精品解析：江苏省镇江中学2025-2026学年高二下学期4月期中考试数学试题

2024级高二下学期4月期中考试试题 数学 2026.04 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. 14 B. 21 C. 42 D. 49 2. 可以表示为（ ） A. B. C. D. 3. 5名学生站成一排，若学生甲乙都不站两端，则不同站法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 4. 5名运动员争夺4项比赛冠军（每项比赛无并列冠军），获得冠军的可能种数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知某厂甲､乙两车间生产同一批商品，且甲､乙两车间的产量分别占全厂产量的，甲､乙车间的优品率分别为.现从该厂这批产品中任取一件，则取到优品的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 的展开式中的系数为 A. -40 B. -10 C. 40 D. 30 7. 镇江西津渡元宵节灯展后，悬挂的2串（7盏）不同的花灯需要取下，如图所示，每次取1盏，第一串最下面的花灯标记为，第二串最下面的花灯标记为，若7盏灯都需要取下，则花灯与花灯被相邻取下的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组数据如下：2023，2024，2025，2025，2026，2027，则（ ） A. 这组数据的极差为4 B. 这组数据的方差为2 C. 这组数据的众数等于平均数 D. 这组数据的第70百分位数为2026 10. 已知事件满足，则下列结论正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果与相互独立，那么 C. 如果与互斥，那么 D. 如果，那么 11. 若，则（ ） A. B. C. D. 除以的余数为4 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某班学号1-8的学生铅球测试成绩如下表： 学号 1 2 3 4 5 6 7 8 成绩 9.2 7.9 8.5 6.8 5.2 7.2 8.1 8.2 这8名学生铅球测试成绩的第25百分位数为__________． 13. 已知多项式，则的值为__________. 14. 镇江中学教学区含有三个年级的教学楼与养德楼共四座楼，有学生建议在这4座楼的第五层位置建3个连廊，将这4座楼宇连接起来.若采纳建议的话，则共有__________种不同的方案. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题： （1）若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数： （2）以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数： （3）若学校安排甲､乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲､乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率. 16. 镇江某商场开展购物抽奖活动，在袋中装有标有数字1到6的六个大小,形状相同的小球，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字，奖励的金额为三个小球上的最大数字的50倍人民币，用表示获得的奖金数额． （1）求取出的三个球的标号和为奇数的概率； （2）在已知取出的三个小球的标号和为奇数的条件下，求的概率； （3）计算随机变量的分布列与数学期望． 17. 已知在的展开式中，只有第6项的二项式系数最大. （1）求； （2）求展开式中系数绝对值最大的项和系数最大的项. 18. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求椭圆的方程： （2）过椭圆上异于椭圆顶点的点作两条直线，分别与椭圆相交于异于点的点，若四边形为平行四边形，探究四边形的面积是否为定值.若是，求出此定值：若不是，请说明理由. （3）在（2）的条件下，直线必与一个定椭圆相切，请写出此椭圆方程并证明. 19. 已知函数， （1）当时，求函数的单调区间： （2）求函数的最小值 （3）当时，，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高二下学期4月期中考试试题 数学 2026.04 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. 14 B. 21 C. 42 D. 49 【答案】B 【解析】 【详解】. 2. 可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据排列数公式即可求解. 【详解】根据排列数公式， 可得. 3. 5名学生站成一排，若学生甲乙都不站两端，则不同站法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，先从中间的三个位置中，选出2个位置，安排甲乙，再把剩余的3个位置，进行全排列，即可求解. 【详解】先从中间的三个位置中，选出2个位置，安排甲乙，再把剩余的3个位置，进行全排列， 所以甲乙都不站两端的不同站法共有种. 故选：A. 4. 5名运动员争夺4项比赛冠军（每项比赛无并列冠军），获得冠军的可能种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于每项冠军，都有5种选择， 根据分步计数原理，可得获得冠军的可能种数是种. 5. 已知某厂甲､乙两车间生产同一批商品，且甲､乙两车间的产量分别占全厂产量的，甲､乙车间的优品率分别为.现从该厂这批产品中任取一件，则取到优品的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由全概率公式结合题设可得答案. 【详解】设产品来自甲车间为事件，产品来自乙车间为事件，取到优品为事件C. 由题可得，，， 则由全概率公式，. 6. 的展开式中的系数为 A. -40 B. -10 C. 40 D. 30 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式即可求解. 【详解】根据题意知，的展开式的通项公式为， ∴展开式中含项的系数为. 故选：D. 【点睛】本题考查了二项式定理的展开式、求二项式展开式的系数，属于基础题. 7. 镇江西津渡元宵节灯展后，悬挂的2串（7盏）不同的花灯需要取下，如图所示，每次取1盏，第一串最下面的花灯标记为，第二串最下面的花灯标记为，若7盏灯都需要取下，则花灯与花灯被相邻取下的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意7次取灯中任选4次取第一串（或任选3次取第二串），花灯与花灯被相邻取下，即前2次取下花灯与花灯，后5次取灯中任选3次取第一串（或任选2次取第二串），结合组合数求出对应取法数，最后应用古典概型的概率求法求概率. 【详解】由题意，一共7盏灯全部取下要7次，其中4次取第一串，3次取第二串， 所以，只需7次取灯中任选4次取第一串（或任选3次取第二串）共有种， 前2次取下花灯与花灯，其中1次取，1次取，即相邻取下有种， 后5次取灯中任选3次取第一串（或任选2次取第二串）共有种， 所以花灯与花灯被相邻取下共有种， 综上，花灯与花灯被相邻取下的概率为. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由二项展开式得到，进而可得，再代入求和即可． 【详解】解：， 则， 所以， 所以 ． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组数据如下：2023，2024，2025，2025，2026，2027，则（ ） A. 这组数据的极差为4 B. 这组数据的方差为2 C. 这组数据的众数等于平均数 D. 这组数据的第70百分位数为2026 【答案】ACD 【解析】 【详解】A：由数据知，极差为，对； B：平均数为 则方差，错； C：众数为，即与平均数相等，对； D：由，则数据的第70百分位数为，对. 10. 已知事件满足，则下列结论正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果与相互独立，那么 C. 如果与互斥，那么 D. 如果，那么 【答案】BC 【解析】 【详解】选项A：若，且事件与为对立事件时满足题意， 此时，故A错误； 选项B：如果与相互独立，则与相互独立， ，故B正确； 选项C：如果与互斥，则，故C正确； 选项D：如果，则， ，故D错误. 11. 若，则（ ） A. B. C. D. 除以的余数为4 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用组合数公式及求得，再应用排列组合数的性质分析A、B、C，根据二项式定理确定余数判断D. 【详解】由， 则，又，可得， 所以，A对， 由， 所以，B对， 由， 所以，C错， 由， ， ，而， 所以除以的余数为，D对. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某班学号1-8的学生铅球测试成绩如下表： 学号 1 2 3 4 5 6 7 8 成绩 9.2 7.9 8.5 6.8 5.2 7.2 8.1 8.2 这8名学生铅球测试成绩的第25百分位数为__________． 【答案】7 【解析】 【分析】先排序，再利用百分位数的计算方法即可求解． 【详解】先将这8个数据从小到大排序：5.2，6.8，7.2，7.9，8.1，8.2，8.5，9.2， 因为，所以这8名学生铅球测试成绩的第25百分位数为． 13. 已知多项式，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】令求出,令，化简即可求解. 【详解】令，可得：， 令，可得：， 即. 14. 镇江中学教学区含有三个年级的教学楼与养德楼共四座楼，有学生建议在这4座楼的第五层位置建3个连廊，将这4座楼宇连接起来.若采纳建议的话，则共有__________种不同的方案. 【答案】16 【解析】 【分析】利用组合数结合图形情况计算即可. 【详解】 如图所示一共6条连廊，从中选择3座，则有 排除不连通的4种情况(其中一种如下图)，得16种方案. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题： （1）若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数： （2）以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数： （3）若学校安排甲､乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲､乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率. 【答案】（1）2 （2）71， （3） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图各矩形所表示频率之和为1，可得，据此可得答案； （2）由频率分布直方图计算平均数，中位数方法可得答案； （3）记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件，甲复赛获优秀等级为事件B，乙复赛获优秀等级为事件C，方法1，由可得答案；方法2，由对立事件概率关系可得答案. 【小问1详解】 由，得， 则成绩不高于60分的人数为：， 成绩不高于50分的人数为：， 则从不高于60分的人中抽5人，其中不高于50分人数为：； 【小问2详解】 平均数. 因为在内共有80人，则中位数位于内，设中位数为， ，解得； 【小问3详解】 记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件，甲复赛获优秀等级为事件B，乙复赛获优秀等级为事件C，则 方法1，，则至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为. 法二：.则至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为. 16. 镇江某商场开展购物抽奖活动，在袋中装有标有数字1到6的六个大小,形状相同的小球，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字，奖励的金额为三个小球上的最大数字的50倍人民币，用表示获得的奖金数额． （1）求取出的三个球的标号和为奇数的概率； （2）在已知取出的三个小球的标号和为奇数的条件下，求的概率； （3）计算随机变量的分布列与数学期望． 【答案】（1） （2） （3）分布列的分布列为： 150 200 250 300 数学期望为 【解析】 【分析】（1）三个球的标号和为奇数有一个奇数两个偶数和三个奇数，有种，再由古典概型求概率； （2）根据条件概率求解； （3）随机变量的取值为：，计算出分布列，即可求解数学期望． 【小问1详解】 记事件：取出的三个球的标号和为奇数， 则取出的三个球的标号和为奇数有两种情况，①三个奇数；②一个奇数和两个偶数， 则． 【小问2详解】 事件， 则． 【小问3详解】 随机变量的取值为：， ， ， 的分布列为： 150 200 250 300 ． 17. 已知在的展开式中，只有第6项的二项式系数最大. （1）求； （2）求展开式中系数绝对值最大的项和系数最大的项. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 因为二项式展开式中间项的二项式系数最大，而的展开式中只有第6项的二项式系数最大， 所以展开式共有11项，可得. 【小问2详解】 展开式的通项是， 系数的绝对值为，若它最大，则， 解得，因为且为整数，所以解得， 此时第4项系数绝对值为， 而第1项系数绝对值为1，第11项系数绝对值为， 所以系数绝对值最大的项是第4项，即； 系数最大的项应在项数为奇数的项之中，即当取偶数时，相应各项系数分别为 ， 故系数最大的项是第5项，即. 18. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求椭圆的方程： （2）过椭圆上异于椭圆顶点的点作两条直线，分别与椭圆相交于异于点的点，若四边形为平行四边形，探究四边形的面积是否为定值.若是，求出此定值：若不是，请说明理由. （3）在（2）的条件下，直线必与一个定椭圆相切，请写出此椭圆方程并证明. 【答案】（1） （2）是，定值为 （3） 定椭圆方程为，证明： 设定椭圆的方程为 由（2）得，直线的方程为. 联立，整理得， 则Δ ； 由（2）得； Δ； 直线与定椭圆相切，Δ，即，整理得 ； ，解得，. 定椭圆方程为，即. 【解析】 【分析】（1）因为椭圆离心率公式为，且椭圆满足，又椭圆过点，联立三个条件建立关于的方程组，求解得到椭圆方程； （2）直线斜率进行分类讨论，得出直线斜率存在的情况；设直线方程为，，，联立椭圆方程，利用韦达定理得到，；再利用四边形是平行四边形，根据向量平行四边形法则可得，得到点的坐标，根据点在椭圆上，得到和的关系式；利用平行四边形面积公式，结合弦长公式和点到直线距离公式计算面积，判断是否为定值； （3）根据（2）中得到的直线的相关参数关系，设出定椭圆的一般形式，利用直线与椭圆相切的条件（联立方程后判别式），推导定椭圆的方程. 【小问1详解】 椭圆的离心率为，且过点 ，解得，； 椭圆C的方程为. 【小问2详解】 四边形的面积是定值，定值为，理由如下： ①当直线的斜率不存在时，此时，两点关于轴对称； ∵四边形为平行四边形，； 点在椭圆上，点为椭圆的左右顶点，不符合题意. ②当直线的斜率为0时，此时，两点关于轴对称； ∵四边形为平行四边形，； 点在椭圆上，点为椭圆的上下顶点，不符合题意. ③当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，. 联立，整理得， 则Δ，即； 由韦达定理得，； ； ∵四边形为平行四边形，； . ∵点在椭圆上，，整理得. ； ∵原点O到直线的距离； . ∴四边形的面积为定值. 【小问3详解】 略 19. 已知函数， （1）当时，求函数的单调区间： （2）求函数的最小值 （3）当时，，求实数的取值范围. 【答案】（1）单调递减区间是，单调递增区间是 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用函数导数分析函数单调区间即可； （2）利用函数导数与函数单调性，以及分类讨论思想分析求解即可； （3）将问题转化为恒成立问题，构造新函数，利用函数性质分析即可. 【小问1详解】 当时，， 则， 当时，，当时，， 所以函数单调递减区间是，单调递增区间是 【小问2详解】 因为 所以 ①当时，由恒成立，则在上递减， 所以， ②当时，令，则， 令，由，则， 所以函数在上递减，在上递增 当时，即，得到， 当时，即，得到， 当时，即，得到， 所以当时，在上递减， ， 当时，函数在上递减，在上递增， 所以， 当时，在上递增， 此时， 综上所述：. 【小问3详解】 当时，由，即， 也即， 令， 当，即时，由， 则，而， 所以恒成立， 当，即时， 取，因为，所以，所以， 因为 所以不恒成立，综上所述：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $