时，的值最小， 此时， ∴， ∴的最小值为． 三、解答题（本题有5个小题） 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据，再计算； （2）根据平方差公式和完全平方公式计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：原式， ， ． 16. 已知x、y为实数，且，求的值． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意得，， 解得， ∴， ∵， ∴原式． 17. 如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点修了一条垂直的小路（垂足为），恰好是的中点，且．请连接，试判断的形状 【答案】 解：是直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形． 【解析】 【分析】根据全等的判定和性质，可得，得到，根据勾股定理的逆定理，即可． 【详解】略 18. 如图，折叠长方形的一边，使点D落在边上的点F处，若．求的长． 【答案】 【解析】 【分析】先得出，，再求出的长，则可得的长，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是长方形，， ∴，， 由折叠的性质得：， ∴在中，， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， 即． 19. 已知：如图，在中，E，F分别为和上的点，和相交于点O，且．求证：四边形为平行四边形． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∵ ∴四边形为平行四边形． 【解析】 【分析】先证明，然后根据全等三角形的性质得到，再由证明即可． 【详解】略 四、解答题（本题有3个小题） 20. 如图，的对角线，相交于点O．已知，的周长比的长小， （1）求的长． （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质，周长的计算，结合题意得到，由此即可求解； （2）根据平行四边形的性质，勾股定理得到，在中，由勾股定理列式求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴的周长，的周长， ∴，即， ∴； 【小问2详解】 解：，即， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴． 21. 图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径． （1）判断的形状，并说明理由． （2）若购物车上篮子的左边缘与点的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘到地面的距离． 【答案】（1） 解：为直角三角形，理由如下： 在中， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形． （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理逆定理即可证明； （2）过点作，交于点，利用勾股定理求出，利用等积法求出，由点到地面的距离为即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，过点作，交于点， ∵， ∴， ∵， 即， ∴， ∴点到地面的距离为：． 22. 如图，点是两直角边上的两点，连接，已知点D、E、F分别是的中点． （1）求度数； （2）连，取中点G，连接，若，求的长． 【答案】（1）90度 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，得到．结合即可． （2）连接，取中点G，连接、，证明四边形为矩形．再利用勾股定理得． 【小问1详解】 证明：∵D、E、F分别是的中点， ∴． ∴． ∴， 【小问2详解】 解：连接，， ∵G、F分别是和的中点， ∴． 同理：． ∴， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴四边形为矩形． ∴，， ∵E、F、G，D分别是、、、的中点，， ∴，． ∴． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，矩形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，垂直的定义，熟练掌握中位线定理，矩形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 五、解答题（本题共有2个小题，25题9分，26题12分，共21分） 23. 观察下列一组等式，然后解答后面的问题： ； ； ； ． （1）观察以上规律，请写出第5个等式：________． （2）利用上面的规律，计算． （3）请利用上面的规律，比较与的大小，并写出详细过程 【答案】（1） （2）9 （3） 解：设，， 则， ， ， ， 即， 【解析】 【分析】本题考查规律探索，二次根式的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）观察各式发现规律直接写出第5个等式即可； （2）通过有理化将各式转化为差的形式，求和计算即可； （3）将两式都看为分母为1 的式子，然后进行分子有理化，比较分母大小得出结论即可． 【小问1详解】 解：观察规律，可得第5个等式为． 故答案为：； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 略 24. 如图，在中，，． （1）观察猜想：如图1，作边上的中线，得出以下结论： ①的形状是___________； ②与之间的数量关系为___________． （2）探索发现：如图2，是的中线，是边上任意一点，连接，作等边，且点在的内部，连接．试探究线段与之间的数量关系，写出你的猜想并说明理由． （3）拓展应用：如图3，分别以为边作等边三角形和等边三角形，连接交于点，若，则的长为___________． 【答案】（1）①等边三角形；② （2） ，理由如下： 连接，如图， ，， ，， 又是的中线 ， ， 又是等边三角形 ，， ， ， ， 又， 是的垂直平分线 ； （3）8 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、30度角的直角三角形的性质直角三角形斜边中线的性质和线段垂直平分线的性质，作出正确的辅助线是解决本题的关键． （1）①由题意可得，根据30度角的直角三角形的性质和为边上的中线可得，进而可得结论；②根据等边三角形的性质和即可证得结论； （2）连接，根据等边三角形的性质可证得，可得，进而可得垂直平分，然后根据线段垂直平分线的性质和等量代换即可得到结论； （3）根据等边三角形的性质和等量代换求出，连接，根据等边三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质可得和，进而可得，再利用证明可得，进而求解即可． 【小问1详解】 解：①，， ， 为边上的中线， ， 是等边三角形； ②是等边三角形， ． ， ； 故答案为：等边三角形，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在中，； ∵是等边三角形， ∴． ∴， ∴， 过点P作的中线，如图， ∵是等边三角形，且点E是的中点， ∴，是的角平分线， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴． ∴， 故答案为：8． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $