2026年九年级中考数学复习训练专题：线段周长问题（二次函数综合）

2026年九年级中考数学复习训练专题：线段周长问题（二次函数综合） 1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象（记为）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，二次函数的图象（记为）经过点A，C．直线与两个图象，分别交于点M，N，与x轴交于点P． (1)求b，c的值； (2)当点P在线段上时，求的最大值． 2．在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于．    (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，点为直线上方抛物线上一动点，连接、，设直线交线段于点，时，求点的坐标； 3．如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，且B，C两点间的距离为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点E是线段上一点（不与点A，B重合），过点E作轴，交抛物线于点F，过点F作轴，交y轴于点G，求四边形周长的最大值及此时点E的坐标． 4．如图，抛物线经过、两点，对称轴与x轴交于点C． (1)求该抛物线和直线的解析式； (2)设抛物线与直线相交于点D，求D点的坐标； (3)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标及最小周长；若不存在，请说明理由． 5．如图，已知二次函数与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，，点是直线上方抛物线上一点，过点作交直线于点，轴交直线于点，求周长的最大值及此时点的坐标． 6．直线与抛物线分别交于轴上的点和y轴上的点． (1)求抛物线的表达式； (2)点为点关于轴的对称点，为直线上方抛物线上一点，将直线向下平移2个单位长度得到直线，为直线上任意一点，过点作于点N；当面积取得最大值时，求的最小值； (3)记抛物线与轴的另一交点为点，将原抛物线向左平移1个单位长度，向上平移2个单位长度可得新抛物线．点为新抛物线上的一动点，若满足，则求所有符合条件的点H的横坐标，并写出其中一种情况的解答过程． 7．抛物线交轴于点、，交轴于点 (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是直线下方抛物线上一动点，过点作轴交于点，点是直线上的一个动点，当取得最大值时，求点的坐标与的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线经过点且与直线交于点、，点为新抛物线上的一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于、两点；与轴交于点，，点为抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式； (2)点为该抛物线上一动点，过点且与轴垂直的直线交线段于，交轴于点．若，求点的横坐标； (3)点是轴上一动点，将顶点绕点旋转后刚好落在抛物线上的点处，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 9．如图所示，设抛物线与x轴相交于O，M两点，点Q在抛物线第一象限图象上，若，面积的最大值为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，设D是抛物线的顶点，点A在x轴上，点B在抛物线上；若四边形是平行四边形，且点C恰为线段中点，求点A坐标； (3)如图2，已知P是直线l：上方的抛物线上的动点，于点E，轴于点F，设与直线l交于点N，当周长最大时，求点N的坐标． 10．如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点是该抛物线上一动点，求面积的最大值； (3)若函数的最大值与最小值的差为，求出的值； (4)若点是坐标平面内一动点，请直接写出的最小值及此时点的坐标． 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点C，D关于x轴对称，点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作轴，交直线于点E，作于点F．点M是直线上一动点，点N是y轴上一动点，连接，，当取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移5个单位长度得到新抛物线，新抛物线与直线交于点R，S（点R在点S的左侧），点Q是新抛物线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的Q的坐标． 12．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴负半轴交于点C，，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，点D在抛物线上，连接，若，求点D的坐标； (3)如图2，点P为第四象限内抛物线上一动点，与y轴分别交于M，N两点．当点P运动时，试判断的值是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方对称轴左侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点，过点作轴，且垂足为，点，为线段上的动点（点在点的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，连接交线段于点，将抛物线沿射线方向平移个单位长度，记点平移后的对应点为点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)， (2) 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数综合—线段问题，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． （1）先求出点、的坐标，再利用待定系数法计算即可得出结果； （2）由（1）知的表达式为，结合题意可得，，其中，表示出，再由二次函数的性质即可得出结果． 【详解】（1）解：对于二次函数，当时，， 解得：，， ，，                 当时，， ，                 ∵二次函数的图象经过点A，C． ∴， 解得； （2）解：由（1）知的表达式为， ∵直线与x轴垂直， ，，其中， ，             ， ∴当时，取得最大值． 2．(1) (2)或． 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，求一次函数解析式，二次函数的最值，相似三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，数形结合，熟练掌握待定系数法． （1）用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）设，过点D作轴，交直线于点F，根据，可得，进而求解. 【详解】（1）解：根据点，，可设抛物线解析式为，把代入解析式，得 ， 解得， 故抛物线解析式为． （2）解：∵，， 设直线的解析式为，将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 根据抛物线的解析式为， 设， 过点D作轴，交直线于点F， 故点F的纵坐标为， ∴． 解得， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 解得，    ∴或． 3．(1) (2)，四边形周长最大值为 【分析】（1）根据B，C两点间的距离为，求得点坐标，由待定系数法即可求解； （2）分两种情况讨论，即点在线段上，或点在线段上，设，列出四边形周长的表达式，利用二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得点在轴负半轴， 设， 根据勾股定理可得， 即， 解得（正数舍去）， ， 设抛物线的解析式为， 把代入可得 ， 解得， 所以抛物线的解析式为； （2）解：设点，则， 当点在线段上时， 四边形周长， 当时，取得最大值，此时无法组成四边形，故不符合题意； 当点在线段上时， 四边形周长， 当时，四边形周长取最大值，为． 即时，四边形周长最大值为． 4．(1)， (2) (3)，最小周长为 【分析】（1）将点A、点B的坐标代入可得出抛物线的解析式，从而得出点C的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式； （2）联立直线与抛物线的解析式即可求解； （3）由点A、点B是定点，则长度固定，只需满足最小即可，找点A关于抛物线对称轴的对称点为，连接与对称轴交于点Q，即为所要找的点Q，求出坐标即可，且最小周长为． 【详解】（1）解：把、代入抛物线得， 解得， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为， ∵对称轴与x轴交于点C， ∴， 设直线的解析式为， 把、代入得， 解得， ∴直线的解析式为． （2）解：联立直线与抛物线的解析式得 解得，， ∴D点的坐标为． （3）解：存在点Q，使得的周长最小． 如图，点A关于抛物线对称轴的对称点为，连接与对称轴交于点Q，连接，则取得最小值，即的周长最小值为， 设， ∵，抛物线对称轴为， ∴， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴的周长最小值为． 5．(1)； (2)，． 【分析】本题考查二次函数的综合运用． （1）将，代入二次函数求得的值即可求解；（2）先证得，得相似三角形的周长比即相似比，设点坐标，求得直线的解析式，得到点坐标，求得周长的表达式，然后利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）抛物线过，， ，解得 ， 抛物线的解析式为：； （2）， 当时，， 点C的坐标为， 设直线BC的解析式为， 直线过点B， ，解得， 直线的解析式为：， 设点，其中， 点， ， ，，， ，，， ， ，轴， ，， ， ， ， ， ， 最大值=，此时， 此时点． 6．(1)抛物线的表达式为； (2)当面积取得最大值时，最小值为； (3)所有符合条件的点的横坐标为或． 【分析】（1）先利用直线的表达式求得点、的坐标，然后利用待定系数法即可得抛物线的表达式； （2）作直线，并与抛物线相切时，如图所示，当切点为点时，此时点与的距离最大，即面积取得最大值，设，与抛物线联立，消去，可得关于的一元二次方程，令判别式为0，可得，利用勾股定理可得和之间的距离，将点沿平行方向移动的长度，得到点，连接，，四边形为平行四边形，可证当、、共线时，取得最小值，即取得最小值，此时取得最小值，通过平移规律求得，根据勾股定理可得，即可得的最小值； （3）由二次函数图象的平移可得，取点，连接，证明，可得，点为射线与抛物线的交点，由待定系数法可得直线的解析式为，与联立，即可得点的横坐标，作平行四边形，则，，点为射线与抛物线的交点，由待定系数法可得直线的解析式为，与联立，即可得点的横坐标． 【详解】（1）解：对于直线：，当时，；当时，， ∴，， ∵直线：与抛物线分别交于轴上的点和轴上的点， ∴， 解得，， ∴抛物线的表达式为． （2）解：∵为直线上方抛物线上一点， ∴作直线，并与抛物线相切时，如图所示，当切点为点时，此时点与的距离最大，即面积取得最大值， 设：，则， ∴有两个相等的实数根， 令， 解得， ∴：， ∴， 解得，， 即当时，面积取得最大值； 由（1）可知，，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 将直线：向下平移2个单位长度得到直线， ：， 设直线与轴交于点，过点作于点，如上图所示， 则为等腰直角三角形， 对于直线：，当时，，即， ， ， ， 直线和直线的距离为， 为直线上任意一点，过点作于点， ； 将点沿平行方向移动的长度，得到点，连接，，如上图所示， 则，， 四边形为平行四边形， ， ， 当、、共线时，取得最小值，即取得最小值， 为定值， 此时取得最小值； 作轴于点，如上图所示， 则为等腰直角三角形， ， ， 即点向右平移1个单位，向下平移1个单位可得到点， ，，，， 点向右平移1个单位，向下平移1个单位可得到点， ， ， 点为点关于轴的对称点，， ， 当、、共线时， 此时， 当面积取得最大值时，最小值为． （3）解：由可得，， ∴，， 根据题意可得， 取点，连接，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点为射线与抛物线的交点， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 由，可得， 解得，， ∴， ∵，， ∴， 作平行四边形，则，， ∴， ∴点为射线与抛物线的交点， ∵， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 由，可得， 解得，， ∴， 综上，所有符合条件的点的横坐标为或． 7．(1) (2)， (3)或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，设出点坐标，进而得到的坐标，作轴于点，得到，进而将转化为二次函数求最值，进而得到点的坐标，作点关于的对称点，连接，得到，得到当点在上时，的值最小为的长，进行求解即可； （3）抛物线沿射线方向平移等同于先向右再向上平移相同的距离得到新的抛物线，设抛物线先向右再向上平移个单位长度，进而得到新的抛物线的解析式，把点代入函数解析式求出的值，联立抛物线和直线的解析式，求出点的坐标，作轴，根据对顶角和三角形的外角得到，进而得到，分两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：把点，代入，得： ，解得， ∴； （2）解：由（1）知：， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得，解得， ∴， 设，则， ∴， 作轴，则为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，此时， ∴直线的解析式为， 作点关于直线的对称点为，连接，则，， ∴当点在上时，的值最小为的长， ∵，， ∴，即的最小值为； （3）解：由（2）可知，，直线的解析式为， 故抛物线沿射线方向平移等同于先向右再向上平移相同的距离得到新的抛物线， 设抛物线先向右再向上平移个单位长度， ∵， ∴， 把代入，得， 解得或（舍去）， ∴， 联立，解得或， ∴， 作轴，则， ∵， ∴， ∵， ∴； ①作，则，此时点关于抛物线的对称轴对称， ∵的对称轴为， 故； ②作的中垂线交轴于点，则， ∴， ∴点为直线与抛物线的交点， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得， ∴， 设直线的解析式为，则，解得， ∴， 联立，解得或； ∴； 综上：或． 8．(1) (2) (3)或或或． 【分析】（1）先求出，解直角三角形得到，则；再利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的表达式为；设，则，则，，根据t的取值范围和，建立方程求解即可； （3）求出，设，由旋转得，当时，过点作轴的平行线，过点分别作平行线的垂线，垂足为点，证明，表示出，将点代入，得，解方程即可；当时，作出同样的辅助线，同理可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵在中，，， ∴， ∴， ∴； ∵抛物线与x轴相交于、两点，与y轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：设直线的表达式为， ∴， ∴， ∴直线的表达式为； 设，则， ∴，， 当时，， ∵， ∴， 解得或（舍去）； ∴点M的横坐标为； （3）解：∵， ∴； 设， 由旋转得， 当时， 过点作轴的平行线，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 将点代入得， 整理得， 解得， ∴或； 当时，过点作轴的平行线，过点分别作平行线的垂线，垂足为点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 将点代入， 得， 整理得， 解得， ∴或， 综上所述：所有符合条件的点P的坐标为或或或． 9．(1) (2)或 (3) 【分析】（1）由题意可得，抛物线的对称轴为直线，，然后根据当点Q为抛物线的顶点时，面积取得最大值，结合三角形面积公式，即可求得抛物线的顶点坐标，进而利用待定系数法即可解答； （2）当A在点O右侧时，由（1）可知，，根据中点可得点C的坐标和的长度，再根据平行四边形的性质可得点B的纵坐标和的长度，进而求得点B的横坐标，然后过点B作轴于点N，则有和的长度，利用勾股定理求得，从而得到的长度；当A在点O左侧时，同理计算即可； （3）设直线l交y轴于点G，根据题意易证，推出三边的比例为定值，即当取得最大值时，的周长取得最大值，然后设，则，表示出，再根据二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴相交于O，M两点，， ∴，抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的开口向下， ∴当时，取得最大值， ∵点Q在抛物线第一象限图象上，面积的最大值为， ∴， ∴当点Q为抛物线的顶点时，面积取得最大值， 此时，即抛物线的顶点坐标为， 将点，代入解析式， 得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当A在点O右侧时， 由（1）可知，， ∵点C恰为线段中点 ∴， ∴， ∵点A在x轴上，点B在抛物线上，四边形是平行四边形， ∴，，即轴， ∴点B的纵坐标为，代入抛物线， 得， 解得， ∴， 如图，过点B作轴于点N， 则，， ∴， ∴， ∴； 当A在点O左侧时， 同理可得，， 如图，过点B作轴于点R， 则，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，设直线l交y轴于点G， 由题意可知，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴三边的比例为定值， ∴当取的最大值时，的周长取得最大值， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，即的周长最大， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的综合——特殊四边形和线段周长问题，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形面积计算等，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 10．(1) (2) (3)或 (4)的最小值为，此时点的坐标为 【分析】（1）将点，代入抛物线表达式，解方程即可； （2）过点作轴的平行线，交于点，用的代数式表示出点和点的坐标，进而表示出．利用割补法将的面积分为竖直的两个小三角形，得到关于的关系式，结合二次函数的性质求出最大值即可； （3）分为区间在对称轴左侧、右侧和经过对称轴三类情况，由二次函数的增减性判断最大值和最小值，构造方程并求解．对于区间经过对称轴的情况，还需细分为处取最大值和处取最大值，解方程可知这两种情况下无解； （4）由点的横纵坐标关系，消去参数后，发现点在直线上，此时符合“将军饮马”模型，作点关于直线的对称点，当、、三点共线时，取得最小值，即，使用勾股定理计算出，点的坐标可通过联立直线和直线求得． 【详解】（1）解：将点，代入，得， ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：如图，过点作轴的平行线，交于点， 设直线的函数表达式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数表达式为， ∵点是该抛物线上一动点， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴， ∴点的坐标为， ∵， ∴点在下方， ∴， ， ， ， ， ， ∵， ∴当时，取得最大值； （3）解：在抛物线中，图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ①当区间在对称轴左侧，即时， ∵， ∴， 在上，随的增大而减小， ∴当时，取得最大值， 当时，取得最小值， ∴， 解得； ②当区间在对称轴右侧，即时， ∴ 在上，随的增大而增大， ∴当时，取得最小值， 当时，取得最大值， ∴， 解得； ③当区间包含对称轴，即时， ∴， 此时二次函数在顶点处取得最小值，即的最小值为， ∵抛物线开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， 当时， ∵， ∴在处，取得最大值， ∴， 化简，得， 解得，两根均不在的范围内，故舍去； 当时， 同理，在处，取得最大值， ∴， 化简，得， 解得，两根均不在的范围内，故舍去； 综上所述，或． （4）解：∵， ∴，， 两式相加得，即， ∴点在直线上， 如图，作直线，交轴于点，交轴于点，作点关于直线的对称点，连接、、， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 将代入，得， ， 解得，， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴，， ∵点与点关于对称， ∴，，， ∴，即， ∴点的坐标为， ∵， 又∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值，即， 在直角中，， ∴的最小值为， 设直线的函数表达式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数表达式为， 联立直线与直线，得， ， 解得， ∴点的坐标为； 综上所述，的最小值为，此时点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查三角形面积最值问题，二次函数区间上的最值问题，线段和最值问题，解第二问的关键是将面积最值转化为线段最值，第三问需要根据对称轴和区间相对位置分类讨论，第四问则使用“将军饮马”模型来解． 11．(1)； (2)的最小值为； (3)点Q的坐标为或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求得，则，当取得最大值时，取得最大值，设，则，用含的二次函数表示出，利用二次函数的性质求得，过点作直线，使直线与轴的夹角为，在轴的左侧，且，求得，当共线且时，取得最小值，延长交直线于点，据此求解即可； （3）利用平移的性质求得新抛物线的解析式为，求得，，求得，作的平分线交于点，作于点，分两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，两点， ∴； （2）解：令，则， ∴， ∵点C，D关于x轴对称， ∴， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 当取得最大值时，取得最大值， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为，即取得最大值， 此时， ∴， 过点作直线，使直线与轴的夹角为，在轴的左侧，且，如图， 设直线与轴的交点为， ∴，即， ∵，， ∴， 解得， ∴， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 过点作于点，则， ∴， ∴， ∴当共线且时，取得最小值， 延长交直线于点，此时轴， 当时，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：∵将该抛物线沿射线方向平移5个单位长度得到新抛物线，即向上平移3个单位长度，向右平移4个单位长度， ∴新抛物线的解析式为， 当时，则， 解得，， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， 作的平分线交于点，作于点，如图， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得， ∴， ①当点在直线的上方时， 设， 过点作直线的垂线，垂足为， 则， ∴， 解得， ∴； ②当点在直线的下方时， 同理求得； 综上，点Q的坐标为或． 12．(1) (2)或 (3)是定值，定值为4 【分析】（1）先根据已知条件确定B、C的坐标，再利用正切的定义确定点A的坐标，然后运用待定系数法求解即可； （2）设D，再说明，如图：过D作轴于E，利用正切的定义可得，整理后求解可得或，最后确定D点坐标即可； （3）如图：过P作轴于Q，设，且，则．易得，证明可得，进而求得．同理证明可得，最后代入化简即可解答． 【详解】（1）解：， ，． ， ． ． 设抛物线解析式为，代入， 得：，解得：． 该抛物线解析式为． （2）解：设D， ，， ． 如图：过D作轴于E， ．整理得：． ， ，解得：，． 当时，， ； 当时，， ． 综上，或． （3）解：是定值，定值为4，理由如下： 如图：过P作轴于Q，设，且，则． ． ， ． ，即． ． ， ． ，即． ． ． 的值为常数4，故是定值． 13．(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据二次函数的性质以及待定系数法求解即可； （2）先说明，如图：过P作轴交于G，易得∴，即，则；运用待定系数法可得直线的解析式为，设点，则、，易得，，然后代入后运用二次函数的性质求最值可得；如图：将向下得到，即，作B关于的对称点，即连接，利用轴对称的性质、三角形三边关系、两点间距离公式求解即可； （3）先说明，平移后的函数关系式为，；再运用待定系数法求得直线的解析式，再与直线的解析式联立可求得点；如图：过K作轴于M，过P作轴于N，过H作轴于J，则，，利用等腰直角三角形的判定与性质、正切的定义、角的和差可得，即；如图：当在下方时，作于I，则，，即，设且，利用正切的定义、勾股定理、一次函数的图像的交点坐标可求得，运用待定系数法可求得直线的解析式为，再与平移后的抛物线解析式联立即可求得点T的坐标；同理可求得在上方的情况． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴①， ∵抛物线的对称轴是直线， ∴，即②． ①②联立可得：， ∴抛物线表达式：． （2）解：令，，解得，即，故， 令，可得，即，故， ∴， ∴， 如图：过P作轴交于G， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设点， ∵抛物线的对称轴是直线，轴交抛物线于点， ∴， ∵轴 ∴点G的横坐标为，即， ∴，， ∴， ∴当时，有最大值， ∴直线的解析式为，， 如图：将向下得到，即，作B关于的对称点，即连接， ∴ ∴， ∴的最小值为， ∴． （3）解：∵ ∴将抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于将向右平移8个单位，向上平移4个单位， ∴平移后的函数关系式为， ∵点平移后的对应点为点，， ∴， 设直线的解析式为，由（2）可得，， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 由（2）可得直线的解析式为， 联立，解得：， ∴， 如图：过K作轴于M，过P作轴于N，过H作轴于J，则，， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图：当在下方时，作于I，则，，即， ∵，， ∴， ∴，解得：，， 设且，则， 联立，解得：或（不合题意舍去）， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：或（与K重合舍去）； ∴； 如图：当在上方时，作交延长线于， 同理可得， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：或（与K重合舍去）； ∴． 综上，点的坐标为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $