精品解析：四川省自贡市富顺县富顺第二中学校2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

富顺二中第一学月学科实践展示 数学 一、填空题（共12道，每题4分） 1. 下列各式中属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，是勾股数的是（　　） A. ，2， B. ，， C. 1，1，2 D. 9，12，15 3. 使式子在实数范围内有意义，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 4. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点、为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则四边形的周长是（　　） A. 28 B. 30 C. 32 D. 34 5. 在Rt△中，，，则（ ） A. 9 B. 18 C. 20 D. 24 6. 若一个直角三角形的两条边长分别为5和12，则其第三边的长为（ ） A. B. 或13 C. D. 13 7. 如图，在四边形中，，分别以四边为边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用来表示它们的面积，那么下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，长方体的高为，底面是边长为的正方形一只蚂蚁从顶点开始爬向顶点，那么它爬行的最短路程为（ ） A. B. C. D. 9. 代数式的最小值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在6个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中，如图从A点到B点只能沿图中的线段走，那么从A点到B点的最短距离的走法共有（　　） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 11. 如图，▱ABCD中，AB＝3，AD＝5，AC⊥AB，E、F为线段BD上两动点（不与端点重合）且EF＝BD连接AE，CF，当点EF运动时，对AE+CF的描述正确的是（　　） A. 等于定值5﹣ B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最小值 12. 勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一、如图，在中，，以各边为边向外作正方形、正方形、正方形．连接、、，若，，则这个六边形的面积为（　　） A. 28 B. 26 C. 32 D. 30 二、填空题（共6道，每题4分） 13. 是一个正整数，则的最小正整数是_____． 14. 如图，矩形ABCD的两条线段交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交AD、BC于点E、F，连接CE，已知△CDE的周长为24cm，则矩形ABCD的周长是______cm． 15. 如图所示，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为 ___． 16. 化简：的结果是_____________． 17. 如图，中，，过点B作，且，连接交于点E，若，则_______． 18. 如图，在正方形的对角线上取一点，使得，连接并延长到，使与相交于点，若，有下列四个结论：①；②；③；④．则其中正确的结论有_____________．(填序号) 三、解答题（共8道，19-22题，每题8分，23，24题10分，25题12分，26题14分） 19. 计算： （1）； （2）已知实数在数轴上的对应点位置如图，化简． 20. 已知，，分别求下列代数式的值： （1）； （2）． 21. 如图，一工厂位于点处，河边原有两个取水点，，其中，由于从工厂到取水点的路受阻，为了取水更方便，工厂新建一个取水点（点，，在一条直线上），并新修一条路，测得，，． （1）请判断是否为从工厂到河边最近的一条路（即与是否垂直）？并说明理由； （2）求的长． 22. 如图，在平行四边形中，、分别在、边上，且． （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形． 23. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）． （1）如图1，请用两种不同方法表示图中阴影部分面积． 方法1：______； 方法2：______； 根据以上信息，可以得到等式：______； （2）小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理； （3）如图3，将图2的2个三角形进行了运动变换，若，，求阴影部分的面积． 24. 请运用有理化因式的知识，解决下列问题： （1）化简：________________；比较大小：_____________；（用“”、“”或“”填空） （2）设有理数、满足：，则_______________； （3）已知，求的值． 25. 我们规定用表示一对数对，给出如下定义：记，（，），将与称为数对的一对“对称数对”． 例如：的一对“对称数对”为与． （1）求数对的一对“对称数对”； （2）若数对的一对“对称数对”的两个数对相同，求的值； （3）若数对的一对“对称数对”的一个数对是，求的值． 26. 如图，在中，，，． （1）如图1，求的长； （2）如图2，，与交于点，点为边上一点，连接，是右侧一点，且，，连接、，是的中点．探究、和之间的数量关系并证明； （3）如图3，动点由点出发以每秒个单位的速度在射线上匀速运动，同时动点也从出发，在射线上以每秒个单位的速度匀速运动，设运动时间为秒（），当点到直线的距离等于6时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 富顺二中第一学月学科实践展示 数学 一、填空题（共12道，每题4分） 1. 下列各式中属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，掌握判断最简二次根式的依据是解本题的关键．最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A． 的被开方数不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式，故此选项符合题意； B． 的被开方数含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C ． 的被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D． 的被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：A． 2. 下列各组数中，是勾股数的是（　　） A. ，2， B. ，， C. 1，1，2 D. 9，12，15 【答案】D 【解析】 【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、，不是整数，不能构成勾股数，不符合题意； B、，，不是整数，不能构成勾股数，不符合题意； C、∵，∴不能构成勾股数，不符合题意； D、∵，∴能构成勾股数，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数．一组勾股数必须同时满足两个条件：①三个数都是正整数，②两个较小正整数的平方和等于最大的正整数的平方，这两个条件同时成立，缺一不可． 3. 使式子在实数范围内有意义，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据二次根式及分式有意义的条件、分式的分母不能为零列出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：在实数范围内有意义， ， 解得且． 故选：C． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件、分式的分母不能为零，解题的关键是熟知二次根式具有非负性． 4. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点、为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则四边形的周长是（　　） A. 28 B. 30 C. 32 D. 34 【答案】C 【解析】 【分析】先由作图知平分，然后利用平行四边形的性质和等腰三角形的判定证出，再由已知证出为等边三角形，最后利用等量代换即可得解． 【详解】解：由作图知平分， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴四边形的周长 ，   故选：C ． 【点睛】本题主要考查了作图−基本作图，角平分线的定义，等边三角形的判定和性质，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握，等边三角形的判定和性质是解题的关键． 5. 在Rt△中，，，则（ ） A. 9 B. 18 C. 20 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理即可得到结论. 【详解】∵Rt△中，，， ∴2=18 故选B. 【点睛】此题主要考查勾股定理，解题的关键是熟知勾股定理的内容. 6. 若一个直角三角形的两条边长分别为5和12，则其第三边的长为（ ） A. B. 或13 C. D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 分12是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解． 【详解】当12和5均为直角边时，第三边； 当12为斜边，5为直角边，则第三边； 故第三边的长为13或． 故选B． 7. 如图，在四边形中，，分别以四边为边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用来表示它们的面积，那么下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据勾股定理可得甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积，依此即可求解． 【详解】解：连接， 由勾股定理得， ∴甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积，即． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明4个正方形的面积之间的关系． 8. 如图，长方体的高为，底面是边长为的正方形一只蚂蚁从顶点开始爬向顶点，那么它爬行的最短路程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将立体图形展开，有三种不同的展法，连接AB，利用勾股定理求出AB的长，找出最短的即可． 【详解】解：①如图，将长方体的正面和上面展开在同一平面内，则AD=6dm，BD=6+9=15dm， ； ②如图，将长方体的正面和右面展开在同一平面内，AC=6+6=12dm，BC=9dm， ； ③将长方体的上面和左面展开在同一平面内，则DE=6dm，BE=6+9=15dm， ； ∵， 所以蚂蚁爬行的最短路程为15dm． 故选：C． 【点睛】本题考查的是平面展开——最短路径问题，此类问题先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径一般情况是利用两点之间，线段最短．关键是在平面图形上构造直角三角形解决问题． 9. 代数式的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最短路径问题，勾股定理，理解转化思想是解题的关键． 先根据两点之间的距离公式，把代数式转化为最短路径问题，再根据勾股定理求解． 【详解】解：∵ ∴代数式表示点到和的距离的和，点是轴上的动点， 如图所示，作关于轴的对称点，连接，就是所求的最短路径， ∴ ∴代数式的最小值是． 故选：B． 10. 如图，在6个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中，如图从A点到B点只能沿图中的线段走，那么从A点到B点的最短距离的走法共有（　　） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 【答案】C 【解析】 【详解】如图，由题意和“两点之间线段最短”及“平行四边形的对边相等”可知，由A到B的最短距离的走法有下面三种： （1）由A→C→D→B；（2）由A→F→E→B；（3）由A→F→D→B. 故选C. 11. 如图，▱ABCD中，AB＝3，AD＝5，AC⊥AB，E、F为线段BD上两动点（不与端点重合）且EF＝BD连接AE，CF，当点EF运动时，对AE+CF的描述正确的是（　　） A. 等于定值5﹣ B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最小值 【答案】D 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得出OB＝OD，OA＝OC，得出OB＝EF＝OD，BE＝OF，OE＝DF，由勾股定理求出AC＝＝4，OB＝＝，当BE＝OE时，AE+CF的值最小，E为OB的中点，由直角三角形的性质得出AE＝OB，同理：CF＝OD，即可得出结果 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，OA＝OC， ∵EF＝BD， ∴OB＝EF＝OD， ∴BE＝OF，OE＝DF， ∵AB＝3，AD＝5，AC⊥AB， ∴AC＝＝4， ∴OA＝2， ∴OB＝＝， 当BE＝OE时，AE+CF的值最小，E为OB的中点， ∴AE＝OB， 同理：CF＝OD， ∴AE+CF＝OB＝， 即AE+CF的最小值为； 故选D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键． 12. 勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一、如图，在中，，以各边为边向外作正方形、正方形、正方形．连接、、，若，，则这个六边形的面积为（　　） A. 28 B. 26 C. 32 D. 30 【答案】A 【解析】 【分析】设，，，则，连接、交于点M，连接、，证明，得出，证明，得出，连接，交于点N，同理可得：，得出，求出，，从而得出，，延长作于点P，作于点Q，证明，得出，证明，，，求出，最后求出即可． 【详解】解：设，，，则， 连接、交于点M，连接、，如图所示： ∵四边形和为正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据勾股定理得：，，，， ∴， 即， ∵， ∴， 即， 连接，交于点N， 同理可得：， ∴， ∴，， ，， ∴， 即， ∴， 即， 得：， 解得：， 得：， 即， 解方程组：， 解得：， ∴， ∵a、b、c为正数， ∴，， 延长作于点P，作于点Q，如图所示： 则， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ，， ∴， 同理：，， ， ∴，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，数形结合，熟练掌握勾股定理． 二、填空题（共6道，每题4分） 13. 是一个正整数，则的最小正整数是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据二次根式的定义可得，解得，再根据是一个正整数，可得或4或9，即可得到答案． 【详解】解：由二次根式的定义可得， 解得：， 是一个正整数， 或4或9， 解得：或8或3， 的最小正整数是3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，求得或4或9是解题的关键． 14. 如图，矩形ABCD的两条线段交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交AD、BC于点E、F，连接CE，已知△CDE的周长为24cm，则矩形ABCD的周长是______cm． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：利用FE垂直平分AC可得到AE=CE，那么△CDE的周长就可以表示为AD+CD，也就求出了矩形的周长． 解：∵OA=OC，EF⊥AC， ∴AE=CE， ∵矩形ABCD的周长=2（AE+DE+CD）， ∵DE+CD+CE=24，∴矩形ABCD的周长=2（AE+DE+CD）=48cm． 考点：矩形的性质． 15. 如图所示，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为 ___． 【答案】 【解析】 【分析】根据图形和三角形的面积公式求出△ABC的面积，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】 解：△ABC的面积=×BC×AE=2， 由勾股定理得， 则， 解得， 故答案为： 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键． 16. 化简：的结果是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解此题的关键，这里需注意是负数．根据二次根式的性质计算即可得解． 【详解】解：， 故答案为：． 17. 如图，中，，过点B作，且，连接交于点E，若，则_______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据已知条件证明，然后利用勾股定理求出的长，进而可得的长． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， 在中，根据勾股定理，得 ， ∴， 解得（负值舍去）， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质，平方根，解决本题的关键是得到． 18. 如图，在正方形的对角线上取一点，使得，连接并延长到，使与相交于点，若，有下列四个结论：①；②；③；④．则其中正确的结论有_____________．(填序号) 【答案】①②④ 【解析】 【分析】利用正方形的性质证明△CBE≌△CDE可判断①， 作利用含的直角三角形的性质求解，利用相似三角形的性质可判断②， 过作于，利用等腰直角三角形求解高 计算面积可判断③， 在EF上取一点G，使EG=EC，连结CG，再通过条件证明△DEC≌△FGC就可以得出CE+DE=EF，从而可以判断④； 【详解】证明：①∵四边形ABCD是正方形， ∴CB=CD，∠BCA=∠DCA=45°， ∴△CBE≌△CDE（SAS）， ∴ 故①正确； 如图，作 则 由勾股定理得： 解得：（舍去）， 正方形， 故②正确． 如图，过作于， 由正方形得： 故③错误． 在EF上取一点G，使EG=EC，连结CG， ∵△CBE≌△CDE， ∴∠CBE=∠CDE， ∵BC=CF， ∴∠CBE=∠F， ∴∠CBE=∠CDE=∠F． ∵∠CDE=15°， ∴∠CBE=15°， ∴∠CEG=60°． ∵CE=GE， ∴△CEG是等边三角形． ∴∠CGE=60°，CE=GC， ∴∠GCF=45°， ∴∠ECD=GCF． 在△DEC和△FGC中， ， ∴△DEC≌△FGC（SAS）， ∴DE=GF． ∵EF=EG+GF， ∴EF=CE+ED， 故④正确； 综上：①②④正确， 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质相似三角形的判定与性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行证明是解此题的关键． 三、解答题（共8道，19-22题，每题8分，23，24题10分，25题12分，26题14分） 19. 计算： （1）； （2）已知实数在数轴上的对应点位置如图，化简． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质与化简、实数的混合运算，熟练掌握掌握二次根式的基本性质是解题关键． （1）先计算零指数幂，绝对值，乘方，化简二次根式，然后计算乘法，再计算加减，即可求解； （2）根据二次根式的基本性质，先把二次根式写成绝对值的形式，再用绝对值的性质化简，最后计算． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：由图知：， ，， 原式； 20. 已知，，分别求下列代数式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的运算及乘法公式，熟练掌握二次根式的运算及乘法公式是解题的关键； （1）由题意易得，然后问题可求解； （2）由（1）及可进行求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∴ ． 21. 如图，一工厂位于点处，河边原有两个取水点，，其中，由于从工厂到取水点的路受阻，为了取水更方便，工厂新建一个取水点（点，，在一条直线上），并新修一条路，测得，，． （1）请判断是否为从工厂到河边最近的一条路（即与是否垂直）？并说明理由； （2）求的长． 【答案】（1） 是从工厂到河边最近的一条路，理由为： ，，， ， 是直角三角形，且，则， 根据垂线段最短，是从工厂到河边最近的一条路； （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用、垂线段最短，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解答的关键． （1）根据勾股定理的逆定理和垂线段最短进行计算判断即可； （2）设，则，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则， 在中，由得 解得， 即； 22. 如图，在平行四边形中，、分别在、边上，且． （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1） 四边形是平行四边形， ，， ， ， ； （2） 四边形是平行四边形， ，， ， ，即， 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定与性质． （1）根据平行四边形的性质可得：，，可证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）由四边形是平行四边形可得：，，结合，可得，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）． （1）如图1，请用两种不同方法表示图中阴影部分面积． 方法1：______； 方法2：______； 根据以上信息，可以得到等式：______； （2）小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理； （3）如图3，将图2的2个三角形进行了运动变换，若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）；； （2） ∵， 即， 整理得， 故； （3）27 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明与运用，灵活掌握等面积法在证明勾股定理中的作用是解题的关键． （1）方法1：求得小正方形的边长为，方法2：大正方形的面积减4个直角三角形的面积，据此计算即可； （2），列式计算即可证明； （3）先用勾股定理计算出c，再利用计算面积即可． 【小问1详解】 解：方法1：； 方法2：； ∵，即， 故； 根据以上信息，可以得到等式：； 故答案为：；；； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，， ∵，， ∴， 则， ∴， 故阴影部分的面积为27． 24. 请运用有理化因式的知识，解决下列问题： （1）化简：________________；比较大小：_____________；（用“”、“”或“”填空） （2）设有理数、满足：，则_______________； （3）已知，求的值． 【答案】（1）， （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）利用平方差公式分子分母同时乘以求解即可；由得到，然后利用平方差公式变形求解即可； （2）将变形为，然后根据求解即可； （3）由得到，然后利用分母有理化得到，进而求解即可． 【小问1详解】 ； ∵ ∴ ∴ ∴； 【小问2详解】 ∵ ∵ ∴； 【小问3详解】 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了分母有理数，二次根式的混合运算，平方差公式，熟练掌握分母有理化是解题的关键． 25. 我们规定用表示一对数对，给出如下定义：记，（，），将与称为数对的一对“对称数对”． 例如：的一对“对称数对”为与． （1）求数对的一对“对称数对”； （2）若数对的一对“对称数对”的两个数对相同，求的值； （3）若数对的一对“对称数对”的一个数对是，求的值． 【答案】（1）与 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意将，代入，即可； （2）的一对“对称数对”的两个数对相同说明和相等，求出即可； （3）将数对的一对“对称数对”求出来，分类讨论求出，，即可知． 【小问1详解】 解：由题意得：，， 的一对“对称数对”为与． 【小问2详解】 解：由题意，，， 数对的一对“对称数对”的两个数对相同， ， ， ． 【小问3详解】 解：由题意得：，3或3，， ，或，． 或． 【点睛】本题考查了学生对新定义的理解及根式的计算，要正确的理解新定义是解题的关键． 26. 如图，在中，，，． （1）如图1，求的长； （2）如图2，，与交于点，点为边上一点，连接，是右侧一点，且，，连接、，是的中点．探究、和之间的数量关系并证明； （3）如图3，动点由点出发以每秒个单位的速度在射线上匀速运动，同时动点也从出发，在射线上以每秒个单位的速度匀速运动，设运动时间为秒（），当点到直线的距离等于6时，求的值． 【答案】（1）10 （2）； 理由如下， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，是的中点， ∴， 在中，， ∴； （3）或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键； （1）过作的垂线，垂足是，在中，设，根据勾股定理得出，进而得出，在中，勾股定理，即可求解； （2）先证明，进而证明，由直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，再根据勾股定理得出结论即可； （3）过作于点，作于点，作，与交于点，则，①当点在线段上时，证明，根据，建立方程，解方程，即可求解．②当点在的延长线上时，同理，即可求解． 【小问1详解】 解：过作的垂线，垂足是，在中， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 在中，， 解得：， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过作于点，作于点，作，与交于点，则， ①当点在线段上时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴； ②当点在的延长线上时，如图，则， 同理可证， ∴， ∴， ∴， 综上，当点到直线的距离等于6时，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $