专题4.5 立体几何中的动点、截面、翻折问题6大题型（期中复习讲义）高一数学下学期人教A版

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题4.5立体几何中的动点、截面、翻折问题（期中复习讲 义) 内容导航 明期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破。重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01球的截面 题型02方体的截面 题型03动点中的平行与垂直 题型04轨迹问题 题型05路径最值问题 题型06翻折问题 过.分层哥验收 阶梯实战演练，验收复习成效 明·期中考情 核心考点 复习目标 考情规律 截面问题 掌握作截面的基本方法：延长交线找交点， 中等难度，常在选择题或填空题出现，考查 连接交点得截线；能根据截面形状判断与 空间想象和作图能力，关键是确定截面与棱 几何体的交线；会计算截面面积或周长 的交点位置 动点中的平行与 能根据动点满足的平行或垂直条件，利用 综合题型，常在解答题第二问出现，需结合 垂直关系 几何性质或坐标法建立方程；会判断动点 判定定理与代数运算，注意动点位置变化时 在运动过程中是否保持平行或垂直关系 条件的转化 动点中的轨迹问 分析动点满足的几何约束（到定点距离相 难度较高，常在压轴题中出现，需综合运用 题 等、与定线成定角、满足平行或垂直关系 空间想象与解析几何思想，轨迹多为直线段、 等)，转化为轨迹形状（线段、圆、圆弧、 圆或圆锥曲线的一部分 平面区域等) 路径的最值问题 将空间路径最值转化为平面展开图中的 高频考点，常以选择题形式考查，核心思想 1/52 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 线段最短问题（如蚂蚁爬行）；或利用几 是“空间问题平面化”，通过展开或投影将空 何性质确定路径的临界位置（如点到直线 间路径转化为平面距离 垂线段最短) 翻折问题 理解翻折前后变量与不变量的关系：折痕 综合性强，常在解答题中出现，需分清翻折 位置不变、折痕垂直平分对应点连线；掌 前后哪些量变化、哪些量不变，利用不变关 握翻折后几何体中的平行、垂直、角度、 系建立方程求解 距离的计算 记·必备知识 受知识点1截面问题 1、球的截面 0 (1)平面与球相交，截面的性质主要有两点：①球的任何截面是圆：②球心和截面（不过球心）圆心的连 线垂直于截面； (2)这里通常考察角度问题、截面面积、周长等。解决问题核心是构建直角三角形，这样球心到截面的距 离、截面圆的半径、球的半径三种之间可以用勾股定理表示出来。 2、正方体的截面 (1)正方体的截面存在以下几种情况：三角形（等边三角形、等腰三角形）、四边形（正 方形、矩形、梯形、平行四边形)、五边形、六边形（正方体过各棱中点截得的六边形是面 积最大的截面) 。 三角形 四边形 五边形 六边形 (2)作截面的方法 1、三点定面法：己知三个不共线的点（多位于棱上），连接其中两点得线段，再延长与棱或面相交，逐步 确定截面与各面的交线。 2、平行线法：利用线面平行或面面平行性质，作己知线的平行线，确定截面与对应面的交线。 2/52 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3、延长交棱法：将截面多边形的一边延长，与几何体的棱或面相交，得到新交点，再连接其他己知点。 局知识点2动点中的平行与垂直关系 1、由动点保存平行 (1)转化为“确定平面”：若要证明或找到一点P使AP//平面《，一个有效思路是构造一个包含AP 且与平行的平面B。那么P必须位于平面B与己知几何体（如棱、面）的交线上。 (2)转化为“线线平行”：利用公理4（平行传递性）或中位线定理。例如，要在线段上找点P使 AP//平面α，可尝试在平面内找一条与AP平行的固定直线，从而将线面平行转化为线线平行，P的 位置由这组平行线决定。 2、由动点保存垂直关系 (1)转化为“线面垂直”：a1b且aLc,bnc=O→a上平面(b,C。这是将分散的线线 垂直集中到一个平面（垂面)上的强大工具。要确定一点使某线垂直于一个平面，常需该线同时垂直于平 面内两条相交直线，这往往能给出两个约束条件。 (2)转化为“三垂线定理及其逆定理”：这是处理斜线在平面上投影垂直问题的利器。如果问题涉及“斜 线”与“面内直线”垂直，立即考虑三垂线定理。这常常能将一个空间垂直问题，转化为平面内的垂直问 题。 (3)转化为“平面垂直的判定”：若要证平面α1平面B需在α内找一条线垂直于B。这有时能引导我 们去寻找或构造这条关键的垂线，而这条线的端点可能就是动点。 局知识点3动点中的轨迹问题 1、根据题月中“动点满足的几何条件”（如到定点距离为定值、到两定点距离相等、与定直线/定平面成定角 等)，判断轨迹形状： 到定点距离为定值→球面。 到两定点距离相等→中垂面。 到定直线距离为定值→圆柱侧面。 到定平面距离为定值→一对平行平面。 与定点连线垂直于定直线→过定点且垂直于定直线的平面。 与定直线/定平面成定角→圆锥侧面 2、轨迹常被限制在几何体（如多面体）的面、棱、内部，因此最终答案往往是完整轨迹与几何体的交集（如 球面的一部分、圆弧、线段等)。 局知识点04最值与范围问题 将变化的几何量（长度、角度、面积、体积）表示为某个变量的函数，然后通过代数或几何方法求其最值 3/52 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 或范围。 1、函数法：将变化的几何量（长度、角度、面积、体积）表示为某个变量的函数，然后通过代数或几何方 法求其最值或范围。 2、几何直观法（利用几何性质直接判断） 两点之间线段最短、点到直线垂线段最短、点到平面垂线段最短。 直线与平面平行时，直线上各点到平面的距离相等。 球面上两点间的最短路径是过大圆的劣弧。 展开图法：将立体图形表面展开为平面，化曲为直求最短路径。 局知识点5翻折问题 弄清翻折前后不变与变化的地方：翻折后还在同一个平面的性质不变，不在同一个平面上的性质可能发生 变化。 1、折痕垂直性：翻折时，折痕（棱）垂直于翻折前后对应点连线的平面（即对应点的中垂面）。 2、共面关系：翻折前共线的点，翻折后不一定共线；但翻折前在同一个平面内的点，翻折后仍在同一个平 面内（该平面绕折痕旋转）。 3、长度与角度不变：翻折过程中，两点间距离、线段长度、直线与折痕的夹角均保持不变（刚性翻折）。 破·重难题型 它题型一 球的截面 解|题|技|巧 截面的性质主要有两点：①球的任何截面是圆；②球心和截面（不过球心）圆心的连线垂直于截面： 关键在于求球心到截面的距离、截面圆的半径、球的半径。 【典例1】(2026高一全国.专题练习)在三棱锥A-BCD中，已知AB=BC=CD=AD=2√2， ∠ABC=∠ADC=,平面ABC1平面ACD,且三棱锥A-BCD的所有顶点都在球O的球面上，E、F分 别在线段OB、CD上运动（端点除外），BE=√2CF,当三棱锥E-ACF的体积最大时，过点F作球O的 截面，则截面面积的最小值为 【答案】子 【分析】取AC的中点O,得到O为外接球的球心，且R=2,设CF=x,求得三棱锥E-ACF的体积为 之+得到取得最大值专在△O中，利用余弦定理，求得0的值，合球的我 3r- 4/52 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 的性质，得到截面圆的半径为r,结合圆的面积公式，即可求解 【详解】如图所示，取AC的中点O,连接OF,0B, 1 因为∠ABC=∠ADC),所以OA=OB=0C=OD=AC,即O为外接球的求心 2 可得球0的半径为R=2, 又因为AB=BC,所以OB⊥AC, 因为平面ABC⊥平面ACD,平面ABC∩平面ACD=AC,且OBc平面ACB,所以OB⊥平面ACD 设CF=x,则BE=√2x<2,所以0<x<V2, 所以三棱锥E-ACP的体积为：V=Sm0E-××CF×4DxOi 32 2w5-2=wx-f=-9+写 32 3 2 当x=巨时，y取得最大值号 因为0A=0B=0C=0D, 在aC0F，由余弦定为0=V0c+CF-20 C.CFo乙1CF-4+片-2x2xx-0 X 22 根据球的性质得，当OF垂直于截面时，截面圆的面积最小，此时截面圆的半径为”， 2 所以截面圆的面积的最小值为S=2=π(6？=3元 3 2 B 【典例2】(2026贵州模拟预测)一个球被平面截下的一部分（不大于半球的部分）叫作球缺，截面叫作 球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫作球缺的高，球缺的体积公式为=3R-,其中为 球的半径，为球缺的高，则棱长为3的正四面体的一个侧面截其外接球所得的球缺的体积为 【答案】7v6π 8 5/52 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【分析】先根据正四面体的性质求出外接球的半径，球缺的高，代入公式可得答案 【详解】如图，记正四面体PABC外接球的球心为O,半径为R,ABC外接圆的圆心为O °，00=6 因为0，C=5,所以P0,=V6,所以(P0,-R2+OC2=R',得R=36 °h=R-00= 2 所以球缺的体积/-3R-Ar=×9y656-7V6 3421 2 8 故答案为： 7v6π 8 【变式1】(2025高二上海·专题练习)一个球内有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49元cm2 和400元cm2,则球的表面积为 cm2. 【答案】2500m 【分析】对截面的位置分类讨论，利用勾股定理求解球的半径，再求解表面积即可 【详解】当截面在球心的同侧时，如图所示为球的轴截面，由球的截面性质知AO,BO2, B 且O,Q为两截面圆的圆心，则00，⊥AO,O021B02. 设球的半径为Rcm,:πO,B2=49π，.O,B=7cm. π·01A2=400π，.0A=20cm. 设O0=xcm,则002=(x+9)cm, 在Rt△0,0A中，R2=x2+202,记为①式， 在Rt△O0,B中，R2=72+(x+9)2,记为②式， 联立①②可得x=15,R=25. .S球=4πR2=2500πcm2),故球的表面积为2500πcm2. 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 当截面在球心的两侧时，如图所示为球的轴截面， B 由球的截面性质知，OA/O2B,且O,O分别为两截面圆的圆心， 则OO⊥OA,OO2⊥O,B.设球的半径为Rcm, :元·0，B2=49元，∴.0，B=7cm. π·0，A2=400π，.01A=20cm. 设O,0=xcm,则002=(9-x)cm. 在Rt△00，A中，R2=x2+400.在Rt△00，B中，R2=(9-x)2+49. x2+400=(9-x)2+49,解得x=-15,不合题意，舍去. 综上所述，球的表面积为2500πcm2. 故答案为：2500元 【变式2】(2026黑龙江齐齐哈尔一模)已知正三棱柱ABC-A,B,C的各棱长均为2√5，D,E分别为棱 AB,AA,的中点，经过DE作该三棱柱外接球的截面，则截面面积的最小值为 【答)贺 【分析】因为已知正三棱柱各棱长，所以可先确定底面正三角形外接圆的圆心，结合正三棱柱的高确定外 接球的球心位置，再计算球心到DE的距离.因为截面面积最小的情况是截面与球心和截面圆的圆心的连线 垂直，此时截面圆的半径最小，所以求出球心到DE的距离，利用勾股定理计算最小截面圆的半径，即可求 得答案 【详解】正三棱柱ABC-A,B,C,的外接球的球心0为上下底面的外接圆圆心的连线O,O,的中点，连接 A02,A0,0D,0E, 7/52 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 125 =2 老球的半径为R,A8C为正三角形，其外接圆半径为2 则下底面外接圆的半径为，r=AO2=2, 在Rta00A中，02=(A0,+(00,2,则R2=2+3=7, 在0nEt,oe=2,00-ao+ooF-25--2 DE=AE2+AD2=5+(5=6, 作OF⊥DE于F,由于OE=OD,则F为DE的中点， 则过DE的平面垂直OF时截面圆的面积最小， 则0F2=0D2-DF2=2 图的半径为-0--3 3√2 所以截面圆的面积最小值为元 9元 2 题型二方体的截面 答|题|模板 对于需要补全截面，根据两个原则，1、延长相交2、做平行线 【典例1】(25-26高二上广东汕尾期末)在长方体ABCD-A,B,C,D,中，AB=AD=2,AA=4,现有一个 动平面a,且aI/A,BD,当平面α截此长方体所得截面边数最多时，截面的周长为() A.4V5+2√2B.4V2+2V5 C.4V5+42 D.25+2V2 【答案】A 【分析】由面面平行得出线面平行，设出比例，根据相似表示出边长，最后求得周长 【详解】如图，截面EFGHIJ,由于aI1A,BD, EF /1A B//IH,EJ//BD//GH,FG//A D//JI, 8/52 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 剧=4g- 、EF_BE=1-入， 设4E=入，则BDAB”ABAB AB FG BG FB AE GH GC EFB,EFBB,E1-元'BDBG 则EJ=2√2，EF=JⅡ=2V51-2),FG=H1=2V5元，GH=2V21-), 则周长为45+2√2， 故选：A A B D B 【典例2】(2026重庆九龙坡.一模)已知正方体ABCD-A,B,C,D,棱长为1，过点B,D,的平面截正方体所 得截面为菱形时，该截面的面积为() A.6 B. C.√2 D.6 4 【答案】A 【分析】取AA,的中点E,CC,的中点F,得到BED,F为菱形，故有过点B,D,的平面截正方体所得截面为 菱形的截面是菱形BED,F,根据题意求出BD,的长度，取DD,的中点H,连接EH,FH,EF,根据勾股定理 求出EF的长皮，故菱形B5D,F的面积为EF,BD,代入数值得解 【详解】取AA,的中点E,CC的中点F,连接ED,DF,FB,BE, 取BB,的中点G,连接GE,GF,取DD的中点H,连接EH,FH,EF, E,H,F,G分别是AA,DD,CC,BB的中点，EHFG是正方形， EG/IHF且EG=HF,D,C,IIHF且D,C=HF, .EG/ID,C且EG=D,C,EGC,D,为平行四边形，.GC,IIED,且GC1=ED, 而GC,IIBF且GC,=BF,则BF I/ED,BF=ED,,∴.BFD,E为平行四边形， BE1/FD,:BE,R,D,四点共面，又BE=BF=5,÷BED,F为菱形， 2 BDC平面BEDF, 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :过点B,D的平面截正方体所得截面为菱形的截面是菱形BEDF, BD,=V3,EH=l,FH=1,则EF=√EH2+FH2=+I=√2， 故菱形BED,F的面积为)EF,BD,=)×2x5= 1 2 2 故选：A D A H B D 【变式1】(2025高三·全国.专题练习)如图，在单位正方体ABCD-A,B,CD,中，任作平面a与对角线 AC,垂直，使平面Q与正方体六条棱都有公共点，记截面PORSWE的面积为S,截面周长为L,则() 0 E A.S为定值，L为定值 B.S为定值，L不为定值 C.S不为定值，L不为定值 D.S不为定值，L为定值 【答案】D 【分析】根据题意易知截面面积是变动的，可证得周长为定值 【详解】由正方体的性质可知S最小时为正44BD面积，面积为5 S最大时为中截面，面积为3 4 L为定值是正△A,BD的周长（如图29），理由如下， 10/52品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题4.5立体几何中的动点、截面、翻折问题（期中复习讲 义) 内容导航 明期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破。重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01球的截面 题型02方体的截面 题型03动点中的平行与垂直 题型04轨迹问题 题型05路径最值问题 题型06翻折问题 过.分层哥验收 阶梯实战演练，验收复习成效 明·期中考情 核心考点 复习目标 考情规律 截面问题 掌握作截面的基本方法：延长交线找交点， 中等难度，常在选择题或填空题出现，考查 连接交点得截线；能根据截面形状判断与 空间想象和作图能力，关键是确定截面与棱 几何体的交线；会计算截面面积或周长 的交点位置 动点中的平行与 能根据动点满足的平行或垂直条件，利用 综合题型，常在解答题第二问出现，需结合 垂直关系 几何性质或坐标法建立方程；会判断动点 判定定理与代数运算，注意动点位置变化时 在运动过程中是否保持平行或垂直关系 条件的转化 动点中的轨迹问 分析动点满足的几何约束（到定点距离相 难度较高，常在压轴题中出现，需综合运用 题 等、与定线成定角、满足平行或垂直关系 空间想象与解析几何思想，轨迹多为直线段、 等)，转化为轨迹形状（线段、圆、圆弧、 圆或圆锥曲线的一部分 平面区域等) 路径的最值问题 将空间路径最值转化为平面展开图中的 高频考点，常以选择题形式考查，核心思想 1/17 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 线段最短问题（如蚂蚁爬行）；或利用几 是“空间问题平面化”，通过展开或投影将空 何性质确定路径的临界位置（如点到直线 间路径转化为平面距离 垂线段最短) 翻折问题 理解翻折前后变量与不变量的关系：折痕 综合性强，常在解答题中出现，需分清翻折 位置不变、折痕垂直平分对应点连线；掌 前后哪些量变化、哪些量不变，利用不变关 握翻折后几何体中的平行、垂直、角度、 系建立方程求解 距离的计算 记·必备知识 受知识点1截面问题 1、球的截面 0 (1)平面与球相交，截面的性质主要有两点：①球的任何截面是圆：②球心和截面（不过球心）圆心的连 线垂直于截面； (2)这里通常考察角度问题、截面面积、周长等。解决问题核心是构建直角三角形，这样球心到截面的距 离、截面圆的半径、球的半径三种之间可以用勾股定理表示出来。 2、正方体的截面 (1)正方体的截面存在以下几种情况：三角形（等边三角形、等腰三角形）、四边形（正 方形、矩形、梯形、平行四边形)、五边形、六边形（正方体过各棱中点截得的六边形是面 积最大的截面) 。 三角形 四边形 五边形 六边形 (2)作截面的方法 1、三点定面法：己知三个不共线的点（多位于棱上），连接其中两点得线段，再延长与棱或面相交，逐步 确定截面与各面的交线。 2、平行线法：利用线面平行或面面平行性质，作己知线的平行线，确定截面与对应面的交线。 2/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3、延长交棱法：将截面多边形的一边延长，与几何体的棱或面相交，得到新交点，再连接其他己知点。 局知识点2动点中的平行与垂直关系 1、由动点保存平行 (1)转化为“确定平面”：若要证明或找到一点P使AP//平面《，一个有效思路是构造一个包含AP 且与平行的平面B。那么P必须位于平面B与己知几何体（如棱、面）的交线上。 (2)转化为“线线平行”：利用公理4（平行传递性）或中位线定理。例如，要在线段上找点P使 AP//平面α，可尝试在平面内找一条与AP平行的固定直线，从而将线面平行转化为线线平行，P的 位置由这组平行线决定。 2、由动点保存垂直关系 (1)转化为“线面垂直”：a1b且aLc,bnc=O→a上平面(b,C。这是将分散的线线 垂直集中到一个平面（垂面)上的强大工具。要确定一点使某线垂直于一个平面，常需该线同时垂直于平 面内两条相交直线，这往往能给出两个约束条件。 (2)转化为“三垂线定理及其逆定理”：这是处理斜线在平面上投影垂直问题的利器。如果问题涉及“斜 线”与“面内直线”垂直，立即考虑三垂线定理。这常常能将一个空间垂直问题，转化为平面内的垂直问 题。 (3)转化为“平面垂直的判定”：若要证平面α1平面B需在α内找一条线垂直于B。这有时能引导我 们去寻找或构造这条关键的垂线，而这条线的端点可能就是动点。 局知识点3动点中的轨迹问题 1、根据题月中“动点满足的几何条件”（如到定点距离为定值、到两定点距离相等、与定直线/定平面成定角 等)，判断轨迹形状： 到定点距离为定值→球面。 到两定点距离相等→中垂面。 到定直线距离为定值→圆柱侧面。 到定平面距离为定值→一对平行平面。 与定点连线垂直于定直线→过定点且垂直于定直线的平面。 与定直线/定平面成定角→圆锥侧面 2、轨迹常被限制在几何体（如多面体）的面、棱、内部，因此最终答案往往是完整轨迹与几何体的交集（如 球面的一部分、圆弧、线段等)。 局知识点04最值与范围问题 将变化的几何量（长度、角度、面积、体积）表示为某个变量的函数，然后通过代数或几何方法求其最值 3/17 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 或范围。 1、函数法：将变化的几何量（长度、角度、面积、体积）表示为某个变量的函数，然后通过代数或几何方 法求其最值或范围。 2、几何直观法（利用几何性质直接判断） 两点之间线段最短、点到直线垂线段最短、点到平面垂线段最短。 直线与平面平行时，直线上各点到平面的距离相等。 球面上两点间的最短路径是过大圆的劣弧。 展开图法：将立体图形表面展开为平面，化曲为直求最短路径。 局知识点5翻折问题 弄清翻折前后不变与变化的地方：翻折后还在同一个平面的性质不变，不在同一个平面上的性质可能发生 变化。 1、折痕垂直性：翻折时，折痕（棱）垂直于翻折前后对应点连线的平面（即对应点的中垂面）。 2、共面关系：翻折前共线的点，翻折后不一定共线；但翻折前在同一个平面内的点，翻折后仍在同一个平 面内（该平面绕折痕旋转）。 3、长度与角度不变：翻折过程中，两点间距离、线段长度、直线与折痕的夹角均保持不变（刚性翻折）。 破·重难题型 它题型一 球的截面 解|题|技|巧 截面的性质主要有两点：①球的任何截面是圆；②球心和截面（不过球心）圆心的连线垂直于截面： 关键在于求球心到截面的距离、截面圆的半径、球的半径。 【典例1】(2026高一全国.专题练习)在三棱锥A-BCD中，已知AB=BC=CD=AD=2√2， ∠ABC=∠ADC=,平面ABC1平面ACD,且三棱锥A-BCD的所有顶点都在球O的球面上，E、F分 别在线段OB、CD上运动（端点除外），BE=√2CF,当三棱锥E-ACF的体积最大时，过点F作球O的 截面，则截面面积的最小值为 【典例2】(2026贵州·模拟预测)一个球被平面截下的一部分（不大于半球的部分）叫作球缺，截面叫作 球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫作球缺的高，球缺的休积公式为V=子6R-h,其中R为 球的半径，为球缺的高，则棱长为3的正四面体的一个侧面截其外接球所得的球缺的体积为 4/17 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式1】(2025高二·上海.专题练习)一个球内有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49元cm2 和400元cm2,则球的表面积为 cm2 【变式2】(2026黑龙江齐齐哈尔一模)己知正三棱柱ABC-A,B,C的各棱长均为23，D,E分别为棱 AB,AA,的中点，经过DE作该三棱柱外接球的截面，则截面面积的最小值为 它题型二方体的截面 答|题模|板 对于需要补全截面，根据两个原则，1、延长相交2、做平行线 【典例1】(25-26高二上广东汕尾·期末)在长方体ABCD-A,B,C,D,中，AB=AD=2,AA,=4,现有一个 动平面a,且a/1A,BD,当平面a截此长方体所得截面边数最多时，截面的周长为() A.45+2√5B.4V2+2V5 C.45+42 D.25+22 【典例2】(2026重庆九龙坡一模)已知正方体ABCD-A,B,C,D,棱长为1，过点B,D,的平面截正方体所 得截面为菱形时，该截面的面积为() A.6 B. C.2 D.6 2 【变式1】(2025高三·全国.专题练习)如图，在单位正方体ABCD-A,B,C,D,中，任作平面α与对角线 AC垂直，使平面α与正方体六条棱都有公共点，记截面PORSWE的面积为S,截面周长为L,则() D B C B A.S为定值，L为定值 B.S为定值，L不为定值 C.S不为定值，L不为定值 D.S不为定值，L为定值 【变式2】(2026高三·全国.专题练习)如图，已知正方体ABCD-ABC,D,的棱长为2，E,F,G分别 为AD,AB,B,C的中点，过点E,F,G作正方体的截面，所得截面的面积是 5/17 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D C A B 亚题型三 动点中的平行与垂直 答|题模|板 1、平行关系：利用线线平行、线面平行、面面平行三者之间的关系来找动点的位置 2、垂直关系：利用线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的关系来找动点的位置 【典例1】（多选）(25-26高一下·全国单元测试)在正方体ABCD-A,B,C,D,中，E,F分别是线段AB, ,BC上与端点不重合的动点，A,E=B,F,有下面四个结论，其中正确的是() A.EF⊥AA B.EF∥AC C.EF与AC异面 D.EF‖平面ABCD 【典例2】（多选）(2026江西一模)在直三棱柱ABC-A,B,C,中，∠ACB=90°，AC=BC=CC,E为 CC,的中点，F为线段AB,上的动点，下列结论正确的是() A.AB,I∥BE B.AC,⊥平面A,BC C.平面BFC⊥平面ACC,A1 D.存在点F,使得CF∥平面ABE 【变式1】（多选）(2026陕西咸阳·二模)如图所示，在正方体ABCD-A,B,C,D,中，点E是棱CC上的一 个动点（不包括端点），平面BED,交棱A4,于点F,则下列说法正确的是() D C E A B D C 6/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.存在点E,使得∠D,FB为直角 B.对于任意点E,都有直线AC∥平面BED,F C.对于任意点E,都有平面AB,C⊥平面BED,F D.三棱锥B,-BDF的体积为定值 D C A 对于C,连接AB,AC,B,C,BD, B 由AB⊥平面BCCB,B,CC平面BCCB,得AB⊥B,C, 由BCC,B,为正方形，易知BC,⊥B,C, 因为ABBC,=B,AB,BCC平面ABC,D1,.B,C⊥平面ABCD,, :BD,C平面ABC,D,B,C⊥BD1,同理可证AB,⊥BD, AB,OB,C=B,AB,B,CC平面ABC, .BD⊥平面AB,C,又BD,C平面BED,F, ·平面AB,C⊥平面BED,F,故C正确； D B 对于D,AA,∥BB,AA,文平面BBD,BB,C平面BBD, .AA∥平面BBD, 所以点F到平面BBD的距离为定值，又△BB,D,的面积为定值， ·三棱锥F-BB,D,的体积为定值， 故三棱锥B,-BD,F的体积为定值，D正确. 7/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式2】（多选)（25-26高三下·安徽阜阳·开学考试)如图，在正方体ABCD-A,B,C,D中，动点E在线 段AC上，则() D B B A.直线AC,与BC所成的角大于50° B.对任意的点E,都有BD⊥平面ACE C.存在点E,使得平面ABE/I平面CCDD D.不存在点E,使得平面ABE⊥平面CDE 立题型四 轨迹问题 答|题模板 分析动点满足的几何条件，联想基本轨迹模型，再与给定几何体取交线，得出最终轨迹图形。 【典例1】(25-26高三上·云南普洱·期末)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A,B,CD,中，E是AB的中 点，动点P在正方体内部或表面上，若PB,∥平面DEC,则动点P的轨迹所形成的区域面积为() D C ⊙ E B A.4 B. 9 2 C.6 D.21 【典例2】(25-26高二上·广东广州期中)如图，已知长方体ABCD-AB,CD,AD=AA=2,AB=3,E,F 分别是棱AA,A,D,的中点，点P为底面四边形ABCD内（包括边界）的一动点，若直线D,P与平面BEF无 公共点，则点P的轨迹长度为 8/17 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B P A B 【变式1】(2026湖北黄冈·二模)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A,B,CD,中，P为棱BB,的中点，Q 为正方体ABCD-A,B,C,D,表面上的一动点（含边界），则下列说法中正确的是() D A B D B A.三棱锥P-AD,D外接球的表面积为41m 16 B.若DQ/1平面APD,则动点Q的轨迹是一条线段 C.若PDL平面APD,则动点O的轨迹的长度为5 D.若D,0=V5，则动点Q的轨迹长度为 2 【变式2】（多选）(2026高三·全国.专题练习)设正方体ABCD-AB,CD,的棱长为1，点E是棱AB,的 中点，点M在正方体的表面上运动，则下列命题正确的是() 0 M D以---- B A.如果AM上BD,则点M的轨迹所围成图形的面积为 2 B.如果B,M1/平面AEC,则点M的轨迹所围成图形的周长为35 C.如果EM/平面DB,BD,则点M的轨迹所围成图形的周长为2+√2 D.如果EM1BD,则点M的轨迹所围成图形的面积为35 4 9/17 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 它题型五 路径最值问题 答|题模板 展开图法：将立体图形表面展开为平面，化立体图形为平面图形，然后利用将军饮马求最短路径。 【典例1】(2026广东广州一模)在正三棱柱ABC-A,B,C,中，AB=2,AA=1,点D是平面ABC上的动 点，则4D+巨CD的最小值是《) 2 A.5② B.3V2 C. D.3V3 4 2 4 2 【典例2】(25-26高三上安徽月考)在棱长为2的正方体ABCD-AB,C,D,中，点P为线段B,C上的一个 动点，则PA+PC,的最小值为 【变式1】（多选）(25-26高二上·广东深圳期末)在棱长为2的正方体ABCD-A,B,C,D,中，点P满足 DP=DC+uDD(2∈[0,1，u∈[0，)，则下列结论正确的是(） D B A.当1=1时，对于任意∈[0,，三棱锥B-ABP的体积是定值 B,当2=号时，平面48P袋正方体所行的截面的面积为} 心若入且正瓜，则当PA+PE取符最小值时， 1 D.若入=bμ=写则三棱锥C-48,P外接球表面积为88 9 【变式2】(2027高三全国专题练习)如图，在正方体ABCD-A,B,CD,中，E,F分别是棱BC,CC的 中点，点P在正方形ABB,A内，若AB=2,AP平面AEF,则DP的最小值是 10/17