10.2 消元--解二元一次方程组 讲义 2024--2025学年人教版七年级数学下册

10.2 消元-解二元一次方程组 ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ 【题型1】用恰当的消元法解二元一次方程组 3 【题型2】二元一次方程组的错解问题 8 【题型3】二元一次方程组的同解问题 12 【题型4】二元一次方程组的特殊解法 15 【题型5】二元一次方程组中的参数问题 20 1．代入消元法解二元一次方程组 （1）代入消元法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法． （2）代入法解二元一次方程组的一般步骤： ①变形：从方程组中选一个未知数的系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来． ②代入：将变形后的方程代入没变形的方程，得到一个一元一次方程． ③解方程：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值． ④求值：将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解． 2．加减消元法解二元一次方程组 （1）加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法． （2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤： ①变形：先观察系数特点，将同一个未知数的系数化为相等的数或相反数． ②加减：用加减法消去系数互为相反数或系数相等的同一未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程． ③解方程：解一元一次方程，求出一个未知数的值． ④求值：将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解． 3．整体消元法解二元一次方程组 根据方程组中各系数特点，可将方程组中的一个方程或方程的一部分看成一个整体，代入到另一个方程中，从而达到消去其中一个未知数的目的，求得方程组的解． 1．消元思想的概念 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数，这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想． 2．代入消元的技巧 （1）若方程组中含有用一个未知数表示另一个未知数的形式的方程，则选择直接代入消元； （2）若方程组中含有未知数的系数为1，-1或常数项为0的方程，则选择将此方程进行变形再代入消元； （3）若方程组中的方程无以上两种情况，则选择系数绝对值较小的方程变形，再代入消元． 【题型1】用恰当的消元法解二元一次方程组 例1 （2025春•义乌市期中）解下列方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【解答】解：（1）， 把①代入②，得， 去括号，得， 解得：， 把代入①，得， 方程组的解为； （2）， ①②，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：， 方程组的解为． ◄ 点拨 ► 1．代入消元法 （1）用代入法消元时，由方程组里的一个方程得出的关系式须代入到另一个方程中去，如果代入原方程，就不可能求出原方程组的解了． （2）方程组中各项系数不全是整数时，应先化简，即应用等式的性质，化分数系数为整数系数． （3）当求出一个未知数后，把它代入变形后的方程y=ax+b（或x=ay+b），求出另一个未知数的值比较简单． （4）要想检验所求得的一对数值是否为原方程组的解，可以将这对数值代入原方程组的每个方程中，若各方程均成立，则这对数值就是原方程组的解，否则说明解题有误． 2．加减消元法 （1）当两个方程中某一个未知数的系数互为相反数时，可将两个方程相加消元；当两个方程中某一个未知数 的系数相等时，可将两个方程相减消元． （2）当方程组中相同未知数的系数的绝对值既不相等，也没有倍数关系时，则消去系数绝对值较小的未知数较简单，确定要消去这个未知数后，先要找出两方程中该未知数系数的最小公倍数，再把这两个方程中准备消去的未知数的系数化成绝对值相等的数． 【变式1】　（2025春•裕华区校级期中）解二元一次方程组： （1）； （2）． 【变式2】　（2025春•建邺区校级期中）解下列方程组： （1）； （2）． 【变式3】　（2025春•望城区期中）解方程组： （1）； （2）． 1．【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【解答】解：（1）， 把①代入②，得 ， 去括号，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：， 方程组的解为； （2） ①，得③， ②③，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：， 方程组的解为． 2．【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）根据方程的特点，直接把方程①代入方程②，消去未知数，解得的值，进而得到方程组的解； （2）根据方程的特点，把方程①与方程②相加，消去未知数，解得的值，进而得到方程组的解． 【解答】解：（1）， 将①代入②，得， 解得， 将代入①，得， 即， 所以原方程组的解是； （2）， 由①②，得， 解得， 将代入①，得， 解得， 所以原方程组的解是． 3．【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）代入消元法解方程组即可； （2）加减消元法解方程组即可． 【解答】解：（1）将方程组标号得， 把①代入②得：，解得：； 把代入①得：； ； （2）将原方程组标号得， ①②得：，解得， 把代入②得：，解得； ． 【题型2】二元一次方程组的错解问题 例2 （2025春•长沙期中）解方程组时，小强正确解得，而小刚只看错了，解得，则的值为 　　 ． 【答案】2． 【分析】根据二元一次方程组的解的意义可得，，，由可解得的值，再联立，后解得，的值，将其代入中计算即可． 【解答】解：解方程组时，小强正确解得， 则，， 解得：， 因小刚只看错了，解得， 则， 那么， 解得：， 则， 故答案为：2． ◄ 点拨 ► 处理策略：避开看错的式子，把解代入对应的正确式子中． 【变式4】　（2025春•长沙期中）甲、乙两人共同解方程组，甲将①中的看成了它的相反数解得，乙抄错②中的解得，则　　 ． 【变式5】　（2025春•雨花区校级月考）甲和乙两人同解方程组，甲因抄错了，解得，乙因抄错了，解得，求的值 　　 ． 【变式6】　（2024春•分宜县校级期中）甲、乙两名同学在解方程组时，甲解题时看错了，解得；乙解题时看错了，解得．请你根据以上两种结果，求的平方根． 4．【答案】5． 【分析】根据甲、乙的解题错误条件，分别代入对应的方程，联立方程组求出，，的值，然后代入进行计算即可． 【解答】解：甲将方程①中的看成，得到错误方程为，但是方程②正确，代入甲的解，，可得（1）， 把，代入②，得， 解得：． 乙抄错方程②中的，但方程①正确，代入乙的解，，可得，即（2）， （1）、（2）联立方程组得，， 解得：， ． 故答案为：5． 5．【答案】1． 【分析】根据解二元一次方程组的步骤进行解答． 【解答】解：由题意是的解， 得， 解得：， 又是的解， 得， 解得：， ． 故答案为：1． 6．【答案】． 【分析】把甲的解代入中求出的值，把乙的解代入中求出的值；把与的值代入即可求得平方根． 【解答】解：把代入得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 的平方根为， 即：的平方根为． 【题型3】二元一次方程组的同解问题 例3 （2024春•威远县校级期中）已知关于，的方程组和的解相同，求的值． 【答案】． 【分析】由两方程组的解相同，可得出两方程组的解与关于，的方程组的解相同，解该方程组可求出，的值，将其代入中，可得出关于，的二元一次方程组，由①②，可得出，等式两边再同时除以2，即可求出的值． 【解答】解：关于，的方程组和的解相同， 两方程组的解与关于，的方程组的解相同． 解方程组得：． 将代入方程组得：， ①②得：， ． ◄ 点拨 ► 将不含字母系数的两个方程组合成新方程组→解新方程组→将新方程组的解代入其他两个含字母系数的方程组成的方程组→求解． 【变式7】　（2024秋•府谷县期末）已知关于，的二元一次方程组和关于，的二元一次方程组有相同的解，则的平方根为　　 A．4 B． C． D． 【变式8】　（2024春•丰泽区校级期中）已知方程组和方程组有相同的解，求，的值． 【变式9】　（2023春•东城区校级期末）当时，二元一次方程和（关于，的方程）有相同的解，求的值． 7．【答案】 【分析】由题意可得，解得，的值后分别代入及中求得，的值，然后求得的值后求得其平方根即可． 【解答】解：由题意得， 解得：， 则，， 解得：，， 那么，其平方根为， 故选：． 8．【答案】． 【分析】先解方程组得到，再把代入方程组中得到，解之即可得到答案． 【解答】解：， ①②得：，解得， 把代入①得：，解得， 方程组的解为， 方程组和方程组有相同的解， 是方程组得解， ， 解得． 9． 【分析】首先把代入中，可解得的值，再把，的值代入中便可求出的值． 【解答】解：当时， ， 解得：， 把，代入中得， ， 解得：． 【题型4】二元一次方程组的特殊解法 例4 （2024春•宝山区期中）用换元法解方程组，若设，，则原方程组可化为方程组 　　． 【答案】． 【分析】设，，则，，，，从而得出关于、的二元一次方程组． 【解答】解：设，， 原方程组变为． 故答案为：． ◄ 点拨 ► 利用换元法解二元一次方程组的基本步骤： （1）找准整体：利用方程组中式子的结构找到相同的“整体”（须每一个方程都含有且与未知数相关）． （2）设新元：根据方程组的特点，将相同的“整体”设为新元． （3）换元：用新元代替原方程组中的“整体”，得到新的方程组． （4）求新元：解新方程组，得到新元的值． （5）求原方程组的解：将解出的新元代回“整体”中，解方程或方程组，求出原问题中的未知数． 【变式10】　（2025春•长宁区期中）用换元法解方程组． 【变式11】　（2025春•黄浦区期中）用换元法解方程组：． 【变式12】　（2024春•秦安县校级月考）阅读探索 （1）知识积累 解方程组． 解：设，，原方程组可变为， 解方程组，得． 即， 所以有． 此种解方程组的方法叫换元法． （2）拓展提高运用上述方法解方程组：． 10．【答案】． 【分析】设，，方程组可化为，据此可得、的值，再代入计算即可． 【解答】解：设，， 方程组可化为， 解得， ， 解得． 11．【答案】． 【分析】根据题意，设，，可得方程组，再设，，可得方程组，根据解二元一次方程组的方法求出，的值，进而得出，的值即可． 【解答】解：， 设，，可得方程组， 再设，，可得方程组， ②，得③， ①③，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：， ，， ，， ， 解得：， 方程组的解为． 12．【答案】． 【分析】设，则原方程组可变为，解方程组得到，据此求解即可． 【解答】解：设，则原方程组可变为， 解得， ， ． 【题型5】二元一次方程组中的参数问题 例5 （2025春•西湖区校级期中）已知实数、、满足，则代数式的值是　　 A．4 B．6 C．5 D．7 【答案】 【分析】观察方程组未知数系数的特点，两个方程相加即可得出的值． 【解答】解：， ①②，得， 故选：． ◄ 点拨 ► 将二元一次方程组的解代入方程组→解关于参数的方程组（或根据所求代数式对关于参数的方程组变形）→求出字母参数或代数式的值． 【变式13】　（2025春•鼓楼区校级期中）已知关于，的二元一次方程组（其中是常数），不论取什么实数，代数式是常数）的值始终不变，则的值是　　 A．11 B．12 C．13 D．14 【变式14】　（2025•长安区校级开学）已知关于、的方程组中，满足，则的值为 　　． 【变式15】　（2024秋•太平区期末）若，则的值为 　　． 13．【答案】 【分析】先把方程①化为，再把两个方程相加可得，再比较即可得到答案． 【解答】解：， ①得：③， ③②得：， 代数式是常数）的值始终不变， ． 故选：． 14．【答案】11． 【分析】先把方程组中的两个方程相加求出，再根据列出关于的方程，解方程求出，然后把与方程组的一个方程联立成方程组，解方程组求出，，最后代入所求代数式进行计算即可． 【解答】解：， ①②得：， ， ， ， ， ， ， ， ①①得：， 把代入①得：， 方程组的解为：， ， 故答案为：11． 15．【答案】0． 【分析】根据非负数的性质可得，解出和的值即可解答． 【解答】解：， ， 解得， ． 故答案为：0． 学科网（北京）股份有限公司 $$