10.1 二元一次方程组的概念 讲义 2024--2025学年人教版七年级数学下册

10.1 二元一次方程组的概念 ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ 【题型1】二元一次方程的判定 3 【题型2】二元一次方程组的判定 6 【题型3】二元一次方程（组）的解 9 【题型4】二元一次方程的特殊解 12 【题型5】二元一次方程（组）定义的应用 15 1．二元一次方程的概念 （1）定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程． （2）二元一次方程的三要素 ①含有两个未知数； ②含有未知数的项的次数都是1； ③方程两边都是整式． 2．二元一次方程的解 一般地，使二元一次方程两边的值两个的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 3．二元一次方程组 （1）定义 方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． （2）二元一次方程组的三要素 ①方程组中共含有两个未知数； ②含有未知数的项的次数都是1； ③两个方程都是整式方程． （3）一个二元一次方程组应同时满足以下两点： ①两个方程都是一次方程； ②方程组中共含有两个未知数． 如方程组中，虽然每一个方程都只含有两个未知数，但整个方程组共含有三个未知数，所以它不是二元一次方程组． 二元一次方程组的一般形式为． 4．二元一次方程组的解 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． （1）二元一次方程组的解，是方程组中每个方程的解． （2）二元一次方程组的解一般情况下是唯一的，但是有的方程组有无数多个解，或无解， 如有无数多个解，无解． 1．二元一次方程的概念 （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”是指方程中有且只有两个未知数． （2）“含未知数的项的次数是1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1，如3xy的次数是2，所以方程3xy-2=0不是二元一次方程． （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式，例如方程－y=1的左边不是整式，所以它不是二元一次方程． 2．二元一次方程的解 （1）在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以求出另一个未知数的值． （2）一般情况下，二元一次方程有无数个解，但并不是说任何一对数值就是它的解． 3．二元一次方程组 （1）组成二元一次方程组的两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个方程必须一共含有两个未知数．如也是二元一次方程组． （2）在方程组的每个方程中，相同字母必须代表同一未知量，否则不能将两个方程联立． （3）二元一次方程组中的各个方程应是整式方程． （4）二元一次方程组有时也由两个以上的二元一次方程组成． 【题型1】二元一次方程的判定 例1 （2025春•周至县期中）下列方程中，属于二元一次方程的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据二元一次方程的定义判断即可． 【解答】解：．未知数的次数最高是2，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； ．是二元一次方程，故此选项符合题意； ．含有未知数的项的次数是2，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； ．是多项式，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； 故选：． ◄ 点拨 ► 一个方程是二元一次方程必须满足： （1）等号两边的式子都是整式； （2）有且只有两个未知数； （3）含有未知数的项的次数都是1． 【变式1】　（2025春•和平区校级期中）在下列方程中，是二元一次方程的是　　 A． B． C． D． 【变式2】　（2025春•义乌市期中）下列方程中，是二元一次方程的是　　 A． B． C． D． 【变式3】　（2025春•九龙坡区月考）下列是二元一次方程的是　　 A． B． C． D． 1．【答案】 【分析】根据二元一次方程的定义即可求出答案．含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程． 【解答】解：．该方程不是整式方程，故不符合题意； ．由原方程得到：，该方程是一元一次方程，故不符合题意； ．该方程符合二元一次方程的定义，故符合题意； ．该方程是二元二次方程，故不符合题意． 故选：． 2．【分析】二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程． 【解答】解：、是三元一次方程，故错误； 、是二元二次方程，故错误； 、是分式方程，故错误； 、是二元一次方程，故正确； 故选：． 3．【答案】 【分析】根据二元一次方程的定义判断即可． 【解答】解：、含有未知数的项的次数是2，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； 、是二元一次方程，故此选项符合题意； 、含有一个未知数，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； 、不是整式方程，即不是二元一次方程，故此选项不符合题意； 故选：． 【题型2】二元一次方程组的判定 例2 （2025春•珠海期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用二元一次方程组的定义判断即可． 【解答】解：、方程组里含有3个未知数，不符合二元一次方程组的定义，不符合题意； 、不是整式方程，不符合二元一次方程组的定义，不符合题意； 、符合二元一次方程组的定义，不符合题意； 、最高次项的次数为2，不符合二元一次方程组的定义，不符合题意． 故选：． ◄ 点拨 ► 一个二元一次方程组应同时满足以下两点： （1）两个方程都是一次方程； （2）方程组中共含有两个未知数． 【变式4】　（2025春•南岗区校级月考）下列方程组中，是二元一次方程组的是　　 A． B． C． D． 【变式5】　（2025春•南岗区校级月考）下列方程组中，是二元一次方程组的是　　 A． B． C． D． 【变式6】　（2025•桑植县一模）下列方程组中，不是二元一次方程组的是　　 A． B． C． D． 4．【答案】 【分析】利用二元一次方程组的定义判断即可． 【解答】解：、不是整式方程，不符合二元一次方程组的定义，不符合题意； 、方程组里含有3个未知数，不符合二元一次方程组的定义，不符合题意； 、符合二元一次方程组的定义，不符合题意； 、最高次项的次数为2，不符合二元一次方程组的定义，不符合题意． 故选． 5．【答案】 【分析】方程组中含有两个未知数，含有未知数的项的次数是1，据此逐一判断即可． 【解答】解：、含有两个未知数，未知数的最高次数是2，不是二元一次方程组，故不符合题意； 、含有三个未知数，不是二元一次方程组，故不符合题意； 、是二元一次方程组，故符合题意； 、的次数不是1，不是二元一次方程，故不符合题意； 故选：． 6．【答案】 【分析】根据二元一次方程组的定义对选项逐一判断：方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． 【解答】解：．是二元一次方程组，故不符合题意； ．是二元一次方程组，故不符合题意； ．方程组中最高次项的次数是2，不是二元一次方程组，故符合题意； ．是二元一次方程组，故不符合题意； 故选：． 【题型3】二元一次方程（组）的解 例3 （2025春•如皋市期中）下列解是二元一次方程x+y＝7的解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程的解的定义分别验证即可． 【解答】解：A、把代入方程x+y＝7，左边＝1+0＝1，右边＝7，左边≠右边，所以不是二元一次方程x+y＝7的解，故此选项不符合题意； B、把代入方程x+y＝7，左边＝2+3＝5，右边＝7，左边≠右边，所以不是二元一次方程x+y＝7的解，故此选项不符合题意； C、把代入方程x+y＝7，左边＝8﹣1＝7，右边＝7，左边＝右边，所以是二元一次方程x+y＝7的解，故此选项符合题意； D、把代入方程x+y＝7，左边＝4﹣3＝1，右边＝7，左边≠右边，所以不是二元一次方程x+y＝7的解，故此选项不符合题意； 故选：C． ◄ 点拨 ► 检验一对数值是否是某个二元一次方程组的解，常用的方法是将这对数值分别代入方程组中的每个方程．只有当这对数值同时满足所有方程时，才能说这对数值是此方程组的解；如果这对数值不满足其中的某个方程，那么它就不是此方程组的解． 【变式7】　（2025春•河西区期中）下列每对，的值不是方程的解的是　　 A．， B．， C．， D．， 【变式8】　（2025春•沙坪坝区校级月考）解为的方程组是　　 A． B． C． D． 【变式9】　（2025•梁溪区校级一模）下列方程组的解为的是　　 A． B． C． D． 7．【答案】 【分析】依据方程的解的定义将各选项代入验证即可． 【解答】解：、当，时，，左边右边，故正确，不合题意； 、当，时，，左边右边，故正确，不合题意； 、当，时，，左边右边，故错误，符合题意； 、当，时，，左边右边，故正确，不合题意． 故选：． 8．【答案】 【分析】将代入各个选项中的二元一次方程组验证等式是否成立即可得到答案． 【解答】解：、将方程组的解代入，两个方程都成立，符合题意； 、将方程组的解代入，其中，不符合题意； 、将方程组的解代入，其中，不符合题意； 、将方程组的解代入，其中，不符合题意； 故选：． 9．【分析】运用代入排除法进行选择或分别解每一个方程组求解． 【解答】解：、不是方程的解，故该选项错误； 、不是方程的解，故该选项错误； 、不是方程的解，故该选项错误； 、适合方程组中的每一个方程，故该选项正确． 故选：． 【题型4】二元一次方程的特殊解 例4 （2025春•镇江期中）已知方程，则该方程的正整数解个数为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【分析】用列举法求出方程的正整数解即可． 【解答】解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 所以方程的正整数解是，共1组， 故选：． ◄ 点拨 ► 求二元一次方程的整数解的方法： （1）首先用一个未知数表示另一个未知数，如y=10-2x； （2）给定x一个值，求出y的一个对应值，就可以得到二元一次方程的一组解； （3）根据题意对未知数x、y进行限制，确定x的可能取值，进而确定二元一次方程所有的整数解． 【变式10】　（2025春•南京期中）的正整数解有　　 A．1组 B．2组 C．3组 D．无数组 【变式11】　（2025春•宁海县期中）方程组有正整数解，则的正整数值是　　 A．3 B．2 C．1 D．不存在 【变式12】　（2024秋•娄底期末）二元一次方程有　　个非负整数解． 10．【答案】 【分析】先取为正整数1或2或3或，把方程化成一元一次方程，解方程求出，然后进行判断即可． 【解答】解：， 令，则，解得：； 令，则，解得：； 令时，则，解得：； 令时，则，解得：； ， 方程的正整数解为：，共2组， 故选：． 11．【分析】首先由第二个方程得到，代入第一个方程，求得，根据是6的正约数即可求解． 【解答】解：， 由②得：，代入①得：， 则， 则或2或3或6， 解得：，或或或2． 又是正整数， ． 故选：． 12．【答案】4． 【分析】将化为，然后根据方程的解为非负整数求解即可． 【解答】解：由条件可知， ， 有4组非负整数解． 故答案为：4． 【题型5】二元一次方程（组）定义的应用 例5 （2025春•朝阳区校级期中）已知是关于，的二元一次方程，则的值是　　 A．2 B． C．2或 D．1 【答案】 【分析】先根据二元一次方程的定义得出关于的不等式和方程，求出的值即可． 【解答】解：方程是关于，的二元一次方程， 且， 解得． 故选：． ◄ 点拨 ► 常见题型为根据定义列方程求参数的值． 【变式13】　（2025春•宁乡市期中）若方程是二元一次方程，则的值为　　 A．2 B． C．0 D． 【变式14】　（2022春•清丰县校级期中）若是关于，的二元一次方程组，则　　． 【变式15】　（2022春•伊川县期中）已知是关于，的二元一次方程，则　　． 13．【答案】 【分析】利用二元一次方程的定义，可得出关于，的二元一次方程组及不等式，解之可得出，的值，再将其代入中，即可求出结论． 【解答】解：方程是二元一次方程， ， 解得：， ． 故选：． 14．【答案】0． 【分析】根据二元一次方程组的定义得出，或，，求出，，再代入求出答案即可． 【解答】解：是关于，的二元一次方程组， ①，， ， ； ②，， 即， ； 故答案为：0． 学科网（北京）股份有限公司 $$