2026年广东省初中毕业生学业水平适应性考试数学试卷（样卷）

**基本信息** 结合龙泉青瓷非遗文化、3D打印科技社团等真实情境，通过线段滑动中点轨迹、摩天轮运动等动态问题设计，考查抽象能力、空间观念与创新意识，适配学业水平考试模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/26|实数、视图、方程、几何图形|射击比赛得分（数据分析）、蒙古包视图（空间观念）| |填空题|5/15|分式、因式分解、比例|齿轮传动（模型意识）、正方形中心对称（几何直观）| |解答题|8/75|统计、圆证明、函数、正方形综合|科技社团调查（数据意识）、摩天轮运动（动态几何，创新意识）|

+绝密★启用前 2026年初中学业水平适应性考试数学试卷 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，共26分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.实数的倒数是(    ) A. B. C. D. 2.如图是甲、乙、丙三位运动员射击比赛的中靶及得分结果，规定在同一圆环内得分相同，则乙的得分是(    ) A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 3.如图所示的蒙古包可以看作是由一个圆锥和一个圆柱组成，它的主视图是(    ) A. B. C. D. 4.小红在学习完天平的使用后，按照天平的原理自制了如图所示的简易天平，并对物体的质量进行探究，得到如图所示的两幅图，天平都保持平衡状态，若，，的质量分别为，，，则能与图的事实具有相同性质的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5.已知直线 ，将一块含 角的直角三角板 按如图方式放置 ，其中 ， 两点分别落在直线 ， 上．若 ，则 的度数为(    ) A. B. C. D. 6.龙泉青瓷工艺是世界级非物质文化遗产，“浙”赛区冠军奖杯采用龙泉青瓷工艺制作，如图，杯身高占总高的，杯身高与底座高之和是，杯顶高与杯身高之和是，设杯身高为，底座高为，则根据题意可列方程组为(    ) A. B. C. D. 7.我们规定，例如，，，如果，那么的最大值是(    ) A. B. C. D. 8.如图，在平行四边形中，，，，点在边上，是线段的中点，若，则四边形的面积为(    ) A. B. C. D. 9.如图，正方形的边长为，将长为的线段的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动如果点从点出发，在上滑动，同时点在上滑动，当点到达点时，运动停止，那么在这个过程中，线段的中点所经过的路线长为(    ) A. B. C. D. 10.在平面直角坐标系中，点，，由线段与抛物线的一段组成的图形，如图所示．若将图形上的一点先向右平移个单位，再向上平移个单位后仍在图形上，则这样的点的个数为(    ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共5小题，共15分。 11.若分式有意义，则的取值范围是          ． 12.因式分解：          ． 13.如图是两个互相啮合的齿轮，大齿轮有个齿，小齿轮有个齿，如果小齿轮每分钟转圈，那么大齿轮每分钟转            圈． 14.两个非零实数，满足，且，则          ． 15.如图，正方形边长为，动直线经过正方形中心，线段与线段关于直线对称，则点到直线的距离最大值为          ． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.（本小题6分）解方程：； 解不等式组：． 17.本小题分 年月日，教育部办公厅印发了中小学科学教育工作指南以下简称指南，旨在推动中小学科学教育更加重视激发学生好奇心、想象力、探求欲，培育具备科学家潜质、愿意献身科学研究事业的青少年群体某校为落实指南要求，准备在七年级开设“打印”“航模”“机器人”“无人机”共四类科技社团每名学生必选且仅选一个社团为了解学生参加各社团的意向，现随机抽取七年级部分学生进行问卷调查，并对问卷数据进行收集、整理、描述和分析，部分信息如下： 请根据以上信息，解答下列问题： 本次调查的样本容量为______，并将条形统计图补充完整；画图后请标注相应的数据 若该校七年级共有名学生，请估计计划参加“机器人”社团的学生人数； 根据上述统计分析情况，请你为该校科技社团活动的顺利开展给出一条合理建议． 18.本小题分 如图，将正方体的展开图放在平面直角坐标系中，点，，分别落在坐标轴上． 求的值； 若，反比例函数的图象恰好经过点，求的值． 19.本小题分 如图，是的直径，是弦延长线上的一点，且，的延长线交于点． 求证：； 若，，求的长． 20.本小题分 随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低元，用元购买甲型健身器材的数量和用元购买乙型健身器材的数量相同． 求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元． 该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 21.本小题分 图是某摩天轮的实景图摩天轮可视作半径为米的，其上的某个座舱可视作上的点，座舱距离地面的最低高度为米，地面上的观察点到点的距离为米，平面示意图如图所示． 当视线与相切时，求点处的座舱到地面的距离． 已知摩天轮匀速转动一周需要分钟，当座舱距离地面不低于米时，在座舱中观赏风景的体验最佳点处的座舱随摩天轮匀速转动一周的过程中，求该座舱中乘客最佳观赏风景的时长，并求这段时间内该座舱经过的圆弧的长． 以上结果均保留小数点后一位数字，参考数据：，，．， 22.本小题分 已知二次函数的图象与轴交于点，顶点为点． 求点的坐标及该二次函数图象的对称轴； 若原函数为，该二次函数图象沿轴翻折，得到的新二次函数点在上，点在上； 当时，求函数的解析式； 若对于任意的、满足，且，都有，求的取值范围． 23.本小题13分 如图，在正方形 中，点 是 边上的一点不与点 ， 重合，连接 ，过点 作 于点 ，交 于点 ． 求证： ； 如图 ，若点 为 中点时，连接 ，求证： ； 如图 ，若 ，延长 至 ，使 ，连接 ，请探究 与 的关系，并证明． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案 1.D 2.B 3.B 4.C 5.B 6.A 8.C 9.c 10.B 11.x≠5 12.2x+3x-3 13.50 14.-名 15.2+1 16.解： (1)x2-2x-2=0, x-1)2=3, x-1=±3， ÷x1=1+V5;x2=1-V5 (2)由2x<6, 得x<3; 由3x-12x+1, 得x≥1， ·不等式组的解集为：1≤x<3. 17.(（1)本次调查的样本容量为11÷22%=50，无人机社团人数为50 补全图形如下： 计划参加四类科技社团人数的条形统计图 人数 20 16 15 15 11 10 5 3D打印航模机器人无人机社团 第1页，共1页 C -(11+8+16)=15(人) 故答案为：50； (21000×32%=320(人)， 答：估计计划参加“机器人”社团的学生人数约为320人； (3)开展形式多样的航模与3D打印活动（答案不唯一）· 18.【小题1】 解：依题意，∠BAE=90。=∠AEC, :AB /EC, ·∠BAO=∠ACE, :tan∠BA0=tanzACE=8器=号=2. 【小题2】 解：(1)知，8器=2。 :0A=1, ·0B=2, :∠A0B=90。, :AB=0A2+0B2=V12+22=5, AD=45, 设D坐标为(X,y),过点D作DH⊥x轴于点H, :tan☑DAC=器=器=， “片=克， .x-1=2y, :∠AHD=90。,AH2+DH2=AD2, 第1页，共1页 :(x-1)2+y2=AD2=80, 整理得，5y2=80, 解得y=4(负值舍去)，则x=9, .D(9,4), :反比例函数y=奈(k≠0)的图象恰好经过点D, ÷k=4×9=36, 19.(1)证明：连接BC, :AB是圆的直径， ·∠ACB=90°， E B ·BC⊥AD, CD =CA, /0 D :BC垂直平分AD, ·AB=BD; (②)解：连接AB, :AB是圆的直径， ∠E=90o, “CoS∠ABE=器=婴=青， BE=1, ·AE2=AB2-BE2=8' 由(1)知BD=AB=3, ·DE=BD十BE=4, AD=AE2+DE2=26 20.【小题1】 解：设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为(x+300)元， 根据题意，得5000-500 +300, 解得x=2500, 第1页，共1页 经检验，x=2500是原方程的根. 此时x+300=2800, 答：甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元。 【小题2】 解：根据题意，甲型健身器材买了a台，则购买乙型健身器材数量为(20一a)台，且a≤3(20一a)即 a≤15，且a为正整数， 根据题意，得w=2800(20-a)+2500a=-300a+56000, 由k=一300<0，得w随a的增大而减小， 故当a=15时，w取得最小值，且最小值为w=-300×15+56000=51500(元)， 故购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元. 21.(1)如图，连接0A,OD,作AE⊥1，垂足为E, D E C 根据题意可知，0C=0B+BC=50+10=60(米)， :在△ODC中，DC=80米，OC⊥DC, 即∠0CD=90°， ÷0D=VDc2+0C=V802+602=100(米)， :在Rt△ODC中，tanzODC=%=0=是， ·∠0DC≈36.87°， :DA与⊙0相切， :OA⊥AD, ·∠0AD=90°， :在Rt△0AD中，0A=50米， asin∠0DA=器=克， ÷∠0DA=30°， 第1页，共1页 :AD=0D·c0s30°=100×=503米剁 ·∠ADE=∠0DA+∠0DC=30°+36.87°=66.87°， :在Rt△ADE中，AE=AD·sin∠ADE=50V3×sin66.87°=50V3×0.92=≈79.6（米）， 答：点A处的座舱到地面的距离约为79.6米； (②)过点A作AF//1,交⊙0于点F,延长C0,交AF于点H,连接0F, A B D 不妨设CH=85米， :0C⊥， ·OH⊥AF, .0H=CH-0B-BC=85-50-10=25(米)， :0A=50米， 4o8∠A0H=8器=， 4∠A0H=60°， :OH⊥AF, ÷∠A0F=120°， ·最住双资风录的时间为器×30=10（分钟）。 且G的长=120050≈104.7（米）， 180 ÷座舱经过的F的长约为104.7米， 答：该座舱中乘客最佳观赏风景的时长为10分钟，这段时间内该座舱经过的圆弧的长约为104.7米. 22.【小题1】 解：将x=0代入y=ax2-4ax-5,得y=-5, 因此A点坐标：A(0,-5): 二次函数y=x2-4ax-5的对称轴为直线x=-者=2， 即该二次函数对称轴为直线x=2; 第1页，共1页 【小题2】 解：①当a=1时，原函数C1为：y=x2-4x-5, 通过配方法将其化为顶点式：y=(x-2)2-9, 二次函数图象沿x轴翻折，即开口相反，顶点关于x轴对称， 可得C2的解析式为y=-(x-2)2+9=-x2+4x+5; (换个角度，图象上所有点的纵坐标取相反数，因此C2的解析式为： y=-(x-2)2+9=-x2+4x+5,即函数C2的解析式为y= ②C1上的点：y1=ax-4ax1-5, C2上的点：y2=-ax+4ax2+5, 将x2=x1+2代入得：2=-a(81+2)2+4a(x1+2)+5= 令y=y1-y2=ax-4ax1-5-(-ax+4a+5)=2ax3 通过配方得y=2a(x1-1)2-6a-10, “y1>y2 ÷y=2a(x1-1)2-6a-10>0, 分两种情况讨论： (1)若a>0,则当81=1时，y最水值=-6a-10>0, 解得a<一吾，不合题意，舍去； (i)若a<0,则当x1=0或2时，y最水值=-4a-10>0, 解得a<-号， 综上所述，a的取值范围为a<一马 23.【小题1】 证明：：四边形ABCD是正方形， ·AB=DA,∠B=∠DAQ=90。, ·∠MAD十∠PAB=90。, 第1页，共1页 -y=(x-2)2-9整理为一般式： -x2+4x+5.) ax+4a+5, 4ax1-4a-10, :DQ⊥AP, &∠AMD=90。, :∠MAD+∠MDA=90。, :∠PAB=∠MDA, ∠B=∠DAQ 在aABP与aDAQ中， AB=DA ∠PAB=∠MDA' ··ABP兰△DAQ(ASA, AP =DQ. 【小题2】 证明：如图2，过点C作CN⊥DQ于点N, D 图2 设AB=CD=BC=AD=2a, :点P是BC的中点， :.PB=PC=BC=a. +.DQ=AP=Va2+(23)*=V5a, ）2 :∠ADM=∠QDA,∠AMD=∠BAD=90。, :△ADM△QDA, 贵=躺=器，即后=些=兴， AM-2a.DM-a. :∠DCN+∠CDN=90。,∠CDN+∠ADM=90。 :∠DCN=∠ADM, :∠CND=∠AMD=90。,CD=DA, ÷&CDN兰&DAM(AAS), 第1页，共 1页 25 ÷DN=AM=号a, MN-DM-DN-2 a-DN. :CN⊥DM,即CN所在的直线垂直平分DM, ·CD=CM. 【小题3】 解：∠PME=∠PAB,证明如下： 如图，过点E作EF⊥DM于F, D 图3 :·ABP≌△DAQ(ASA :设PB=AQ=m,则PC=2m, :AB=CD=BC=3m,DQ=VAD2+AQ2=Vm2+(3m) 由（②）知aADM·QDA, 3=必 8=骆，即 3m, DMm :∠DEF+∠EDF=90。,∠ADQ+∠EDF=90。, ·∠ADQ=∠DEF, :∠DAQ=∠EFD=90。, ·aDEF∽aQDA, 器=器 DC=2CE=3m, ·DE=CE+CD=号m, 第1页，共1页 V10m, “条-0m 号m 910 ÷DF=20m, ·DF=MF=DM, :EF⊥DM, ·EM=ED，∠EMD=∠EDM, :∠EMD十∠PME=90。,∠EDM+∠QDA=90`, ·∠PME=∠QDA, '∠QDA=∠PAB, ·∠PME=∠PAB· (1)根据题意，在△ODC中，利用勾股定理求得OD长，在Rt△ODC中，利用三角函数得到∠ODC的度 数，在Rt△OAD中求出AD和∠ADE,在Rt△ADE中求出AE即可； (②)在△A0H利用三角函数求出∠AOH大小，得到圆心角∠A0F,则求得所用时间和弧长。 本题考查了解直角三角形的应用，涉及到勾股定理，弧长公式，切线性质的应用，熟练掌握解直角三角形 是解题的关键 22.1. 将x=0代入y=ax2-4ax一5，即可得A点坐标；根据对称轴公式可求二次函数图象的对称轴： 2. ①原函数C1通过配方法化为顶点式，再根据二次函数图象沿x轴翻折，则开口相反，顶点关于x轴对称， 即可得C,的解析式： ②将x2=x1+2代入C2的解析式，作差令 y=y1-y2=x子-4ax1-5-(-ax+4a+5)=2ax子-4ax1-4a-10,再根据y1>y2,通过 配方得y=2a(x1-1)2-6a-10>0,然后分类讨论，根据二次函数的性质求最小值，y最水值>0求 解。 23.1,根据正方形的性质得出AB=DA,∠B=∠DAQ=90。,利用角的和差关系得出∠PAB=∠MDA ,即可证明·ABP兰·DAQ(ASA),根据全等三角形的性质即可得出AP=DQ. 2.设AB=CD=BC=AD=2a,利用勾股定理求出DQ=V5a,通过证明·ADM∽·QDA得出 第1页，共1页 AM=9a,DM=a,证男CDN≥△DAM(AAS)),得出DN=AM-2a=MN,进而 求出CN所在的直线垂直平分DM,即可得出CD=CM; 3设PB=AQ=m,则PC=2m,根据ADMQDA得出DM=9西， 10m,根据 ·DEF~△QDA得出DF=严m,得出DF=MF=专DM,根据垂直平分线的性质得出 EM=ED,∠EMD=∠EDM,根据角的和差关系得出∠PME=∠QDA,进而可得∠PME=∠PAB· 第1页，共1页