精品解析：山东枣庄市山亭区翼云中学2025-2026学年七年级下学期阶段数学试卷

七年级数学（A卷） 注意事项： 1．本试卷满分120分．考试时间为120分钟． 2．答卷时，考生务必将第Ⅰ卷和第Ⅱ卷的答案填涂或书写在答题卡指定位置上，并在本页上方空白处写上姓名和准考证号．考试结束，将试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 1. 石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，如图是二维石墨烯的晶格结构，图中标注出了石墨烯每两个相邻碳原子间的键长，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 2. 小明在月历的纵列上圈出了三个数．若设中间的数为，则上、下两个数的乘积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键． 设中间的数为，则上面的数为，下面的数为，然后相乘利用平方差公式求解即可． 【详解】解：设中间的数为，则上面的数为，下面的数为， ∴． 故选：A． 3. 如图，借助直角三角板作的边上的高，下列直角三角板的位置摆放正确（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键． 根据高线的定义即可得出答案． 【详解】解：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高， 借助直角三角板作的边上的高，直角三角板的位置摆放正确的是， 故选：A． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了单项式的乘法、除法，完全平方公式，平方差公式，解题的关键是熟练掌握单项式的乘法和除法运算法则，以及完全平方公式和平方差公式．根据相关运算法则逐个判断即可． 【详解】解：A、，故A不正确，不符合题意； B、，故B不正确，不符合题意； C、，故C不正确，不符合题意； D、，故D正确，符合题意； 故选：D． 5. 如图，自行车的车架上常常会焊接一横梁，运用的数学原理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 三角形具有稳定性 C. 三角形两边之和大于第三边 D. 垂线段最短 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的性质，理解并掌握“三角形具有稳定性”的概念是解题的关键． 根据图示，三角形的性质即可求解． 【详解】解：自行车的车架焊接横梁，运用的数学原理是“三角形具有稳定性”， 选项A、选项C和选项D都与题干不符， 故选：B． 6. 若多项式是一个完全平方式，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用完全平方公式的定义，可知首末两项是x和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和3积的2倍，故，得． 【详解】解:∵是完全平方公式， ∴，即， 故选：B． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，解题关键是注意积的2倍的符号，避免漏解． 7. 如图，为估计池塘两岸，间的距离，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，那么间的距离不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，，直接利用三角形的三边关系求解即可求得的取值范围，继而求得答案． 【详解】解：，， ， 即， 间的距离不可能是：． 故选：A． 【点睛】此题考查了三角形的三边关系，注意要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 8. 投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线l上的点A，B，C，D处往点P处的壶内投箭矢，小明认为站在点C处的投壶者最近会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（ ） A. 垂线段最短 B. 线段可以度量 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间，线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线的性质．根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短求解即可． 【详解】解：若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是垂线段最短， 故选A． 9. “数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合思想是数学学习中的一个重要的数学思想，请仔细观察下列图形，其中能说明等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式与数形结合思想，熟练掌握以上知识点是解题的关键．运用完全平方公式与数形结合思想，根据等式的几何意义，判断各选项图形是否符合该等式． 【详解】解：选项A是推导的图形，不涉及，不符合题意； 选项B是推导的图形，不符合题意； 选项C是勾股定理的相关图形，与等式无关，不符合题意； 选项D表示边长为的大正方形与边长为的小正方形的面积差，等于4个长为、宽为的长方形的面积和，符合等式； 故选D． 10. 如图，将一张长方形纸片沿折叠后，点落在边上的点处，点落在点处，与交于点，若，则的度数为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线的性质求出，再结合折叠性质和平角定义求解． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∴， 由折叠的性质可知，， ∵点，，在同一直线上， ∴ ． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共6小题，满分18分．只填写最后结果，每小题填对得3分． 11. 若与互为余角，且，则______． 【答案】##68度 【解析】 【分析】本题主要考查了余角的定义．根据余角的定义：两个角的和为90度，即可求解． 【详解】解：因为与互为余角， 所以， 因为， 所以． 故答案为：． 12. 若长方形面积是，一边长为，则这个长方形的另一边长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式除以单项式的应用．根据长方形的另一边长等于长方形的面积除以一边长，即可求解． 【详解】解：根据题意得：这个长方形的另一边长是：． 故答案为：． 13. 如图，是的中线，是的中线，若的面积为，则的面积为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查三角形的中线，根据三角形的中线平分面积，进行求解即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴； 故答案为：3． 14. 图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．若，则的大小为_______． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等．首先求出和，再根据平行线的性质求出和即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在四边形中，连接，平分，添加一个条件后，能证明的是________． 【答案】（答案不唯一，填或亦可） 【解析】 【分析】根据角平分线的定义可得，结合图形中的公共边，根据全等三角形的判定定理、或添加相应的条件即可． 【详解】解：∵平分， ∴， 又∵在和中，， 若添加， ∴； 若添加， ∴； 若添加， ∴． 16. 4个数a，b，c，d排列为，我们称之为二阶行列式，规定它的运算法则为．若，则x的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，涉及了完全平方公式，多项式乘法，解一元一次方程等知识，正确理解新定义的运算规则是解题的关键． 按规定的运算可得关于的方程，解方程即可求得答案． 【详解】，， ， ， ， 解得， 故答案为：． 三、解答题：本大题共7小题，满分72分．解答时，要写出必要的文字说明或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（）运用绝对值的性质，零指数幂和负整数指数幂的运算法则，先分别计算各部分，再计算加减即可； （）先运用平方差公式和完全平方公式展开原式，再合并同类项得到结果； （）根据多项式除以单项式的运算法则，将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得结果相加即可； （）将原式中的和变形后，利用平方差公式简化计算，得到最终结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 18. 下面是小明的运算步骤，请你认真阅读并完成相应的任务． 先化简，再求值：，其中，． 解：原式 第一步 第二步 第三步 任务： （1）运算从第______步开始出错，出现错误的原因是______． （2）请把正确的化简步骤写一遍，并求值． 【答案】（1）一；少了要改成 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式和多项式除以单项式，解答本题的关键是熟练掌握多项式乘多项式的运算法则． （1）根据完全平方公式，平方差公式和多项式除以单项式运算法则判断即可； （2）根据完全平方公式，平方差公式和多项式除以单项式运算法则计算即可． 【小问1详解】 解：运算从第一步开始出错，出现错误的原因是少了，要改成； 【小问2详解】 解：原式 ， 当时，原式． 19. 已知：如图，，．试说明：． 【答案】 如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】先根据可得，进而得到，再根据可得，进而得到． 【详解】略 20. 综合与实践： 【问题情境】如图1所示，池塘的两端有，两点，现需要测量该池塘的两端，之间的距离，需要如何进行呢？ 【提出方案】如图2所示，先在平地上取一个可直接到达，的点，再连接，，并分别延长至点，至点，使，，最后量出的距离就是的距离． 【问题解决】请你判断此方案是否可行，并说明理由． 【答案】 解：此方案可行，理由如下： 在和中， ， 所以， 所以， 所以的长即是的距离． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用．根据证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】略 21. 如图，在每个小正方形的边长都是1的方格纸中，的顶点A，，都在小正方形的格点上，请按下列要求画出所求线段及点，要求所画线段的端点和所画的点均在格点上． （1）画出要求的线段： ①在边上取一点，连接，使； ②画出边上的高线； （2）求的面积； （3）画出要求的点：在方格纸中取一点，使． 【答案】（1） 如图所示：①线段即为所求；线段即为所求． （2）10 （3） 如图所示：点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查格点作图，利用网格求三角形面积，平行线的性质．掌握三角形的中线、高线的概率及性质是解题的关键． （1）①画出边上的中线即可；②过点A向的延长线作垂线，垂足为点E即可； （2）根据网格，利用割补法求解即可； （3）过点B作，直线与格线的交点是格点，即为所求的点F． 【小问1详解】 解：①∵点D是， ∴ 根据等底同高的两三角形面积相等得； ∵， ∴是边上的高线． 【小问2详解】 解：． 【小问3详解】 解：∵ ∴与的底边的高相等， ∴． 22. 如图，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形． （1）通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是________；（请选择正确的一个） A． B． C． D． （2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：已知， ，求的值． （3）有同学利用所学知识，进一步探究发现以下的规律： … 则：________． （4）利用你发现的规律：计算：________． 【答案】（1）C （2）4 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）分别表示左图和右图中阴影部分的面积，根据面积相等得出结论； （2）由（1）中规律，利用平方差公式整体代入即可解得； （3）观察等式的规律，可得等式的右边为，即可求解； （4）根据（3）的规律进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：左图中，阴影部分为大正方形面积减去小正方形的面积，阴影部分面积为：， 右图阴影是拼成的长方形，长是：，宽是：， 所以右图阴影部分面积为：， 由于左右两图阴影部分面积相等， 所以有：； 【小问2详解】 解：由（1）中规律，利用平方差公式可得： ， ∵ ； 【小问3详解】 解：∵， ， ， ∴； 【小问4详解】 解：． 23. 实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图，一束光线射到平面镜上，被反射后的光线为，则入射光线、反射光线与平面镜所夹的锐角． （1）利用这个规律人们制作了潜望镜，图是潜望镜工作原理示意图，、是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，有，，请解释进入潜望镜的光线为什么和离开潜望镜的光线是平行的？（请把证明过程补充完整） 理由：∵（已知）， ∴（______________）， ∵，（已知）， ∴（_______________）， ∴，即：________， ∴（___________________）． （2）显然，改变两面平面镜、之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线与反射光线之间的位置关系会随之改变，如图，一束光线射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被反射．若被反射出的光线和光线平行，且，则________，________． （3）请你猜想：图中，当两平面镜、的夹角________时，可以使任何入射光线经过平面镜、的两次反射后，与反射光线平行．请说明理由． 【答案】（1）两直线平行，内错角相等；等量代换；；内错角相等，两直线平行； （2），； （3）． 【解析】 【分析】（）先由得出，再根据已知得出，从而得出； （）先由，求出，再根据，得出，再根据和，求出，从而求出； （）由（）得，，又，则，求得，从而得出结论． 【小问1详解】 证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵，（已知）， ∴（等量代换）， ∴，即：， ∴（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：两直线平行，内错角相等；等量代换；；内错角相等，两直线平行； 【小问2详解】 解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：，理由如下： 由（）得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学（A卷） 注意事项： 1．本试卷满分120分．考试时间为120分钟． 2．答卷时，考生务必将第Ⅰ卷和第Ⅱ卷的答案填涂或书写在答题卡指定位置上，并在本页上方空白处写上姓名和准考证号．考试结束，将试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 1. 石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，如图是二维石墨烯的晶格结构，图中标注出了石墨烯每两个相邻碳原子间的键长，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 小明在月历的纵列上圈出了三个数．若设中间的数为，则上、下两个数的乘积为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，借助直角三角板作的边上的高，下列直角三角板的位置摆放正确（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，自行车的车架上常常会焊接一横梁，运用的数学原理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 三角形具有稳定性 C. 三角形两边之和大于第三边 D. 垂线段最短 6. 若多项式是一个完全平方式，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为估计池塘两岸，间的距离，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，那么间的距离不可能是（ ） A. B. C. D. 8. 投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线l上的点A，B，C，D处往点P处的壶内投箭矢，小明认为站在点C处的投壶者最近会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（ ） A. 垂线段最短 B. 线段可以度量 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间，线段最短 9. “数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合思想是数学学习中的一个重要的数学思想，请仔细观察下列图形，其中能说明等式成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，将一张长方形纸片沿折叠后，点落在边上的点处，点落在点处，与交于点，若，则的度数为（） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共6小题，满分18分．只填写最后结果，每小题填对得3分． 11. 若与互为余角，且，则______． 12. 若长方形面积是，一边长为，则这个长方形的另一边长是______． 13. 如图，是的中线，是的中线，若的面积为，则的面积为______． 14. 图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．若，则的大小为_______． 15. 如图，在四边形中，连接，平分，添加一个条件后，能证明的是________． 16. 4个数a，b，c，d排列为，我们称之为二阶行列式，规定它的运算法则为．若，则x的值为_______． 三、解答题：本大题共7小题，满分72分．解答时，要写出必要的文字说明或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 下面是小明的运算步骤，请你认真阅读并完成相应的任务． 先化简，再求值：，其中，． 解：原式 第一步 第二步 第三步 任务： （1）运算从第______步开始出错，出现错误的原因是______． （2）请把正确的化简步骤写一遍，并求值． 19. 已知：如图，，．试说明：． 20. 综合与实践： 【问题情境】如图1所示，池塘的两端有，两点，现需要测量该池塘的两端，之间的距离，需要如何进行呢？ 【提出方案】如图2所示，先在平地上取一个可直接到达，的点，再连接，，并分别延长至点，至点，使，，最后量出的距离就是的距离． 【问题解决】请你判断此方案是否可行，并说明理由． 21. 如图，在每个小正方形的边长都是1的方格纸中，的顶点A，，都在小正方形的格点上，请按下列要求画出所求线段及点，要求所画线段的端点和所画的点均在格点上． （1）画出要求的线段： ①在边上取一点，连接，使； ②画出边上的高线； （2）求的面积； （3）画出要求的点：在方格纸中取一点，使． 22. 如图，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形． （1）通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是________；（请选择正确的一个） A． B． C． D． （2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：已知， ，求的值． （3）有同学利用所学知识，进一步探究发现以下的规律： … 则：________． （4）利用你发现的规律：计算：________． 23. 实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图，一束光线射到平面镜上，被反射后的光线为，则入射光线、反射光线与平面镜所夹的锐角． （1）利用这个规律人们制作了潜望镜，图是潜望镜工作原理示意图，、是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，有，，请解释进入潜望镜的光线为什么和离开潜望镜的光线是平行的？（请把证明过程补充完整） 理由：∵（已知）， ∴（______________）， ∵，（已知）， ∴（_______________）， ∴，即：________， ∴（___________________）． （2）显然，改变两面平面镜、之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线与反射光线之间的位置关系会随之改变，如图，一束光线射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被反射．若被反射出的光线和光线平行，且，则________，________． （3）请你猜想：图中，当两平面镜、的夹角________时，可以使任何入射光线经过平面镜、的两次反射后，与反射光线平行．请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $