6.2.3组合 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学课件围绕“组合”核心知识点，系统梳理分类加法与分步乘法计数原理，通过校园拔河赛问题导入，对比排列（3人选2人分上下午活动）与组合（3人选2人参加同活动）的顺序差异，搭建从排列到组合的学习支架。 其亮点在于以问题驱动（如共享单车选3辆与分配给同学的例题）和对比辨析（排列有序、组合无序），培养学生用数学眼光观察现实问题、用数学思维分析顺序影响的能力。总结结合生活意义，帮助学生理解概念本质，提升逻辑思维，也为教师提供清晰教学路径和实例支撑。

6.2.3 组合 温州科技高级中学 | 张明 1.7.2013 大家好，今天我们来学习第六章第二节的第三个内容——组合。这是一个非常重要的数学概念，它将帮助我们解决许多与计数相关的问题。在开始之前，让我们先明确本节课的目标，那就是理解组合的定义，并掌握如何区分排列与组合问题。 ‹#› 分类加法计数原理 完成一件事有 n 类不同的方案， 在第1类方案中有 m1 种不同的方法， 在第2类方案中有 m2 种不同的方法， 那么完成这件事共有 种不同的方法。 … … 在第n类方案中有mn种不同的方法， 分步乘法计数原理 那么完成这件事共有 种不同的方法。 完成一件事需要n个步骤， 做第1步有m1 种不同的方法， 做第2步有m2种不同的方法， … … 做第n步有mn种不同的方法， 两个计数原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 不同点 注意点 用来计算“完成一件事”的方法种数 每类方案中的每一种方法都能______ 完成这件事 每步_________才算完成这件事情 （每步中的每一种方法不能独立完成这件事） 类类相加 步步相乘 类类独立 步步相依 独立 依次完成 不重不漏 步骤完整 分类完成 分步完成 思路：第一步：做什么事；第二步：怎么做？ 解答计数问题的一般思维过程： 完成一件什么事 （第一步：做什么事） 如何完成这件事 （第二步: 怎么做？） 利用加法原理进行计数 方法的分类 过程的分步 利用乘法原理进行计数 课堂总结 同学们，“怎么做”千奇百态；“做什么”简单明白。为了知道这件事怎么做，你可以先列出一种结果分析出这件事怎么做。我们要慢慢积累如何做的经验，在以后的学习中灵活运用，把考题解出。 其实一个人的人生意义也是知道自己做什么事，然后通过怎么做来实现人生理想。但一个人要知道自己这一生该做什么，却是很不简单的。有人说：“教育的本质，是找到一个人内心想成为的样子，然后帮助他成长为那个样子。” 所以不管是当国家领导人还是校长还是普通老师，只要他是幸福的完整的人，那他就知道自己这一生该做什么事，也在努力的寻找此事该如何做，且也努力的完成此事。 比如我就觉得教书很有意思。我的人生使命就是认真教书再写写书，然后开创一个教学流派。 引入 我们知道第一步做什么事很容易知道，第二步怎么做很难知道。于是数学家研究事情该怎么做，发现许多事情有相同的做法。这许多事情有个共同的模型。我们只要研究这个共同的模型，当我们计数时分析出怎么做时只需把这个模型套用一下就行。 校园拔河赛 ❓ 你知道一共需要组织多少场比赛吗？ 假设高二一部共有20个班级，为了促进年级交流，规定每两个班级之间都要进行一场拔河比赛。 1.7.2013 再来看一个校园里的例子。假设我们年级有20个班级，要组织拔河比赛，每两个班之间都要比一场。那么一共需要组织多少场比赛呢？这个问题和刚才的彩票问题非常相似，都是从若干个对象中选出一部分来进行组合。 ‹#› 问题回顾与对比：排列 vs 组合 6.2.1 节 · 排列问题 (回顾) 🎯 任务描述：从甲、乙、丙3人中选2人，一人参加上午活动，一人参加下午活动。 🔑 关键特征：与顺序有关（“甲乙” ≠ “乙甲”） 所有可能的选法 (共 6 种)： 甲乙，乙甲，甲丙，丙甲，乙丙，丙乙 本节 · 组合问题 (新知) 🎯 任务描述：从甲、乙、丙3人中选2人，一起参加同一项活动。 🔑 关键特征：与顺序无关（“甲乙” = “乙甲”） 所有可能的选法 (共 3 种)： 甲乙，甲丙，乙丙 核心差异总结：选出的元素是否有顺序要求 —— 有顺序是“排列”，无顺序是“组合”。 1.7.2013 现在我们来看一个关键的对比。回顾之前学过的排列问题：从3个同学中选2个，一个上午参加，一个下午参加。这和我们现在的问题：从3个同学中选2个参加同一项活动，有什么区别？大家可以看到，前者“甲乙”和“乙甲”是两种不同的安排，因为上午和下午是不同的；而后者“甲乙”就是一个组合，没有顺序之分。这就是排列和组合的根本区别。 ‹#› 组合的概念 问题思考：如果将问题1的背景去掉，把被选出的同学叫做“元素”，那么还可怎样表述问题1？你能将它推广到一般情形吗？ 将具体背景舍去，问题1可以概括为：从 3 个不同元素中取出 2 个元素作为一组，一共有多少个不同的组？ 组合的定义 一般地，从 个不同元素中取出 个元素作为一组，叫做从 个不同元素中取出个元素的一个组合 (combination)。 核心注意点 1.组合的特点：元素不同，且为“不放回”地取出。 2.组合的特性：元素的无序性（即不讲究顺序，无位置要求），这是与排列最本质的区别。 1.7.2013 通过刚才的例子，我们可以抽象出组合的定义。所谓组合，就是从n个不同的元素中，取出m个元素组成一组，而不考虑这m个元素的顺序。请大家特别注意组合的两个关键点：一是元素不同，二是取出的元素不讲究顺序，也就是“无序性”。这是它和排列最本质的区别。 ‹#› 学习新知：组合的概念 一般地，从 个不同元素中取出 个元素，合成一组，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个组合。 📋 两个排列相同 ✅ 元素必须：完全相同✅ 位置必须：完全相同 🎁 两个组合相同 ✅ 元素必须：完全相同🚫 位置要求：无任何限制 思考：排列与组合的概念有什么共同点与不同点？ 1.7.2013 我们再通过一个对比来加深理解。什么时候两个排列是相同的？必须是元素相同，并且元素的位置也完全相同。而两个组合什么时候相同呢？只要元素相同就可以了，位置是没有限制的。这个对比非常直观地展示了排列的“有序性”和组合的“无序性”。 ‹#› 学习新知：排列与组合的概念的异同 排列 相同点 从 个不同元素中任取 个元素 不同点 取出元素后，元素的顺序有关 完成步骤 共分两步：第一步取→ 第二步排 组合 相同点 从 个不同元素中任取 个元素 不同点 取出元素后，元素的顺序无关 完成步骤 仅需一步：直接取出即可 1.7.2013 这张表格总结了排列和组合的异同。它们的相同点是都要“从n个不同元素中任取m个元素”。根本的不同点在于是否与顺序有关：排列有关，组合无关。这个区别也体现在完成事情的步骤上：排列需要“先取后排”两步，而组合只需要“取”这一步。 ‹#› 思考：如何区分排列问题还是组合问题？ 排列问题 若交换某两个元素的位置对结果有影响，则是排列问题，即排列问题与选取的顺序有关。 组合问题 若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取的顺序无关。 📝 校门口停放着9辆共享单车，其中黄色、红色和绿色的各有3辆。 (1) 从中选3辆，有多少种不同的方法？ (2) 从中选3辆给3位同学，有多少种不同的方法？ 💡 思路解析 • (1) 只需选出3辆车，“谁先谁后”不改变结果，无顺序要求 →组合问题 • (2) 选出车后还需分配给不同的同学，顺序不同对应不同结果 →排列问题 1.7.2013 那么，在实际问题中我们该如何区分是排列还是组合呢？这里有一个非常实用的判断技巧：你可以试着交换一下选出元素的位置，如果结果变了，那就是排列问题；如果结果没变，那就是组合问题。我们来看这个练习，第一问只是选车，不涉及给谁，所以是组合；第二问要把车分给不同的同学，有顺序，所以是排列。 ‹#› 例题讲评：排列 vs 组合 (1) 10名学生中抽2名学生开会 ➜ 组合(无顺序，谁先谁后无差别) (3) 有10个车站，共需要多少种不同的票价？ ➜ 组合(票价与往返顺序无关) (5) 3人去干5种不同的工作，每人干1种 ➜ 排列(不同工作分配给人有顺序) (2) 10名学生中选2名做正、副组长 ➜ 排列(有正副之分，顺序不同结果不同) (4) 集合A={a,b,c,d,e}的子集中含3个元素的个数 ➜ 组合(集合元素无序性) (6) 3本相同的书分给5个学生，每人最多1本 ➜ 组合(书是相同的，只关心谁拿到了书) 1.7.2013 我们通过几个例子来巩固一下。第一题，抽两个人开会，谁先谁后无所谓，是组合。第二题，选正副组长，有职位之分，是排列。第三题，两个车站之间的票价和顺序无关，是组合。第四题，集合的子集不考虑元素顺序，是组合。第五题，分配不同的工作，有顺序，是排列。第六题，书是相同的，分给不同学生，但只关心谁得到了，不关心得到的是哪一本，所以是组合。 ‹#› 排列问题 组合问题 若交换某两个元素的位置对结果有影响，则是排列问题，即排列问题与选取的顺序有关. 若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取的顺序无关. 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合（combination）. （1）组合的定义？ 课堂小结 （2）如何判断一个计数问题是排列问题还是组合问题？ （3）从此节我们可以看出：“做什么”通俗易懂，但真正上手解题时，“怎么做”却常常让人觉得“伤心伤肺”。 $