精品解析：山东省枣庄市山亭区2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试题

2024—2025学年度第二学期学业质量监测七年级数学（A卷） 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试时间为120分钟． 2．答卷时，考生务必将第Ⅰ卷和第Ⅱ卷的答案填涂或书写在答题卡指定位置上，并在本页上方空白处写上姓名和准考证号．考试结束，将试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的． 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的值是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，某污水处理厂要从A处把处理过的水引入排水渠，为了节约用料，铺设垂直于排水渠的管道．这种铺设方法蕴含的数学原理是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间，线段最短 C. 过一点可以作无数条直线 D. 垂线段最短 4. 如图是某小区车库门口的曲臂直杆道闸模型．已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点B缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升（即与始终平行），在该运动过程中的度数始终等于（　　） A. B. C. D. 5. 如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，是古城墙的一角，要测量墙角的度数，但人站在墙外，无法直接测量；甲、乙两名同学提供了间接测量方案： 方案Ⅰ ①延长到C； ②测得的度数； ③再利用的度数可得的度数． 方案Ⅱ ①延长到C、到D， ②测得的度数， ③根据即可得到的度数． 对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确是（ ） A. Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B. Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C. Ⅰ、Ⅱ都可行 D. Ⅰ、Ⅱ都不可行 7. 在下列事件中，随机事件是（ ） A. 投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为2 B. 从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球 C. 通常情况下，自来水在结冰 D. 投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数不超过6 8. 将一根吸管按如图所示的位置摆放在单位长度为1的数轴（不完整）上，吸管左端对应数轴上的“”处，右端对应数轴上的“5”处．若将该吸管剪成三段围成三角形，第一刀剪在数轴上的“”处，则第二刀可以剪在（ ） A. “”处 B. “”处 C. “”处 D. “2”处 9. 一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，当时，的度数为（ ） A B. C. D. 10. 如图，在中，，，，分别是的高线、中线和角平分线，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题：本大题共6小题，满分18分，只填写最后结果，每小题填对得3分． 11. 红细胞的直径约为，用科学记数法表示为______． 12. 如果一个角的补角是150°，那么这个角的余角的度数是__________． 13 如图，把一张长方形纸条沿折叠，若，则 ______ ． 14. 如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，则图中阴影部分面积是 _______． 15. 某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如表： 累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 盖面朝上次数 28 54 106 158 264 527 1056 1587 2650 盖面朝上频率 0.5600 0.5400 0.5300 0.5267 0.5280 0.5270 0.5280 0.5290 0.530 随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近于_______（精确到0.01）． 16. 定义为二阶行列式，规定它的运算法则为．则二阶行列式的值为______． 三、解答题：本大题共8小题，满分72分．解答时，要写出必要的文字说明或演算步骤． 17. 计算： （1） （2） 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 如图，某校有一块长为米，宽为米的长方形空地，中间是边长米的正方形草坪，其余为活动场地，学校计划将活动场地（阴影部分）进行硬化． （1）用含，的代数式表示需要硬化的面积并化简； （2）当，时，求需要硬化的面积． 20 如图，直线， （1）利用尺规作图：过点B作，且与交于点C． （要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）试说明：． 21. 今年“6.18”互联网促销期间，某网红店开展有奖促销活动，凡进店购物的顾客均有一次转动圆盘的机会，圆盘被等分成8份（如图）．如果规定当圆盘停下来时指针指向8就中“一等奖”；指向6或1就中“二等奖”；指向2或4或5就中“三等奖”，指向其余数字均不中奖． （1）转动转盘，分别求中一等奖、二等奖、三等奖的概率； （2）若一名顾客有一次转动圆盘机会，求他中奖的概率； （3）6月18日这天约有1600人参与这项活动，估计这天需要准备“一等奖”的奖品约多少份 22. 已知点为直线上一点，将直角三角板的直角顶点放在点上，并在内部作射线． （1）如图1，三角板的一边与射线重合．的余角是__________，补角是__________； （2）将三角板按照如图2的方式放置，仅满足平分，则与之间的数量关系为__________； （3）若仍将三角板按照如图2的方式放置，使恰好平分，且，求的度数． 23. 综合探究：数形结合是数学学习中一种重要的方法，我们可以利用几何图形验证乘法公式．某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： （1）【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有__________（填序号）； （2）【应用】利用“平方差公式”计算：； （3）【拓展】若，请你画一个几何图形，证明，并根据你画的图形，直接写出正确的展开结果． （4）【迁移应用】计算． 24. 生活中常见一种电动伸缩门，从图中可以抽象出如图所示的几何图形． （1）如图1所示，，那么、、之间有怎样的数量关系？ 解；∵（已知）， ∴________（________） ∵（已知） ∴________（________） ∵ ∴______________（等量代换）． （2）如图2，、、之间又有怎样的数量关系？写出推理过程． （3）如图3，连接，你能否从三角形的角度进一步探究、、之间的数量关系？写出推理过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第二学期学业质量监测七年级数学（A卷） 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试时间为120分钟． 2．答卷时，考生务必将第Ⅰ卷和第Ⅱ卷的答案填涂或书写在答题卡指定位置上，并在本页上方空白处写上姓名和准考证号．考试结束，将试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的． 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方，根据以上运算法则逐项分析即可． 【详解】解：A、，故该选项不正确，不符合题意； B、，故该选项正确，符合题意； C、，故该选项不正确，不符合题意； D、，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 2. 已知，则的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法及求代数式的值，解题的关键是将已知等式转化为，再根据同底数幂的乘法法则将转化为，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：D． 3. 如图，某污水处理厂要从A处把处理过的水引入排水渠，为了节约用料，铺设垂直于排水渠的管道．这种铺设方法蕴含的数学原理是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间，线段最短 C. 过一点可以作无数条直线 D. 垂线段最短 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线外一点与直线上各点连接所有线段中，垂线段最短，即可选择． 【详解】根据题意可知这种铺设方法蕴含的数学原理是垂线段最短． 故选D． 【点睛】本题考查垂线段最短．理解直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短是解题关键． 4. 如图是某小区车库门口的曲臂直杆道闸模型．已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点B缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升（即与始终平行），在该运动过程中的度数始终等于（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点B作，则，由两直线平行，同旁内角互补推出，即，再由垂直的定义得到，则． 【详解】解：如图，过点B作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 故选：D． 5. 如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据大正方形的面积=边长为a的正方形的面积+两个长为a，宽为b的长方形的面积+边长为b的正方形的面积，即可解答． 【详解】根据题意得：(a+b)2=a2+2ab+b2， 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，用整体和部分两种方法表示面积是解题的关键． 6. 如图所示，是古城墙的一角，要测量墙角的度数，但人站在墙外，无法直接测量；甲、乙两名同学提供了间接测量方案： 方案Ⅰ ①延长到C； ②测得的度数； ③再利用的度数可得的度数． 方案Ⅱ ①延长到C、到D， ②测得的度数， ③根据即可得到的度数． 对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（ ） A. Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B. Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C. Ⅰ、Ⅱ都可行 D. Ⅰ、Ⅱ都不可行 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查邻补角互补和对顶角相等，根据作图可得是平角，则与互补，可知方案Ⅰ可行；根据对顶角相等可知方案Ⅱ可行． 【详解】解：由作图可得是平角， ∴与互补， ∴， ∴方案Ⅰ可行； 由作图可得与是对顶角， ∴， ∴方案Ⅱ可行， 故选：C． 7. 在下列事件中，随机事件是（ ） A. 投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为2 B. 从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球 C. 通常情况下，自来水在结冰 D. 投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数不超过6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，不可能事件，必然事件，解题的关键是掌握相关概念判断． 【详解】解：A、投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为2，是随机事件，故此选项符合题意； B、从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球，是不可能事件，故此选项不符合题意； C、通常情况下，自来水在结冰，是不可能事件，故此选项不符合题意； D、投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数不超过6，是必然事件，故此选项不符合题意． 故选：A． 8. 将一根吸管按如图所示的位置摆放在单位长度为1的数轴（不完整）上，吸管左端对应数轴上的“”处，右端对应数轴上的“5”处．若将该吸管剪成三段围成三角形，第一刀剪在数轴上的“”处，则第二刀可以剪在（ ） A. “”处 B. “”处 C. “”处 D. “2”处 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，有理数与数轴，分别求出第二刀位置在四个选项中的位置时三段的长，再根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行求解即可． 【详解】解：A、第二刀剪在“”处时，则剪成的三段的长分别为， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； B、第二刀剪在“”处时，则剪成的三段的长分别为， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； C、第二刀剪在“”处时，则剪成的三段的长分别为， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意； D、第二刀剪在“2”处时，则剪成的三段的长分别为， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 故选：C． 9. 一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，当时，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握平行线的性质，是解题的关键．证明，再利用，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∵， ∴， ∴； 故选B． 10. 如图，在中，，，，分别是的高线、中线和角平分线，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的高线、中线和角平分线，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的高线、中线和角平分线的定义是解题的关键．利用角平分线的定义判断选项A；利用高线的定义得出，得出，再结合，即可判断选项B；利用中线定义得出，即可判断选项C；无法得出选项D． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， 故选项A结论正确，不符合题意； ∵是的高线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选项B结论正确，不符合题意； ∵是的中线， ∴， ∴， 即， 故选项C结论正确，不符合题意； ∵是的角平分线，无法判定是的中线， ∴选项D结论错误，符合题意； 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题：本大题共6小题，满分18分，只填写最后结果，每小题填对得3分． 11. 红细胞的直径约为，用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：． 故答案为： 12. 如果一个角的补角是150°，那么这个角的余角的度数是__________． 【答案】60°##60度 【解析】 【分析】首先根据补角的定义求得这个角的度数，然后根据余角的定义即可求出这个角的余角． 【详解】解：∵一个角的补角是150°， ∴这个角是180°−150°＝30°， ∴这个角的余角是90°−30°＝60°． 故答案是：60°． 【点睛】此题主要考查的是补角和余角的定义，属于基础题，较简单，主要记住互为余角的两个角的和为90°；互为补角的两个角的和为180°． 13. 如图，把一张长方形纸条沿折叠，若，则 ______ ． 【答案】##80度 【解析】 【分析】根据长方形性质得出平行线，根据平行线的性质求出，根据折叠求出，即可求出答案． 【详解】解：四边形长方形， ， ， 沿折叠到， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，注意：平行线的性质有两直线平行，内错角相等，两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互补． 14. 如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，则图中阴影部分面积是 _______． 【答案】 【解析】 【分析】设两个正方形的边长分别为，则，由可得，根据代入求出的值即可． 【详解】解：设，，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提． 15. 某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如表： 累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 盖面朝上次数 28 54 106 158 264 527 1056 1587 2650 盖面朝上频率 0.5600 0.5400 0.5300 0.5267 0.5280 0.5270 0.5280 0.5290 0.530 随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近于_______（精确到0.01）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，熟练掌握频率估计概率的方法是解题关键．随着实验次数的增多，频率逐渐稳定到某个常数附近，可用这个常数表示概率，由此即可得． 【详解】解：由表格可知，随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近于， 故答案为：． 16. 定义为二阶行列式，规定它运算法则为．则二阶行列式的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查新定义、完全平方公式、整式的混合运算，先根据新定义可得，再根据完全平方公式和整式的运算法则进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：1． 三、解答题：本大题共8小题，满分72分．解答时，要写出必要的文字说明或演算步骤． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，幂的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据零指数幂，负整数指数幂运算法则进行计算即可； （2）根据积的乘方，同底数幂乘法，合并同类项法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，先去括号，再合并同类项，然后再把的值代入化简后的式子进行计算即可得到答案，准确熟练的计算是解此题的关键． 【详解】解： ， 当，时，原式． 19. 如图，某校有一块长为米，宽为米的长方形空地，中间是边长米的正方形草坪，其余为活动场地，学校计划将活动场地（阴影部分）进行硬化． （1）用含，的代数式表示需要硬化的面积并化简； （2）当，时，求需要硬化的面积． 【答案】（1）5a2＋3ab （2）155平方米 【解析】 【分析】（1）硬化面积是大长方形的面积减去小正方形的面积； （2）把，代入求值即可； 【小问1详解】 解：由图得， 阴影面积=（3a＋b）×（2a＋b）－（a＋b）2=6a2＋3ab＋2ab＋b2－a2－2ab－b2=5a2＋3ab 【小问2详解】 解：当，时， 阴影面积=5×52＋3×5×2=155（平方米）， 答：需要硬化的面积是155平方米． 【点睛】本题考查了多项式的乘法混合运算，乘方的运算法则，完全平方公式的展开，结合图形准确列出阴影面积的代数式是解题关键． 20. 如图，直线， （1）利用尺规作图：过点B作，且与交于点C． （要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）试说明：． 【答案】（1）图见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）过点作，交于点，即可． （2）利用平行线性质，得到，即可得证． 【小问1详解】 如图所示，即为所求； ∵， ∴； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是掌握平行线的判定定理和性质定理． 21. 今年“6.18”互联网促销期间，某网红店开展有奖促销活动，凡进店购物的顾客均有一次转动圆盘的机会，圆盘被等分成8份（如图）．如果规定当圆盘停下来时指针指向8就中“一等奖”；指向6或1就中“二等奖”；指向2或4或5就中“三等奖”，指向其余数字均不中奖． （1）转动转盘，分别求中一等奖、二等奖、三等奖的概率； （2）若一名顾客有一次转动圆盘的机会，求他中奖的概率； （3）6月18日这天约有1600人参与这项活动，估计这天需要准备“一等奖”的奖品约多少份 【答案】（1）中一等奖、二等奖、三等奖的概率分别为，， （2） （3）200份 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A发生的概率． （1）分别找到8，6或1，2或4或5份数即可得到概率； （2）找到8，6，1，2，4，5所占份数之和占总份数的多少，即为中奖的概率； （3）总人数乘以获得一等奖的概率即可． 【小问1详解】 解：由题意知，，，， 即中一等奖、二等奖、三等奖的概率分别为，，； 【小问2详解】 解：8，6，1，2，4，5所占份数之和为6， 他中奖的概率为； 【小问3详解】 解：由（1）知，中一等奖的概率为， 这天需要准备“一等奖”的奖品（份）， 答：这天需要准备“一等奖”的奖品约200份． 22. 已知点为直线上一点，将直角三角板的直角顶点放在点上，并在内部作射线． （1）如图1，三角板的一边与射线重合．的余角是__________，补角是__________； （2）将三角板按照如图2的方式放置，仅满足平分，则与之间的数量关系为__________； （3）若仍将三角板按照如图2的方式放置，使恰好平分，且，求的度数． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据余角和补角的定义，即可获得答案； （2）首先根据角平分线的定义可得，结合，易得，即可获得答案； （3）设，则，结合角平分线的定义可得，然后根据，列出关于的一元一次方程并求解，即可确定的值，结合（2）可得，即可求得的度数． 【小问1详解】 解：当三角板的一边与射线重合．的余角是，补角是． 故答案为：，； 【小问2详解】 ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； 【小问3详解】 设，则， ∵恰好平分， ∴， 又∵，即， ∴，解得， ∴， 结合（2）可得，． 【点睛】本题主要考查了余角和补角、角平分线的定义、平面内角的运算以及一元一次方程的应用，理解并掌握余角、补角和角平分线的定义是解题关键． 23. 综合探究：数形结合是数学学习中一种重要的方法，我们可以利用几何图形验证乘法公式．某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： （1）【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有__________（填序号）； （2）【应用】利用“平方差公式”计算：； （3）【拓展】若，请你画一个几何图形，证明，并根据你画的图形，直接写出正确的展开结果． （4）【迁移应用】计算． 【答案】（1）①②③ （2）4 （3）图和证明见解析， （4） 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式与图形面积、完全平方公式与图形面积，熟练掌握乘法公式是解题关键． （1）根据四个图形中，阴影部分的面积的计算方法即可得； （2）将原式变形为，利用平方差公式计算即可得； （3）画出一个边长为大正方形，根据大正方形的面积的两种计算方法即可得； （4）利用（3）的结果进行计算即可得． 【小问1详解】 解：图①中，阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，也等于边长为，且这条边上的高等于的平行四边形的面积， 则，可以验证平方差公式； 图②中，阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，也等于长为、宽为的长方形的面积， 则，可以验证平方差公式； 图③中，阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，也等于2个上底等于，下底等于，高等于的直角梯形的面积， 则，可以验证平方差公式； 图④中，阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，也等于长为、宽为的长方形的面积， 则，不可以验证平方差公式； 故答案为：①②③． 【小问2详解】 解：原式 ． 【小问3详解】 解：由题意画出图形如下： 由图可知，大正方形的面积等于3个小正方形的面积与6个小长方形的面积之和， 则． ∵， ∴，，， ∴， ∴． 【小问4详解】 解：将看作，看作，看作， 则 ． 24. 生活中常见一种电动伸缩门，从图中可以抽象出如图所示的几何图形． （1）如图1所示，，那么、、之间有怎样的数量关系？ 解；∵（已知）， ∴________（________） ∵（已知） ∴________（________） ∵ ∴______________（等量代换）． （2）如图2，、、之间又有怎样的数量关系？写出推理过程． （3）如图3，连接，你能否从三角形的角度进一步探究、、之间的数量关系？写出推理过程． 【答案】（1）；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，内错角相等； （2），见解析 （3），见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）利用两次平行线的性质即可求解； （2）延长线段交于点，根据三角形内角和定理以及邻补角得到，再由平行得到，即可求证； （3）由平行得到，在中，由三角形内角和定理得到，再通过等式的性质即可求解． 【小问1详解】 解；（已知）， （两直线平行，内错角相等） （已知） （两直线平行，内错角相等） ； 【小问2详解】 解：如图，延长线段交于点， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：， 如图： 在中， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$