专题05二次根式复习讲义(知识梳理+题型突破)2025-2026学年青岛版八年级数学下册

专题02二次根式复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.牢记二次根式的定义，掌握二次根式有意义的条件（被开方数非负）。 2.熟练掌握二次根式的性质，能灵活运用性质化简二次根式。 3.掌握二次根式的加减、乘除、混合运算法则，熟记运算公式与化简技巧。 4.区分最简二次根式、同类二次根式，明确运算规范与易错点。 1.能准确判断二次根式有意义的范围，熟练化简二次根式至最简形式。 2.能规范完成二次根式加减、乘除、混合运算，杜绝计算失误。 3.能运用二次根式运算解决简单的实际问题，学会转化与化简思想。 4.能辨析同类二次根式，灵活进行合并与运算，提升运算熟练度。 1.选择、填空题：快速搞定二次根式有意义、化简、简单运算题，秒杀基础考点，不丢基础分。 2.解答题：规范书写运算步骤，精准完成二次根式混合运算、化简求值题，避免步骤分丢失。 3.避雷得分：规避被开方数为负、化简不彻底、运算顺序错误等常见易错点，高效得分，突破考点。 题型01.二次根式的识别 题型02.求二次根式的值 题型03.求二次根式种的参数 题型04.次根式有意义的条件. 题型05.利用二次根式性质化简 题型06.复合二次根式的化简 题型07.二次根式的乘除混合运算 题型08.最简二次根式的判断 题型09.化为最简二次根式 题型10.已知最简二次根式求参数 题型11.二次根式的乘法 题型12.二次根式的除法 题型13.同类二次根式 题型14.二次根式的加减运算 题型15.二次根式的混合运算 题型16.分母有理化 题型17.已知字母的值.化简求值 题型18.已知条件式.化简求值 题型19.二次根式的大小比较 解答题9题 知识点01:概念通关｜一眼看懂 1.最简二次根式：①被开方数无分母；②被开方数无开得尽方的因数 / 因式 2.有意义的条件:有意义 ⟺a≥0 分母+根式：被开方数≥0且分母≠0。 3.双重非负性（必考）:≥0 且 a≥0 4.同类二次根式 化为最简后，被开方数相同，才能合并。 知识点02:核心性质｜必背清单 易混点直击：()2 vs 对比表 对比维度 ()2 ​ 成立条件 a≥0（被开方数非负，根式才有意义） a为任意实数（任何数平方后均非负） 运算顺序 先开二次方，再进行平方运算 先进行平方运算，再开二次方运算 计算结果 直接等于a 先得∣a∣，再根据a的正负去绝对值 本质特征 非负数的开方与平方互逆，结果唯一 任意数平方后开方，结果为非负数 （去绝对值后确定） 知识点03:运算大全｜步骤清晰 （1）乘除运算：根不变，被开方数相加减 法则：=（a≥0，b≥0）推广：mn=mn（a≥0,b≥0） 法则：（a≥0,b>0）；推广：m÷n=（a≥0,b>0） (2）加减运算：一化、二找、三合并 化：将所有二次根式化为最简二次根式 找：找出其中的同类二次根式 合：合并同类二次根式（系数相加减，被开方数不变） （3）混合运算：遵循整式运算顺序 顺序：先乘除，后加减；有括号先算括号内； 技巧：灵活运用乘法公式（平方差、完全平方）简化计算： (+)(−)=a−b； (±)2=a+b±2​。 1.忽略二次根式有意义的条件（a≥0），求字母取值范围时遗漏限制； 2.混淆 ()2 与 ，后者结果必须加绝对值； 3.运算时未先化简就直接合并，导致错误； 4.分母有理化时漏乘、符号出错； 5.忽略运算结果需化为最简二次根式。 知识点04:分母有理化 将分母中的根号化去， 方法：分子分母同乘分母的有理化因式 常见类型及方法 .知识点05:化简二次根式一般方法 本章高频易错大坑 1.忽略被开方数 a≥0，直接取值计算； 2.=a 错误，忘记加绝对值； 3.二次根式加减乱合并，不是同类强行合并； 4.运算结束不化简，结果不是最简二次根式； 5.分母含根号不进行分母有理化，直接扣分。 题型01.二次根式的识别 【典例】下列各式中，二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵形如的式子叫做二次根式.， A、符合二次根式的定义； B、是三次根式，根指数为3，不符合定义； C、被开方数，无意义，不符合定义； D、不含二次根号，不是二次根式． 【跟踪专练1】下列式子中，是二次根式的有(   ) ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题根据二次根式的定义判断，二次根式需满足两个条件：根指数为2，被开方数为非负数，逐个判断即可得出结果． 【详解】解：①，，根指数为2，是二次根式． ②，，不是二次根式． ③，，，根指数为2，是二次根式． ④，根指数为3，不符合二次根式定义，不是二次根式． ⑤，，根指数为2，是二次根式． ⑥，，，不是二次根式． ⑦，配方得，，，根指数为2，是二次根式． 综上，符合条件的二次根式共4个． 【跟踪专练2】下列式子中，不一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的定义，准确把握“被开方数非负”是解题的关键．根据二次根式的定义，需判断被开方数是否恒大于等于：通过分析各选项被开方数的取值范围，得出只有选项的被开方数不恒非负，进而确定其不一定是二次根式． 【详解】解：二次根式定义要求被开方数， ：，被开方数，总是二次根式； ：中，故总是二次根式； ：，当时，，无意义，不一定是二次根式； ：中，故总是二次根式． 故选：． 题型02.求二次根式的值 【典例】当时，二次根式值为______ ． 【答案】1 【分析】把代入二次根式进行计算即可． 【详解】解：当时，． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了二次根式的值，熟练掌握二次根式的计算是解题关键． 【跟踪专练1】当时，二次根式的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查求二次根式的值，先将代入，再利用二次根式的性质化简求解即可． 【详解】当时， ． 故选：C． 【跟踪专练2】根据以下程序，当输入时，输出结果为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了程序框图的循环计算与根式运算，解题的关键是按照程序框图的逻辑，逐步代入计算，直到满足输出条件． 先将输入的代入表达式计算，判断结果是否小于2，若不满足则将该结果作为新的再次代入计算，直至结果小于2时输出． 【详解】解：当输入时， 第一次计算：，不成立，将作为新的； 第二次计算：，成立，输出结果． 故选：C． 题型03.求二次根式种的参数 【典例】若二次根式，则_______． 【答案】 【分析】将等式两边同时平方，转化为一元一次方程求解，再验证二次根式有意义的条件即可得到结果． 【详解】解：对两边同时平方， 得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得， 验证：当时，，满足二次根式有意义的条件． 【跟踪专练1】若是整数，则满足条件的自然数n的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题根据二次根式有意义的条件，结合为整数的要求，得出是非负完全平方数，列举所有符合条件的完全平方数，即可得到满足要求的自然数的个数． 【详解】∵是二次根式， ∴，可得， 又∵是自然数， ∴， ∵是整数， ∴是非负完全平方数，满足条件的可取， 对应得到的值为，均为自然数， ∴满足条件的自然数共有个． 【跟踪专练2】已知是整数，则正整数n的最大值为____． 【答案】18 【分析】根据二次根式有意义的条件可得被开方数非负，结合是正整数，可知为正的完全平方数，要得到正整数的最大值，只需要让取最小的正完全平方数即可求解． 【详解】解：∵是整数， ∴，是整数， 解得， ∴是完全平方数， 要使正整数的值最大，需使取最小的完全平方数，即， 解得． 题型04.次根式有意义的条件. 【典例】若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， 解得， ∴的取值范围是． 【跟踪专练1】若，则的取值范围是（    ） A．为全体实数 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数必须为非负数，等式成立需满足等式中所有二次根式的被开方数都符合非负要求，列出不等式组求解即可． 【详解】解：等式 成立，等式右侧两个二次根式都要有意义， 根据二次根式有意义的条件，可得不等式组：， 解不等式组得． 【跟踪专练2】要使有意义，则x的取值范围是____________． 【答案】/ 【分析】根据题意，得，求解即可； 【详解】解：根据题意，得， 解得． 题型05.利用二次根式性质化简 【典例】计算的结果是_______． 【答案】1 【详解】解：． 【跟踪专练1】下列计算，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算与性质，根据二次根式的相关法则逐一判断选项即可． 【详解】A、∵与不是同类二次根式，不能直接合并，∴，A错误； B、∵，算术平方根本身非负，∴，B错误； C、∵，∴，C错误； D、根据二次根式性质，可得，D正确． 故选：D． 【跟踪专练2】若，则的值是______． 【答案】 【分析】根据平方的非负性与绝对值的非负性列出二元一次方程组，求出的值，再根据二次根式的性质得到结果． 【详解】解：∵， ， 得： ， ∴， ． 题型06.复合二次根式的化简 【典例】当时，化简二次根式的正确结果是_____________． 【答案】 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先将改写成，再利用二次根式的性质化简即可得． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 【跟踪专练1】化简的结果为______． 【答案】5 【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确应用完全平方公式是解题关键． 直接利用完全平方公式将根号内部分变形开平方得出答案． 【详解】解： 故答案为：5． 【跟踪专练2】设为的小数部分，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估值．利用换元法先将原式变形，然后简化计算结果，最后估计出小数部分的值，然后从选项中进行查找，最接近的即为答案． 【详解】解：本题根据条件，为的小数部分，因此，因此可以排除A、D选项． 设， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴ ， ∵， ∵的整数部分是， ∴小数部分为， 选项B是，选项C是， 只有选项C最接近答案． 故选：C． 题型07.二次根式的乘除混合运算 【典例】计算：的值为______． 【答案】1 【分析】按照同级运算从左到右的顺序，结合二次根式的乘除运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【跟踪专练1】计算结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘除法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：B． 【跟踪专练2】化简的结果为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除，熟练掌握二次根式的乘除法的法则，二次根式的性质，是解题的关键． 将除法转化为乘法，利用二次根式的乘法法则和性质简化即可． 【详解】原式 ． 故答案为 题型08.最简二次根式的判断 【典例】请写出一个正整数m的值使得是最简二次根式，_________． 【答案】1 【分析】本题考查的是最简二次根式的含义，根据最简二次根式的定义可得或等，从而可得答案． 【详解】解：∵是最简二次根式，m为正整数， ∴正整数m的值可以为1或3等， 故答案为：1（答案不唯一）． 【跟踪专练1】下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D．（） 【答案】B 【详解】解：A．，不是最简二次根式，不符合题意； B．是最简二次根式，符合题意； C．，不是最简二次根式，不符合题意； D．当时，，不是最简二次根式，不符合题意． 【跟踪专练2】若式子是最简二次根式，则满足条件的正整数x的值有_______个． 【答案】5 【分析】要确定满足是最简二次根式的正整数的值，需根据最简二次根式的定义，分析的取值，使得被开方数不含能开得尽方的因数，且为正整数． 【详解】∵是最简二次根式， ∴被开方数为不含完全平方因数的正整数， 由且为正整数，可知的可能取值为。 分别分析： 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，，不是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，，不是最简二次根式． ∴满足条件的正整数x的值为，共个． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式需满足被开方数不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键． 题型09.化为最简二次根式 【典例】计算：___________；___________． 【答案】 【分析】根据二次根式和（）的性质分别计算即可. 【详解】解：； . 【跟踪专练1】将化简为最简二次根式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次根式的性质和分母有理化方法即可求解，最简二次根式要求被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：∵==， 将分母有理化，分子分母同乘得： =， ∴化简结果为． 【跟踪专练2】已知是整数，则正整数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简二次根式，根据二次根式为整数的条件，得出被开方数为完全平方数，结合为正整数，即可求出的最小值． 【详解】解：∵，且是整数， ∴是整数，即为完全平方数， ∵是正整数， 当时，，不是完全平方数， 当时，，是完全平方数， ∴正整数的最小值是． 题型10.已知最简二次根式求参数 【典例】若（为大于1的整数）是最简二次根式，则的值可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查最简二次根式的定义．最简二次根式需满足：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数．根据最简二次根式的定义解答即可． 【详解】解：当时，， 是最简二次根式， 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练1】若是最简二次根式，则的值可以是（   ） A．6 B． C．2 D．0.5 【答案】C 【分析】二次根式的被开方式中不含分母，且不含一个数或式的平方因式，就叫作最简二次根式． 【详解】解：A、当时，原式，原式不是最简二次根式，该选项不符合题意； B、当时，原式，原式不是最简二次根式，该选项不符合题意； C、当时，原式，原式是最简二次根式，该选项符合题意； D、当时，原式，原式不是最简二次根式，该选项不符合题意． 【跟踪专练2】若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（　　） A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1 【答案】D 【分析】由二次根式的定义可知，由最简二次根式和能合并，可得，由此即可求解． 【详解】解：∵最简二次根式和能合并， ∴， ∴， 解得， 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义和最简二次根式的定义，熟知定义是解题的关键． 题型11.二次根式的乘法 【典例】若一个长方形的长为，宽为，则该长方形的面积为（   ）． A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题根据长方形面积公式计算，结合二次根式乘法法则化简即可得到结果，用到知识点为长方形面积公式和二次根式化简． 【详解】解：∵ 长方形面积公式为 ，已知长为，宽为， ∴ ， 因此该长方形面积为4． 【跟踪专练1】若，用含的式子表示为___________． 【答案】 【详解】解：． 【跟踪专练2】估算的值在（） A．和之间 B．和之间 C．和0之间 D．0和1之间 【答案】C 【分析】先利用二次根式的乘法法则化简原式，再估算的取值范围，即可得到原式的范围． 【详解】解：∵， 又∵，，且， ∴ ， ∴ ， 即原式的值在和之间． 故选：C． 题型12.二次根式的除法 【典例】对于，关于、的取值正确的说法是（   ） A． ， B．  ， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的除法法则，当，时，． 【详解】解：当，时，才成立． 【跟踪专练1】的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式除法性质拆分计算，即可求解． 【详解】解： ． 【跟踪专练2】如果一个直角三角形的两条直角边长分别为和2cm，则斜边上的高为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用勾股定理求出斜边长度，再通过直角三角形面积的两种不同表示方法建立等式，求解斜边上的高． 【详解】解：设直角三角形两条直角边分别为，，斜边为，斜边上的高为. 由勾股定理得， ， ， ， 直角三角形面积可表示为，也可表示为， ，即， ． 题型13.同类二次根式 【典例】下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同类二次根式的定义解题，先将每个选项化为最简二次根式，再比较最简二次根式的被开方数，被开方数与相同的即为同类二次根式． 【详解】解：对各选项逐一化简判断： A选项：，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故A错误； B选项：，与的被开方数相同，是同类二次根式，故B正确； C选项：，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故C错误； D选项：，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故D错误． 【跟踪专练1】若最简二次根式与是同类二次根式，则x＝______． 【答案】1 【分析】如果几个最简二次根式的被开方数相同，则它们是同类二次根式，据此列出关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解： 最简二次根式与是同类二次根式， ， 移项得 ， 合并同类项得 ， 系数化为得 ． 当时，符合题意. 【跟踪专练2】若与最简二次根式可以合并，则（   ） A．24 B．25 C．7 D．6 【答案】C 【分析】先将化为最简二次根式，再根据可合并的最简二次根式是同类二次根式，被开方数相等，列方程求解即可． 【详解】解：， 又与最简二次根式可以合并， 二者是同类二次根式，化简后被开方数相等， 得 ， 解得 ． 题型14.二次根式的加减运算 【典例】计算：_______． 【答案】 【分析】先将化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可得到结果． 【详解】解： 【跟踪专练1】下面计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式加减乘除的运算法则，分别计算各选项即可． 【详解】解：选项A：， ∴ A错误，该选项不符合题意； 选项B：，计算正确， ∴ B正确，该选项符合题意； 选项C：与不是同类二次根式，不能合并， ∴ C错误，该选项不符合题意； 选项D：， ∴ D错误，该选项不符合题意． 【跟踪专练2】已知n为整数，且满足，则n的最大值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】先化简原式的二次根式，再估算无理数的取值范围，即可得到满足条件的最大整数n． 【详解】解：， ∵ ，，且 ∴ ， ∵ ，且n为整数， ∴ n的最大值为6． 题型15.二次根式的混合运算 【典例】下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的乘除和加减运算法则是解题的关键． 根据二次根式的运算法则，逐一判断各选项的正确性即可． 【详解】解： 选项A：与并非同类二次根式，不可合并计算，故A错误，不符合题意； 选项B：与并非同类二次根式，不可合并计算，故B错误，不符合题意； 选项C：根据二次根式的乘法法则，，且为最简二次根式，故C正确，符合题意； 选项D：根据二次根式的除法法则，，故D错误，不符合题意； 故选C． 【跟踪专练1】计算的结果是________． 【答案】 【分析】先将各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可求解． 【详解】解： ． 【跟踪专练2】估计的值在（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】C 【分析】先利用二次根式的乘法运算法则化简原式，再估算化简后无理数的大小，即可得到结果． 【详解】先对原式化简： ∵ ， 又∵ ， ∴ ， 不等式同乘正数得 ， ∴ 原式的值在和之间． 题型16.分母有理化 【典例】下列各式中，的有理化因式是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理化因式，如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式．单项二次根式的有理化因式是它的同类二次根式；其他代数式的有理化因式可用平方差公式来进行分步确定． 对于形如的表达式，其有理化因式通常为，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，，为有理数， ∴的有理化因式是， 故选：D． 【跟踪专练1】分母有理化：________． 【答案】 【分析】找出原式分母的有理化因式，将分子与分母同乘该有理化因式，再利用平方差公式化简分母，整理后得到结果． 【详解】解： ． 【跟踪专练2】下列化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次根式的性质以及分母有理化规则逐项判断即可． 【详解】解： A． ，故该选项错误，不符合题意； B． ，故该选项错误，不符合题意； C．该选项化简时仅给分母乘2，分子未同乘2，改变了原分数大小，变形错误，不符合题意； D．该式隐含，初中此类题型默认，则，故选项D正确，符合题意． 题型17.已知字母的值.化简求值 【典例】若，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把化成，再把代入计算即可． 【详解】解：， 当，原式． 故选：． 【点睛】此题考查了二次根式的运算，熟练掌握完全平方公式，二次根式的运算法则是解题的关键． 【跟踪专练1】若，求的值为______． 【答案】5 【分析】先进行分母有理化，再将代数式进行因式分解后，代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 【跟踪专练2】已知，则代数式的值为（   ） A．14 B．30 C．35 D．48 【答案】B 【分析】因为已知，所以先对其进行变形，求出的值，同时推导的整式关系式，用于降次．如果得到的整式关系式，那么利用该关系式对进行降次化简，最后将降次后的结果与的计算结果合并，代入求值． 【详解】解：已知 ， 移项，得 ， 两边平方，得， 展开得， ∴ ， ∴， ∴ ． 对 分母有理化， ∴ ∴ 原式． 题型18.已知条件式.化简求值 【典例】已知，则_________． 【答案】 【分析】利用完全平方公式对所求代数式变形，得到，结合已知条件求出平方后的结果，最后开方取正根即可得到答案． 【详解】解： 将代入得： ， ∵， ∴． 【跟踪专练1】若，，则代数式的值等于____． 【答案】 【分析】根据多项式乘多项式法则将所求代数式展开，再整体代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 即代数式的值等于． 【跟踪专练2】已知等式成立，化简的结果为（   ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】先根据二次根式的除法法则确定的取值范围，再利用绝对值和二次根式的性质化简式子． 【详解】解：根据二次根式的除法法则，由等式成立，可得： ，解得：． 化简： ①： ∵， ∴，故． ② ∵， ∴． ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的除法法则、绝对值与二次根式的性质，解题关键是先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再结合性质化简式子． 题型19.二次根式的大小比较 【典例】比较大小：______．（用“”“”“”填空） 【答案】 【分析】本题考查的是实数的大小比较，灵活运用平方法比较两个正实数的大小是解题的关键．根据两个正实数比较大小时，平方后数值大的原数更大的性质，分别计算与的平方，进而比较出与的大小． 【详解】解： ，， ， ， ， ． 故答案为：． 【跟踪专练1】比较大小：与，正确的是（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】两个数都是正数，可通过比较平方的大小判断原数大小，正数的平方越大，原数越大． 【详解】解： ， ，，， ∵， ∴． 【跟踪专练2】已知，，则a与b的大小关系为________． 【答案】/ 【分析】可求出，比较出与的大小，即可得到与的大小关系，进而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【解答题】 1．按要求解答： (1)若x，y都是实数，且，求的立方根． (2)先化简再求值：，其中． 【答案】(1) (2)； 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件得到，即可得到，代入求值即可； （2）根据分式的运算法则进行化简计算，再代数求值即可． 【详解】（1）解：， ， ， 故； （2）解：原式 ； 将代入，原式． 2．已知和是实数m的两个不同的平方根． (1)求x，m的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先根据“和是实数m的两个不同的平方根”得到，解出x的值从而得到m的值； （2）将x、m的值代入中计算即可． 【详解】（1）解：∵和是实数m的两个不同的平方根， ∴， 解得：， ∴， ∴x，m的值都是． （2）由（1）得， ∴． 3．小崔在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ， ， (1)仿照小崔的方法将化成另一个式子的平方的形式； (2)化简：； (3)若（a，b，m，n均为正整数，为无理数），且m，n满足，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将7转化为，进行求解即可； （2）将其转化为完全平方的形式，再化简即可； （3）根据，得到，，结合a，b，m，n均为正整数，m，n满足，求出a，b的值即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ； （3）解：由 可知：，    ，b，m，n均为正整数，为无理数， ，     由可得：， ，        ， ， 正整数a，b可取或， 又∵b，m，n均为正整数，为无理数， ， ． 4．已知二次根式，回答下列问题： (1)当为何值时，该二次根式有意义？ (2)当时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为时，求的值． 【答案】(1) (2)当时，值为；当值为时， 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件解答即可． （2）将代入即可求解，令时，求解即可 【详解】（1）解：要使该二次根式有意义，需满足， 解得：， ∴当时，该二次根式有意义． （2）解：当时，则， 令时，则， 解得：． 5．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接运用二次根式除法则进行运算即可； （2）先利用平方差公式进行运算，再合并即可得出答案． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 6．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）原式将二次根式化简后再合并即可； （2）原式将二次根式化简后，再运用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 7．按要求解题 (1)已知，，求代数式的值． (2)已知实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据进行计算即可； （2）从数轴可知：，，得到， ，代入化简即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：从数轴可知：，， ∴，， ∴，， ∴． 8．【观察发现】 二次根式中有这样一些相辅相成的“对子”：例如，，，它们的积不含根号，我们称这两个二次根式互为有理化因式． 【知识迁移】 于是，二次根式的除法可以这样解：例如，像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫作分母有理化． 【拓展延伸】 (1)化简：； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2)2025 【分析】（1）先进行分母有理化，再合并同类二次根式即可； （2）先进行分母有理化，求出，再代入代数式进行计算即可. 【详解】（1）解： ； （2）解： ， . 9．小芳在解决问题：已知，求的值．她是这样分析与解的： ，， ，，， ． 请你根据小芳的分析过程，解决如下问题： (1)计算：． (2)若． ①求的值； ②求的值． 【答案】(1) (2)①; ② 【分析】（1）结合题意进行分母有理化即可得解； （2）分母有理化后推得， ①将原式化为后代入求解即可； ②将原式化为，代入推得原式后，再代入即可得解． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ，， ， ①； ②， ， ， ， ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02二次根式复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.牢记二次根式的定义，掌握二次根式有意义的条件（被开方数非负）。 2.熟练掌握二次根式的性质，能灵活运用性质化简二次根式。 3.掌握二次根式的加减、乘除、混合运算法则，熟记运算公式与化简技巧。 4.区分最简二次根式、同类二次根式，明确运算规范与易错点。 1.能准确判断二次根式有意义的范围，熟练化简二次根式至最简形式。 2.能规范完成二次根式加减、乘除、混合运算，杜绝计算失误。 3.能运用二次根式运算解决简单的实际问题，学会转化与化简思想。 4.能辨析同类二次根式，灵活进行合并与运算，提升运算熟练度。 1.选择、填空题：快速搞定二次根式有意义、化简、简单运算题，秒杀基础考点，不丢基础分。 2.解答题：规范书写运算步骤，精准完成二次根式混合运算、化简求值题，避免步骤分丢失。 3.避雷得分：规避被开方数为负、化简不彻底、运算顺序错误等常见易错点，高效得分，突破考点。 题型01.二次根式的识别 题型02.求二次根式的值 题型03.求二次根式种的参数 题型04.次根式有意义的条件. 题型05.利用二次根式性质化简 题型06.复合二次根式的化简 题型07.二次根式的乘除混合运算 题型08.最简二次根式的判断 题型09.化为最简二次根式 题型10.已知最简二次根式求参数 题型11.二次根式的乘法 题型12.二次根式的除法 题型13.同类二次根式 题型14.二次根式的加减运算 题型15.二次根式的混合运算 题型16.分母有理化 题型17.已知字母的值.化简求值 题型18.已知条件式.化简求值 题型19.二次根式的大小比较 解答题9题 知识点01:概念通关｜一眼看懂 1.最简二次根式：①被开方数无分母；②被开方数无开得尽方的因数 / 因式 2.有意义的条件:有意义 ⟺a≥0 分母+根式：被开方数≥0且分母≠0。 3.双重非负性（必考）:≥0 且 a≥0 4.同类二次根式 化为最简后，被开方数相同，才能合并。 知识点02:核心性质｜必背清单 易混点直击：()2 vs 对比表 对比维度 ()2 ​ 成立条件 a≥0（被开方数非负，根式才有意义） a为任意实数（任何数平方后均非负） 运算顺序 先开二次方，再进行平方运算 先进行平方运算，再开二次方运算 计算结果 直接等于a 先得∣a∣，再根据a的正负去绝对值 本质特征 非负数的开方与平方互逆，结果唯一 任意数平方后开方，结果为非负数 （去绝对值后确定） 知识点03:运算大全｜步骤清晰 （1）乘除运算：根不变，被开方数相加减 法则：=（a≥0，b≥0）推广：mn=mn（a≥0,b≥0） 法则：（a≥0,b>0）；推广：m÷n=（a≥0,b>0） (2）加减运算：一化、二找、三合并 化：将所有二次根式化为最简二次根式 找：找出其中的同类二次根式 合：合并同类二次根式（系数相加减，被开方数不变） （3）混合运算：遵循整式运算顺序 顺序：先乘除，后加减；有括号先算括号内； 技巧：灵活运用乘法公式（平方差、完全平方）简化计算： (+)(−)=a−b； (±)2=a+b±2​。 1.忽略二次根式有意义的条件（a≥0），求字母取值范围时遗漏限制； 2.混淆 ()2 与 ，后者结果必须加绝对值； 3.运算时未先化简就直接合并，导致错误； 4.分母有理化时漏乘、符号出错； 5.忽略运算结果需化为最简二次根式。 知识点04:分母有理化 将分母中的根号化去， 方法：分子分母同乘分母的有理化因式 常见类型及方法 .知识点05:化简二次根式一般方法 本章高频易错大坑 1.忽略被开方数 a≥0，直接取值计算； 2.=a 错误，忘记加绝对值； 3.二次根式加减乱合并，不是同类强行合并； 4.运算结束不化简，结果不是最简二次根式； 5.分母含根号不进行分母有理化，直接扣分。 题型01.二次根式的识别 【典例】下列各式中，二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】下列式子中，是二次根式的有(   ) ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【跟踪专练2】下列式子中，不一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 题型02.求二次根式的值 【典例】当时，二次根式值为______ ． 【跟踪专练1】当时，二次根式的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【跟踪专练2】根据以下程序，当输入时，输出结果为（    ） A．1 B． C． D．2 题型03.求二次根式种的参数 【典例】若二次根式，则_______． 【跟踪专练1】若是整数，则满足条件的自然数n的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【跟踪专练2】已知是整数，则正整数n的最大值为____． 题型04.次根式有意义的条件. 【典例】若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【跟踪专练1】若，则的取值范围是（    ） A．为全体实数 B． C． D． 【跟踪专练2】要使有意义，则x的取值范围是____________． 题型05.利用二次根式性质化简 【典例】计算的结果是_______． 【跟踪专练1】下列计算，正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若，则的值是______． 题型06.复合二次根式的化简 【典例】当时，化简二次根式的正确结果是_____________． 【跟踪专练1】化简的结果为______． 【跟踪专练2】设为的小数部分，则（　　） A． B． C． D． 题型07.二次根式的乘除混合运算 【典例】计算：的值为______． 【跟踪专练1】计算结果为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】化简的结果为__________． 题型08.最简二次根式的判断 【典例】请写出一个正整数m的值使得是最简二次根式，_________． 【跟踪专练1】下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D．（） 【跟踪专练2】若式子是最简二次根式，则满足条件的正整数x的值有_______个． 题型09.化为最简二次根式 【典例】计算：___________；___________． 【跟踪专练1】将化简为最简二次根式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知是整数，则正整数的最小值是（    ） A． B． C． D． 题型10.已知最简二次根式求参数 【典例】若（为大于1的整数）是最简二次根式，则的值可以是______． 【跟踪专练1】若是最简二次根式，则的值可以是（   ） A．6 B． C．2 D．0.5 【跟踪专练2】若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（　　） A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1 题型11.二次根式的乘法 【典例】若一个长方形的长为，宽为，则该长方形的面积为（   ）． A． B． C．4 D． 【跟踪专练1】若，用含的式子表示为___________． 【跟踪专练2】估算的值在（） A．和之间 B．和之间 C．和0之间 D．0和1之间 题型12.二次根式的除法 【典例】对于，关于、的取值正确的说法是（   ） A． ， B．  ， C．， D．， 【跟踪专练1】的结果是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如果一个直角三角形的两条直角边长分别为和2cm，则斜边上的高为（　　） A． B． C． D． 题型13.同类二次根式 【典例】下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】若最简二次根式与是同类二次根式，则x＝______． 【跟踪专练2】若与最简二次根式可以合并，则（   ） A．24 B．25 C．7 D．6 题型14.二次根式的加减运算 【典例】计算：_______． 【跟踪专练1】下面计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知n为整数，且满足，则n的最大值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 题型15.二次根式的混合运算 【典例】下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】计算的结果是________． 【跟踪专练2】估计的值在（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 题型16.分母有理化 【典例】下列各式中，的有理化因式是（    ）． A． B． C． D． 【跟踪专练1】分母有理化：________． 【跟踪专练2】下列化简正确的是（   ） A． B． C． D． 题型17.已知字母的值.化简求值 【典例】若，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】若，求的值为______． 【跟踪专练2】已知，则代数式的值为（   ） A．14 B．30 C．35 D．48 题型18.已知条件式.化简求值 【典例】已知，则_________． 【跟踪专练1】若，，则代数式的值等于____． 【跟踪专练2】已知等式成立，化简的结果为（   ） A． B． C． D．4 题型19.二次根式的大小比较 【典例】比较大小：______．（用“”“”“”填空） 【跟踪专练1】比较大小：与，正确的是（   ） A． B． C． D．不确定 【跟踪专练2】已知，，则a与b的大小关系为________． 【解答题】 1．按要求解答： (1)若x，y都是实数，且，求的立方根． (2)先化简再求值：，其中． 2．已知和是实数m的两个不同的平方根． (1)求x，m的值； (2)求的值． 3．小崔在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ， ， (1)仿照小崔的方法将化成另一个式子的平方的形式； (2)化简：； (3)若（a，b，m，n均为正整数，为无理数），且m，n满足，求的值． 4．已知二次根式，回答下列问题： (1)当为何值时，该二次根式有意义？ (2)当时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为时，求的值． 5．计算： (1)； (2) 6．计算： (1) (2) 7．按要求解题 (1)已知，，求代数式的值． (2)已知实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，化简：． 8．【观察发现】 二次根式中有这样一些相辅相成的“对子”：例如，，，它们的积不含根号，我们称这两个二次根式互为有理化因式． 【知识迁移】 于是，二次根式的除法可以这样解：例如，像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫作分母有理化． 【拓展延伸】 (1)化简：； (2)已知，求的值． 9．小芳在解决问题：已知，求的值．她是这样分析与解的： ，， ，，， ． 请你根据小芳的分析过程，解决如下问题： (1)计算：． (2)若． ①求的值； ②求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $