山东省泰安市2025-2026学年八年级下学期期末备考专题训练----04特殊的平行四边形综合训练

泰安市2026年八年级下学期期末备考专题训练----04特殊的平行四边形综合训练 一、单选题 1．如图，的对角线相交于点O，且．若，，则的长为（    ）． A．4 B．8 C． D． 2．如图，在菱形中，与交于点，点在上，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点、、对应的刻度分别为（单位：），则的长度为（   ） A．6 B． C． D．3 4．如图，将两张对边平行的纸条交叉叠放在一起，得到四边形相交于点．下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 5．在四边形A中，对角线与相交于点．现有五组条件：①；②；③；④；⑤．以下选项能判定四边形是菱形的是（   ） A．①③ B．②④ C．③⑤ D．①② 6．如图，将矩形沿直线折叠，使顶点恰好落在边上的点处.已知，，则图中的长为（   ） A． B． C． D． 7．如图，，是的高，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，矩形中，对角线，相交于点O，，则等于（    ） A． B． C． D． 9．小明在学习“特殊平行四边形”一单元后，梳理了如图所示的特殊平行四边形之间的关系．以下选项分别表示A，B，C，D处填写的内容，则对应位置填写错误的选项是（    ） A．对角线夹角为 B．对角线垂直 C．对角线与一边夹角 D．对角线相等 10．如图，在矩形中，，的平分线交于点，，垂足为，连结并延长，交于点，连结交于点下列结论：；；；其中正确的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 11．如图，O是矩形对角线的交点，添加一个条件___________，使矩形成为正方形（填一个即可）． 12．如图，正方形中，点E、F分别在边、上，，，如果，那么的周长是_________． 13．如图，在中，D，E分别为的中点，点F在线段上，且，若，，则的长为______． 14．“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁，李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为的蓝丝带，若，则重叠部分图形的面积是____． 15．如图，点是正方形的对角线上一点，于点，于点，连接，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的有__________． 三、解答题 16．如图，在菱形中，点E，F分别在边和上，且．求证：． 17．如图，四边形是矩形，点E和点F在边上，且．求证：． 18．已知：如图，在中，，点D是的中点，过点A作，，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 19．如图，点是长方形纸片的边上一点，将纸片的一角沿折叠，使点的折叠点落在长方形外侧，．求证：． 20．如图，的对角线、相交于点O，． (1)求证：； (2)连接，，若，试探究四边形的形状，并对结论给予证明． 21．如图，在中，于点，于点，，求证：四边形是正方形． 22．如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，，求的长度． 23．如图，在正方形中，点E在线段上，且不与点B重合，且．过点F作交的延长线于点G，连接． (1)若，求的度数； (2)求证：． 24．如图，在正方形中，点在射线上（不与，重合），点为直线上一点，． (1)如图①，若，，的长是______，的长是______； (2)如图②，当在线段上时，猜想，，之间的数量关系并证明； (3)当在线段的延长线上时，第（2）问中的结论是否成立？若成立，说明理由：若不成立，请探究，，之间的数量关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《泰安市2026年八年级下学期期末备考专题训练----04特殊的平行四边形综合训练》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D D A A D B D A D 1．C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等，理解题意，掌握相关的性质是解题的关键． 根据题意得出四边形是菱形，再由菱形的性质及含30度角的直角三角形的性质得出，结合勾股定理求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ， ∵， ， ∵， ， ， ， 故选：C． 2．D 【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键．由可知，设，则，根据菱形的性质可得，即，求出x的值，进一步即可求出答案． 【详解】解：， ， 设，则， 四边形是菱形， ，， 即， ， 解得， 即，， ， 故选：D． 3．D 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边一半，理解图示是关键，根据题意得到，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求解． 【详解】解：根据题意得到， ∴点是的中点， ∴， 故选：D ． 4．A 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，故选项B，C，D不符合题意， ∵四边形不一定是菱形， ∴与不一定垂直，故选项A符合题意， 故选：A． 5．A 【分析】本题考查了菱形的判定，根据菱形的判定条件，逐一分析各选项组合即可求解． 【详解】解：菱形判定条件包括：① 平行四边形且邻边相等；② 平行四边形且对角线互相垂直；③ 四边均相等． 选项A（①③）： ① 给出两组对边平行，说明四边形为平行四边形． ③ 对角线互相垂直．根据判定条件，平行四边形的对角线垂直则为菱形．故选项A正确，符合题意． 选项B（②④）： ② 对角线相等，④ 一个角为直角．对角线相等的四边形可能是矩形，但无法确定四边相等，故不一定是菱形，不符合题意． 选项C（③⑤）： ⑤ 一组对边平行且另一组对边相等，可能为等腰梯形．即使对角线垂直，无法成为菱形．因此条件⑤无法确保平行四边形，选项C不成立，不符合题意． 选项D（①②）： ① 为平行四边形，② 对角线相等，此时四边形为矩形而非菱形，不符合题意． 故选：A． 6．D 【分析】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理，根据矩形的性质可知，由折叠的性质可知，利用勾股定理可以求出，设，则，利用勾股定理可得方程，解方程即可求出的长度． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， 由折叠可知， 在中，， 设，则， 由折叠可知， 在中，， ， 解得：， . 故选：D． 7．B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线性质，直角三角形两锐角互余．利用等腰三角形的性质结合直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，为的高， ∴平分，， ∴， ∴， ∵是上的高， ∴， ∵是上的高，且， ∴， ∴， 故选：B． 8．D 【分析】本题考查矩形性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 根据矩形性质可得，然后根据三角形的外角的性质即可解决问题． 【详解】解：矩形中，对角线相交于点O， ，， ， ， ， 故选：D． 9．A 【分析】此题考查了矩形，菱形和正方形的判定，根据矩形，菱形和正方形的判定定理求解即可． 【详解】A．对角线夹角为的平行四边形不一定是矩形，故A错误； B．对角线垂直的平行四边形是菱形，故B正确； C．对角线与一边夹角的矩形是正方形，故C正确； D．对角线相等的菱形是正方形，故D正确． 故选：A． 10．D 【分析】此题重点考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明及≌是解题的关键． 由矩形的性质得，，因为，所以，则，则，则，可求得，而，所以，可判断正确；由，得，则，所以，可求得，则，所以，则，所以，再证明，则，可判断正确；再证明≌，得，，可判断正确；由，，推导出，而，则，可判断正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 的平分线交于点， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， 故正确； ，垂足为， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故正确； ，， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， 故正确； ，， ， ， ， ， 故正确， 故选：D． 11．（答案不唯一） 【分析】本题考查的是正方形的判定．有一组邻边相等的矩形是正方形，对角线互相垂直的矩形是正方形，再根据正方形的判定方法分析即可． 【详解】解：根据“有一组邻边相等的矩形是正方形”， 可添加：； 根据“对角线互相垂直的矩形是正方形”， 可添加：； 故答案为：（答案不唯一） 12．/ 【分析】证明出四边形是平行四边形，得到，求出，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形 ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∴ ∴的周长是． 13．2 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半，直角三角形斜边中线等于斜边一半，是解题的关键． 根据三角形中位线定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线的性质求出，进而求出 【详解】解：，E分别为的中点， 是的中位线， ， 在中，D为的中点，， 则， ， 故答案为： 14． 【分析】此题主要考查了菱形判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握菱形判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键．过点B作于点E，过点D作于点F，依题意得，则四边形是平行四边形，根据蓝丝带宽为得，再根据等腰直角三角形勾股定理，进而得平行四边形是菱形，然后根据菱形的面积公式即可得出重叠部分图形的面积． 【详解】解：过点B作于点E，过点D作于点F，如图所示： 依题意得：， 四边形是平行四边形， 蓝丝带宽为， ， ， 和都是等腰直角三角形， ，， 在中，由勾股定理得：， 同理：， ， 平行四边形是菱形， 重叠部分图形的面积是：， 故答案为：． 15．①②③④ 【分析】过作于点，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明后即可证明①；③；在此基础上，再证明是等腰直角三角形，即可判断②；根据正方形的对角线平分对角的性质，在直角中，，在直角中，，在直角中，，从而即可得出结论． 【详解】解：过作于点， 是正方形， ，，， ，， 四边形是矩形，四边形是矩形， ，，，，，， ，， 在中，， ， ， ， ，， ， ， ，故①正确，， ，，故③正确， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，即， ， ， 即，故②正确， 在直角中，， 在直角中，， 在直角中，， ，故④正确， 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用，熟练掌握相关知识是解题的关键． 16．见解析 【分析】本题考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用菱形的性质得出角相等，再通过全等三角形的判定证明两个三角形全等，进而得到对应角相等． 利用菱形对角线平分一组对角的性质，得到；再利用“边角边”定理证明两三角形全等，从而得到其对应角相等． 【详解】证明：连接， ∵四边形是菱形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 17．见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质．根据矩形的性质得到，，再推出，利用证明，即可得到． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 18．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再根据直角三角形的性质，即可证明结论； （2）先根据直角三角形的性质求得，然后根据勾股定理求出，再证明，即可得答案． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ，点D是的中点， ， 平行四边形是菱形． （2）解：，，， ， ， 四边形是平行四边形， , 点D是的中点， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定及直角三角形的性质是解题的关键． 19．见解析 【分析】本题主要考查了长方形的性质，翻折的性质，平行线的判定和性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据长方形的性质以及翻折的性质求出相关角的度数，然后根据直角三角形的性质得出相关角的度数，得出，即可得出两直线平行． 【详解】证明：由长方形的性质以及翻折的性质，得， ，， 又， ． ， ． 20．(1)见解析； (2)四边形是菱形，证明见解析． 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定、菱形的判定等知识，推导出，及是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，，则，而，即可根据“”证明； （2）由平行四边形的性质得，，因为，所以，则，所以四边形是平行四边形，而，则四边形是菱形． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ； （2）解：四边形是菱形， 证明：如图，连接，， 四边形是平行四边形，对角线、相交于点O， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 21．见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质，正方形的判定等知识，先利用平行四边形的性质得到，从而证明四边形是矩形，再结合即可得证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是矩形． ∵， ∴四边形是正方形． 22．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识；正确的识别图形是解题的关键． （1）由平行四边形性质得到且，即可得到，可得是平行四边形，根据矩形的判定即可得到结论； （2）由矩形的性质得到，，进而求得，，由勾股定理可求得和，由平行四边形性质得，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵在平行四边形中， ∴且， ∵， ∴， 即． ∴且， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴是矩形； （2）解：由（1）知：四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴在中，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 23．(1) (2)证明见详解 【分析】本题考查了正方形的性质，直角三角形两锐角互余及全等三角形的判定与性质． （1）根据正方形的性质可得，再由已知条件利用直角三角形两锐角互余可求得的度数，再根据利用平角的定义可求出的度数； （2）利用直角三角形两锐角互余及平角的定义得到，证明推导出，，利用正方形的性质可得到，则，进而得出． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴． （2）证明：由题意知，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵四边形是正方形， ∴， ∴，即， ∴． 24．(1)， (2)，证明见解析 (3)不成立，，证明见解析 【分析】（1）由正方形的性质结合直角三角形的性质和勾股定理可得答案； （2）如图，在的延长线上截取，连接，证明，，可得，，再证明，可得，从而可得结论； （3）在线段上截取线段，证明，，再证明，可得，再结合线段的和差关系可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵正方形，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，同理， ∴； 故答案为：，； （2）解：，理由如下： 如图，在的延长线上截取，连接，如图： ∵四边形是正方形 ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴； （3）解：数量关系：，理由如下： 在线段上截取线段，如图所示， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 即． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的性质，直角三角形的性质和勾股定理，等腰三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $