精品解析：广西崇左市凭祥市高级中学2025-2026学年下学期期中考试高二数学试题

2026年春季学期期中考试 高二数学试题 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章~第七章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某商场东面和西面均有4个门，北面和南面均有3个门，若某人从其中的任意一个门进入商场，则进入商场的不同方式共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 7种 D. 14种 【答案】D 【解析】 【分析】由分类加法计数原理即可求解. 【详解】由题意进入商场的不同方式共有种. 故选：D. 2. 已知，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以由组合数性质得. 3. 某活动室有足球和篮球，从中随机挑选2个球，若这2个球中足球个数为，且的分布列如下表所示，则（ ） 0 1 2 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分布列概率之和为1，建立方程求解. 【详解】由题意可知，，解得. 故选：A. 4. 若，则的个位数字是（ ） A. 0 B. 3 C. 5 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】分析出，从开始一直到的个位数字都是0，从而求出答案. 【详解】，从开始一直到的个位数字都是0. 所以要求的个位数字，则只需将前面四个数加起来， 即. 所以的个位数字就是3. 故选：B. 5. 如图是函数的导函数的图象，下列结论中正确的是（ ） A. 在上是增函数 B. 当时，取得最小值 C. 当时，取得极大值 D. 在上是增函数，在上是减函数 【答案】D 【解析】 【分析】根据导函数的图象判断出函数的单调区间、极值、最值，由此确定正确选项. 【详解】根据图象知： 当，时，函数单调递减； 当，时，函数单调递增. 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故选项A不正确，选项D正确； 故当时，取得极小值，选项C不正确； 当时，不是取得最小值，选项B不正确； 故选：D. 6. 已知随机变量的均值，方差，则（ ） A. B. C. 11.8 D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】，； ，； . 7. 当时，函数取得最小值，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出导函数，由题意，解得，即可计算. 【详解】当时，函数取得最小值， 所以，所以，得， 又，根据函数在处取得最值， 所以即得， 所以，. 故选：C. 8. 现有四种不同的颜色要对如图形中的五个部分进行着色，其中任意有公共边的两块着不同颜色的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由分步计数原理计算“用四种不同得颜色要对如图形中的五部分进行着色”和“任意有公共边的两块着不同颜色”的涂色方法，由古典概型公式计算可得答案. 【详解】根据题意，用四种不同的颜色要对如图形中的五个部分进行着色，每个部分都有4种涂色方法，则有种涂色方法； 若其中任意有公共边的两块着不同颜色，有两种情况：①只用三种颜色涂这5个区域，则有种涂色方法；②用四种颜色涂这5个区域，则有种涂色方法，所以若其中任意有公共边的两块着不同颜色，共有144种涂色方法，故四种不同的颜色要对如图形中的五个部分进行着色，其中任意有公共边的两块着不同颜色的概率为. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 随机变量服从正态分布，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由正态曲线的对称性和题设条件易得，可知A，B正确，C错误；对于D，只需判断，结合正态曲线的特征即可排除D. 【详解】对于A，由知是1和3的中间值，故，故A正确； 对于B，C，在正态分布中，，故B正确，错误； 对于D，当时，由正态曲线的特征可得，，所以错误. 故选：AB. 10. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用赋值法和二项式系数性质分别计算判断. 【详解】令，得，故A正确； ，故B错误； 令，得，又， 所以，故C正确； 令，得， 所以，故D正确. 故选：ACD. 11. 定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由已知可得，即在上单调递减，再利用函数单调性逐项分析即可. 【详解】，则， 因为，所以可得， 即在上单调递减． 所以，A错误；，B正确； 所以， 故，，即CD选项正确． 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用两点分布的概率和性质结合给定条件求解即可. 【详解】因为X的分布列服从两点分布，所以， 所以，∴，∴． 故答案为：. 13. 设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为______________． 【答案】 【解析】 【详解】令，得，代入曲线， 的最小值即为点到直线的距离， ． 14. 小李家共有10只信鸽，其中戴盔鸽有3只，李种鸽有3只，其余的为蓝鸽.现随机取出2只信鸽，若取出1只蓝鸽记10分，取出1只戴盔鸽记20分，取出1只李种鸽记30分.用表示取出的2只信鸽的分数之和，则的数学期望为______________. 【答案】38 【解析】 【详解】蓝鸽有4只，所以的所有取值20，30，40，50，60， ，，， ，， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 某班两位老师和6名学生出去郊游，分别乘坐两台车，每台车可以坐4人. （1）若要求两位老师分别坐在两台车上，问共有多少种分配方法？ （2）郊游结束后，大家在景点合影留念，若要求8人站成一排且两名老师相邻，问共有多少种站法（列式并用数字作答）？ 【答案】（1）40 （2） 【解析】 【分析】(1)该问不涉及排序问题，考虑用组合去处理，第一辆车选好后，剩下的归为第二辆车； (2) 先处理相邻元素内部排列，再将其视为整体与其余元素全排列，分步相乘即可. 【小问1详解】 八个人坐两台车，只需要考虑第一辆车坐的人， 先选一位老师坐入第一辆车，共种选法， 再选三名学生坐入第一辆车，共种选法， 因此共有种分配方式. 【小问2详解】 将两位老师捆绑在一起，并与6名学生全排列，共有种站法. 16. 若是函数的极大值点． （1）求a的值； （2）求函数在区间上的最值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）由求得的值. （2）结合函数的单调性来求得函数在区间上的最值. 【小问1详解】 ， 由题意知或 时，， 在区间递增；在区间递减， 是的极大值点，符合题意. 时，， 在区间递增；在区间递减， 是的极小值点，不符合题意. 则. 【小问2详解】 由（1）知，且在，单调递增，在单调递减， 又，，，， 则，. 17. 某地工商质检部门“3.15”期间对全市超市商品进行随机抽检，在某超市化妆品抽查时，先将同一品牌（其外包装形状、大小、材质都相同）的甲、乙两类共9个不同化妆品同时放入一纸箱中，其中甲类3个，乙类6个，每次从纸箱中随机抽出1个进行检验，抽出的化妆品不再放回.求： （1）在第一次抽到甲类化妆品的条件下，第二次也抽到甲类化妆品的概率； （2）第二次抽到甲类化妆品的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件概率计算公式即可求解； （2）由全概率计算公式即可求解. 【小问1详解】 设事件“第一次抽到甲类化妆品”，“第二次抽到甲类化妆品”， 则事件“第一次抽到乙类化妆品”. 当第一次抽到甲类化妆品的条件下，剩下的8个中有2个甲类化妆品，6个乙类化妆品； 第二次再从剩余8个化妆品中抽一个，共8种不同的结果， 其中抽出的是甲类化妆品的结果共2种.所以. 【小问2详解】 由题意知，符合条件的抽取有两种情况，一是第一次、第二次都抽到甲类化妆品； 二是第一次抽到乙类化妆品，第二次抽到甲类化妆品， 即， 故第二次抽到甲类化妆品的概率为. 18. 食品安全问题越来越受到人们的重视，某超市在某种蔬菜进货前，要求食品安检部门对每箱蔬菜进行三轮各项指标的综合检测，只有三轮检测都合格，蔬菜才能在该超市销售.已知每箱这种蔬菜第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，第三轮检测合格的概率为，每轮检测只有合格与不合格两种情况，且各轮检测是否合格相互之间没有影响. （1）求每箱这种蔬菜不能在该超市销售的概率； （2）如果这种蔬菜能在该超市销售，则每箱可获利400元，如果不能在该超市销售，则每箱亏损200元，现有4箱这种蔬菜，求这4箱蔬菜总收益的分布列与期望. 【答案】（1） （2） 1600 1000 400 -200 -800 【解析】 【分析】（1）先求出每一轮检测合格的概率；再利用各轮检测相互独立的条件，用乘法公式算出 “三轮都合格” 的概率；最后用 1 减去该概率，即可得到 “不能销售” 的概率； （2）先设 4 箱蔬菜中能销售的箱数为随机变量，该变量服从二项分布；接着，根据每箱的收益情况，推导出总收益与能销售箱数的线性关系，确定总收益的所有可能取值；然后，利用二项分布的概率公式，计算出每个收益值对应的概率，列出分布列；最后，根据离散型随机变量期望的定义，代入分布列数据，计算出总收益的数学期望. 【小问1详解】 记分别为事件“第一、二、三轮检测合格”，为事件“每箱这种蔬菜不能在该超市销售”. 由题设知，，， 所以 【小问2详解】 设这4箱蔬菜的总收益为随机变量，则的所有可能取值为1600，1000，400，-200，-800， 且， ， ， ， ， 故的分布列为 1600 1000 400 -200 -800 . 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）当时，恒成立，求a的取值范围. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求出，利用导数几何意义求得切线斜率，代入点斜式直线方程求解即可； （2）求出导函数，按照和分类讨论求解即可； （3）解法一：根据函数的单调性分类讨论研究的最小值，即可解答； 解法二：分类讨论，先求时a的取值范围，然后参变分离，把恒成立问题转化为恒成立问题，构造函数，利用导数求解函数最值即可求解. 【小问1详解】 当时，，得， ，则， 所以切线方程为：，即； 【小问2详解】 由题，可得， 当时，，，单调递减， ，，单调递增， 当时，的解为， ①当，即时，，则在上单调递增； ②当，即时， 在区间上，，在区间上，， 所以的单调增区间为；单调减区间为； ③当，即时， 在区间上，，在区间上，， 所以的单调增区间为；单调减区间为； 【小问3详解】 解法一：， ①当时，因为，所以，，所以， 则在上单调递增，成立， ②当时，， 所以在上单调递增，所以成立. ③当时，在区间上，；在区间，， 所以在上单调递减，上单调递增，所以，不符合. 综上所述，的取值范围是. 解法二：当时，恒成立，等价于“当时，恒成立”. 即在上恒成立. 当时，，所以. 当时，，所以恒成立. 设，则， 因为，所以，所以在区间上单调递增. 所以，所以. 综上所述，的取值范围是. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季学期期中考试 高二数学试题 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章~第七章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某商场东面和西面均有4个门，北面和南面均有3个门，若某人从其中的任意一个门进入商场，则进入商场的不同方式共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 7种 D. 14种 2. 已知，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 3. 某活动室有足球和篮球，从中随机挑选2个球，若这2个球中足球个数为，且的分布列如下表所示，则（ ） 0 1 2 A. B. C. D. 4. 若，则的个位数字是（ ） A. 0 B. 3 C. 5 D. 8 5. 如图是函数的导函数的图象，下列结论中正确的是（ ） A. 在上是增函数 B. 当时，取得最小值 C. 当时，取得极大值 D. 在上是增函数，在上是减函数 6. 已知随机变量的均值，方差，则（ ） A. B. C. 11.8 D. 2 7. 当时，函数取得最小值，则（ ） A. B. C. D. 8. 现有四种不同的颜色要对如图形中的五个部分进行着色，其中任意有公共边的两块着不同颜色的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 随机变量服从正态分布，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，，则有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且，则______． 13. 设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为______________． 14. 小李家共有10只信鸽，其中戴盔鸽有3只，李种鸽有3只，其余的为蓝鸽.现随机取出2只信鸽，若取出1只蓝鸽记10分，取出1只戴盔鸽记20分，取出1只李种鸽记30分.用表示取出的2只信鸽的分数之和，则的数学期望为______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 某班两位老师和6名学生出去郊游，分别乘坐两台车，每台车可以坐4人. （1）若要求两位老师分别坐在两台车上，问共有多少种分配方法？ （2）郊游结束后，大家在景点合影留念，若要求8人站成一排且两名老师相邻，问共有多少种站法（列式并用数字作答）？ 16. 若是函数的极大值点． （1）求a的值； （2）求函数在区间上的最值． 17. 某地工商质检部门“3.15”期间对全市超市商品进行随机抽检，在某超市化妆品抽查时，先将同一品牌（其外包装形状、大小、材质都相同）的甲、乙两类共9个不同化妆品同时放入一纸箱中，其中甲类3个，乙类6个，每次从纸箱中随机抽出1个进行检验，抽出的化妆品不再放回.求： （1）在第一次抽到甲类化妆品的条件下，第二次也抽到甲类化妆品的概率； （2）第二次抽到甲类化妆品的概率. 18. 食品安全问题越来越受到人们的重视，某超市在某种蔬菜进货前，要求食品安检部门对每箱蔬菜进行三轮各项指标的综合检测，只有三轮检测都合格，蔬菜才能在该超市销售.已知每箱这种蔬菜第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，第三轮检测合格的概率为，每轮检测只有合格与不合格两种情况，且各轮检测是否合格相互之间没有影响. （1）求每箱这种蔬菜不能在该超市销售的概率； （2）如果这种蔬菜能在该超市销售，则每箱可获利400元，如果不能在该超市销售，则每箱亏损200元，现有4箱这种蔬菜，求这4箱蔬菜总收益的分布列与期望. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）当时，恒成立，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $