期中复习专题07 直线、平面的平行与垂直问题【8大题型】讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

专题07 直线、平面的平行与垂直问题 题型预览 题型一 线面平行的判定定理 题型二 线面平行的性质定理 题型三 面面平行的判定定理 题型四 面面平行的性质定理 题型五 线面垂直的判定定理 题型六 线面垂直的性质定理 题型七 面面垂直的判定定理 题型八 面面垂直的性质定理 知识清单 直线与平面平行的判定定理 文字语言 如果平面外一条直线与 此平面内的一条直线平行 ，那么该直线与此平面平行 符号语言 a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α 图形语言 【注意】用该定理判断直线a和平面α平行时，必须同时具备三个条件： (1)直线a在平面α外，即a⊄α． (2)直线b在平面α内，即b⊂α． (3)两直线a，b平行，即a∥b． 直线与平面平行的性质定理 文字语言 一条直线与一个平面 平行 ，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与 交线平行 符号语言 a∥α，a⊂β，α∩β＝b ⇒a∥b 图形语言 平面与平面平行的判定定理 文字语言 如果一个平面内的 两条相交直线 与另一个平面平行，那么这两个平面平行 符号语言 a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α 图形语言 【注意】判定平面α与平面β平行时，必须具备两个条件： (1)平面β内两条相交直线a，b，即a⊂β，b⊂β，a∩b＝P． (2)两条相交直线a，b都与α平行，即a∥α，b∥α． 平面与平面平行的判定方法 (1)定义法：两个平面没有公共点． (2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面． (3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β． (4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ． 平面与平面平行的性质定理 文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交 线平行 符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒ a∥b 图形语言 直线与直线垂直 (1)定义：如果两条异面直线所成的角是 直角 ，那么我们就说这两条异面直线互相垂直． (2)表示：直线a与直线b垂直，记作 a⊥b ． 直线与平面垂直的定义 定义 一般地，如果直线l与平面α内的 任意一条 直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α 有关概念 直线l叫做平面α的 垂线 ，平面α叫做直线l的 垂面 ．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做 垂足 图示 画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 【注意】(1)定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”． (2)若l⊥α，c⊂α，则l⊥c． 直线与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的 两条相交直线 垂直，那么该直线与此平面垂直 符号语言 m⊂α，n⊂α，m∩n ＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α 图形语言 直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直 线平行 符号语言 ⇒ a∥b 图形语言 【注意】(1)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法． (2)直线与平面垂直的性质定理揭示了空间中平行与垂直关系的内在联系，提供了垂直与平行关系转化的依据． 题型突破 题型一 线面平行的判定定理 1．（2026高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，．若是棱的中点，证明：平面； 【答案】证明见解析 【分析】设与的交点为，连接，结合中位线定理，利用线面平行的判定定理证明即可. 【详解】设与的交点为，连接， 因为是菱形，所以是线段的中点， 又是棱的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面. 2．（2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱台中，上、下底面均为正方形，底面，，，，点为棱的中点.    求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】要证明线面平行，需要通过证明线线平行得到线面平行，即证明. 【详解】证明：连接交于点，如图所示：    由是正方形得为的中点， 因为为的中点，所以为的中位线， 于是，又因为平面，平面， 所以平面. 3．（2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，分别为CD，PA的中点.证明：平面PBC； 【答案】证明见解析 【分析】利用线面平行的判定定理，结合三角形中位线的性质及平行四边形的性质推理得证. 【详解】取PB中点，连接，由分别为的中点， 得且，且， 则，且，因此四边形为平行四边形， 则，而平面平面， 所以平面. 4．（25-26高三·全国·二轮复习）如图所示，已知多面体的底面是正方形，底面，，.证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】利用线面平行的判定定理证明平面，平面，然后利用面面平行的判定定理证得平面平面，进而得到平面. 【详解】因为底面是正方形，所以， 又平面，平面，所以平面， 又，，所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面， 且与相交于点， 所以平面平面， 又平面，所以平面. 5．（25-26高一下·重庆·月考）如图，在正方体中，．、、分别为、、中点． (1)求三棱锥的表面积； (2)求证：平面． 【答案】(1)4 (2)证明见解析 【分析】（1）借助正方体的结构特征求出三棱锥的表面积. （2）利用线面平行的判定定理证明即可. 【详解】（1）在正方体中，，、、两两垂直， 因为、、分别为、、中点，所以， 则，. 等腰底边上的高. 所以三棱锥的表面积为： . （2） 连接，，设与的交点为，连接. 因为、是正方体中对边、的中点， 所以，， 所以四边形是平行四边形，所以为中点. 又为中点，所以. 又平面，平面， 所以平面. 6．（2026·上海崇明·二模）如图，在直三棱柱中，，，且D，E分别是，的中点． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题意可得四边形是平行四边形，则可得，再利用线面平行判定定理即可得证； （2）由为的中点，可得，再利用等体积法计算即可得解. 【详解】（1）由直三棱柱性质可得，， 由D，E分别是，的中点，则，， 则四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，故平面； （2）由，，则， 故为等腰直角三角形，则点到的距离为， 则点到的距离为， 由为的中点，则点与点到平面的距离相等， 故. 题型二 线面平行的性质定理 7．（25-26高三·北京·二轮复习）已知四棱锥中，底面为直角梯形，平面，，，，是的中点.为的中点，为上一点，平面，证明：为中点. 【答案】证明见解析 【详解】如图，取的中点为，由三点确定一个平面，交于点， 由平面，平面， 平面平面，可得， 又因为为的中点，所以，， 又因为，所以， 由平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面平面，所以， 又因为，所以， 则四边形是平行四边形，故， 又因为， 是的中点.， 所以，结合， 可得是的中位线，即为中点. 8．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，为平面外一点，分别是的中点．记平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并加以证明． 【答案】直线//平面，证明见解析 【分析】利用线面平行的判定、性质推理判断并证明. 【详解】直线平面，证明如下： 分别是的中点，得， 又平面，且平面，则平面， 而平面，且平面平面，因此， 又平面，平面，所以平面. 9．（25-26高三·全国·二轮复习）已知四棱锥的底面是平行四边形，平面． 若平面与平面的交线为，证明：； 【答案】证明见解析 【分析】由题意可得平面，再由线面平行的性质定义即可得证. 【详解】因为底面是平行四边形， 故平面，平面 可得平面， 又因为平面， 平面平面， 所以． 10．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，，是的另一侧的点，，线段分别交于，若，则________，________． 【答案】 9 【分析】根据点的位置关系求出线段 AC 的长度；利用线面平行的性质定理得到，利用对应边成比例即可求出 EG 的长度. 【详解】在平面的下方，是与平面的交点，在直线上，因此线段， 因,，故三点可确定平面 ，平面 ,且，平面与平面,故. 则有，即有 ，代入，解得 . 11．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，已知正三棱柱（底面是正三角形，侧面是矩形的棱柱）中，是上的点，是的中点，且平面．试判断点在上的位置，并给出证明． 【答案】为的中点，证明见解析 【分析】取的中点，连接，，设与交于点，结合图形，根据线面平行的性质定理得出，从而可证得是的中点，继而判断点在上的位置. 【详解】为的中点，证明如下： 取的中点，连接，， 设与交于点，易证且． 易知，，，共面， 因为平面，平面，且平面平面． 所以． 在平行四边形中，因为，且，所以是的中点， 所以点为的中点． 12．（25-26高三·全国·二轮复习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，点E是棱上的一点，平面．求证：点E是棱的中点． 【答案】证明见解析 【分析】由线面平行推出线线平行，再利用中点的性质证明结论． 【详解】连接，与交于点F，连接， 四边形为矩形，为的中点， 平面，平面PBD经过PB且与平面AEC交于EF， ， 又点F是的中点， 点E是棱的中点． 题型三 面面平行的判定定理 13．（25-26高三·北京·二轮复习）如图，正三角形和平行四边形在同一个平面内，AB，DE的中点分别为F，G.将沿直线AB翻折到，设CE的中点为H.求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【详解】因为四边形为平行四边形，F、G分别为的中点， 所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，平面，所以平面， 又H、G分别为的中点，所以. 平面，平面，所以平面， 因为FD、平面，， 所以平面平面. 14．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，分别为正方体对应棱的中点，则平面与平面的位置关系是________. 【答案】平行 【分析】根据面面平行的判定定理判断即可. 【详解】如图，分别取，，的中点，，，连接. 在正方体中，易知，. 因为，为中点，所以，，同理，， 所以，. 同理，，，，， 则平面与平面为同一平面. 因为，，且与相交，平面，与相交，，平面， 所以平面平面，即平面平面. 15．（25-26高一下·全国·课后作业）在正方体中，如图E、F、G、H、M、N分别是相应棱的中点．求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【分析】 连接、，证明平面，再分别证明平面和平面，从而得到平面平面． 【详解】 连接、可知，，，且，平面， 平面，又平面， ． 同理，，平面， 平面． 同理平面 ∴平面平面． 16．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，已知四棱柱的底面为菱形． (1)求证：平面∥平面； (2)在直线上是否存在点P，使∥平面？ 【答案】(1)证明见解析 (2)存在 【分析】（1）利用线面平行进而证明面面平行； （2）延长线段构造平行四边形，再通过线面平行的判定定理即可证明. 【详解】（1）由四棱柱的性质知，∥， 平面，平面，∥平面． 同理∥平面， ，平面，且， ∴平面∥平面． （2）在直线上存在这样的点P，使∥平面． ∥∥且，∴四边形为平行四边形， ∥．在的延长线上取点P，使，连接， ∥且，∥且， ∴四边形是平行四边形，∥， ∥，平面，平面， ∥平面． 题型四 面面平行的性质定理 17．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知P为△所在平面外一点，平面平面，且交线段于点，若，则:（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行平面的性质得出线线平行，再由面积比等于相似比的平方计算. 【详解】∵平面平面，平面平面，平面平面， ，同理可得， ， ∴，又， ∴，则. 18．（25-26高三·全国·二轮复习）如图，在六面体中，侧面是直角梯形，，，底面是矩形，且.设，二面角的大小为，六面体的体积为.求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】由面面平行的判定定理可得平面平面，然后由面面平行的性质定理即可证明. 【详解】 因为底面是矩形，所以， 因为平面，平面，故平面， 在直角梯形中，， 因为平面，平面，故平面， 又因为，平面， 故平面平面， 又因为平面，故平面. 19．（25-26高三·全国·二轮复习）已知梯形中，，为上的一点且，，，将沿翻折使得二面角的平面角为，连接、，为棱的中点.求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】取PE的中点，证明平面平面，再利用面面平行的性质定理证明. 【详解】取的中点，连接、， 因为点为棱的中点，且，所以且， ，平面，平面， 所以平面，同理可得平面. 因为平面，平面，且， 所以平面平面. 因为平面，所以平面. 20．（25-26高一下·浙江丽水·期中）四棱锥的底面为平行四边形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则________． 【答案】/0.5 【分析】连接BD，交AC于点O，连接OE，利用中位线性质和线面平行的判定证明平面ACE，结合平面ACE，则证明平面平面ACE，再利用面面平行的性质则有，即可得到答案. 【详解】如图，连接BD，交AC于点O，连接OE， 由四边形是平行四边形，得， 在线段PE上取点G，使得，由，得， 连接BG，FG，则，由平面，平面， 得平面，而平面，，平面， 因此平面平面，又平面平面，平面平面， 则，所以. 题型五 线面垂直的判定定理 21．（25-26高一下·北京朝阳·期中）如图，在正四棱柱中，，，是的中点． (1)求证：平面； (2)证明：平面． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）设，连接，利用中点关系，得到，满足线面平行判定定理的条件，从而得出证明； （2）由正棱柱侧棱垂直底面，进而得到，又正方形对角线互相垂直，从而得到满足线面垂直判定定理的条件，得出证明. 【详解】（1）证明：设，连接， 在正四棱柱中，四边形为正方形， ，又是的中点，， ，又平面，平面， 平面. （2）在正四棱柱中，平面， 又平面，， 在正方形中，， 又，平面，平面， 平面. 22．（2026高一·广东·专题练习）已知直三棱柱满足，，点，分别为，的中点. (1)求证： 平面； (2)求证：平面. (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，，证明，结合线面平行的判定定理即可求证； （2）首先证明面，可得，，结合线面垂直的判定定理即可求证； （3）利用由（2）可知平面，可得点到平面的距离为，根据点为的中点，从而得到点到平面的距离，利用即可求解. 【详解】（1）如图， 连接，， 四边形为矩形，为的中点， 与交于点，且为的中点， 又点为的中点，， 又平面，且平面， 平面. （2）直三棱柱满足，， 又点为的中点，且面，面， 所以，， 又，面， 平面. （3）由图可知， ，，， 又三棱柱为直三棱柱，且， . ，，点为的中点， 所以. 由（2）可知平面. 所以点到平面的距离为， 又点为的中点， 所以点到平面的距离为， . 23．（2026高三·全国·专题练习）在平行四边形中（图1），，为的中点，将等边沿折起，连接，且（图2）．求证：平面. 【答案】证明见解析 【详解】如图， 连接，因为，为的中点，是等边三角形， 则， 则在中，因为，， 所以由余弦定理得： . 在中，因为，而， 所以，则， 在中，因为，而， 所以，则， 又，平面，平面， 故平面． 24．（25-26高三·北京·二轮复习）如图，是圆柱的母线，四边形是底面内接正方形.点是棱上的动点（不与端点重合），且.证明：平面. 【答案】证明见解析 【详解】在正方形中，由，得，， 则，，因此， 由是圆柱的母线，得平面，而平面，则， 又平面，所以平面. 25．（25-26高三下·重庆·月考）在如图的空间几何体中，，，四边形为直角梯形，，，，，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取中点，连接,可得平面平面，进而可得结论； （2）通过已知线段长度，利用勾股定理逆定理证明BM与CM、BM与MN垂直； 【详解】（1）如图取中点，连接, 是中点，是的中位线，故, 平面，平面，所以平面， 由，得，且， 故四边形是平行四边形，得， 同理可得平面， 又，因此平面平面, 平面，故平面； （2）由，得，又，故， 已知，由勾股定理得， 已知，故， 由勾股定理逆定理得，即， 又平面，故平面； 题型六 线面垂直的性质定理 26．（2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面，点是棱的中点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】取的中点，证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得. 【详解】取的中点，连接， 在中，因为点是棱的中点，所以， 又因为平面，且平面，所以， 因为，所以， 由底面为菱形，且，可得为等边三角形， 因为是的中点，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以. 27．（25-26高一下·全国·课后作业）如图1，在梯形中，，，为中点，是与的交点，将沿翻折到图2中的位置得到四棱锥．求证： 【答案】证明见解析 【分析】应用菱形得出，，进而应用线面垂直判定定理得出平面即可得出所以，再应用平行四边形得出线线垂直. 【详解】图1中，在四边形中，，，所以四边形为平行四边形， 又因为，所以四边形为菱形，所以，， 所以在图2中，，，又平面，所以平面， 因为平面，所以， 又在四边形中，，， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以； 28．（25-26高一下·北京朝阳·期中）如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，；点E在线段上，且． (1)设平面平面，证明：； (2)证明：； (3)线段上是否存在点M，使得平面?若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)点M为线段上靠近C的四等分点， 【分析】（1）根据线面平行的性质定理证明线线平行. （2）通过证明线面垂直得平面，进而利用线面垂直的性质定理可证线线垂直. （3）根据面面平行的判定定理作出平面平面.，再结合平行线分线段成比例定理求的长. 【详解】（1）因为四边形为矩形，所以， 因为平面，平面，所以平面. 又平面，平面平面，所以. （2）因为平面，又平面，所以. 又底面为矩形，所以. 平面，，所以平面. 平面，所以. 在中，，，， 所以，所以. 平面，，所以平面. 又平面，所以. （3）如图： 过作，交于点，过作交于点. 因为，平面，平面，所以平面. 同理平面. 又平面，，所以平面平面. 由（1）知，，又，则， 则， 因为，. 所以， 所以点M为线段上靠近C的四等分点，. 29．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面是的中点，分别在上，且．则与的位置关系为________． 【答案】 【详解】平面，平面， ，又， ． ，是的中点， ，，平面， 平面． ，， ． ，，平面， 平面． ． 题型七 面面垂直的判定定理 30．（2026高三·全国·专题练习）如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，，．证明：平面平面 【答案】证明见解析 【分析】取AB中点O，连接PO，CO，证得，即可利用线面垂直的判定定理证明平面，进而利用面面垂直的判定定理证明即可. 【详解】如图， 取AB中点O，连接PO，CO. 因为，，所以， 即，且，. 又因为四边形是菱形，， 所以，. 因为，所以，即， 因为平面，平面ABCD，， 所以平面， 又平面，所以平面平面. 31．（2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，，，，，，求证：平面平面ABCD； 【答案】证明见解析 【详解】 连接AC，因为，，，所以， 则，而，， 所以，则，所以， 在中，，且， 所以，则， 又，且平面，平面， 所以平面，又平面ABCD， 所以平面平面ABCD. 32．（2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，，， ． (1)在平面内找一点，使得直线平面，并说明理由； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)棱AD的中点，理由见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先证明线线平行，再利用线面平行的判定定理证明线面平行； （2）先由线面垂直得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理得到BD⊥平面PAB，最后利用面面垂直的判定定理证明面面垂直. 【详解】（1）取棱的中点（平面），点即为所求的一个点. 理由如下： 因为，，所以， 且. 所以四边形是平行四边形，从而. 又平面，平面， 所以平面. （2）由已知，，，平面， 因为，，所以直线与相交， 所以平面. 平面，从而. 因为，， 所以，且. 所以四边形是平行四边形. 所以，所以. 又，平面，所以平面. 又平面， 所以平面⊥平面. 33．（25-26高三·北京·二轮复习）在中，，，，，分别是，上的点，满足，且.将沿折起到的位置，使，如图所示.求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据给定条件，利用线面垂直判定性质、面面垂直的判定推理得证. 【详解】在中，由，得，而，则， 将沿折起到的位置，始终有， 又平面，则平面， 又平面，则， 又，，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面. 题型八 面面垂直的性质定理 34．（25-26高三·北京·二轮复习）如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】利用面面垂直的性质可得出平面，可得出，利用并结合线面垂直的判定定理可得出平面，结合线面垂直的性质可证得结论成立. 【详解】取的中点，连接，如图所示： 因为，所以， 又平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 由，，、平面，所以平面， 又平面，所以. 35．（25-26高三下·上海浦东新·期中）如图，在多面体PQABCD中，平面平面ABCD，，，是边长为的等边三角形，． (1)求证：平面PAD； (2)若PC与平面ABCD所成的角为，求多面体PQABCD的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用面面垂直的性质和线面垂直的判定定理进行证明； （2）将多面体拆分成直棱柱和三棱锥两部分，分别计算体积再求和. 【详解】（1）证明：取AD的中点O，连接PO, 因为为等边三角形，且O为AD中点， 所以 又平面平面， 平面平面，平面， 所以平面 . 又平面，因而 因为，，所以 由平面，平面PAD，， 所以平面 . （2）连接PC、OC，由题（1）可知，平面ABCD， 所以PC在平面ABCD内的投影为OC， 故是与平面所成的角，即 ，由题得，， 因为平面PAD，，所以平面PAD，所以． 因此，， 取CD的中点M，连接BM、QM， 则 所以多面体PQABCD的体积是. 36．（25-26高三·全国·二轮复习）如图，四边形是菱形，平面平面，，且，为的中点． 证明：； 【答案】证明见解析 【分析】根据中位线的性质以及题中条件可证明四边形是平行四边形，进而得，利用面面垂直的性质即可求证. 【详解】连接，交于点，连接． 因为四边形是菱形，则，， 因为为的中点，则， 又，且，故得， 故四边形是平行四边形，则． 又平面平面，平面平面， ，平面， 则平面，又平面， 则，故． 37．（25-26高三·全国·二轮复习）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，平面平面，，是的中点，点在侧棱上，，求证：直线平面； 【答案】证明见解析 【分析】由题意可得是等边三角形，从而可得，,再由面面垂直的性质定理即可得证. 【详解】因底面是边长为2的菱形，且， 则是等边三角形， 又因是的中点， 则， 因，则， 因平面平面， 平面平面，平面， 故直线平面． 38．（25-26高三·全国·二轮复习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，，平面平面．求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】由线面垂直的判定定理及性质可得，由面面垂直的性质及线面垂直的性质可得，再由线面垂直的判定定理即可证明. 【详解】因为底面为正方形，所以， 又，且，平面，所以平面， 又平面，所以， 连接，易知， 因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 又平面，则， 又因为，平面，所以平面． 强化训练 1．（25-26高一下·福建龙岩·期中）已知a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【分析】根据线面、面面平行的性质定理与判定定理判断即可. 【详解】已知a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面， 若，，则或，A选项错误； 若，，，则由线面平行的性质定理可知，，B选项正确； 若，，则或，C选项错误； 若，，则或与异面，D选项错误. 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）在长方体中，下列结论正确的是（    ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】D 【详解】对于A，平面平面，故A错误； 对于B，平面平面，故B错误； 对于C，平面平面，故C错误； 对于D，在长方体，对面所在平面平行， 即平面平面，故D正确. 3．（25-26高一下·福建龙岩·期中）如图，在正方体中，E，F，P分别为棱，，的中点． (1)求证：D，B，F，E四点共面． (2)设平面平面，求证：． (3)棱上是否存在一点M，使平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）应用平行四边形得出，进而得出线线平行即可证明； （2）应用线面平行判定定理得出平面，再应用线面平行性质定理证明； （3）先证明四边形为平行四边形，得出，再应用线面平行判定定理证明； 【详解】（1）证明：连接． 因为，分别为棱，的中点， 所以，又在正方体中，且， 所以四边形为平行四边形，所以，所以， 所以，，，四点共面． （2）证明：由（1）知，又平面，平面， 所以平面． 因为平面平面，平面，所以． （3）存在，且． 理由如下：取的中点，连接，． 因为，分别为，的中点， 所以，， 又，，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以． 设为的中点，所以，所以， 又平面，平面，所以平面． 故存在所求的点，且． 4．（25-26高一下·浙江丽水·期中）如图，在直三棱柱中，，点为的中点． (1)求证：平面； (2)若，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，设与的交点为，连接，结合中位线性质和线面平行的判定定理证明； （2）根据直三棱柱性质可知，三棱锥的高为，再利用，结合棱锥体积公式求解即可. 【详解】（1）连接，设，连接， 在直三棱柱中，四边形为平行四边形，则为的中点， 又因为为的中点，则， 又因为平面，平面， 所以平面． （2）由直三棱柱可知，三棱锥的高为，， 在中，，为的中点，由（1）知， 所以． 因此． 5．（25-26高一下·北京朝阳·月考）如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且． (1)求证：平面； (2)已知点是棱上的一点，且，求证：平面平面． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）作辅助线，利用三角形相似得到比例关系，进而可得线线平行，结合判定定理可证结论. （2）作辅助线，根据题意可证平面，平面，进而可得面面垂直. 【详解】（1）连接、分别交于点H、O，连接， 在正方体中，且， 所以，则， 同理可得，所以，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）连接，因为点分别为棱的中点，则， 因为，，则， 可得，则， 且平面，平面，则平面， 取的中点，连接， 因为分别为的中点，则， 又因为分别为的中点，则，， 且，，则，， 可知为平行四边形，则，可得， 且平面，平面，则平面， 又因为，平面，所以平面平面. 6．（25-26高三下·上海浦东新·期中）如图，在多面体中，平面平面，，，是边长为的等边三角形，． (1)求证：平面； (2)若与平面所成的角为，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理证明即可； （2）利用线面角推出所需线段长度，再将三棱锥转换顶点进行求解. 【详解】（1）因为平面平面，为等边三角形，取中点，连接， 则，又平面，平面平面， 由面面垂直的性质得平面， 平面，因此.又， 平面，故平面. 又因为，所以平面，得证. （2） 连接，因为是边长为​的等边三角形， 所以. 由线面角定义可知，与平面所成角为​， 在中，​，得​​. 设，则，​​， 代入得，解得，即. 因为平面，平面，， 故平面平面，且为等边三角形， 则到平面的距离等于到的距离， ​​所以， 因此体积​. 7．（2026高三·全国·专题练习）在三棱锥中，是等边三角形，，为中点． (1)证明：平面； (2)若，二面角的余弦值为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明即可； （2）根据线面垂直可得线线垂直，证明为二面角的平面角，解直角三角形，再由余弦定理求解即可. 【详解】（1）已知是等边三角形，则， 且，，则，从而， 为中点，则，，且，，平面， 则平面； （2）因为，，，，平面， 所以平面，又平面，则， 不妨设， 过点作，垂足为，如图， 由平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 因为平面，从而，又平面平面， 所以为二面角的平面角， 由题意得，则， 由平面，平面，得， 则，解得， 所以，则， 则，解得， 所以，， 所以由余弦定理可得， . 8．（2026高三·全国·专题练习）“细长三角板”指的是有一个内角为的直角三角板.现有两个细长三角板，其较短的直角边长均为10cm，先按左图所示的方式放置，其中以表示两个细长三角板，，，直角顶点重合于点，两条斜边在一条直线上.保持直角顶点重合，将两条斜边平行展开，得到如图所示的四棱锥. (1)设，求证：平面； (2)是否存在四棱锥，使得底面为菱形？若存在，求此时四棱锥的高，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据条件得，，再利用线面垂直的判定定理即可证明结论； （2）假设存在符合条件的四棱锥，设其高，根据假设求出h的值，即可求解. 【详解】（1）由题意知与平行且相等，则四边形为平行四边形，所以为的中点. 又由于，，所以，， 又平面，，所以平面. （2）假设存在符合条件的四棱锥，设其高， 由（1）知平面，又因为底面是菱形，则， 又，，则，， 所以，解得， 此时四棱锥退化为一个平面图形，故不存在符合条件的四棱锥. 9．（2026高二上·北京·学业考试）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形. (1)求证：平面； (2)在直线上是否存在点，使得？说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)当点与点重合时，，理由见解析 【分析】（1）由题意得，由线面平行的判定即可求证平面； （2）由题意可得平面，由线面垂直的性质可得，所以当点与点重合时，得证. 【详解】（1）因为底面为正方形，所以. 又平面平面， 所以平面. （2）在直线上存在点，使得，证明如下： 因为底面为正方形，所以， 因为平面，所以， 又平面，平面，，所以平面. 因为平面，所以. 所以当点与点重合时，. 10．（2026·北京顺义·一模）如图，在三棱柱中，为正三角形，，平面，，是延长线上一点，且. (1)设中点为，求证：平面； (2)求直线与平面夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，通过证明得到，再利用线面平行的判定定理即可得证； （2）作平面的垂线，垂足为，易得即与平面所成的角，通过等体积求出，即可求得答案. 【详解】（1）如图，取的中点，连接， 因为中点，则，又，则， 因，则，可得，故， 又平面，而平面，故平面. （2）过点作平面的垂线，垂足为，连接， 因，则直线与平面所成的角即直线与平面所成的角，即， 因平面，，则平面，， 在中，，由余弦定理，， 则，因， 由可得，解得， 在中，，即直线与平面夹角的正弦值为. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $专题07直线、平面的平行与垂直问题 〉题型预览 题型一 线面平行的判定定理 题型二 线面平行的性质定理 题型三 面面平行的判定定理 题型四 面面平行的性质定理 题型五 线面垂直的判定定理 题型六 线面垂直的性质定理 题型七 面面垂直的判定定理 题型八 面面垂直的性质定理 > 知识清单 直线与平面平行的判定定理 文字语言 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 符号语言 ata,bCa,且ab=ala 图形语言 【注意】用该定理判断直线a和平面a平行时，必须同时具备三个条件： (l)直线a在平面a外，即ata. (2)直线b在平面a内，即bCa. (3)两直线a,b平行，即alb. 直线与平面平行的性质定理 条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平 文字语言 交 符号语言 alla,aCB,anB=b=alb B 图形语言 平面与平面平行的判定定理 文字语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 符号语言 aCB,bCB,anb=P,alla,blla=Blla a 图形语言 【注意】判定平面a与平面B平行时，必须具备两个条件： (I)平面B内两条相交直线a,b,即aCB,bCB,anb=P. 1118 (2)两条相交直线a,b都与a平行，即alla,blla. 平面与平面平行的判定方法 (1)定义法：两个平面没有公共点. (2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面. (3)转化为线线平行：平面a内的两条相交直线与平面B内的两条相交直线分别平行，则aB. (4)利用平行平面的传递性：若aB,ly,则a‖y 平面与平面平行的性质定理 文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 符号语言 allB,any=a,Bny=b=allb 图形语言 a 直线与直线垂直 (1)定义：如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直. (2)表示：直线a与直线b垂直，记作aLb. 直线与平面垂直的定义 一般地，如果直线l与平面a内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相 定义 垂直，记作1La 直线1叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面·直线与平面垂直时，它们唯一 有关概念 的公共点P叫做垂足 图示 D 画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 【注意】()定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”. (2)若1上a,cCa,则1Lc. 直线与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 符号语言 mCa,nCa,m∩n=P,1Lm,1⊥n=l⊥a 图形语言 直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 2/18 a⊥ 符号语言 b⊥a allb a b 图形语言 【注意】()直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法. (2)直线与平面垂直的性质定理揭示了空间中平行与垂直关系的内在联系，提供了垂直与平行关系转化的依据. 〉题型突破 题型一线面平行的判定定理 1.(2026高一·全国·专题练习)如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，EA=EC=2.若 M是棱BE的中点，证明：DE∥平面ACM; A 2.(2026高三·全国·专题练习)如图，在四棱台 BCD-1ABCD中，上、下底面均为正方形，M 底面ABCD 48=2,48=1,14-2,点5为楼CC的中点。 A D 不C D B AC1 求证： 平面BDE, 3.(2026高三全国·专题练习)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，E,F分别为CD,PA的中 点.证明：EF/I平面PBC: 3118 B 4.(25-26高三全国·二轮复习)如图所示，已知多面体ABCDEP的底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD, DE=AP入>0 证明： CE∥平面PB. E D B C 5.(2526高一下重庆月考)如图，在正方体8CDA8CD中，MM=2.E、F、G分别为CD、CC BB 中点. A D E B ,C ---- G F D B C (I)求三棱锥C-BEF的表面积： (2)求证：DG∥平面BEF. 6.(2026上海崇明二模)如图，在直三棱柱1C-4BG中，B=BC=V5,4C=M=2,且D,E分别是4C, AC的中点· 4/18 B DC// (1)证明： 平面ABE (2米三棱锥S~ABE】 的体积 题型二线面平行的性质定理 7.(25-26高三·北京·二轮复习)已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，PA⊥平面ABCD,ABIICD, 1 AB⊥BC, AB=BC=2CD,G是cD的中点E为pB的中点，F为PG上一点，EF/平面pAD,证明：F为 PG中点. ® B D G A,B 8.(25-26高一下全国课堂例题)如图，B是因°的直径，点C是因上异于4B的点，P为平面18C外一点， E,F分别是PA,PC的中点.记平面BEF与平面ABC的交线为l,试判断直线I与平面PAC的位置关系，并加以证 明. E 9.(25-26高三·全国·二轮复习)已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，AP=AD=4,AB=3,PA⊥平 面ABCD,若平面PAD与平面PBC的交线为I,证明：BC/IL: 5/18 A B C 10.(25-26高-下全国误后作业)如图所示，a/1a,1是“的另侧的点， B,C,D∈a AB,AC,AD ，线段 分别 交“于E,RG,卷8D=4CF=4A=5 AC= EG= ,若 ，则 E 11.(25-26高一下·全国·课堂例题)如图，己知正三棱柱（底面是正三角形，侧面是矩形的棱柱）ABC-A'B'C 中，D是AA'上的点，E是B'C'的中点，且A'EI1平面DBC'.试判断D点在AA'上的位置，并给出证明. C B 12.(25-26高三·全国·二轮复习)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，点E是棱PD上的一点， PB∥平面AEC.求证：点E是棱PD的中点. E D A C 题型三面面平行的判定定理 6/18 13.(25-26高三·北京·二轮复习)如图，正三角形ABC和平行四边形ABDE在同一个平面内，AB,DE的中点分 别为F,G.将△ABC'沿直线AB翻折到△ABC,设CE的中点为H.求证：平面CDF∥平面AGH. >E L,M,N MN与平面 OR 14.(25-26高一下·全国课后作业)如图， 分别为正方体对应棱的中点，则平面 的位置 关系是 N M- 15.(25-26高一下·全国·课后作业)在正方体 BCD-AB,CD中，如图E、R、G、H、M、N分别是相应楼的中 点.求证：平面EFG/平面HMN」 D C M H 16. (25-26高一下·全国课堂例题)如图，已知四棱柱 BCD-AB,CD,的底面为菱形. D C B ABC DAC (1)求证：平面 ∥平面： 7/18 (2)在直 CG上是否存在点P,使BP∥平面DAG? 题型四面面平行的性质定理 17.(25-26高一下·全国·课堂例题)已知P为△ABC所在平面外一点，平面α/1平面ABC,且a交线段 PA,PB,PC 于点BC,若PA:AH=23,则Sc:3c=（) C B A.2:3 B.2:5 C.4:9 D.4:25 18.(25-26高三全国·二轮复习)如图，在六面体 ABCDEF 中，侧面1DEF是直角梯形， AD⊥DE,AF∥DE DE-2AF=2,底面ABCD是矩形，且BC+CD=3.设CD=t,二面角E-AD-C的大小为O,六面体ABCDEF 的体积为V.求证：BF∥平面CDE D B 19.(25-26高三·全国·二轮复习)已知梯形PBCD中，PD1IBC,E为PD上的一点且BE⊥PD,PE=BE=1, BC=D,将△PBE沿BB翻折使得=面角P-BE-C的平面角为0：连接PCPm'F为校pD的中点求证： FCII平面PBE. 8/18 20.(25-26高一下·浙江丽水·期中)四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形，如图所示，点E是棱PD上一点， PE=子PD,若p所=A元且满足BF平面ACE·则2=一 E D B 题型五线面垂直的判定定理 21.(25-26高一下·北京朝阳·期中)如图，在正四棱柱 BCD-4BCD中，AB=l,1M=2,M是DD的中点. DD D A B M DA B BD/ (1)求证： 平面AMC (2)证明： AC上平面 BDD B 2.(2026高-广东专题练习)已知直三棱挂4BC-4BC满是∠B1C-90,4B=4C-号4M-2,点M,N 分别为A'B,B'C的中点 9/18 M A (I)求证：MN/平面AACC': 2)求证：AW1、 BCN 平面 (3)求三棱锥C-MNB的体积. 23.(2026高三·全国·专题练习)在平行四边形ABCD中（图1），AB=2BC=2,M为AB的中点，将等边 △ADM沿DM 折起，连接 AB,AC AC=2 ,且 (图2).求证： CM上平面 ADM M B 图1 图2 24.(25-26高三北京二轮复习)如图，PB是圆 O0的母线，四边形1BCD E,F 是底面内接正方形点’是棱 BC,CD E,F 上的动点（不与端点重合），且 CE=DF 证明：AB上平面斤 PBF ·O D B C 25.(25-26高三下·重庆·月考)在如图的空间几何体CABMN中，∠ACB=90°，BC=AC,四边形ABMN为直 角梯形， ABMN∠MBA=90°，BM=1,AB=4,MN=2,CM=V7,D为BC的中点. 10/18 >B (I)证明：DM∥平面ACV: (2)证明：BM⊥平面CMN: 题型六线面垂直的性质定理 26.(2026高三·全国·专题练习)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°， PA⊥平面ABCD,点E是棱PB的中点.求证：AB⊥CE. 27.2526高-下全回课后作业)如图1.在锌形A6C0D中，ADBC,极=C-D,E为1D中点，0 是4C与BE的交点，将△ABE沿E翻折到图2中△4BE A-BCDE CD⊥AC 的位置得到四棱锥 .求证： A(A) D O B 图1 图2 28.(25-26高一下·北京朝阳·期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形， PA=AB=2 AD=2V3 3;点E在线段PD上，且PE=1 11/18 D (1)设平面PBC∩平面PAD=I,证明：BC1II; (2)证明：AE⊥PC; (3)线段CA上是否存在点M,使得EMII平面PBC?若存在，请证明，并求出AM的长；若不存在，请说明理由. 29.(25-26高一下·全国·课堂例题)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面 PD,4D=ARE是PD的中点， ,V分别在服C上，且NL8,MN1C.则45与的位置关系为 M,N D B 题型七面面垂直的判定定理 30.(2026高三·全国·专题练习)如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60°，AB=PC=2, PA=PB=√2 证明：平面PAB上平面 ABCD B D C 3L.(2026高三·全国专题练习)如图，在四棱锥P-ABCD中，∠APB=∠ADC=90°，AP=2,BP=2W5 AD=4 BC=CD=43 PC=2v15 5,求证：平面PAB上平面ABCD: 12/18 32.(2026高三·全国·专题练习)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥CD,AD11BC,∠ADC=∠PAB=90°， B (I)在平面PAD内找一点M,使得直线CM/1平面PAB,并说明理由： (2)证明：平面PAB⊥平面PBD. 33.(25-26高三北京·二轮复习)在△ABC中，∠C=90°，BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点， 满足DEBC,且D=2将△ADE沿DE折起到△4DE的位置，使4C1CD,如图所示求证：平面4CB上平面 BCDE 题型八面面垂直的性质定理 34.(25-26高三北京二轮复习)如图，在四棱锥P-ABCD中，MB=BC=2,B⊥BC,4C1CD,CD=V2 PB=PC,平面PBC⊥平面ABCD,求证：AB⊥PC. 13/18 35.(25-26高三下·上海浦东新期中)如图，在多面体PQABCD中，平面P1D1 AB/ICD//PO 平面ABCD, PD1CD'△PAD是边长为V5的等边三角形，AB=P0=CD 2 D B (I)求证：AB⊥平面PAD: π (2)若PC与平面ABCD所成的角为6，求多面体PQABCD的体积. 36.(25-26高三全国二轮复习)如图，四边形BCD是菱形，平面PaC+平面ABCD,PA0D 且 PA=AD=2QD=2,M为PC的中点.证明：M0⊥PA; D 37.(25-26高三·全国·二轮复习)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，且AD=BD, 平面PADL平面ABCD,PA=PD=V5,E是BC的中点，点P在侧棱PC上，PO=PC,求证：直线DE上平 面PAD; 14/18 38.(25-26高三·全国·二轮复习)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，AB⊥PB,平面PAC⊥ 平面ABCD.求证：PC⊥平面ABCD: D 1.(25.26高一下福建龙岩期中)已知，b是两条不同的直线，“，B是两个不同的平面，则下列说法正确的 是() A.若a/1a.al/b blla ,则 B.若a/a,acB anp=b 则% C.若ah,bca,则a/1a D.若a/a,bca,则alb 2.(25-26高一下·全国·课堂例题)在长方体ABCD-A'BCD'中，下列结论正确的是() A.平面ABCD//平面ABB'A B.平面ABCD/I平面ADD'A ABCD/ CDD'C ABCD/ A'B'C'D' C.平面 平面 D.平面 ”平面 3.（2526高一下福建龙岩期中)如图，在正方体4BCD-ACD中，E,BP分别为楼DC,8S,4的 中点 D E A B P D 夕 (I)求证：D,B,F,E四点共面. ABD∥ ABCD= (2)设平面 ”平面 ，求证：BDM 15/18 AM (3)棱AD上是否存在一点M,使PM∥平面DBFE?若存在，求MD的值；若不存在，请说明理由. 4.(25-26高一下·浙江丽水·期中)如图，在直三棱柱 BC-ABG中，AC=CB=CG=2,点E为4B的中点. B B AC∥ BCE (1)求证： 平面 (2)若∠ACB=2 ,求三棱锥E-CBB,的体积. 5.(25-26高一下·北京朝阳·月考)如图，在正方体 BCD-AB,CD中，点G,E,FP分别为棱 1,DG,BC,H的中点，点M是棱4B上的一点，且 M=3AM D E C B D D,G// (1)求证： 平面DBFE 2已知点V是棱48上的一点， 且N=3AN,求证：平面PM/平面DBFE POABCD ”中，平面PD上平面 ABCD ABIICDIIPO 6.(25-26高三下·上海浦东新·期中)如图，在多面体 PDICD:APAD是边长为5的等边三角形，AB=PQ-CD 16/18 ,‘D (I)求证：AB⊥平面PAD: (2)若PC与平面ABCD所成的角为6，求三棱锥C-PQA的体积. 7.(2026高三·全国·专题练习)在三棱锥P-ABC中，△ABC是等边三角形，∠PAB=∠PAC=Q,E为BC中点. A-- (1)证明：BC⊥平面PAE: 6 (2)若BP⊥AE,二面角A-PC-B的余弦值为6，求cosa, 8.(2026高三·全国专题练习)“细长三角板”指的是有一个内角为30°的直角三角板现有两个细长三角板，其 △PAB,△PCD 较短的直角边长均为l0cm,先按左图所示的方式放置，其中以 表示两个细长三角板， PA=PC=10cm∠PBA=∠PDC=30° 直角顶点重合于点P,两条斜边 B.CD 在一条直线上保持直角顶点重 AB,CD P-ABCD 合，将两条斜边 平行展开，得到如图所示的四棱锥 D A D D (I)设AC∩BD=O,求证：PO⊥平面ABCD; (2)是否存在四棱锥P-ABCD,使得底面ABCD为菱形？若存在，求此时四棱锥的高，若不存在，请说明理由. 9.(2026高二上北京学业考试)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形. 17/18 D (I)求证：BC1I平面PAD: BC Q AD⊥PQ (2)在直线上是否存在点，使得 ？说明理由. 10.(2026北京顺义一模)如图，在三棱柱 1BC-ABC中，△M8C为正三角形，4B=2CG 平面ABC CC=V5,D是CB延长线上一点，且DB=BC A B, C )设AC中点为E,求证： C,E ABD ”平面 2)求直线8G与平面M8D 角的正弦值。 18/18