期中复习专项【距离测量问题、复数的模的轨迹问题、立体几何的证明题】讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

高一数学期中复习专项 【距离测量问题、复数的模的轨迹问题、立体几何的证明题】 一、单选题 1.(2026·高一下·山东烟台·期中)如图，为测量河对岸CD两点间的距离，在楼顶A处观察C的俯角为30°，观察 点D的俯角为60°，B为楼底一点且AB⊥平面BCD,若楼高AB=20W3,∠CBD=120°，则CD=() 楼 公路 D A (题1图) (题2图) (题3图) A.20V5 B.20√7 C.20W13 D.20V15 2.(2026高一下·河北邢台·月考)如图，在河岸CD上测量河对面A,B两点间的距离，测得∠ACD=60°，∠ADC=75°， ∠BCD=30°，∠ADB=30°，CD=4,则AB=() A.2W2 B.2W3 C.4 D.2√6-2√2 3.(2026·高一下·河北保定·期中)如图，公路一侧有一幢楼OP,公路与楼底O在同一平面上，小明在公路上行 走，在点A处测得楼顶P的仰角为45°，行走100米到达B处，测得楼顶P的仰角为37°，再行走100米到达点C处， 测得楼顶P的仰角为30°，则楼OP的高为() 参考数据：tan37°≈3 41 A.1502米 B.150√3米 C.300米 D.300W2米 4.（2026·高一下·湖北襄阳·月考)如图，某建筑物的高度BC=300m,一架无人机9上的仪器观测到建筑物顶部C 的仰角为15°，地面某处A的俯角为45°，且∠BAC=60°，则此无人机距离地面的高度P9为() D 45 -15 B A.100m B.200m C.300m D.200V2m 试卷第1页，共6页 5.(2026·高一下·河南郑州·期中)如图，一个测量小组为了测量学校的两棵树底部A,B(A,B位于池塘的两端) 间的距离，在两棵树之间的一条南北走向的路上取两个测量点C,D,测得CD=50m,从点C测得树底A在北偏西 45°方向上，树底B在北偏东30°方向上，在D处测得树底A在北偏西75°方向上，树底B在北偏东60°方向 上.A,B,C,D均处于同一水平面内，则两棵树底部A,B间的距离为() 北 D A0150° C (题5图) (题7图) (题8图) A.100W2m B.100W5m C.50v2m D.50v5m 6.(2026·高一下·天津西青·期中)2026年3月，全国两会期间天津代表团开放团组会议释放重磅消息：位于西青 区沉寂近十年的天津117大厦主塔楼招商工作基本完成，这座集办公、酒店、观光、商业于一体的中国结构第一高 楼、城市超高地标建筑，以全新姿态重启建设征程，将为天津高质量发展注入强劲动力。某校开展数学建模综合实 践活动，利用无人机测量117大厦最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，活动过程中无人机在点C测得 点A和点B的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿水平方向飞行600米到点D,此时测得点A和点B的俯角分别 为45°和60°(A,B,C,D在同一铅垂面内)，则A,B两点之间的距离为() A.100W15米B.200√6米 C.300W2米 D.400W5米 7.(2026·高一下·重庆万州·月考)已知码头B在码头A的正北方向，两码头相距100海里，从码头A测得海上某 渔船C位于北偏东15°方向，从码头B测得渔船C位于北偏东45°方向，从码头A还测得另一艘货船D位于南偏东45 方向，且货船D到码头A的距离为50√5海里，欲在货船D与渔船C之间增设一条补给航线，则补给航线CD的长 为() A.50√3海里B.50√6海里 C.507海里 D.50w14海里 8.(2026·高一下·江苏扬州·期中)如图，某海滨城市A附近海面上有一台风，在城市A测得该台风中心位于方位 角为150°，距离为250√3km的海面P处，并以25kmh的速度沿北偏西60°的方向移动.如果台风侵袭的范围是半径 为250km的圆形区域.则()小时后该城市开始受到台风侵袭 A.5 B.10 C.15 D.20 试卷第2页，共6页 9.(2026甘肃张掖·模拟预测)某船行驶到甲地看1号灯塔时，在甲地的北偏东75°方向上，两地相距62 n mile: 在甲地看2号灯塔时，在甲地的南偏西60°方向上，两地相距4 nmile.该船由甲地向正南航行到乙地时，再看1号 灯塔，则1号灯塔在乙地的北偏东30°方向上，则2号灯塔与乙地之间的距离是() 甲地4 号灯塔 60° 2号灯塔B 309 乙地 A.6n mile B.7n mile C.3v6n mile D.4v7n mile 10.(2026·高一下…福建南平·月考)3月31日，2025年广西三月三八桂嘉年华”开幕式暨全国四季村歌”活动在 南宁民歌湖举行，主舞台设在南宁民歌湖边小明在湖对岸，现想测量与主舞台的距离，如图所示，A(小明)，（主 舞台)两点在湖的两岸，通过确定与A同侧的湖岸边一点C,测出A,C的距离为100，∠ACB=45°，∠ABC=30°， 计算出A,B两点的距离为() B C A.100W2m B.100v3m C.50√2m D.25√2m 二、填空题 11.(2026·高一下·福建厦门期中)已知复数z满足上-1=1，则+2+41的最小值是 12.(2026·高一下·安徽安庆·期中)若复数z满足条件1z-i≤2，则其在复平面内所对应的点Z构成的图形面积 大小为 13.(2026·高二下·河北承德月考)已知i为虚数单位，复数z满足z+2i-2=1,则2z+i的最小值为 14.(2026·高一下·福建三明·月考)已知复数z满足-1=1，则z+2+4i(i是虚数单位)的最小值为· 15.(2026·高一下.山东枣庄期中)已知复数z=i,若复数名满足5-=1，则5-2的最大值为 16.(2025·高一下浙江金华月考)若2-(3-4i=1,则的最大值为 17.(2026·高二上·上海·期末)已知z为复数，则-3+-4的最小值为 18.(2026·高三下·广东惠州专题练习)若复数z满足引=-1+2i=3,则z的最大值为 19.(2025·高二上·云南丽江·期末)若复数z满足z-2i=1,则|=的最小值是 20.(2026·高二上湖南长沙期中)复数z满足=2，则z+V7-31的最大值为 试卷第3页，共6页 三、解答题 21.(2026·高一下·福建龙岩期中)如图，在正方体ABCD-ABCD中，E,F,P分别为棱DC1,B,C,A4的 中点。 D E B P D C B (1)求证：D,B,F,E四点共面. (2)设平面ABD⌒平面AB,CD=I,求证：BDl. 3)枝4D上是否存在一点4，使PMW平面DBE?若存在，求的金 的值；若不存在，请说明理由。 22.(2026·高一下·安徽芜湖期中)如图，△OCD等边三角形，且点A,B分别为线段OD与OC的中点将△OAB沿 AB折叠后使点O与点P重合，得到四棱锥P-ABCD.设点E为线段PC上一点，且CE=2EP (I)证明：API∥平面BED; (2)求四棱锥P-ABCD与三棱锥P-BDB的体积之比. 23.（2026·高一下·广西柳州期中)如图，己知在直三棱柱ABC-AB,C中，AC=3,AB=5,BC=4,A4=4, 点D是AB的中点 C A ... ----B (1)求证：AC/平面CDB: (2)求证：AC⊥平面BB,CC; (3)求三棱锥A-B,CD的体积. 试卷第4页，共6页 24.(2026·高一下·河北衡水·期中)如图，在正方体ABCD-ABCD中AB=2,M为DD的中点，E为棱AD的中 点，F为棱D,C的中点. D F C B M: D! 4 B (1)求证：E,F,A,C四点共面： (2)求证：BD∥平面AMC: (3)求正方体ABCD-ABCD的外接球的表面积和体积. 25.(2026·高一下·云南昭通期中)如图，己知直三棱柱ABC-AB,C的各棱长均为2，D为BC上的一点， AC oAC,=O,连接OD且AB∥平面ADC B B (I)求证：D为BC的中点： (2)求三棱锥C-ADC的表面积及B,到平面ADC的距离， 26,(2026·高-下广东广州期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，4D/BC,4D1DC,c-C0-4D,B为 棱AD的中点，PA⊥平面ABCD. B E D (1)求证：AB/1平面PCE: (2)求证：平面PAB⊥平面PBD: (3)若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PBD所成角的正弦值. 试卷第5页，共6页 27.(2026·高一下·浙江宁波期中)如图，斜三棱柱ABC-AB,C,的底面是边长为2的正三角形，且 AA=AB=AC=3 (1)证明：CB,⊥A4: A B (2)求二面角C-AA4-B的余弦值： (3)求直线AB与平面CBB,C,所成角的正弦值. B 28.(2026·高一下·浙江温州期中)如图，在四棱柱ABCD-ABCD中，平面AADD⊥ A 平面ABCD,AAL AD,.BC11AD,∠BAD=120°，且AA=AB=BC=1AD=2. B C (1)求证：AA⊥CD: B (2)求直线AD与平面AACC所成角的正弦值： 29.(2026·高一下·浙江杭州·期中)在正六棱柱ABCDEF-AB,CD,E,R中，AB=1,A4=√3，O为下底面ABCDEF 的中心，M为侧棱DD,的中点 F B (1)求证：MO/平面ABDE: (2)证明：BD⊥平面ABDE1 30.(2026·高一下·吉林·期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为直角梯形，AD//BC,∠BAD=90°， PA⊥底面ABCD,且PA=AD=2,AB=BC=1,M为PD的中点. D (1)求证：CM1/平面PAB; (2)求三棱锥D-PAC的体积. 试卷第6页，共6页 高一数学期中复习专项 【距离测量问题、复数的模的轨迹问题、立体几何的证明题】 一、单选题 1．（2026·高一下·山东烟台·期中）如图，为测量河对岸两点间的距离，在楼顶A处观察C的俯角为30°，观察点D的俯角为60°，B为楼底一点且平面，若楼高，，则（   ） （题1图） （题2图） （题3图） A． B． C． D． 2．（2026·高一下·河北邢台·月考）如图，在河岸上测量河对面，两点间的距离，测得，，，，，则（   ） A． B． C．4 D． 3．（2026·高一下·河北保定·期中）如图，公路一侧有一幢楼，公路与楼底在同一平面上，小明在公路上行走，在点处测得楼顶的仰角为，行走100米到达处，测得楼顶的仰角为，再行走100米到达点处，测得楼顶的仰角为，则楼的高为（    ） 参考数据：. A．米 B．米 C．300米 D．米 4．（2026·高一下·湖北襄阳·月考）如图，某建筑物的高度，一架无人机上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为15°，地面某处的俯角为45°，且，则此无人机距离地面的高度为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·高一下·河南郑州·期中）如图，一个测量小组为了测量学校的两棵树底部（位于池塘的两端）间的距离，在两棵树之间的一条南北走向的路上取两个测量点，测得，从点测得树底在北偏西方向上，树底在北偏东方向上，在处测得树底在北偏西方向上，树底在北偏东方向上．均处于同一水平面内，则两棵树底部间的距离为（   ） （题5图） （题7图） （题8图） A． B． C． D． 6．（2026·高一下·天津西青·期中）2026年3月，全国两会期间天津代表团开放团组会议释放重磅消息：位于西青区沉寂近十年的天津117大厦主塔楼招商工作基本完成，这座集办公、酒店、观光、商业于一体的中国结构第一高楼、城市超高地标建筑，以全新姿态重启建设征程，将为天津高质量发展注入强劲动力。某校开展数学建模综合实践活动，利用无人机测量117大厦最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，活动过程中无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为，，随后无人机沿水平方向飞行600米到点D，此时测得点A和点B的俯角分别为和（A，B，C，D在同一铅垂面内），则A，B两点之间的距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 7．（2026·高一下·重庆万州·月考）已知码头在码头的正北方向，两码头相距100海里，从码头测得海上某渔船位于北偏东方向，从码头测得渔船位于北偏东方向，从码头还测得另一艘货船位于南偏东方向，且货船到码头的距离为海里，欲在货船与渔船之间增设一条补给航线，则补给航线的长为（   ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 8．（2026·高一下·江苏扬州·期中）如图，某海滨城市附近海面上有一台风，在城市测得该台风中心位于方位角为，距离为km的海面处，并以km/h的速度沿北偏西的方向移动.如果台风侵袭的范围是半径为km的圆形区域.则（   ）小时后该城市开始受到台风侵袭. A．5 B．10 C．15 D．20 9．（2026·甘肃张掖·模拟预测）某船行驶到甲地看1号灯塔时，在甲地的北偏东方向上，两地相距n mile；在甲地看2号灯塔时，在甲地的南偏西方向上，两地相距4n mile．该船由甲地向正南航行到乙地时，再看1号灯塔，则1号灯塔在乙地的北偏东方向上，则2号灯塔与乙地之间的距离是（    ） A．6n mile B．7n mile C．n mile D．n mile 10．（2026·高一下·福建南平·月考）3月31日，2025年“广西三月三八桂嘉年华”开幕式暨全国“四季村歌”活动在南宁民歌湖举行，主舞台设在南宁民歌湖边小明在湖对岸，现想测量与主舞台的距离，如图所示，（小明），（主舞台）两点在湖的两岸，通过确定与同侧的湖岸边一点，测出，的距离为100m，，，计算出，两点的距离为（    ） A．m B．m C．m D．m 二、填空题 11．（2026·高一下·福建厦门·期中）已知复数满足，则的最小值是______． 12．（2026·高一下·安徽安庆·期中）若复数满足条件，则其在复平面内所对应的点构成的图形面积大小为__________. 13．（2026·高二下·河北承德·月考）已知为虚数单位，复数满足，则的最小值为__________． 14．（2026·高一下·福建三明·月考）已知复数z满足，则（是虚数单位）的最小值为______． 15．（2026·高一下·山东枣庄·期中）已知复数，若复数满足，则的最大值为______. 16．（2025·高一下·浙江金华·月考）若，则的最大值为_____． 17．（2026·高二上·上海·期末）已知为复数，则的最小值为______． 18．（2026·高三下·广东惠州·专题练习）若复数满足，则|z|的最大值为______． 19．（2025·高二上·云南丽江·期末）若复数满足，则的最小值是__________. 20．（2026·高二上·湖南长沙·期中）复数满足，则的最大值为________． 三、解答题 21．（2026·高一下·福建龙岩·期中）如图，在正方体中，E，F，P分别为棱，，的中点． (1)求证：D，B，F，E四点共面． (2)设平面平面，求证：． (3)棱上是否存在一点M，使平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 22．（2026·高一下·安徽芜湖·期中）如图，等边三角形，且点A，B分别为线段与的中点.将沿折叠后使点O与点P重合，得到四棱锥.设点E为线段上一点，且. (1)证明：平面； (2)求四棱锥与三棱锥的体积之比. 23．（2026·高一下·广西柳州·期中）如图，已知在直三棱柱中，，，，，点是的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求三棱锥的体积. 24．（2026·高一下·河北衡水·期中）如图，在正方体中为的中点，为棱的中点，为棱的中点． (1)求证：四点共面； (2)求证：平面； (3)求正方体的外接球的表面积和体积． 25．（2026·高一下·云南昭通·期中）如图，已知直三棱柱的各棱长均为2，D为BC上的一点，，连接OD且平面. (1)求证：为BC的中点； (2)求三棱锥的表面积及到平面的距离. 26．（2026·高一下·广东广州·期中）如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值． 27．（2026·高一下·浙江宁波·期中）如图，斜三棱柱的底面是边长为2的正三角形，且． (1)证明：； (2)求二面角的余弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 28．（2026·高一下·浙江温州·期中）如图，在四棱柱中，平面平面，，且． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； 29．（2026·高一下·浙江杭州·期中）在正六棱柱中，，，O为下底面ABCDEF的中心，M为侧棱的中点. (1)求证：平面； (2)证明：平面. 30．（2026·高一下·吉林·期中）如图，在四棱锥中，四边形ABCD为直角梯形，，，底面ABCD，且，，M为PD的中点. (1)求证：平面PAB； (2)求三棱锥的体积. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学期中复习专项 【距离测量问题、复数的模的轨迹问题、立体几何的证明题】 一、单选题 1．（25-26高一下·山东烟台·期中）如图，为测量河对岸两点间的距离，在楼顶A处观察C的俯角为30°，观察点D的俯角为60°，B为楼底一点且平面，若楼高，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】距离测量问题、线面垂直证明线线垂直 【分析】由线面垂直可得，进而得到，再用余弦定理计算边长即可． 【详解】解：由题可知， 又平面，平面， ， 又，所以， 又，所以． 2．（25-26高一下·河北邢台·月考）如图，在河岸上测量河对面，两点间的距离，测得，，，，，则（   ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、距离测量问题、正弦定理解三角形、几何图形中的计算 【分析】应用正弦定理及余弦定理计算求解. 【详解】因为，， 在中，由正弦定理可得，则． 在中，由正弦定理可得，则． 在中，由余弦定理可得，则． 3．（25-26高一下·河北保定·期中）如图，公路一侧有一幢楼，公路与楼底在同一平面上，小明在公路上行走，在点处测得楼顶的仰角为，行走100米到达处，测得楼顶的仰角为，再行走100米到达点处，测得楼顶的仰角为，则楼的高为（    ） 参考数据：. A．米 B．米 C．300米 D．米 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】距离测量问题、高度测量问题、余弦定理解三角形 【详解】由题可知， 则， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 又，两式相加， 得，即， 解得. 4．（25-26高一下·湖北襄阳·月考）如图，某建筑物的高度，一架无人机上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为15°，地面某处的俯角为45°，且，则此无人机距离地面的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、距离测量问题 【详解】由题意，在中，，，所以. 在中，，， 所以， 由正弦定理，. 又为等腰直角三角形，所以. 故选项B正确. 5．（25-26高一下·河南郑州·期中）如图，一个测量小组为了测量学校的两棵树底部（位于池塘的两端）间的距离，在两棵树之间的一条南北走向的路上取两个测量点，测得，从点测得树底在北偏西方向上，树底在北偏东方向上，在处测得树底在北偏西方向上，树底在北偏东方向上．均处于同一水平面内，则两棵树底部间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】距离测量问题、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】延长与交于点，在中，利用正弦定理可得，在中，利用余弦定理运算求解. 【详解】延长与交于点， 在中，因为，，， 所以，则为等腰三角形，． 在中，因为，，， 所以， 由正弦定理，即，解得． 在中，因为，，， 由余弦定理得， 所以两棵树底部间的距离为． 6．（25-26高一下·天津西青·期中）2026年3月，全国两会期间天津代表团开放团组会议释放重磅消息：位于西青区沉寂近十年的天津117大厦主塔楼招商工作基本完成，这座集办公、酒店、观光、商业于一体的中国结构第一高楼、城市超高地标建筑，以全新姿态重启建设征程，将为天津高质量发展注入强劲动力。某校开展数学建模综合实践活动，利用无人机测量117大厦最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，活动过程中无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为，，随后无人机沿水平方向飞行600米到点D，此时测得点A和点B的俯角分别为和（A，B，C，D在同一铅垂面内），则A，B两点之间的距离为（    ）        A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】距离测量问题 【详解】中，，，则， 由正弦定理得， 中，，，则， 由正弦定理得， 中，，由余弦定理得， 解得． 7．（25-26高一下·重庆万州·月考）已知码头在码头的正北方向，两码头相距100海里，从码头测得海上某渔船位于北偏东方向，从码头测得渔船位于北偏东方向，从码头还测得另一艘货船位于南偏东方向，且货船到码头的距离为海里，欲在货船与渔船之间增设一条补给航线，则补给航线的长为（   ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、距离测量问题 【分析】先作示意图，求，在中由正弦定理求，在中由余弦定理求即可. 【详解】如图所示，，， ，． 在中，由，又海里， 所以，解得（海里）， 在中，由余弦定理可得， 又海里， 则（海里）． 8．（25-26高一下·江苏扬州·期中）如图，某海滨城市附近海面上有一台风，在城市测得该台风中心位于方位角为，距离为km的海面处，并以km/h的速度沿北偏西的方向移动.如果台风侵袭的范围是半径为km的圆形区域.则（   ）小时后该城市开始受到台风侵袭. A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】距离测量问题 【分析】由题意km，根据方位角关系可得，利用余弦定理建立关于的方程求解即可. 【详解】设小时后台风中心移动到点，此时城市开始受到台风侵袭，即km， 已知，台风速度为，因此； 根据方位角关系可得， 在中，由余弦定理：， 代入数值： ， 化简得：，解得或， 依题意开始受到侵袭的时间，取较小值. 9．（2026·甘肃张掖·模拟预测）某船行驶到甲地看1号灯塔时，在甲地的北偏东方向上，两地相距n mile；在甲地看2号灯塔时，在甲地的南偏西方向上，两地相距4n mile．该船由甲地向正南航行到乙地时，再看1号灯塔，则1号灯塔在乙地的北偏东方向上，则2号灯塔与乙地之间的距离是（    ） A．6n mile B．7n mile C．n mile D．n mile 【答案】D 【难度】0.62 【知识点】距离测量问题、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】先在中，利用正弦定理求得AC，再在中，利用余弦定理求解BC即可. 【详解】在中，， 由正弦定理得 n mile， 在中，， 由余弦定理得， 所以 n mile. 10．（25-26高一下·福建南平·月考）3月31日，2025年“广西三月三八桂嘉年华”开幕式暨全国“四季村歌”活动在南宁民歌湖举行，主舞台设在南宁民歌湖边小明在湖对岸，现想测量与主舞台的距离，如图所示，（小明），（主舞台）两点在湖的两岸，通过确定与同侧的湖岸边一点，测出，的距离为100m，，，计算出，两点的距离为（    ） A．m B．m C．m D．m 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】距离测量问题 【分析】利用正弦定理列方程，由此求得正确答案. 【详解】由正弦定理得， 所以. 二、填空题 11．（25-26高一下·福建厦门·期中）已知复数满足，则的最小值是______． 【答案】4 【难度】0.7 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题、定点到圆上点的最值（范围）、复数的坐标表示 【分析】利用复数运算的几何意义求解即可. 【详解】设，由得，即， 所以复数表示的点在以为圆心，1为半径的圆上， 表示点与点的距离， 所以的最小值为. 12．（25-26高一下·安徽安庆·期中）若复数满足条件，则其在复平面内所对应的点构成的图形面积大小为__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】根据复数减法的几何意义，求得其在复平面内对应点构成的图形，结合圆的面积求解公式，进而求得结果. 【详解】设，则表示，点到的距离， 又表示：以为圆心，为半径的圆；表示，以为圆心，为半径的圆； 故表示一个圆环，如下所示： 故其面积为：. 故答案为：. 13．（25-26高二下·河北承德·月考）已知为虚数单位，复数满足，则的最小值为__________． 【答案】3 【难度】0.65 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】先求出满足题目要求的复数在复平面内的轨迹，再求所求复数模长的最小值. 【详解】设（），则， ， 设，，则， 即点在以为圆心，1为半径的圆上， ， 设，， ， 所以的最小值为3. 14．（25-26高一下·福建三明·月考）已知复数z满足，则（是虚数单位）的最小值为______． 【答案】4 【难度】0.75 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】利用复数的几何意义进行求解. 【详解】复数z满足，则复数z对应的点在以为圆心，半径的圆上， 而表示圆上的点到定点的距离， 圆心到定点距离为： 所以（是虚数单位）的最小值为：. 15．（25-26高一下·山东枣庄·期中）已知复数，若复数满足，则的最大值为______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数的三角表示 【分析】由题意可设，根据辅助角公式及正弦函数性质计算求解即可. 【详解】若复数满足，可设， 则， 所以 ，其中， 由正弦函数性质可知，当时，， 此时有最大值为. 16．（24-25高一下·浙江金华·月考）若，则的最大值为_____． 【答案】 【难度】0.82 【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】利用复数模的几何意义将问题转化为圆上点到原点的距离最值问题，通过原点到圆心的距离加半径得到结果. 【详解】复数在复平面对应的点满足，几何意义为：复平面内动点的轨迹是以为圆心，半径的圆； 的几何意义是动点到原点的距离。 计算原点到圆心的距离：， 因此圆上点到原点的最大距离为，即的最大值为. 【点睛】本题考查复数模的几何意义，核心方法是数形结合，将复数问题转化为复平面内的几何问题求解. 17．（25-26高二上·上海·期末）已知为复数，则的最小值为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】复数加减法几何意义的运用、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【详解】设，复数在复平面内对应的点记作，故； 表示复平面内，点到的距离；表示复平面内，点到点的距离； 故表示复平面内，点到两点的距离之和， 显然当点在线段上时，其取得最小值，最小值为. 18．（2026高三下·广东惠州·专题练习）若复数满足，则|z|的最大值为______． 【答案】/ 【难度】0.75 【知识点】求复数的模、定点到圆上点的最值（范围）、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】设，由可得，然后由复数模长公式结合两点间距离公式可得答案. 【详解】设，， 即在以为圆心，半径为的圆上. 又表示到的距离， 则由图可知. 19．（24-25高二上·云南丽江·期末）若复数满足，则的最小值是__________. 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】根据复数的几何意义，结合图形关系即可求解. 【详解】设复数对应的点为， 由可知点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，如图.   表示点到原点的距离， 则圆上与原点距离最小的点到原点的距离为圆心到原点的距离减去半径. 由于圆心到原点的距离为，则的最小值为. 故答案为：1 20．（25-26高二上·湖南长沙·期中）复数满足，则的最大值为________． 【答案】6 【难度】0.65 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】由复数的模的几何意义确定复数对应点的轨迹，问题转化为圆上一点到点的距离最大值，即可得结果. 【详解】设复数. 由复数的模的几何意义可知， 表示复数对应的点到点的距离. 因为，所以，即， 这表示点在以原点为圆心，半径的圆上. 因为，所以由圆的性质可知， 点到点的距离的最大值为， 即的最大值为6. 故答案为：6 三、解答题 21．（25-26高一下·福建龙岩·期中）如图，在正方体中，E，F，P分别为棱，，的中点． (1)求证：D，B，F，E四点共面． (2)设平面平面，求证：． (3)棱上是否存在一点M，使平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置、空间中的点（线）共面问题、线面平行的性质 【分析】（1）应用平行四边形得出，进而得出线线平行即可证明； （2）应用线面平行判定定理得出平面，再应用线面平行性质定理证明； （3）先证明四边形为平行四边形，得出，再应用线面平行判定定理证明； 【详解】（1）证明：连接． 因为，分别为棱，的中点， 所以，又在正方体中，且， 所以四边形为平行四边形，所以，所以， 所以，，，四点共面． （2）证明：由（1）知，又平面，平面， 所以平面． 因为平面平面，平面，所以． （3）存在，且． 理由如下：取的中点，连接，． 因为，分别为，的中点， 所以，， 又，，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以． 设为的中点，所以，所以， 又平面，平面，所以平面． 故存在所求的点，且． 22．（25-26高一下·安徽芜湖·期中）如图，等边三角形，且点A，B分别为线段与的中点.将沿折叠后使点O与点P重合，得到四棱锥.设点E为线段上一点，且. (1)证明：平面； (2)求四棱锥与三棱锥的体积之比. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面平行 【分析】（1）连接交于点，连接，由A，B分别为线段与的中点可得，结合三角形相似得到，进而得到，进而求证即可； （2）根据棱锥的体积公式，结合面积比例求解即可. 【详解】（1）证明：如图，连接交于点，连接， 由题可知，且. 则易有与相似，且相似比为1:2，即. 又，则，故， 因为平面，平面，故平面. （2）设四棱锥的体积为，高为，四边形的面积为， 三棱锥的体积为，高为，三角形的面积为，与之间的距离为， 三棱锥的体积为，三棱锥的体积为， 由题有， 又，故，即， 则，又， 有， 即四棱锥与三棱锥的体积之比为. 23．（25-26高一下·广西柳州·期中）如图，已知在直三棱柱中，，，，，点是的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)8 【难度】0.74 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直、证明线面平行 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可. （2）根据线面垂直的性质及线面垂直的判定定理证明即可. （3）根据线面垂直的性质及线面垂直的判定定理证出平面，结合等体积法求解即可. 【详解】（1）连接，交于，连接. 直三棱柱中，侧面为矩形，所以点为中点. 因为点是的中点，所以. 又平面，平面，所以平面. （2）直三棱柱中，平面，因为平面，所以. 在中，，，，则，所以. 因为，平面，， 所以平面. （3）过点作. 在中，，即. 直三棱柱中，平面，因为，平面，所以，， 因为，平面，，所以平面， 则即为点到平面，也即平面的距离. 又， . 故三棱锥的体积为8. 24．（25-26高一下·河北衡水·期中）如图，在正方体中为的中点，为棱的中点，为棱的中点． (1)求证：四点共面； (2)求证：平面； (3)求正方体的外接球的表面积和体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)； 【难度】0.74 【知识点】球的表面积的有关计算、证明线面平行、空间中的点（线）共面问题 【分析】（1）只需证明即可证明四点共面； （2）先由中位线定理得，再由线面平行的判定定理可得； （3）根据正方体的体对角线即为外接球的直径，进而可得外接球的表面积和体积. 【详解】（1）如图：连接. 因为分别是线段的中点，所以. 又因为在长方体中，且，所以四边形是平行四边形， 所以，因此，根据平面的性质，四点在同一个平面内， 所以四点共面. （2）连接，交于点，因为是正方形，对角线互相平分，所以是的中点. 又是的中点，因此在​中，是中位线，故. 因为平面，平面，且， 由线面平行判定定理得：平面. （3）因为正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线长， 正方体棱长，体对角线长，因此外接球半径. 所以外接球的表面积：， 外接球的体积： 25．（25-26高一下·云南昭通·期中）如图，已知直三棱柱的各棱长均为2，D为BC上的一点，，连接OD且平面. (1)求证：为BC的中点； (2)求三棱锥的表面积及到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)表面积为，距离为 【难度】0.61 【知识点】棱锥表面积的有关计算、锥体体积的有关计算、求点面距离、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】（1）利用线面平行的性质定理，结合直三棱柱中平行四边形的性质，通过中位线定理证明为的中点； （2）先利用勾股定理逆定理判断为直角三角形，计算三棱锥的表面积；再通过等体积法，转换顶点求解点到平面的距离. 【详解】（1）证明：如图，因为平面且平面， 又因平面平面， 所以.    又因在直三棱柱中，为平行四边形， 所以为的中点， 所以为的中位线. 所以为的中点. （2）因为三棱柱是直三棱柱且所有棱长均为2， 在中，由勾股定理可得，，. 因为，     所以，所以为直角三角形， 三棱锥的表面积为 .     设到平面的距离为，因为，所以 即，解得， 所以到平面的距离为. 26．（25-26高一下·广东广州·期中）如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【难度】0.62 【知识点】证明面面垂直、线面角的向量求法、证明线面平行 【分析】（1）由题意可证四边形为平行四边形，则，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）如图，易证，根据线面垂直的性质与判定定理可得平面，结合面面垂直的判定定理即可证明； （3）根据线面垂直的性质与判定定理可得为二面角的平面角，即，作，由面面垂直的性质确定为直线与平面所成的角，即可求解. 【详解】（1）因为且，所以四边形为平行四边形，则， 又平面平面，所以平面； （2）由平面平面，得， 连接，由且，所以四边形为平行四边形，又， 所以平行四边形为正方形，所以， 又，， 又平面，平面， 由平面，所以平面平面； （3）由平面，平面，所以，又，，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 故为二面角的平面角，即 设，在中，，作，垂足为， 由（2）知，平面平面，平面平面平面，所以平面， 则为直线在平面上的投影，所以为直线与平面所成的角， 在中，， 所以， 在中，， 即直线与平面所成角的正弦值为. 27．（25-26高一下·浙江宁波·期中）如图，斜三棱柱的底面是边长为2的正三角形，且． (1)证明：； (2)求二面角的余弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】求线面角、求二面角、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）根据正棱锥的定义，结合正三棱锥的几何性质、线面垂直的判定定理和性质进行证明即可； （2）根据全等三角形的判定定理，结合全等三角形的性质、二面角的定义、余弦定理、同角的三角函数关系式进行求解即可； （3）利用三棱锥体积的等积性，结合正弦定理、线面角的定义进行求解即可.. 【详解】（1）因为棱柱的底面是边长为2的正三角形，且， 所以三棱锥是正三棱锥， 因此顶点在底面的射影是正三角形的中心， 如图： 设点为边的中点，连接， 显然在上，且，平面， 因为平面， 所以，又因为平面， 所以平面，而平面， 所以，又因为， 所以； （2）因为棱柱的底面是边长为2的正三角形，且， 所以，在中，过作，垂足为，连接， 由全等三角形的性质可知，所以就是二面角的平面角， ， 所以， 因为， 同理可得， 由余弦定理可得， 所以二面角的余弦值； （3）由上可知是正三角形的中心，所以， 由勾股定理可得， 由三棱柱的性质可知平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 因为，所以，即是直角三角形， 设点到平面的距离为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 28．（25-26高一下·浙江温州·期中）如图，在四棱柱中，平面平面，，且． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.64 【知识点】求线面角、线面垂直证明线线垂直、证明线面垂直、面面垂直证线面垂直 【详解】（1）平面平面，平面平面，， 平面， 平面， . （2）连接，如下图所示， ，， ， ， 是等边三角形，可得，， ， ， 根据余弦定理可得，解得， ， ，即， ， 平面， 就是直线与平面所成角， ,， ， . 29．（25-26高一下·浙江杭州·期中）在正六棱柱中，，，O为下底面ABCDEF的中心，M为侧棱的中点. (1)求证：平面； (2)证明：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直 【分析】（1）由是底面正六边形的中心，是的中点，通过构造中位线，找到平面内与平行的直线，利用线面平行的判定定理进行证明； （2）利用线面垂直的判定定理，证明垂直于平面的两条相交线。 【详解】（1）连接，，，如图所示， 为底面正六边形的中心，是的中点； 是的中点，为的中位线，则； 平面，平面，平面. （2）连接，，，如图所示， 为底面正六边形的中心，； ,，，即; 六棱柱是正六棱柱，底面； 底面，； ，平面； 平面，； 底面是正六边形，，，； 底面，底面，； ，； ，，，，四边形为正方形； ，为正方形的对角线，； ，，平面，平面，且， 平面. 30．（25-26高一下·吉林·期中）如图，在四棱锥中，四边形ABCD为直角梯形，，，底面ABCD，且，，M为PD的中点. (1)求证：平面PAB； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.78 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面平行、判断线面是否垂直 【分析】（1）E为PA中点，连接EM、EB，由已知易证为平行四边形，即，根据线面平行的判定证平面PAB. （2）由线面垂直的性质及勾股逆定理证明、，根据线面垂直的判定证面，求得三棱锥的高及，结合三棱锥体积公式求体积即可. 【详解】（1）取E为PA中点，连接EM、EB，由M为PD的中点， ∴且，又且，则且， ∴四边形为平行四边形，故， ∵平面，平面， ∴平面PAB. （2）连接AC，过C作交于F点，即且， ∴中，，而在中，，有， ∴，又平面ABCD，平面，则， ∵，平面，∴平面， 即是三棱锥的高，而， ∴. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $