期末备考专题训练----03正方形的性质与判定2025－2026学年鲁教版（五四制）（2012）数学八年级下册

泰安市2026年八年级下学期期末备考专题训练----03正方形的性质与判定 一、单选题 1．下列说法不正确的是（    ） A．平行四边形的对边相等 B．菱形的对角相等 C．矩形的对角线互相垂直 D．正方形的四条边均相等 2．如图，为正方形对角线上的一点，过点作于点，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，在边长为4的正方形，点E是上一点，点F是延长线上一点，连接，，平分，交于点M．若，则的长度为（    ） A．2 B． C． D． 4．如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 5．如图，的对角线相交于点，下列条件不能判定是正方形的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在正方形中，，P是边上的动点，于点E，于点F，则的值为（　　） A．4 B． C． D．2 7．如图，四边形是正方形，是延长线上一点．已知，，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 8．在学习了《平行四边形》这一章节后，嘉嘉针对几种特殊的平行四边形的关系画出了如图草图，她让同桌琪琪在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（　　） A．①：有一个角是直角 B．③：对边相等 C．②：有一组邻边相等 D．④：对角线相等 9．如图所示：正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长相等，若正方形的边长为4，则两个正方形重叠部分的面积为（    ） A．16 B．8 C．4 D．1 10．如图，在中，点D，E，F分别在三边，，上（不与顶点重合），且满足，，连接．下列说法一定正确的是（   ） A．四边形为平行四边形 B．当平分时，四边形为矩形 C．当时，四边形为菱形 D．当为等腰直角三角形时，四边形为正方形 二、填空题 11．如图，点为正方形边上一点，若，，则该正方形的对角线长为______． 12．如图，在正方形中，点为对角线上一点，若，则的度数为________． 13．如图，正方形的边长为，对角线，交于点，为边上一点，且，则的长为 _________________ ． 14．如图，正方形的对角线相交于点O，，．若，则四边形的面积是______． 15．如图，已知正方形边长为4，点为边的中点，连接，取的中点，过点作的垂线，交于点，则的长为_______． 三、解答题 16．如图，正方形中，点，分别为，边上的点，且，连接，求证：． 17．如图，在中，，点D是的中点，．过点D作且，连接．求证：四边形是正方形． 18．如图，点分别在正方形的边上，，点在的延长线上，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 19．如图，四边形中，，，，，．点，分别在，上． (1)求证：四边形是正方形． (2)已知，且，求的长． 20．如图，四边形为正方形，，且，直线交延长线于．求证：． 21．如图，在正方形中，点是边上的一点，点是的延长线上一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 22．如图1，在中，为边上一点，过点作于点，过点作，交延长线于点． (1)求证：； (2)如图2，当为边中点时，连接，． ①求证：四边形是菱形； ②当为多少度时，四边形是正方形？并请说明理由． 23．正方形中， E是边上的点， 且，连接． (1)如图1，直接写出 ； (2)如图2， 连接， 证明： (3)如图3， 连接交于点 H， 连接， 证明： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《泰安市2026年八年级下学期期末备考专题训练----03正方形的性质与判定》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D B B B B B C A 1．C 【分析】本题考查平行四边形的性质，正方形的性质，菱形的性质，矩形的性质，根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质，逐一判断各选项的正误 【详解】解：∵平行四边形的对边相等，∴A选项说法正确 ∵菱形是特殊的平行四边形，平行四边形对角相等，∴菱形的对角相等，B选项说法正确 ∵矩形的对角线相等且互相平分，不一定互相垂直，∴C选项说法不正确 ∵正方形的四条边均相等，∴D选项说法正确 故选：C． 2．A 【分析】本题考查正方形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题关键． 根据正方形的性质得出，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 3．D 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，先由正方形的性质得到，再证明得到，进一步证明得到，设，则，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故选：D． 4．B 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、直角三角形的特征，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．根据正方形的性质及直角三角形的特征可得，再根据全等三角形的判定及性质即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，，， ∵， ， 在和中， ， ， ， 故选：B． 5．B 【分析】此题主要考查了正方形的判定，关键是熟练掌握正方形的判定定理． 根据正方形的判定定理逐选项分别进行分析即可． 【详解】解：A． 由，可判断是矩形，由可判定矩形是正方形，此选项不合题意； B． 由可判断是菱形，由菱形可判定，此选项不能判定是正方形，符合题意； C． 由可判断是菱形，由可判定菱形为正方形，此选项不符合题意； D． 由可判定是菱形，由可得，进而可判定菱形为正方形，不符合题意； 故答案为：B． 6．B 【分析】先由勾股定理求出，证明四边形是矩形，根据是等腰直角三角形得，，由此即可得出的值． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握上述知识点是解题的关键． 7．B 【分析】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质等知识点，灵活运用勾股定理求直角三角形的边是解题的关键． 先根据正方形的性质和勾股定理可求得，再根据正方形的性质求面积即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，是延长线上一点， ∴， ∴， ∴正方形的面积为． 故选B． 8．B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，特殊四边形的判定解题的关键是掌握特殊四边形的判定方法． 根据特殊四边形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：A：有一个角是直角的平行四边形是矩形，①正确； B：应该是邻边相等的矩形是正方形，③错误； C：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，②正确； D：对角线相等的菱形是正方形，④正确； 故选：B． 9．C 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题关键．过点作，，和的交点为，和的交点为，根据正方形的性质可证，四边形是正方形，得到，再证明，得到，从而得出两个正方形重叠部分的面积，即可得解． 【详解】解：如图，过点作，，和的交点为，和的交点为， ， 四边形和是正方形， ，，， 四边形是矩形， ，，，， ，， 四边形是正方形， ，， ，即， 又，， ， ， 两个正方形重叠部分的面积， 故选：C． 10．A 【分析】本题考查了正方形的判定，等腰直角三角形的性质，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．根据平行四边形的判定、矩形的判定定理、菱形的判定定理、等腰直角三角形的性质逐一进行判断即可得到结论． 【详解】解：，， 四边形为平行四边形，故A正确，符合题意； 平分， ， ， ， ， 四边形为菱形，故B错误，不符合题意； ， ， 四边形为矩形，故C错误，不符合题意； 为等腰直角三角形， ， 四边形为平行四边形， 四边形为矩形， 即为等腰直角三角形时，只能证明四边形为矩形，故D错误，不符合题意； 故选：A． 11． 【分析】在中，利用勾股定理求出的长度，再在中，利用勾股定理求出对角线的长度． 【详解】解：连接，如图所示： 四边形是正方形， ，， 在中，，， 由勾股定理得：， 在中，， 由勾股定理得：， 该正方形的对角线长为． 12．/20度 【分析】本题考查正方形的性质，三角形的外角性质，根据正方形的性质求出，然后利用三角形的外角解答即可． 【详解】解：∵是正方形， ∴， ∴， 故答案为：． 13．/ 【分析】根据正方形的性质结合勾股定理求得，进而可得，结合已知可得，根据，即可求解． 【详解】解：正方形的边长为，对角线，交于点， ，，， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， 的长为． 14．25 【分析】本题考查正方形的判定与性质． 根据正方形的对角线互相垂直平分且相等，得到，再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形为平行四边形，利进而可得到四边形为正方形，即可求出其面积． 【详解】解：∵四边形为正方形， ，， ， ， ∴， ， ∴四边形为平行四边形， ，， ∴四边形为正方形， ． 故答案为：25 15． 【分析】本题考查了正方形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，掌握垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键．连接、，由题意可知垂直平分，则，设，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接、，   正方形边长为4， ，， 点为中点， ， 点为中点，， 垂直平分， ， 设，则， 在中，， 在中，， ， 解得：． 故答案为：． 16．证明见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定．根据正方形的性质得出，，根据已知条件得出，证明，得出，即可得证． 【详解】解：在正方形中，，， ， ， ， ， ． 17．见解析 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的判定，先证明，，即可得到结论． 【详解】证明：∵点D是的中点， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴，则， ∴四边形是矩形． ∵， ∴四边形是正方形． 18．(1)见解析 (2)5 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的知识的综合，掌握正方形的性质是关键． （1）根据题意证明，即可求解； （2）根据题意证明，在中，运用勾股定理得到，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：由，得， ∴， ∴ 在与中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴． 19．(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，平行四边形、菱形、正方形的判定，勾股定理等，构建全等三角形，利用方程思想是解题的关键． （）根据平行四边形、菱形、正方形的判定方法即可求证； （）在延长线上截取，连接，，由四边形是正方形，则，，证明，，设，则，，则，即，求出，最后通过勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形； （2）解：如图，在延长线上截取，连接，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴． 20．见解析 【分析】本题考查了正方形的判定与性质、三角函数、等腰三角形的判定与性质等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．连接，作于，根据正方形的性质证出正方形，求出，求出，根据等腰三角形性质和三角形的外角性质求出，求出的度数即可． 【详解】证明：连接，作于， 在正方形中， ，， ， 四边形是正方形． 由， 在中， ， 在正方形中， ． 21．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，熟悉掌握各性质是解题的关键． （1）利用正方形的性质证出，即可解答； （2）利用全等的性质证出，利用勾股定理求出的长，再利用面积公式运算求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， ∴， ∵， ∴， 在中，，，根据勾股， ∵， ∴的面积． 22．(1)证明见详解 (2)①证明见详解；②当时，四边形是正方形 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定、正方形的判定，熟练掌握平行四边形的判定与性质，菱形的性质，正方形的判定是解题的关键， （1）根据平行四边形的判定与性质即可证得答案； （2）①根据菱形的判定即可证得四边形是菱形；②根据正方形的判定即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 即， ∴四边形是平行四边形， ∴． （2）①证明：∵为边中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，为边中点， ∴， ∴四边形是菱形． ②当时，四边形是正方形，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵为边中点， ∴， ∴， 又∵四边形是菱形， ∴四边形是正方形． 23．(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点； （1）在上截取，连接，易得，证明，得到，即可； （2）连接，易得，由（1）可得：，进而得到，即可得证； （3）连接，证明，进而得到，，证明，得到，进而得到，三线合一即可得到． 【详解】（1）解：在上截取，连接， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴，，即：， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）连接， ∵，， ∴， 由（1）可知：，， ∴， ∴； （3）连接， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $