山东泰安英雄山中学2026普通高等学校招生全国统一考试考前自测(一) 数学

2026普通高等学校招生全国统一考试·冲刺压轴卷（一） 数学·参考答案 1.B因为A={x1≤x≤5}，所以CA={x|x<1},所以(CuA)UB=(xx≤4}.故选B. 2.A 因为=牛-得书-1十2，所以=V牛7-6.放选A 3.D由题意12…，的平均数为十十…+=3X2+5X10=7.故选D. 8 4.D由bCa,a∥b,可得a∥a或aCa,所以“a∥b”不是“a∥a”的充分条件，由bCa,a∥a,可得a∥b或a与b 是异面直线，所以“a∥b”不是“a∥a”的必要条件，所以“a∥b”是“a∥a”的既不充分也不必要条件.故选D. 5.B因为tan(a+x)=3,所以tana=3,因为tana=3≠0，所以sin2a-2cosa=2 sin acosa-2cosc sina+cos a 骨8子号故选B 6.B巾题意，双曲线的海近线方程为y=士名，如图，设双面线C的焦距为2c,以O下 x2-cx+y2=0, 为直径的圆的方程为(-)厂十y=千，即2-cx十y=0,联立 b 解 y= ar, 得y=必，即y⅓=，由对称性可得y=一必，且x=x,则AB=yA一yg 2ab b,可得c=2a,故离心率e=2.故选B. 7.A任意一个四边形恰有1对“和睦线”，故有CC号=60（对）.故选A. 8.C由y=f(x)=sinx(-π≤x≤π)，则f(0)=0,且(x)=cosx,故f(0)=1,所以y =sinx(一x≤x≤π)在x=0处的切线方程为1：y=x,f(π)=0，f(π)=一1，则y= sinx(一π≤x≤π)在x=元处的切线方程为l2:y=一(x一元)=x一x,f(一x)=0, -T f'(-π)=一1，则y=sinx(一π≤x≤π)在x=一元处的切线方程为l3:y=一(x十元)= 一x一π，当y=sinx(一π≤x≤π)的切点横坐标从0→π，切线由y=x变为y=π一x,此 时两切线与圆的交点左边从A→B,右边从D→E,同理y=sinx(一x≤x≤π)的切点横坐标从一π→0，切线 由y=一x一π变为y=x,此时两切线与圆的交点左边从F→A,右边从C→D,所以点P(x,y)的轨迹为劣弧 AB.CD.其中1：y=,故∠BOD=∠A0C=至，所以轨迹对应圆心角为2x一2X至-要，由弧长公式得x× 受-3学故选C 9.AC设(a,}的公比为g(g≠1)，则由a>0,a,}单调递增，得g>1,因为S=a:(1十g十号)所以 2(1十9十）=是解得g=号或9=号（合去），对于Aa=些-1，散A正确：对于B,a.=ag1 多)4：-a塾9二5，故B错误对于C5=ag2=2三2×()-2，S2义 1-g 1- 2-故C正确：对于DS.十2=2×（受）广，S+2=2X(受)广=3所以S.+2)是首项为3，公比为号的等 比数列，故D错误.故选AC. 10.ACD对于A,函数f(x)的定义域为R,因为f(-x)=一xln(1十|-x|)=-xln(1十|x|)=-f(x),所 以函数f(x)为奇函数，故A正确；对于B,令f(x)=0,则xln(1十x|)=0,则x=0或ln(1+x)=0,所 【冲刺压轴卷（一）·数学参考答案第1页（共6页）X】 以x=0,函数f(x)只有一个零点，故B错误；对于C,当x>0时，f(x)=xln(1十x),则f(x)=ln(1+x) +产所以了)-l(1+1)十合+n2,所以y-了x)在点1，)处切线的斜率为号+h2, 故C正确：对于D由C可知当x>0时，f(x)=l1+x)十千x因为血1+x)>h1=0,千z>0.所以 当x>0时，f'(x)>0,所以f(x)在(0，十∞)上单调递增，故D正确.故选ACD. 1BCD对于A,由余波定得如A+曲及-4osC=1×+兰-2a+。,再由正孩定理得号 sin B sin A 2ab ab 十b=2a2+-c),整理得：a2+6=2c2,即sin2A十sin2B=2sim2C,故A错误：对于B,因为sinA>0, a ab smB>0,所以合0出月>0，所以osC-0合+温片≥ 2,4×mB=2,当且仅当加A snB+sn≥2√nBXn sin B 品景甲A=B时，等号成立，所以esC学合又因为Ce《0,).所以Ce(,音]，所以C的放大值为号故 B正确；对于C,由A可知sin2A+sin2B=2sinC,即sin2A-sinC=sinC-sin2B,又因为sin(A+C)sin(A -C)=(sin Acos C+cos Asin C)(sin Acos C-cos Asin C)=sin2A cos2C-cos2A sin2C=sin2A. 1-sinC)-(1-sin2A)sinC=sinA-sinC,即sin2A-sinC=sin(A+C)sin(A-C),同理可得sin2C sin2B=sin(C+B)sin(C-B),sin(A+C)sin(A-C)=sin(C+B)sin(C-B),sin(x-B)sin(A-C) 云一A)sin(CB),所以sin Bsine(A-C○=sin Asin(C-B),故C正确：对于D,因为，a寸 cos A+cos B-sin Acos B+cos Asin B sin(A+B)sin C sin A sin B sin Asin B sin Asin B=sin Asin B'义因为a2+b=2c2,所以cosC sin2C a2+b2- 2-2 sin2C 2× 2 2cos C 2sin Asin B sin C 2ab 2ab 2sin Asin B'tan C sin C sin C sin Asin B所以，1+1 tanA千tanB tanC,故D正确.故选BCD. 2 12.7√5由a∥b可得3×2=-x,故x=-6,所以a=-3b=(3,-6),因此|2a-b|=|-6b-b|=7|b|= 7/(-1)+2=7√5. 8号 因为正方形ABCD的边长为2，其中三个顶点在抛物线y=2x(p>0)上，则不妨设A在坐标原点， 则BD关于x轴对称，所以B(V2厄)，D(2,-2),所以(W2)2=2pX2,解得p=二= √22 14.6当x[0,1),若x+号∈[5）则os(爱x+)）>0,当x=1,os(骨x+）=0,当x1.7若 +5∈（受，）o(吾x+)<0,当x=7.0s(答x+5)=0,当x∈(7,8]，吾z+吾∈（经，] cos(石x+)>0,若a≠0，(ax+r+c)cos(x+)≤0对x∈[0,8]恒成立，则a<0,并且函数y= =1+7, a ax2十bx十c的两个零点分别是1和7，则 后=1x7, 则b=-8a,c=7a,a<0,所以2b+c-上=一9a-1 a ≥2√(-9a)·(←）=6，当-9a=-是a<0,即a= 号时，等号成立，所以26+c一号的最小值为6 15.解：(1)由调查数据可知当m足够大时，以频率估计概率， 可知从该校任选一名对该活动不感兴趣的学生是男生的概率为P=2m=号 4m.21 ……5分 【冲刺压轴卷（一）·数学参考答案第2页（共6页）X】 (2)由题意可得x2=15m(3mX2m-2m×8m)2=15m 5m×10m×11m×4m 22 ……………………8分 若根据小概率值α=0.01的独立性检验，认为对该活动是否感兴趣与性别有关， 则X=2>6.635… 10分 解得m≥22X6.635≈9.7， 15 12分 因为m为正整数， 所以m的最小值为10.………… 13分 16.解：(1)因为椭圆上、下顶点的坐标分别为(0，b),(0,一b), 依题意之.宁整理得-子 …2分 3 因为点P()在椭圆C若+=1上则+-1.即=61-一 …3分 代人(*)，化简得a2=3b2,… …5分 又a2=b2+c2,所以c2= 3a, 6分 则椭圆C的离心率e=S=⑤ 3· ………7分 (2)如图，设A(x1,y),B(x2,y2),由(1)已得a2=3b, 侧由苏十芳消去并整理得4十300， y=x+1, 此时△=48-12>0，解得6> ，x1.2=336 由韦达定理得十x2=一3， 4 ,………………9分 所以|AB|=√1十1|x1-x2|=√2·√(x1+x2)-4x1x2=2· 37 ……11分 又原点0到直线AB的距离d-号， 12分 所以△A0B的面积S-1AB·d-名·巨·√一三·竖-是解得6-1， 4 14分 放情圆C的方段为号+y=1。 …………15分 17.解：(1)当n=1时，b1=1-(-1)1S1=1+a1, 所以a1+b1=a1+1+a1=3,解得a1=1, 当n=2时，b2=2-(-1)2S2=2-(a1十a2)=1-a2, 所以a2一b2=a2一(1一a2)=5,解得a2=3, 则d=a2-a1=3-1=2, 所以0n=1十2(n-1)=2n-1,………………………2分 【冲刺压轴卷（一）·数学参考答案第3页（共6页）X】 s.=a1ta)n=1+2n-1)n=. 2 2 则bn=n一（一1)”·n2.… ……4分 (2)①T10=b1+b2+…+b1。=(1+1)+(2-22)十…+(9+92)+(10-102) =(1+2+…+10)-(-12+22-32+42+…-92+102)=(1+2+…+10)-(1+2+…+10)=0.… …8分 ②Tm=b1+b2+…+bn=1-(-12)+2-22+3-(-32)+…+(n-1)-(-1)"-1(n-1)2+n-(-1)"n2 =1+2+3+…+(n-1)+n-[-1+22-3+…+(-1)”-1(n-1)2+(-1)”n2] =①+0)2-[-12+2-32+…+(-1)1(n-1)2+(-1)n2], 2 当n为偶数时，T,=1+mm-[-12+22-32+-（0m-1)2+n2]=1+0n-(1+2+3+…+1-1十) 2 2 =1+m)n-1+m)n=0, 2 2 所以当n为偶数时，Tm≤100恒成立，… ………10分 当n为奇数时， T.=1+nm-[-1+2-3++(-102-r2]=+n2-「+N-)9m=D-n2]=n+2, 2 ………12分 令Tm=n2+n≤100， 易知函数n2+n在n∈N*上单调递增，且92+9=90<100,10+102=110>100，所以n≤9， …13分 所以集合A中所有元素的和为(2十4+…+100)十(1+3+5+7+9)=2+100)×50+1+9)X5 2 2 2575.… ……15分 18.解：(1).PC⊥平面ABCD,ADC平面ABCD,.PC⊥AD, 又.AD⊥CD,PC∩CD=C,PC,CDC平面PCD,.AD⊥平面PCD, ,CFC平面PCD,AD⊥CF,……………2分 又.CF⊥PD,AD∩PD=D,AD,PDC平面PAD,∴.CF⊥平面PAD, APC平面PAD,.CF⊥AP.…4分 (2)由题知CF⊥PD,又CELPD,CE∩CF=C,CE,CFC平面CEF, PD⊥平面CEF,EFC平面CEF,PDEF,…5分 由(1)可知，在Rt△PAD中，AD⊥PD,.AD∥EF 则△PEF与△PAD相包，则带器， ……………………7分 在Rt△PCD中，PC=2,CD=√2，∴.DP=√6， ·DF=CDeos∠PDC=2XE-E 3 9分 √6 怨器- 10分 (3)以B为原点，以BC,BA所在直线分别为x轴，y轴， 以过点B垂直于平面BAC的直线为之轴，建立如图所示的空间直角坐标系. ,AD⊥CD,AD=CD=√2，.AC=√AD+CD=2, 不妨设AB=a,BC=b,a>0,b>0,.AB⊥BC, ∴.AB2+BC2=4即a2+b2=4,由b2=4-a2>0知，0<a2<4(￥) 于是B(0,0,0),A(0,a,0),C(b,0,0),P(b,0,2), 【冲刺压轴卷（一）·数学参考答案第4页（共6页）X】 设E(x,y,之)，则AE=(x,y-a,之)，A户=(b,-a,2), 由AE=入AP可得E(b似，(1-入)a,2x), .BE=(bm,(1-入)a,2X),0<<1,CA=(-b,a,0),Cp=(0,0,2),. 12分 设平面PAC的一个法向量为n=(x1,y1,1), CA·n=0, -bx1+ay1=0, 于是 所以 C2.n=0,2x1=0, 令x1=Q,得y1=b,心1=0，故可取n=(a,b,0),………… 13分 因为n=√a十b=2, 1BE|=√x+a(1-A)+4x=√(a2+b+4)x-2a十aZ=√8x-2a'入+aZ, “sin空-IB.nl ab 3 3|BEln2×√8x-2a2A+a 2 结合a2+b2=4化简得24λ2-6a2入十a4-a2=0,… 15分 设f(入)=24x2-6a2入+a-a2,0<A<1, :要存在X,使BE与平面PAC所成角为等∴f(a)在(0,1)上有零点. :结合（卡）知函数1A)图象的对称轴0<号子故了1)≥了0， 又f(1)=a-7a2+24=(a2- )+0 六只需满是△=(6a2)2-4×24×(a-a2)=-60a4+96a2>0,解得0<a≤2D 5 AB的取值范围是(0,2@ ……………17分 5 19.解：(1)当a=1时，f(x)=lnx-ex,则f(1)=-e, f(x)=,所以f'(1)=1e,…J 2分 所以f(x)在x=1处的切线方程为y十e=(1一e)(x-1),即(1一e)x-y一1=0.…4分 (2)因为fx)=aln2-ex(>0),所以f)=是-e(x>0. 当a≤0时，(x)<0,f(x)在(0，十o∞)上单调递减，不合题意。…5分 当a>0时，由f(x)>0得0<<，由f(x)<0得> e 所以f(x)在(0，)上单调递增，在（仁，十∞上单调递减，符合题意， 此时fx)n=f(是）=alh号-e…是=alna-2a, 要证f(x)≤a2-3a,只需证f(x)mx≤a2-3a,即证a2-a-alna≥0(a>0), 不等式a2-a-alna≥0(a>0)等价于a-1-lna≥0(a>0),…7分 令ha）=a-1-lnaa>0).则ka)=1--a(a>0. a 当0<a<1时，h'(a)<0,当a>1时，h'(a)>0, 所以h(a)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增，…9分 所以h(a)≥h(1)=0,故f(x)≤a2-3a.…10分 (3)由题意得，e·[cos(fx)-2ex]<x-2 ae"In cos(fx)-2er≤-2alnx 【冲刺压轴卷（一）·数学参考答案第5页（共6页）X】 台cos(fx)≤若-2alnr+2er白cos(jx)≤che-2alnx-e） c0s(f(x)≤e)-2f(x),… …………11分 令t=f(x)=alnx-ex,则等价于cost≤e'-2t恒成立， 令h(t)=e'-2t-cost,则h'(t)=e-2+sint, 当t≤0时，e≤1，sint≤1，则h'(t)=e-2十sint≤0，h(t)在(-o∞，0]上单调递减， 当t≥0时，令u(t)=h'(t),则u'(t)=e+cost≥1十cost≥0，故h'(t)在[0，十∞)上单调递增， 又h'(0)=-1<0,h'(1)=e-2+sin1>0,所以存在唯一的to∈(0,1)，使得h'(to)=0, 且当0≤t<to时，h'(t)<0,h(t)在[0，t)上单调递减，当t>to时，h'(t)>0,h(t)在(to,十o)上单调递增， 综上所述，h(t)在（一∞，t]上单调递减，在(to,十∞）上单调递增， 因为h(0)=0,h(2)=e2-4-cos2>0,则h(to)<0,故存在唯一t1∈(to,2),使得h(t1)=0, 从而c0st≤e-2t台h(t)≥0台t∈(-0∞，0]U[t1,十o∞)，…………13分 ①当a=0时，f(x)=一ex是减函数，故t=f(x)的值域为(-∞，0)，此时h(t)>0恒成立，符合题意； ②当a<0时，f(x)=alnx一ex是减函数，故t=f(x)的值域为（一o∞，十o∞），此时存在h(to)<0,不符合 题意；………………………………14分 ③当a>0时，f(x)mx=f(）=alna-2),又当x→0时，f(x)→-∞，故t=f(x)的值域为 （0∞，a(lna-2)],…15分 若a(lna-2)≤0即0<a≤e2时，t=f(x)∈(-c∞，a(lna-2)]三(-o∞，0]，此时h(t)≥0恒成立，符合 题意， 若a(lna一2)>0即a>e2时，取t2=min{a(lna-2),to},此时存在h(t2)<0,不符合题意。 综上所述，实数a的取值范围为[0，e2门.…17分 【冲刺压轴卷（一）·数学参考答案第6页（共6页）X】绝密★启用前 2026普通高等学校招生全国统一考试·冲刺压轴卷（一） 数学 全卷满分150分考试时间120分钟 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上。 2、作答时，将答案写在答题卡上对应的答题区城内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答 题区域均无效。 3.考试结束后，本试题卷和答题卡一并上交。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.设集合U={x|x≤5}，A={x|1≤x≤5}，B={x|一1≤x≤4)，则(CwA)UB= A.{xx<4) B.{xx≤4》} C.{xx≤5) D.{x|1≤x≤4》 2若=，其中是虚数单位，则= A.√5 B.2 C.2√5 D.4 3.已知数据x1,x2,x3的平均数为2，数据x4,x5,x6,x7,x8的平均数为10，则数据x1,x2,…,x8 的平均数为 A.4 B.5 C.6 D.7 4.已知直线a,b,平面a,且bCa,则“a∥b”是“a∥a”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.若tan(a十π)=3，则sin2a一2cos2a= A.-号 R号 c.-g D号 6.设双曲线C:-芳=1(。>0,6>0)的右焦点为下，0为坐标原点，以0F为直径的圆与双曲线 的两条渐近线分别交于（除原点外）A,B两点，若|AB|=b,则双曲线C的离心率为 A.4 B.2 C.√3 D.2 【冲刺压轴卷（一）·数学第1页（共4页）X】 扫描全能王创建 7.如图所示，在∠AOB的两条边上分别有A1,A2,A3,A,和B1,B2,B3,B,Bs 共9个点，连接线段AB,(1≤≤4,1≤≤5)，如果其中两条线段不相交，则 4及名4 0 称之为1对“和睦线”，则图中的“和睦线”共有 A.60对 B.62对 B内内BB防B C.72对 D.124对 8.已知点P在圆x2十y2=π2上运动，若过点P可以作曲线y=sinx(一π≤x≤π)的切线，则点P 的轨迹长度是 A管 B.π2 c D.2r2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9,则 9.已知a)是递增的等比数列，其前n项和为S,若a:=是S 35 A.a1=1 B.a5-a3=16 c.s,- D.(Sm十2}不是等比数列 10.已知函数f(x)=xln(1+|x),则 A.f(x)是奇函数 B.f(x)有两个零点 C曲线y=f(x)在点(1，f1)处切线的斜率为1a2+号 D.f(x)在(0，十∞)单调递增 11.在斜△ABC中，若sinA+sinB sin Bsin a=4cosC,则 A.sin2A+sin2B=sin2C B.C的最大值为 1 1 2 C.sin Asin(C-B)=sin Bsin(A-C) D.tan A tan B tan C 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知向量a=(3,x),b=(一1,2)，且a∥b,则|2a-b|= 13.已知正方形ABCD的边长为2，其中一个顶点为原点，另外三个顶点中有两个在抛物线y2= 2x(p>0)上，则力= 14.已知a≠0，(ax2+bx+c)cos(x+)≤0对x∈[0,8]恒成立，则26+c-的最小值 为 【冲刺压轴卷（一）·数学第2页（共4页）X】 扫描全能王创建 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 2025年7月22日是二十四节气中的第十二个节气一大暑.受今年气候等多因素的影响，全 国答地高温天气持续不断.某校以“预防中暑，防止脱水”为主题举行活动，为了解男女同学对 该活动的兴趣程度，对多位该校同学进行了调查，并将结果整理成如下列联表， 兴趣程度 性别 合计 感兴趣 不感兴趣 男生 3m 2m 5m 女生 8m 2m 10m 合计 11m Am 15m (1)当m足够大时，估计从该校任选一名对该活动不感兴趣的学生是男生的概率； (2)若根据小概率值α=0.01的独立性检验，认为对该活动是否感兴趣与性别有关，求正整数 m的最小值. n (ad-bc)2 附：X=a+bc+(a千c(6+D其中a+6+c+d=n. 0.1 0.05 0.025 0.010 0.001 2。 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 16.(15分)》 已知点P(xo)在椭圆C,之 +苦=1(a>6>0)上，P与椭圆的上，下顶点M.N的连线的斜 率之积为一青 (1)求椭圆C的离心率； (2)若直线y=x十1与椭圆C相交于A,B两点，且△AOB的面积为(0为坐标原点)，求椭 圆C的标准方程. 【冲刺压轴卷（一）·数学第3页（共4页）X】 扫描全能王创建 17.（15分) 已知Sn是等差数列(an}的前n项和，数列(bn)满足bm=n一（一1)"Sma1十b1=3,a2一b2=5. (1)求数列{b)的通项公式. (2)设数列(bn)的前1项和为Tn· ①求To; ②若集合A=(nn≤100且Tm≤100，n∈N·),求集合A中所有元素的和. 18.(17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD,AD⊥CD,AB⊥BC,PC=2, AD=CD=√2，点F在线段PD上且满足CF⊥PD,点E在线段PA上且满足 AE=λAP(0<λ<1) (1)证明：CF⊥AP; (2)若CE⊥PD,求λ的值： (3)若存在入，使直线BE与平面PAC所成角为号，求AB的取值范围。 19.(17分) 已知函数f(x)=alnx一ex(其中e为自然对数的底数，a∈R). (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程； (2)若函数f(x)在其定义域上不单调，求证：f(x)≤a一3a; (3)若er·[cos（f(x)一2ex]≤x一2 aerIn x对任意x∈R*恒成立，求实数a的取值范围. 【冲刺压轴卷（一）·数学第4页（共4页）X】 器 扫描全能王创建