10.1分式的概念 分层讲义2025-2026学年苏科版数学八年级下册

从“整式”到“分式”——探索有理式的新大陆 ——苏科版数学八年级下册 第10章第1节《分式的概念》分层讲义 1、 知识导航 1. 分式的概念 一般地，如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子叫做分式。其中 A 是分式的分子，B 是分式的分母。 【核心要点】 【特别提醒】 判断一个式子是否为分式，应看其初始形式，不要先化简。例如：(x²)/x 看初始形式是分式，不要化简为 x 后再判断。 2. 分式有意义的条件 分有意义 等价于 分母 B ≠ 0。 分式无意义 等价于 分母 B = 0。 3. 分式的值为零的条件 分式的值为 0 等价于 分子 A = 0 且 分母 B ≠ 0。 注意：必须先保证分母不等于零，再令分子等于零，两者缺一不可！ ()整式：分母中不含字母的代数式（如 3x、x²+1、-7a） 分式：分母中含有字母的代数式（如 、） ()整式和分式统称为有理式 二、新知讲授 题型一：识别分式——练就“火眼金睛” 解法口诀：一看形式，二看分母是否有字母，三看初始态，切勿先化简！ ◆ 例题 1（基础）——分式的判断 题目：（2025苏州相城月考）下列代数式中，是分式的为（ ） A. 　　B. 5a　　C. 　　D. 【解析】 A 分母为3，不含字母 B 5a 无分数线，是单项式 C 分母为5，不含字母 D 分母为 x，含字母 答案：D 变式训练 1-1 （2025无锡江阴期中）给出下列各式：，，，，，其中分式的个数为（ ） A. 5　　B. 4　　C. 3　　D. 2 【答案】D 【解析】分母含字母的只有和（π 是常数，不是字母），故有2个分式。 变式训练 1-2 （2025常州溧阳期末）下列各式，，，-7a 中，分式有（ ） A. 1个　　B. 2个　　C. 3个　　D. 4个 【答案】B 【解析】、分母均含字母，是分式。 变式训练1-3 （2025盐城康居初中期中）下列式子中是分式的是（ ） A.　　B. x+1　　C. 　　D. 3x 【答案】C 【解析】只有分母含字母 x，是分式。 题型二：分式有无意义的条件——把握“分母不能为零” 解法口诀：分式有意义，分母不为零；分式无意义，分母等于零。列不等式（方程），解出未知数。 例题 2（基础）——分式有意义的条件 题目：（2025苏州四市期中）若分式有意义，则 x 的取值范围是（ ） A. x ≠ 0　　B. x ≠ 1　　C. x > 1　　D. x < 1 【解析】 分式有意义的条件是分母不等于零。 令 x-1 ≠ 0，解得 x ≠ 1。 答案：B 变式训练 2-1 （2025宿迁）要使分式有意义，则 x 的取值范围是__________。 【答案】 x ≠ 2 变式训练2-2 要使分式有意义，则 x 的取值范围是__________。 【答案】 x ≠ -3 【解析】令 x+3 ≠ 0，得 x ≠ -3。 题型三：分式值为零——双条件缺一不可 解法口诀：分式值为零有两关：分子为零是首要，分母不为零要验证，缺一不可记心间！ 例题 3（中等）——分式值为零的条件 题目：（2025宿迁宿城期末）若分式的值为0，则 a 的值是（ ） A. 4　　B. 4或-4　　C. -4　　D. 0 【解析】 分式值为零需满足： ① 分子为零：|a|-4=0 推出 |a|=4 推出 a=4 或 a=-4 ② 分母不为零：a-4≠0 推出 a≠4 综合①②，得 a=-4。 答案：C 【易错警示】 本题极易错选B！|a|=4 得出 a=±4，但 a=4 时分母恰好为零，分式无意义，必须舍去。 变式训练 3-1 （2025泰州泰兴期末）若分式 (a+b)/(a-b) 的值为0，则 a，b 满足的条件是（ ） A. a=b　　B. a+b=0　　C. a=b 或 a+b=0　　D. a+b=0 且 a-b≠0 【答案】D 【解析】分子为零：a+b=0；分母不为零：a-b≠0。 变式训练3-2 若分式 的值为零，则 x 的值为__________。 【答案】 x=2 【解析】x²-4=0 推出 (x+2)(x-2)=0 推出 x=-2 或 x=2。 检验：x=-2 时 x+2=0（分母为零，舍去）；x=2 时 x+2=4≠0。 变式训练3-3 当 x 为何值时，分式 的值为 0？ 【答案】 x=3 【解析】x-3=0 得 x=3；x+1=4≠0，满足条件。 题型四：分式的建构与实际意义——学以致用 解法口诀：分析题意辨数量，用字母代替数字，写成分数形式，注意分母不为零。 例题 4（中等）——分式的建构 题目：（改编自苏科版新教材）某校八年级有500个学生，排成长方形队伍进行体操表演。 （1）如果排成 a 排，那么平均每排有多少个学生？ （2）如果每排站 b 个学生，那么可以排成多少排？ 【解析】 （1）总人数为500，排成 a 排，平均每排人数 = （个）。 （2）总人数为500，每排 b 人，排数 = （排）。 这两个都是分式，分别表示平均每排人数和排成的排数。 变式训练 4-1 用分式表示下列问题中的数量关系： （1）一辆汽车行驶 s 千米用了 t 小时，平均速度为__________千米/时。 （2）购买 m 千克苹果花了 n 元，每千克苹果__________元。 【答案】 （1）　（2） 变式训练4-2 一块长方形草坪的面积为 S 平方米，长为 a 米，则宽为__________米 【答案】 变式训练4-3 请赋予分式一个实际意义。 【答案】 答案不唯一。例如：100元钱平均分给 x 个人，每人得元；或总路程100千米，以 x 千米/时的速度行驶，所需时间为小时。 题型五：分式的求值——整体思想巧运用 解法口诀：分式求值有套路，先看条件再看式。若能整体代入，事半功倍效率高！ 例题 5（提优）——整体代入求值 题目：已知 = 3，求分式的值。 【解析】【方法一：整体代入法】 由条件 = 3，得 = 3 推出 y-x = 3xy 推出 x-y = -3xy。 将分子分母中的 x-y 整体替换： = = 变式训练 5-1 已知 x + = 3，求 的值。 【答案】 【解析】由x + = 3，两边平方得 x²+2+=9，得 x²+=7。 = = = 变式训练5-2 （2025扬州江都期末）已知 a-b-1=0，则代数式的值是__________。 【答案】 3 【解析】a-b=1，(3a-3b)/(a-b) = 3(a-b)/(a-b)=3。 变式训练5-3 已知 = ，求分式 的值。 【答案】 -5 【解析】设 a=2k, b=3k（k≠0），则 = = = -5。 题型六：创新拓展——规律探索与新定义 例题 6（提优）——分式规律探索 题目：观察下列分式：，，，，，… （1）猜想第 n 个分式，并写出猜想的依据。 （2）写出第8个分式。 【解析】 （1）观察规律： 归纳：分子为 2n-1，分母为 xn，符号为 (-1)n-1。 所以第 n 个分式为： (-1)n-1· （2）第8个分式：- 变式训练 6-1 观察给定的分式：1/x，-3/x²，5/x³，-7/x⁴，…，猜想并探索规律，那么第 n 个分式是__________。 【答案】 (-1)n-1 · 【解析】分子是奇数序列（1, 3, 5, 7, …），第 n 个分子 = 2n-1； 分母为；正负交替：第一项正，符号为 (-1)n-1 。 变式训练6-2 已知一组分式：x，，，-…，则第2025个分式为__________。 【答案】 【解析】2025为奇数，正号；分子，分母 n。 变式训练6-3 （新定义问题）定义：如果一个分式能表示为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“可分式”。例如： = 1 + 是“可分式”。 请判断是否为“可分式”？若是，请将它化为整式与分子为常数的分式的和的形式。 【答案】 是。 = 2 +。 【解析】(2x+5) ÷ (x+2) = 2 余 1，即 = 2 +。 三、分层达标检测 ★ 基础巩固 1. （2025扬州梅岭中学期中）下列式子是分式的是（ ） A. x　　B.　　C. 　　D. x²+1 2. （2025常州中考）若分式有意义，则实数 x 的取值范围是__________。 3. （2025镇江句容期末）若将分式中的 x 和 y 都扩大到原来的3倍，则分式的值（ ） A. 不变　　B. 扩大到原来的3倍　　C. 缩小到原来的　　D. 缩小到原来的 4. 当 x 为何值时，分式无意义？当 x 为何值时值为零？ ★★ 能力进阶 5. （2025南京期中）下列等式一定成立的是（ ） A. = 　　B. = C.= 　　D. = 6. 已知 x² - 3x + 1 = 0，求 x² + 的值。 ★★★ 思维拓展 7. 阅读下列材料，并完成相应任务。 〖问题提出〗 已知= = ，求分式的值。 〖思路分析〗 根据题意可设= = = k，于是 x=2k，y=3k，z=4k，将它们分别代入分式，即可通过化简求得分式的值。 〖任务〗 （1）按以上方法，求出该分式的值。 （2）已知 x，y，z 满足= = ，求的值。 四、答案解析 基础巩固 1. C【解析】分式的分母中必须含有字母。A项没有分数线；B项分母为2（不含字母）；C项分母为 x（含字母）；D项没有分数线。故选C。 2. x ≠ 3【解析】分式有意义的条件是分母不为零。令 x-3≠0，解得 x≠3。 3. A 4. 【答案】当 x=2 时分式无意义；当 x=-2 时值为零。 【解析】无意义：x-2=0 推出 x=2。值为零：x+2=0 推出 x=-2（检验：分母 x-2=-4≠0）。 能力进阶 5. C【解析】选项C分子分母同时乘以2，根据分式的基本性质，分式的值不变。其他选项：A分子分母加不同数，B分子分母变了，D分母减了1，均不恒等。 6. 【答案】7【解析】由 x²-3x+1=0，得 x≠0，两边除以 x，得 x-3+0 推出 x+=3。 所以 x²+= (x+)²-2 = 9-2 = 7。 思维拓展 7. （1）　　（2） 【解析】 （1）设 x=2k, y=3k, z=4k（k≠0），则 = = 　。 （2）设 x=3k, y=4k, z=5k（k≠0），则= 五、解题方法口诀大全 教师寄语： 分式是初中代数学习的重要转折点。从整式到分式，就像从陆地走向海洋——规则变了，但探索的方法依然相通。希望同学们夯实基础，敢于挑战，在分式这片新的“海域”中乘风破浪！ 学科网（北京）股份有限公司 $