专题08全等三角形、探索三角形全等的条件 复习讲义（10大核心题型+重点知识梳理）-2025-2026学年北师大版数学七年级下学期.

专题08全等三角形、探索三角形全等的条件 复习讲义 高效复习◆重点 1.熟练掌握三角形全等的5种判定定理，明晰各定理的核心条件与适用范畴，精准区分不同判定方法的适用差异； 2. 能够准确识别全等三角形的对应边与对应角，快速挖掘题目中的隐含条件，高效判定三角形全等关系； 3. 规范全等三角形证明的书写格式，做到推理过程严谨、条理清晰，能够运用定理完成线段相等、角相等的几何证明； 核心题型◆归纳 题型1全等三角形的概念、性质 题型2将已知图形分割成几个全等图形 题型3用SSS证明三角形全等 题型4全等的性质和SSS综合 题型5用ASA（AAS）证明三角形全等 题型6全等的性质和SAS综合 题型7全等三角形的判定综合 题型8结合尺规作图的全等问题 题型9利用全等图形求正方形网格中角度之和 题型10提升测试 重点知识◆梳理 知识点一、全等三角形的概念 定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。如下图 用符号“≌”表示，读作全等于.如：△ABC和△DEF全等，记作 △ABC≌△DEF ★注意判断是否为全等形时需注意： 两个必须相同的条件：形状相同、大小相同； 两个无关条件：与位置无关、与方向无关； 全等三角形的对应元素： 对应顶点：全等三角形中，能够重合的顶点； 对应边：全等三角形中，能够重合的边； 对应角：全等三角形中，能够重合的角； 知识点二、全等三角形的基本性质 对应边相等：若两个三角形全等，则它们的对应边长度完全相等． 对应角相等：全等三角形的对应角大小是相等的． 拓展性质： 对应高相等：全等三角形对应边上的高是相等的． 对应中线相等：全等三角形对应边上的中线长度相等． 对应角平分线相等：全等三角形对应角的平分线长度也相等． 周长相等：因为全等三角形的对应边都相等，所以它们的周长必然相等． 面积相等：全等三角形能够完全重合，它们所覆盖的区域大小相同，所以面积相等． 知识点三、三角形全等的判定定理 边边边：三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”． 如下图△ABC与△DEF： 边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）． 如下图：在△ABC和△DEF中， ∵ ∴△ABC≌△DEF 角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）． 如下图：在△ABC和△DEF中 ， ∵ ∴△ABC≌△DEF 角角边：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”） 如下图：在△ABC和△DEF中， ∵ ∴△ABC≌△DEF 斜边、直角边（HL） 在直角三角形中，斜边与一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 如下图两个直角三角形： 知识点四、三角形的稳定性及应用 只要三角形的三边长确定，这个三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性． 三角形稳定性的应用： 稳定性是三角形特有的性质，在生产和生活中具有广泛的应用，有很多需要保持稳定的物体都被制成三角形的形状，如起重机、钢架桥等． 题型解析◆精准备考 题型1全等三角形的概念、性质 1．如图，七巧板中有个等腰直角三角形（），其中与三角形全等的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：与三角形全等的是． 2．已知图中的两个三角形全等，则_____． 【答案】/50度 【分析】根据全等三角形的性质解题． 【详解】解：∵图中的两个三角形全等，是边和边的夹角， ∴． 3．如图，已知，，，三点共线，如果，，求的长． 【答案】7 【分析】先利用线段和差求出，再利用全等三角形的性质求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 题型2将已知图形分割成几个全等图形 1．如图，四边形是由8个全等梯形拼接而成，其中，，则的长为（　　）    A．10.8 B．9.6 C．7.2 D．4.8 【答案】B 【分析】本题考查了全等图形的性质，由图形知，所示的图案是由梯形和七个与它全等的梯形拼接而成，根据全等图形的性质有是解决问题的关键． 【详解】解：∵四边形为梯形，上底，下底，四边形是由8个全等梯形拼接而成， ∴． 故选：B． 2．在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于______． 【答案】7 【分析】沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形，画出所有的分割方案，即可得到最长分割线的长度． 【详解】解：分割方案如图所示： 由图可得，最长分割线的长度等于7． 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查全等形的性质，解决本题的关键是要熟练掌握全等形的性质. 3．手工劳动课上，老师给每个小组发一张硬纸板（如图），要求每个小组把它分成四个形状相同、面积相等的图形．他们该怎么分？请你试一试． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了分割大小形状的图像，先将图根据标记的数字画出等面积的小格，然后以阴影部分为基本图形，画出形状相同、面积相等的图形． 【详解】解：先将图根据标记的数字画出等面积的小格，然后以阴影部分为基本图形，可以分别得出下图所示的四种分法： 题型3用SSS证明三角形全等 1．如图，若，，则可得．其判定依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，利用证明三角形全等即可． 【详解】解：在和中， ，，， ， 故选：A． 2．如图，下面是“作一个，使得”的尺规作图方法． （1）作一条线段； （2）以为圆心，长为半径画弧，以为圆心，长为半径画弧，两弧在线段上方交于点； （3）连接，，则． 上述判定的依据是________． 【答案】三边分别相等的两个三角形全等（） 【分析】根据尺规作图的步骤，可得，，，根据“三边分别相等的两个三角形全等”，可判定． 【详解】解：根据题意可知，，， 在和中， ， ． 3．如图，点C、B、E、F在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵， ， ∴， 在和中， ∵ ∴． 题型4全等的性质和SSS综合 1．如图，在一个平分角的仪器中，，将点放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线就是这个角的平分线．其原理是通过判定，得到，其中判定这两个三角形全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质．直接根据判定即可． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴． 故选：D． 2．如图，在中，，，则________． 【答案】 【分析】利用证明得到，再由平角的定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 3．如图，，，，相交于点．求证． 【答案】见解析 【分析】直接证明，根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】证明：在和中， ， ． 题型5用ASA（AAS）证明三角形全等 1．如图，小红练习本上三角形被墨水污染了一部分，她根据所学的知识画出了一个与它全等的三角形，那么小红画出全等三角形的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定；根据图形可知两角及夹边是已知条件即可判断． 【详解】解：由图可知，左上角和左下角可测量，为已知条件，两角的夹边也可测量，为已知条件， 故可据此得到与原图形全等的三角形， 即小红画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（）， 故选：D． 2．如图，已知，要根据，判定，则需要补充的一个条件为____________． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定的依据添加合适的条件即可． 【详解】解：补充的一个条件为， ∵，，， ∴， 故答案为： 3．如图，点，都在线段上，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据角边角的证明方法证明即可． 【详解】证明：∵， ∴，即． 在和中， ∵， ∴． 题型6全等的性质和SAS综合 1．如图，有一个圆柱形杯子，小明要测量杯口的直径，他用长度都完全一样的木棍（木棍粗细忽略不计）如图所示放置，与交于点，且是和的中点，小明说测量出的长度，利用全等三角形的性质就可求出的长，以上做法中小明证明全等的依据为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用证明，即可． 【详解】解：∵是和的中点， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴． 2．如图，小明想测量池塘两岸上A、B两点的距离．他在平地上取一点C，使测量者能从C直线走到A和B两点，在平地上延长至点D，使，延长BC至点E，使，连接．若测得米，则A，B两点间的距离为________米． 【答案】 20 【分析】根据题意利用“边角边”证明与全等，再根据全等三角形对应边相等即可求解； 【详解】解：在和中， ， ， ， ， ． 3．如图，和都是等腰直角三角形，，，，连接、； (1)求证：． (2)若点、分别为线段、的中点，连接、，则______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，利用“边角边”即可证明； （2）证明，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ∵，，， ∴； （2）解：如图， ∵， ∴，， ∵点、分别为线段、的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 题型7全等三角形的判定综合 1．给定三角形的三个元素，所画出的三角形的形状和大小不能完全确定的是（） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定定理，若给出条件符合全等三角形判定，则三角形形状大小可完全确定，反之无法确定，其中（两边及其中一边的对角）无法确定唯一三角形． 【详解】解：全等三角形可唯一确定三角形的形状和大小，全等判定定理包括，，，，，但不能判定三角形全等，无法确定唯一三角形， 、选项给出，，，符合判定，可确定唯一三角形，不符合题意； 、选项给出，，，属于，可画出两个形状不同的三角形，不能完全确定三角形的形状和大小，符合题意； 、选项给出，，，符合判定，可确定唯一三角形，不符合题意； 、选项给出，，，符合判定，可确定唯一三角形，不符合题意． 2．下列条件，能判定两个直角三角形全等的是__________（填序号即可）． ① 两个锐角对应相等；② 两条直角边对应相等；③ 斜边和一直角边对应相等；④ 一锐角和斜边对应相等；⑤ 一锐角和一直角边对应相等． 【答案】②③④⑤ 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角． 根据每个条件逐一判断是否满足全等条件即可． 【详解】解：①：两个锐角对应相等，缺少边的对应关系，不能判定两个直角三角形全等，故①错误； ②：两条直角边对应相等，且夹角为直角，符合“边角边”定理，能判定两个直角三角形全等，故②正确； ③：斜边和一直角边对应相等，符合“斜边直角边”定理，能判定两个直角三角形全等，故③正确； ④：一锐角和斜边对应相等，又因直角相等，符合“角角边”定理，故④正确； ⑤：一锐角和一直角边对应相等，又因直角相等，符合“角角边”或“角边角”定理，故⑤正确； 故答案为：②③④⑤． 3．为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在七年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端、的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量、的距离，甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案： 甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点、的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可． 乙：如图2，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可． 甲、乙两同学的方案哪个可行？并说明理由． 【答案】甲同学的方案可行，理由见解析 【分析】甲同学利用的是边角边证出三角形全等，然后根据全等三角形对应边相等测量的，所以是可行的；乙同学的方案只有一组角相等，一组公共边相等，不能证明两三角形全等．本题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形判定的定理是解决问题的关键． 【详解】甲同学的方案可行，乙同学方案不可行，理由如下： 甲同学方案：在和中，， ∴， ∴； 乙同学方案：只有，，不能证明两个三角形全等 ∴乙同学方案不可行 ∴只有甲同学的方案可行． 题型8结合尺规作图的全等问题 1．请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：作如下标识， 根据作法可知，，， ∴， ∴， 则画出的依据是， 2．如图，为锐角，，点在射线上（点与点不重合），点到射线的距离为，若取某一确定值时，的形状、大小是唯一确定的，则的取值范围是______．    【答案】或 【分析】先找出点D的位置，再画出符合的所有情况即可． 【详解】解：过B作于D，    ∵点B到射线的距离为d， ∴， ①如图，    当C点和D点重合时，，此时是一个直角三角形； ②如图，    当时，此时C点的位置有两个，即有两个； ③如图，    当时，此时是一个三角形； 所以x的范围是或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了考查全等三角形的判定，点到直线的距离等知识点，注意：能求出符合的所有情况是解此题的关键． 3．如图，方格纸上有一个，请你在方格纸内画出满足条件，，的，并判断与是否一定全等． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定定理，根据题意画出不同的三角形再进行判断.判定全等三角形的方法有 (， ， ， ， ) 五种判定方法，但不能判定三角形全等． 【详解】解：如图所示，与 不一定全等． 题型9利用全等图形求正方形网格中角度之和 1．如图，正方形的网格纸上每个小正方形的边长都为1，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较 【答案】C 【分析】本题考查了角的大小比较．构造全等三角形，让与两个角的顶点重合，即可解答． 【详解】解：如图，，，， ∴， ∴， ∵在的内部， ∴． 故选：C． 2．如图，网格中的所有小正方形的边长相同，则____________ 【答案】/90度 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，先证明得出，即可得解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图， 在和中 ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．如图，△ABC的三个顶点均在格点处． (1)过点B画AC的垂线BD； (2)过点A画BC的平行线AE．（请用黑水笔描清楚） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】(1)过点B作格点直角三角形与以AC为斜边的直角格点三角形全等，即可画得； (2)过点A画正方形的对角线，即可画得． 【详解】（1）解：画图如下： （2）解：画图如下： 【点睛】本题考查了格点作图，平行线与垂线，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 过关检测◆提升 一、单选题 1．下列图形中，具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性判断即可． 【详解】解：选项A、B、D都是四边形，不具有稳定性，选项C由两个三角形组成具有稳定性． 2．下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．周长相等的两个三角形全等 D．全等三角形的对应边相等 【答案】D 【详解】本题考查全等三角形的定义、全等三角形的性质等知识点，掌握全等三角形要求形状和大小完全相同是解题的关键． 根据全等三角形的定义和性质逐项判断即可． 【分析】解：A．形状相同的三角形大小可能不相等，不不一定全等，该选项错误，不符合题意； B．面积相等的三角形不一定全等，故该选项错误，不符合题意； C．周长相等的三角形不一定全等，故该选项错误，不符合题意； D．全等三角形的对应边相等，故该选项正确，符合题意． 故选D． 3．如图，下列三角形中，与全等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形全等的判定定理，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：题干的：三边长分别为、、， ∵三角形要全等对应边必须相等， ∴只有C项与的各边都相等． 4．有一张三角形纸片，已知，按如下两种方案用剪刀沿着箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，若不一定全等打“×”．则下列判断正确的是（    ） A．方案一：√、方案二：√ B．方案一：×、方案二：× C．方案一：×、方案二：√ D．方案一：√、方案二：× 【答案】D 【分析】对于方案一，可以运用“角边角”的判定定理证明两个阴影部分的三角形全等；对于方案二，只有当点N是中点时，两个阴影部分的三角形才能全等． 【详解】解：如图，方案一： ∵，，， ∴． 又∵，， ∴在与中， ， ∴， 即方案一正确； 方案二： 只有当点N是中点时，两个阴影部分的三角形才能全等， ∴方案二中两个阴影部分的三角形不一定全等． 5．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（   ） A．，， B．，， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查三角形唯一性的判断，当已知条件符合全等三角形的判定定理（，，，，）时，能画出唯一的三角形，据此逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、已知两边及其中一边的对角，即，不符合全等三角形的判定，不能画出唯一，故本选项错误； B、已知，，夹边，符合全等三角形判定，因此能画出唯一，故本选项正确； C、仅已知一个角和一条边，条件不足，不能画出唯一三角形，故本选项错误； D、仅已知一条边和一个角，条件不足，不能画出唯一三角形，故本选项错误． 6．如图，，且，连接，分别过点，向作垂线，垂足分别为点，．若，，，则的长是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据，，求出，再证明，得出，最后根据即可求解． 【详解】如图，与的交点为点，与的交点为点， ∵，，， ∴， ∴，即， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 二、填空题 7．图①是将木条用钉子钉成的四边形木架，拉动木架，观察图②中的变动情况，说一说，其中所蕴含的数学原理是___________． 【答案】四边形具有不稳定性 【分析】本题考查了四边形具有不稳定性，关键抓住图中图形是否变形，从而判断是否具有稳定性． 【详解】由图示知，四边形变形了，其中所蕴含的数学原理四边形具有不稳定性． 故答案为：四边形具有不稳定性． 8．如图，点、、在同一直线上，若，顶点、、分别与顶点、、对应．若，，则______． 【答案】4 【分析】根据全等三角形的性质得到，，再根据线段的和差即可求解． 【详解】解：∵顶点、、分别与顶点、、对应，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 9．如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一直线上，连接，以下四个结论      ①；②； ③；④． 其中结论正确的是__________．（把正确结论的序号填在横线上）． 【答案】①③④ 【分析】由 ，利用等式的性质得到夹角相等，从而得出三角形 与三角形全等，由全等三角形的对应边相等得到，本选项正确；由三角形与三角形全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到，进而得到 ，本选项不正确；再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到，本选项正确；利用周角减去两个直角可得答案； 【详解】解： ， 即： 在 和 中 ，本选项正确； 为等腰直角三角形， ，本选项不正确； 即, ∴，本选项正确； ，本此选项正确； 故答案为：①③④． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 10．如图，，，和相交于点，则图中全等三角形共有_____对． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的判定，先证明，可得，，再进一步证明其它三角形全等即可，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴； ∴，， ∵， ∴； ∵， ∴； ∴，， ∵， ∴； ∴共有对全等三角形， 故答案为：． 11．如图，已知，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点，，再以点为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，若，则的度数为______． 【答案】/26度 【分析】连接，结合作图过程证明，再利用全等三角形性质分析求解，即可解题． 【详解】解：连接， 由作图过程可知，， 又， ， ， ． 12．如图所示，小语同学为了测量一幢楼高，在旗杆与楼之间选定一点，测得与地面夹角，测得与地面夹角，量得点到楼底的距离与旗杆的高度都是，量得旗杆与楼之间的距离，则楼高____________m． 【答案】27 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，正确把握全等三角形的判定方法是解题关键． 通过证明，由全等三角形的性质即可得结论． 【详解】解：∵，，， ． ∵量得点到楼底的距离与旗杆的高度都是， ． 在和中 ， ， ， ， ∴楼高是. 故答案为：． 三、解答题 13．如图，在中，点、分别在边、上，，，．若，求的周长． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的对应边相等． 根据全等三角形的性质推得，，则根据的周长即可得解． 【详解】解：， ，． ． 的周长． 答：的周长为． 14．如图，，，． (1)证明． (2)若，，求． 【答案】(1)证明见详解 (2)2 【分析】（1）根据已知条件利用线段和差关系得出，进而利用“”证明； （2）由（1）的结论得到，结合已知条件即可求得结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 15．如图，在中，D是上一点，连接，求作（点E在线段上；点F在线段的右侧），使得（保留作图痕迹，不写作法，标明各顶点字母）；并简要说明其中道理． 【答案】作图和说明见详解 【分析】本题考查了作图-复杂作图，全等三角形的判定与性质，在上截取，延长，在的延长线上截取，连接，则即为所求，再根据全等三角形的判定证明即可． 【详解】解：如图所示，在上截取，延长，在的延长线上截取，连接， 在和中， ， ∴， 则即为所求． 16．如图，在中，，，，三点在同一直线上，， (1)求证：； (2)猜想线段，，之间的数量关系并证明． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用可证； （2）根据全等三角形的性质可证，，根据可知． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中，， ； （2）解：， ，， ， ． 17．已知：． (1)如图1，试说明：； (2)如图2，连接，若，不添加任何辅助线，直接写出图中所有的全等三角形． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质定理，能灵活运用全等三角形的判定和性质定理进行推理是解此题的关键． （1）先求出，根据“”推出，根据全等三角形的性质即可解答； （2）根据全等三角形的性质和判定进行分析即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴． （2）解：图中的全等三角形有，理由如下： 由（1）知：， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∵在和中， ， ∴； ∵在和中， ， ∴． 18．如图，在的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图1中，作的中线； (2)在图2中找点O，使得点O为的重心． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）取的中点D，连接即可； （2）取的中点E，连接交于O即可． 【详解】（1）解：如图，中线即为所求； （2）解：如图，点O即为所求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08全等三角形、探索三角形全等的条件 复习讲义 高效复习◆重点 1.熟练掌握三角形全等的5种判定定理，明晰各定理的核心条件与适用范畴，精准区分不同判定方法的适用差异； 2. 能够准确识别全等三角形的对应边与对应角，快速挖掘题目中的隐含条件，高效判定三角形全等关系； 3. 规范全等三角形证明的书写格式，做到推理过程严谨、条理清晰，能够运用定理完成线段相等、角相等的几何证明； 核心题型◆归纳 题型1全等三角形的概念、性质 题型2将已知图形分割成几个全等图形 题型3用SSS证明三角形全等 题型4全等的性质和SSS综合 题型5用ASA（AAS）证明三角形全等 题型6全等的性质和SAS综合 题型7全等三角形的判定综合 题型8结合尺规作图的全等问题 题型9利用全等图形求正方形网格中角度之和 题型10提升测试 重点知识◆梳理 知识点一、全等三角形的概念 定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。如下图 用符号“≌”表示，读作全等于.如：△ABC和△DEF全等，记作 △ABC≌△DEF ★注意判断是否为全等形时需注意： 两个必须相同的条件：形状相同、大小相同； 两个无关条件：与位置无关、与方向无关； 全等三角形的对应元素： 对应顶点：全等三角形中，能够重合的顶点； 对应边：全等三角形中，能够重合的边； 对应角：全等三角形中，能够重合的角； 知识点二、全等三角形的基本性质 对应边相等：若两个三角形全等，则它们的对应边长度完全相等． 对应角相等：全等三角形的对应角大小是相等的． 拓展性质： 对应高相等：全等三角形对应边上的高是相等的． 对应中线相等：全等三角形对应边上的中线长度相等． 对应角平分线相等：全等三角形对应角的平分线长度也相等． 周长相等：因为全等三角形的对应边都相等，所以它们的周长必然相等． 面积相等：全等三角形能够完全重合，它们所覆盖的区域大小相同，所以面积相等． 知识点三、三角形全等的判定定理 边边边：三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”． 如下图△ABC与△DEF： 边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）． 如下图：在△ABC和△DEF中， ∵ ∴△ABC≌△DEF 角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）． 如下图：在△ABC和△DEF中 ， ∵ ∴△ABC≌△DEF 角角边：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”） 如下图：在△ABC和△DEF中， ∵ ∴△ABC≌△DEF 斜边、直角边（HL） 在直角三角形中，斜边与一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 如下图两个直角三角形： 知识点四、三角形的稳定性及应用 只要三角形的三边长确定，这个三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性． 三角形稳定性的应用： 稳定性是三角形特有的性质，在生产和生活中具有广泛的应用，有很多需要保持稳定的物体都被制成三角形的形状，如起重机、钢架桥等． 题型解析◆精准备考 题型1全等三角形的概念、性质 1．如图，七巧板中有个等腰直角三角形（），其中与三角形全等的是（　　） A． B． C． D． 2．已知图中的两个三角形全等，则_____． 3．如图，已知，，，三点共线，如果，，求的长． 题型2将已知图形分割成几个全等图形 1．如图，四边形是由8个全等梯形拼接而成，其中，，则的长为（　　）    A．10.8 B．9.6 C．7.2 D．4.8 2．在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于______． 3．手工劳动课上，老师给每个小组发一张硬纸板（如图），要求每个小组把它分成四个形状相同、面积相等的图形．他们该怎么分？请你试一试． 题型3用SSS证明三角形全等 1．如图，若，，则可得．其判定依据是（    ） A． B． C． D． 2．如图，下面是“作一个，使得”的尺规作图方法． （1）作一条线段； （2）以为圆心，长为半径画弧，以为圆心，长为半径画弧，两弧在线段上方交于点； （3）连接，，则． 上述判定的依据是________． 3．如图，点C、B、E、F在同一条直线上，，，．求证：． 题型4全等的性质和SSS综合 1．如图，在一个平分角的仪器中，，将点放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线就是这个角的平分线．其原理是通过判定，得到，其中判定这两个三角形全等的依据是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，则________． 3．如图，，，，相交于点．求证． 题型5用ASA（AAS）证明三角形全等 1．如图，小红练习本上三角形被墨水污染了一部分，她根据所学的知识画出了一个与它全等的三角形，那么小红画出全等三角形的依据是（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知，要根据，判定，则需要补充的一个条件为____________． 3．如图，点，都在线段上，，，．求证：． 题型6全等的性质和SAS综合 1．如图，有一个圆柱形杯子，小明要测量杯口的直径，他用长度都完全一样的木棍（木棍粗细忽略不计）如图所示放置，与交于点，且是和的中点，小明说测量出的长度，利用全等三角形的性质就可求出的长，以上做法中小明证明全等的依据为（    ） A． B． C． D． 2．如图，小明想测量池塘两岸上A、B两点的距离．他在平地上取一点C，使测量者能从C直线走到A和B两点，在平地上延长至点D，使，延长BC至点E，使，连接．若测得米，则A，B两点间的距离为________米． 3．如图，和都是等腰直角三角形，，，，连接、； (1)求证：． (2)若点、分别为线段、的中点，连接、，则______． 题型7全等三角形的判定综合 1．给定三角形的三个元素，所画出的三角形的形状和大小不能完全确定的是（） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．下列条件，能判定两个直角三角形全等的是__________（填序号即可）． ① 两个锐角对应相等；② 两条直角边对应相等；③ 斜边和一直角边对应相等；④ 一锐角和斜边对应相等；⑤ 一锐角和一直角边对应相等． 3．为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在七年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端、的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量、的距离，甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案： 甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点、的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可． 乙：如图2，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可． 甲、乙两同学的方案哪个可行？并说明理由． 题型8结合尺规作图的全等问题 1．请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出的依据是（   ） A． B． C． D． 2．如图，为锐角，，点在射线上（点与点不重合），点到射线的距离为，若取某一确定值时，的形状、大小是唯一确定的，则的取值范围是______．    3．如图，方格纸上有一个，请你在方格纸内画出满足条件，，的，并判断与是否一定全等． 题型9利用全等图形求正方形网格中角度之和 1．如图，正方形的网格纸上每个小正方形的边长都为1，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较 2．如图，网格中的所有小正方形的边长相同，则____________ 3．如图，△ABC的三个顶点均在格点处． (1)过点B画AC的垂线BD； (2)过点A画BC的平行线AE．（请用黑水笔描清楚） 过关检测◆提升 一、单选题 1．下列图形中，具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．周长相等的两个三角形全等 D．全等三角形的对应边相等 3．如图，下列三角形中，与全等的是（   ） A． B． C． D． 4．有一张三角形纸片，已知，按如下两种方案用剪刀沿着箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，若不一定全等打“×”．则下列判断正确的是（    ） A．方案一：√、方案二：√ B．方案一：×、方案二：× C．方案一：×、方案二：√ D．方案一：√、方案二：× 5．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（   ） A．，， B．，， C．， D．， 6．如图，，且，连接，分别过点，向作垂线，垂足分别为点，．若，，，则的长是（   ）． A． B． C． D． 二、填空题 7．图①是将木条用钉子钉成的四边形木架，拉动木架，观察图②中的变动情况，说一说，其中所蕴含的数学原理是___________． 8．如图，点、、在同一直线上，若，顶点、、分别与顶点、、对应．若，，则______． 9．如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一直线上，连接，以下四个结论      ①；②； ③；④． 其中结论正确的是__________．（把正确结论的序号填在横线上）． 10．如图，，，和相交于点，则图中全等三角形共有_____对． 11．如图，已知，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点，，再以点为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，若，则的度数为______． 12．如图所示，小语同学为了测量一幢楼高，在旗杆与楼之间选定一点，测得与地面夹角，测得与地面夹角，量得点到楼底的距离与旗杆的高度都是，量得旗杆与楼之间的距离，则楼高____________m． 三、解答题 13．如图，在中，点、分别在边、上，，，．若，求的周长． 14．如图，，，． (1)证明． (2)若，，求． 15．如图，在中，D是上一点，连接，求作（点E在线段上；点F在线段的右侧），使得（保留作图痕迹，不写作法，标明各顶点字母）；并简要说明其中道理． 16．如图，在中，，，，三点在同一直线上，， (1)求证：； (2)猜想线段，，之间的数量关系并证明． 17．已知：． (1)如图1，试说明：； (2)如图2，连接，若，不添加任何辅助线，直接写出图中所有的全等三角形． 18．如图，在的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图1中，作的中线； (2)在图2中找点O，使得点O为的重心． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $