第八章整式的乘法--期末专练 2025-2026学年苏科版数学七年级下册

七下数学-整式的乘法--专练 考点1.同底数幂的运算 1．已知2a＝3，2b＝6，2c＝12，下列结论：①c＝a+2；②a+b＝c+1；③2＜b＜3．其中所有正确结论的序号是 　 　 ． 2．在幂的运算中规定：若ax＝ay（a＞0且a≠1，x、y是正整数），则x＝y．利用上面结论解答下列问题： （1）若9x＝36，求x的值； （2）若3x+2﹣3x+1＝54，求x的值； （3）若m＝2x﹣1，n＝4x﹣2x，用含m的代数式表示n． 3．已知2a＝3，2b＝6，2c＝12，现给出a，b，c之间的四个关系式：①a+c＝2b；②a+b＝2c﹣3；③b+c＝2a+3；④b＝a+2．其中正确的关系式是 　 　 ．（填序号） 4．计算：　 　 ． 5．新定义：如果xn＝y，则规定（x，y）＝n，例如：32＝9，所以（3，9）＝2． （1）填空：（2，4）＝　 　 ；（﹣3，81）＝　 　 ； （2）若（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c，试说明a+b＝c； （3）若（e，5）＝（f，125），求e与f的数量关系． 6．（1）若25+25＝2a，37+37+37＝3b，则a+b＝　 　 ． （2）若2m×3n＝（4×27）7，求m，n． （3）若2p＝m，mq＝n，nr＝32，求pqr． 7．当3a＝15，5b＝15时，试说明a+b＝ab． 小明做如下尝试： ∵3a＝15，5b＝15， ∴3ab＝（　 　 ）b＝15b， 5ab＝（　 　 ）a＝15a． ∴… 小丽做如下尝试： ∵3a＝15，5b＝15， ∴3a﹣1＝　 　 ，5b﹣1＝　 　 ， ∴（3a﹣1）（　 　 ）＝3， ∴… （1）综合上述材料并填空； （2）继续完成小明与小丽的说理． 8．已知xm＝6，xn＝3，则xm﹣2n的值为 　 　 ． 9．若am＝3，an＝4，则a2m﹣n的值为　 　 ． 10．计算： （1）； （2）a•a7﹣（﹣2a4）2+a10÷a2． 11．已知：5a＝2，5b＝6，5c＝48． （1）求52a﹣b的值； （2）a、b、c之间的数量关系为 　 　 ． 12．（1）已知3×9x×81＝321，求x的值； （2）已知am＝2，an＝5，求： ①am+n的值；②a3m﹣2n的值． 【考点2.多项式乘法】 13．已知单项式3x2y3与2xy2的积为mx3yn，则m﹣n＝　 　 ． 14．已知多项式x2+ax﹣4恰等于两个多项式x+1和x+n的积，则an＝　 　 ． 15．若x2﹣5x﹣2＝0，则（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）＝　 　 ． 16．如图，有A类、B类正方形卡片和C类长方形卡片各若干张．若拼一个长为a+4b、宽为a+3b的大长方形，则需要C类卡片的张数为 　 　 ． 【考点3．完全平方公式】 17．已知，则　 　 ． 18．已知实数x满足等式（x﹣2021）2+（x﹣ ）2＝34，则代数和式（x﹣2023）2的值是　 　 ． 19．已知a＞b＞0． （1）比较大小：a2+b2　 　 2ab（填“＞”“＜”“≥”或“≤”）； （2）求证：． 20．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例．这个三角形给出了（a+b）n（n＝1，2，3，4，5，6）的展开式的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项的系数，等等． 有如下四个结论，其中正确的是　 　 ． ①（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5； ②当a＝2，b＝﹣1时，代数式a3+3a2b+3ab2+b3的值是﹣1； ③当代数式a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4的值是0时，一定是a＝﹣1，b＝1； ④（a+b）n的展开式中的各项系数之和为2n． 21．如图，点M是线段AB的中点，点P在MB上，分别以AP、PB为边，在线段AB同侧作正方形APCD和正方形PBEF，连接MD和ME．若AP＝m，BP＝n，m+n＝6，mn＝7，则图中阴影部分的面积为　 　 ． 22．如图，在线段AB上取一点C，分别以AC、BC为边作正方形ACDE、正方形CBFG．若这两个正方形的面积和为13，△ACG的面积为3，则AB的长度是 　 　 ． 23．【阅读材料】 数形结合是一种重要的数学思想方法，在中学阶段，数形结合应用大致分为两种情形：借助数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观来阐明数之间某种关系． 【初步感受】 “形”的角度 “数”的角度 选取图1中，1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，可以拼成图2中的大正方形，在图2中，画出示意图，并标注相关字母． 观察图2，可得到乘法公式（a+b）2＝a2+2ab+b2． 应用：（2）若x满足（8﹣x）（4+x）＝5，则（8﹣x）2+（4+x）2的值为　 　 ． 【拓展研究】 （3）从“数”和“形”两个角度，当﹣4＜x＜8时，求代数式（8﹣x）（4+x）的最大值． 24．如图，两个正方形的边长分别为a、b，若a+b＝10，ab＝20，则图中阴影部分的面积为 　 　 ． 25．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）， （1）上述操作能验证的等式是 　 　 ；（请选择正确的一个） A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．a2+ab＝a（a+b） （2）应用你从（1）选出的等式，完成下题： 已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值． 26．如图1，两个正方形ABCD、EFGH的边长分别是a、b（a＞b），将这两个正方形分别按不同的方式摆放，回答下列问题： （1）如图2，将两个正方形叠合摆放，点E与点B重合，点F、H分别在AB、CD上，并将不重叠的阴影部分沿虚线Gl剪开，重新拼接后，得到一个长方形AHFC，用两种不同的方法表示阴影部分面积，可以验证等式 　 　 ． A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2 （2）如图3，将两个正方形如图摆放，点E与点C重合，点H在CD上，连接BH，若它们边长之和为14，面积之和为100，求阴影部分面积． （3）如图4，将两个正方形如图摆放，点G与点C重合，点E、G分别在DC、BC的延长线上，若它们边长之和为14，阴影部分面积为45，求这两个正方形的面积之差． 27．如图1，正方形甲、乙、丙的边长分别为a，b，c，且a+b＜c． （1）如图2，将正方形甲、乙拼接在一起，沿着外边框可以画出一个大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积为 　 　 或 　 　 ，从而可以得到一个乘法公式为 　 　 ； （2）如图3，将正方形甲、乙、丙拼接在一起，沿着外边框可以画出一个大正方形，类比（1）的思路进行思考，直接写出所得到的等式； （3）用正方形甲、乙、丙构造恰当的图形，说明（p﹣m﹣n）2＜p2﹣m2﹣n2． 考点4．线段垂直平分线的性质 30．如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB于点D和点E． （1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？ （2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数． 31．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE． （1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由； （2）若AC＝6，BC＝8，PA＝2，求线段DE的长． 32．如图，点P在∠AOB的内部，点C和点P关于直线OA对称，点P关于直线OB的对称点是点D，连接CD交OA于点M，交OB于点N． （1）若∠AOB＝α，求∠COD的度数； （2）若CD＝4，△PMN的周长为　 　 ． 【考点5.图形变换】 28．在△ABC中，AC，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O，若∠C＝m°，则∠AOB的度数为 　 　 （用含m的代数式表示）． 29．如图，在△ABC中，BC＝10cm，AC的垂直平分线交BC于D，连接AD，AB的垂直平分线交AD于F，则△BDF的周长是　 　 cm． 33．）如图，直角△ABC和直角△DEF重叠在一起，将△DEF沿点B到点C的方向平移到如图位置．若AB＝14，图中阴影部分的面积为84，DH＝4，则CF的长为 　 　 ． 34．（2026• 一模）如图，将△ABC绕点A旋转至△ADE的位置，点B在边DE上，AE与BC交于点G．若∠ABC＝65°，则∠EAC＝ 　 　 °． 35．将一副直角三角板按如图所示的方式叠放，含30°的三角板固定不动，将45°的三角板绕点A顺时针旋转，点C始终在直线AE的上方．在旋转的过程中，若两块三角板有一组边互相平行，则∠BAE的度数是 　 　 ． 36．如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，将△ABC绕点A顺时针旋转，使点C的对应点C′落在边BC上．连接BB′，若AB⊥B′C′，则∠ABB′＝ 　 　 °． 37．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C，点A′落在线段BC上，此时A、C、B′三点也恰好共线，若D、D′分别是AB、A'B'的中点，则∠DCD′的度数是 　 　 °． 38．）如图，将△ABC绕点O逆时针旋转一定角度α（0°＜α＜180°）得到△A′B′C′，使得A′B′∥AC，若∠B＝60°，∠C＝70°，则α＝ 　 　 °． 39．如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝30°，△ADE是直角三角形，∠ADE＝90°，∠E＝30°，且边AB与AD重合，将△ADE绕点A以每秒6°顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 　 　 秒时，DE∥AC． 40．已知两个完全相同的直角三角形纸片△ABC、△DEF，如图放置，点 B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G．∠C＝∠EFB＝90°，∠E＝∠ABC＝30°，现将图中的△ABC绕点F按每秒15°的速度沿逆时针方向旋转180°，在旋转的过程中，△ABC恰有一边与DE平行的时间为 　 　 秒． 【解答】解：∵2a×2c＝2a+c＝3×12＝36，（2b）2＝62，22b＝36， ∴2a+c＝22b， ∴a+c＝2b， 故①正确， ∵2a×2b＝2a+b＝3×6＝18，（2c）2÷23＝22c﹣3＝122÷8＝18， ∴2a+b＝22c﹣3， ∴a+b＝2c﹣3， 故②正确； ∵2b×2c＝2b+c＝6×12＝72，（2a）2×23＝22a+3＝72， ∴2b+c＝22a+3， ∴b+c＝2a+3． 故③正确； ∵2a×22＝aa+2＝3×4＝12，2b＝6， ∴2a+2≠ab． 故④不正确． ∴正确的有①②③选项． 故答案为：①②③． 4．（ •秦淮区校级 ）计算：　　 ． 【答案】． 【解答】解：原式＝（）2023（﹣1） ＝（）2022（﹣1） ＝1 ， 故答案为：． 5．（ •秦淮区校级 ）新定义：如果xn＝y，则规定（x，y）＝n，例如：32＝9，所以（3，9）＝2． （1）填空：（2，4）＝　2　 ；（﹣3，81）＝　4　 ； （2）若（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c，试说明a+b＝c； （3）若（e，5）＝（f，125），求e与f的数量关系． 【答案】（1）2，4． （2）见证明过程． （3）当k为偶数时，e3+f＝0或e3＝f；当k为奇数时，e3＝f． 【解答】（1）解：∵22＝4， ∴（2，4）＝2． ∵（﹣3）4＝81， ∴（﹣3，81）＝4． 故答案为：2，4． （2）证明：∵（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c， ∴4a＝12，4b＝5，4c＝60， ∴4a×4b＝12×5＝60＝4c， ∴a+b＝c． （3）解：设（e，5）＝（f，125）＝k， ∴ek＝5，fk＝125＝53， ∵（ek）3＝53， ∴（e3）k＝53， ∴（e3）k＝fk， 当k为偶数时，e3+f＝0或e3＝f； 当k为奇数时，e3＝f． 6．（2024 •鼓楼区 ）（1）若25+25＝2a，37+37+37＝3b，则a+b＝　14　 ． （2）若2m×3n＝（4×27）7，求m，n． （3）若2p＝m，mq＝n，nr＝32，求pqr． 【答案】（1）14； （2）m＝14，n＝21； （3）5． 【解答】解：（1）∵25+25＝25×2＝26＝2a，37+37+37＝37×3＝38＝3b， ∴a＝6，b＝8， ∴a+b＝6+8＝14， 故答案为：14； （2）∵2m×3n＝（4×27）7＝（22×33）7＝22×7×33×7＝214×321， ∴m＝14，n＝21； （3）∵2p＝m，mq＝n，nr＝32， ∴（2p）q＝n，[（2p）q]r＝32， ∴2pqr＝25， ∴pqr＝5． 7．（ • ）当3a＝15，5b＝15时，试说明a+b＝ab． 小明做如下尝试： ∵3a＝15，5b＝15， ∴3ab＝（　3a ）b＝15b， 5ab＝（　5b ）a＝15a． ∴… 小丽做如下尝试： ∵3a＝15，5b＝15， ∴3a﹣1＝　5　 ，5b﹣1＝　3　 ， ∴（3a﹣1）（b﹣1　 ）＝3， ∴… （1）综合上述材料并填空； （2）继续完成小明与小丽的说理． 【答案】（1）3a；5b；5；3；b﹣1；（2）说理过程见解析． 【解答】解：（1）小明做如下尝试： ∵3a＝15，5b＝15， ∴3ab＝（3a）b＝15b①， 5ab＝（5b）a＝15a②， 故答案为：3a；5b； 小丽做如下尝试： ∵3a＝15，5b＝15， ∴3a﹣1＝5，5b﹣1＝3， ∴（3a﹣1）（b﹣1）＝3， 故答案为：5；3；b﹣1； （2）小明做如下尝试： ∵3a＝15，5b＝15， ∴3ab＝（3a）b＝15b①， 5ab＝（5b）a＝15a②， ∴①×②得：3ab•5ab＝15a•15b， ∴（3×5）ab＝15a+b， ∴15ab＝15a+b， ∴ab＝a+b； 小丽做如下尝试： ∵3a＝15，5b＝15， ∴3a﹣1＝5，5b﹣1＝3， ∴（3a﹣1）（b﹣1）＝3， ∴3（a﹣1）（b﹣1）＝3， ∴（a﹣1）（b﹣1）＝1， ∴ab﹣a﹣b+1＝1， ∴ab＝a+b． 三．同底数幂的除法（共5小题） 8．（ •鼓楼区 ）已知xm＝6，xn＝3，则xm﹣2n的值为 　　 ． 【答案】 【解答】解：xm﹣2n ＝xm÷x2n ＝xm÷（xn）2， ∵xm＝6，xn＝3， ∴xm﹣2n＝6÷32， 故答案为：． 9．（ •玄武区 ）若am＝3，an＝4，则a2m﹣n的值为　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵am＝3，an＝4， ∴a2m﹣n＝a2m÷an＝（am）2÷an＝32÷4， 故答案为：． 10．（ 秋•建邺区校级 ）计算： （1）； （2）a•a7﹣（﹣2a4）2+a10÷a2． 【答案】（1）5； （2）﹣2a8． 【解答】解：（1）原式 ＝﹣1+6 ＝5； （2）原式＝a8﹣4a8+a8 ＝﹣2a8． 11．（2024 •秦淮区 ）已知：5a＝2，5b＝6，5c＝48． （1）求52a﹣b的值； （2）a、b、c之间的数量关系为 　3a+b＝c ． 【答案】（1）； （2）3a+b＝c． 【解答】解：（1）52a﹣b ＝52a÷5b ＝（5a）2÷5b ＝4÷6 ； （2）∵（5a）3•5b＝23•6＝8•6＝48＝5c， ∴3a+b＝c． 故答案为：3a+b＝c． 12．（2024 •雨花台区校级 ）（1）已知3×9x×81＝321，求x的值； （2）已知am＝2，an＝5，求： ①am+n的值； ②a3m﹣2n的值． 【答案】（1）x＝8；（2）①10； ②． 【解答】解：（1）3×（32）x×34＝321， 3×32x×34＝321， 32x+5＝321， 2x+5＝21， x＝8； （2）①am+n ＝am•an ＝2×5 ＝10； ②a3m﹣2n ＝a3m÷a2n ＝（am）3÷（an）2 ＝23÷52 ． 四．单项式乘单项式（共1小题） 13．（ •秦淮区 ）已知单项式3x2y3与2xy2的积为mx3yn，则m﹣n＝　1　 ． 【答案】1 【解答】解：3x2y3•2xy2＝6x3y5， 则m＝6，n＝5， ∴m﹣n＝6﹣5＝1， 故答案为：1． 五．多项式乘多项式（共3小题） 14．（2019 •玄武区校级 ）已知多项式x2+ax﹣4恰等于两个多项式x+1和x+n的积，则an＝　　 ． 【答案】 【解答】解：（x+1）（x+n） ＝x2+（n+1）x+n， 由题意知a＝n+1，n＝﹣4， 【答案】（1）＞； （2）见解析． 【解答】（1）解：∵a＞b＞0， ∴（a﹣b）2＞0， ∴a2﹣2ab+b2＞0， ∴a2+b2＞2ab， 故答案为：＞； （2）证明： ， ∵a＞b＞0， ∴（a﹣b）2＞0，2（a+b）＞0， ∴0， ∴． 20．（ • ）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例．这个三角形给出了（a+b）n（n＝1，2，3，4，5，6）的展开式的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项的系数，等等． 有如下四个结论，其中正确的是　①④　 ． ①（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5； ②当a＝2，b＝﹣1时，代数式a3+3a2b+3ab2+b3的值是﹣1； ③当代数式a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4的值是0时，一定是a＝﹣1，b＝1； ④（a+b）n的展开式中的各项系数之和为2n． 【答案】①④． 【解答】解：由“杨辉三角”得：（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，故①结论正确； ∵a3+3a2b+3ab2+b3＝（a+b）3， ∴当a＝2，b＝﹣1时， a3+3a2b+3ab2+b3＝（a+b）3＝（2﹣1）3＝1，故②结论错误； ∵a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4＝（a+b）4， 代数式a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4的值是0， ∴a，b互为相反数，即a＝﹣1，b＝1或a＝1，b＝﹣1，故③结论错误； ∵a+b的各项系数之和为：1+1＝2＝21， （a+b）2的各项系数之和为：1+2+1＝4＝22， （a+b）3的各项系数之和为：1+3+3+1＝8＝23， …， ∴（a+b）n的各项系数之和为：2n，故④结论正确． 故答案为：①④． 七．完全平方公式的几何背景（共4小题） 21．（ •建邺区校级 ）如图，点M是线段AB的中点，点P在MB上，分别以AP、PB为边，在线段AB同侧作正方形APCD和正方形PBEF，连接MD和ME．若AP＝m，BP＝n，m+n＝6，mn＝7，则图中阴影部分的面积为　13　 ． 【答案】13． 【解答】解：∵点M是线段AB的中点，AP＝m，BP＝n， ∴AM＝BM（m+n）， ∵m+n＝6，mn＝7， ∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝36﹣14＝22， ∴阴影部分的面积为m2+n2（m+n）•m（m+n）•n ＝m2+n2m2mnmnn2 （m2+n2）mn 227 ＝13． 故答案为：13． 22．（2023 • ）如图，在线段AB上取一点C，分别以AC、BC为边作正方形ACDE、正方形CBFG．若这两个正方形的面积和为13，△ACG的面积为3，则AB的长度是 　5　 ． 【答案】5． 【解答】设AC＝a，BC＝b，则AB＝AC+BC＝a+b， ∵这两个正方形的面积和为13，△ACG的面积为3， ∴， ∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝13+2×6＝25， ∴a+b＝5（负值舍去）， ∴AB的长度＝AC+CB＝a+b＝5， 故答案为：5． 23．（ • ）【阅读材料】 数形结合是一种重要的数学思想方法，在中学阶段，数形结合应用大致分为两种情形：借助数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观来阐明数之间某种关系． 【初步感受】 “形”的角度 “数”的角度 选取图1中，1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，可以拼成图2中的大正方形，在图2中，画出示意图，并标注相关字母． 观察图2，可得到乘法公式（a+b）2＝a2+2ab+b2． 应用：（2）若x满足（8﹣x）（4+x）＝5，则（8﹣x）2+（4+x）2的值为　134　 ． 【拓展研究】 （3）从“数”和“形”两个角度，当﹣4＜x＜8时，求代数式（8﹣x）（4+x）的最大值． 【答案】（1）所画的示意图如图所示： 由此可得公式（a+b）2＝a2+2ab+b2； （2）134； （3）36． 【解答】解：（1）所画的示意图如图所示： 由此可得公式（a+b）2＝a2+2ab+b2； （2）设a＝8﹣x，b＝4+x，则a+b＝12，ab＝（8﹣x）（4+x）＝5， ∴（8﹣x）2+（4+x）2 ＝a2+b2 ＝（a+b）2﹣2ab ＝144﹣10 ＝134， 故答案为：134； （3）“数”的方面：∵（8﹣x）+（4+x）＝12，∴当8﹣x＝4+x时，（8﹣x）（4+x）的值最大，即当x＝2时，（8﹣x）（4+x）的值最大，最大值为（8﹣2）×（4+2）＝36，即（8﹣x）（4+x）的最大值为36，“形”的方面：设a＝8﹣x，b＝4+x，则a+b＝8﹣x+4+x＝12，因此问题转化为用长为24的铁丝围成一个长a，宽为b的长方形，何时长方形的面积最大，即ab的值最大，当围成的是正方形时面积最大，即a＝b，所以正方形的边长为24÷4＝6，此时面积最大为6×6＝36，即代数式（8﹣x）（4+x）的最大值为36． 24．（2024 •玄武区 ）如图，两个正方形的边长分别为a、b，若a+b＝10，ab＝20，则图中阴影部分的面积为 　20　 ． 【答案】20． 【解答】解：阴影部分的面积为， 当a+b＝10，ab＝20时， 原式（100﹣60）＝20． 故答案为：20． 八．平方差公式的几何背景（共3小题） 25．（ •秦淮区校级 ）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）， （1）上述操作能验证的等式是 B ；（请选择正确的一个） A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．a2+ab＝a（a+b） （2）应用你从（1）选出的等式，完成下题： 已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意得长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b）， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 故选：B． （2）根据（1），令a＝x，b＝2y， 则x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）， 当x2﹣4y2＝12，x+2y＝4时， 12＝4（x﹣2y）， ∴x﹣2y＝3． 26．（ •玄武区 ）如图1，两个正方形ABCD、EFGH的边长分别是a、b（a＞b），将这两个正方形分别按不同的方式摆放，回答下列问题： （1）如图2，将两个正方形叠合摆放，点E与点B重合，点F、H分别在AB、CD上，并将不重叠的阴影部分沿虚线Gl剪开，重新拼接后，得到一个长方形AHFC，用两种不同的方法表示阴影部分面积，可以验证等式 C ． A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2 （2）如图3，将两个正方形如图摆放，点E与点C重合，点H在CD上，连接BH，若它们边长之和为14，面积之和为100，求阴影部分面积． （3）如图4，将两个正方形如图摆放，点G与点C重合，点E、G分别在DC、BC的延长线上，若它们边长之和为14，阴影部分面积为45，求这两个正方形的面积之差． 【答案】（1）C； （2）24； （3）56． 【解答】解：（1）图2中，将边长为b的正方形，放在边长为a的正方形中，剩余部分的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2，经过裁剪拼成长为a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b）， 所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故答案为：C；） （2）∵a+b＝14， ∴（a+b）2＝142，即a2+2ab+b2＝196， ∵a2+b2＝100， ∴100+2ab＝196， ∴ab＝48， ∴； （3）∵S阴影部分＝45abab， ∴ab＝45， ∵a+b＝14，ab＝45， ∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝142﹣4×45＝16， ∵a＞b， ∴a﹣b＝4， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝14×4＝56． 27．（2024 •鼓楼区 ）如图1，正方形甲、乙、丙的边长分别为a，b，c，且a+b＜c． （1）如图2，将正方形甲、乙拼接在一起，沿着外边框可以画出一个大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积为 　（a+b）2 或 a2+2ab+b2 ，从而可以得到一个乘法公式为 　（a+b）2＝a2+2ab+b2 ； （2）如图3，将正方形甲、乙、丙拼接在一起，沿着外边框可以画出一个大正方形，类比（1）的思路进行思考，直接写出所得到的等式； （3）用正方形甲、乙、丙构造恰当的图形，说明（p﹣m﹣n）2＜p2﹣m2﹣n2． 【答案】（1）（a+b）2，a2+b2+2ab，（a+b）2＝a2+b2+2ab； （2）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac； （3）详见解答． 【解答】解：（1）图2从“整体”上看是边长为a+b的正方形，因此面积为（a+b）2，拼成图2的四个部分的面积和为a2+2ab+b2， 因此有（a+b）2＝a2+b2+2ab， 故答案为：（a+b）2，a2+b2+2ab，（a+b）2＝a2+b2+2ab； （2）图3从“整体”上看是边长为a+b+c的正方形，因此面积为（a+b+c）2，拼成图3的九个部分的面积和为a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac， 因此有（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac， 故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac； （3）如图，正方形A的面积为 （p﹣m﹣n）2，阴影部分面积为 p2﹣m2﹣n2， 由图形面积之间关系可说明 （p﹣m﹣n）2＜p2﹣m2﹣n2． 九．线段垂直平分线的性质（共4小题） 28．（2024秋•鼓楼区 ）在△ABC中，AC，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O，若∠C＝m°，则∠AOB的度数为 　2m°或（360﹣2m）°　 （用含m的代数式表示）． 【答案】2m°或（360﹣2m）°． 【解答】解：如图1，当∠BCA为锐角时，连接CO，AO，BO， ∵l1垂直平分AC，l2垂直平分BC， ∴AO＝CO，BO＝CO， ∴∠OAC＝∠OCA，∠OCB＝∠OBC， ∵∠OCB+∠OCA＝∠BCA＝m°， ∴∠OBC+∠OAC＝∠OCB+∠OCA＝m°， ∵∠ABC+∠CAB＝180°﹣∠BCA＝180°﹣m°， ∴∠OBA+∠OAB＝∠ABC+∠CAB﹣（∠OBC+∠OAC）＝180°﹣m°﹣m°＝180°﹣2m°， ∴∠AOB＝180°﹣（∠OBA+∠OAB）＝2m°． 如图2，当∠BCA为钝角时，连接CO，AO，BO， ∵l1垂直平分AC，l2垂直平分BC， ∴AO＝CO，BO＝CO， ∴∠OAC＝∠OCA，∠OCB＝∠OBC， ∵∠OCB+∠OCA＝∠BCA＝m°， ∴∠OBC+∠OAC＝∠OCB+∠OCA＝m°， ∵∠OBC+∠BCA+∠OAC+∠AOB＝360°， ∴∠AOB＝（360﹣2m）°． 故答案为：2m°或（360﹣2m）°． 29．（ 秋•鼓楼区校级 ）如图，在△ABC中，BC＝10cm，AC的垂直平分线交BC于D，连接AD，AB的垂直平分线交AD于F，则△BDF的周长是　10　 cm． 【答案】10． 【解答】解：∵DE垂直平分AC， ∴AD＝CD， ∵F在AB的垂直平分线上， ∴AF＝BF， ∴△BDF的周长＝BD+DF+BF＝BD+DF+AF＝BD+AD＝BD+CD＝BC＝10cm． 故答案为：10． 30．（2024秋• 校级 ）如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB于点D和点E． （1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？ （2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）△CDE的周长为10． ∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线， ∴AD＝CD，BE＝CE， ∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB＝10； （2）∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线， ∴AD＝CD，BE＝CE， ∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE， 又∵∠ACB＝125°， ∴∠A+∠B＝180°﹣125°＝55°， ∴∠ACD+∠BCE＝55°， ∴∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）＝125°﹣55°＝70°． 31．（2023秋•玄武区校级 ）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE． （1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由； （2）若AC＝6，BC＝8，PA＝2，求线段DE的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）DE⊥DP， 理由如下：∵PD＝PA， ∴∠A＝∠PDA， ∵EF是BD的垂直平分线， ∴EB＝ED， ∴∠B＝∠EDB， ∵∠C＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∴∠PDA+∠EDB＝90°， ∴∠PDE＝180°﹣90°＝90°， ∴DE⊥DP； （2）连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8﹣x， ∵∠C＝∠PDE＝90°， ∴PC2+CE2＝PE2＝PD2+DE2， ∴42+（8﹣x）2＝22+x2， 解得：x＝4.75， 则DE＝4.75． 十．轴对称的性质（共1小题） 32．（ • ）如图，点P在∠AOB的内部，点C和点P关于直线OA对称，点P关于直线OB的对称点是点D，连接CD交OA于点M，交OB于点N． （1）若∠AOB＝α，求∠COD的度数； （2）若CD＝4，△PMN的周长为　4　 ． 【答案】（1）2α； （2）4． 【解答】解：（1）∵点C和点P关于OA对称， ∴∠AOC＝∠AOP， ∵点P关于OB对称点是D， ∴∠BOD＝∠BOP， ∵∠AOB＝α， ＝∠AOC+∠AOP+∠BOP+∠BOD ＝2（∠AOP+∠BOP） ＝2∠AOB ＝2α； （2）∵点C和点P关于OA对称， ∴CM＝PM， ∵点P关于OB对称点是D， ∴DN＝PN， ∵CD＝4， ∴CM+MN+DN＝4， ∴PM+MN+PN＝4， 即△PMN的周长为4． 故答案为：4． 十一．平移的性质（共1小题） 33．（ • ）如图，直角△ABC和直角△DEF重叠在一起，将△DEF沿点B到点C的方向平移到如图位置．若AB＝14，图中阴影部分的面积为84，DH＝4，则CF的长为 　7　 ． 【答案】7． 【解答】解：由平移可知， S△ABC＝S△DEF，DE＝AB＝14， 所以阴影部分的面积与梯形ABEH的面积相等，EH＝14﹣4＝10， 则， 所以BE＝7， 所以CF＝BE＝7． 故答案为：7． 十二．旋转的性质（共6小题） 34．（2026• 一模）如图，将△ABC绕点A旋转至△ADE的位置，点B在边DE上，AE与BC交于点G．若∠ABC＝65°，则∠EAC＝ 　50　 °． 【答案】50． 【解答】解：∵将△ABC绕点A旋转至△ADE的位置，点B在边DE上， ∴AD＝AB，∠D＝∠ABC，∠EAC＝∠DAB， ∴∠D＝∠ABD， ∵∠ABC＝65°， ∴∠D＝∠ABC＝∠ABD＝65°， ∴∠DAB＝180°﹣∠D﹣∠ABD＝180°﹣65°﹣65°＝50°， ∴∠EAC＝50°， 故答案为：50． 35．（ ）将一副直角三角板按如图所示的方式叠放，含30°的三角板固定不动，将45°的三角板绕点A顺时针旋转，点C始终在直线AE的上方．在旋转的过程中，若两块三角板有一组边互相平行，则∠BAE的度数是 　45°或75°或120°　 ． 【答案】45°或75°或120°． 【解答】解：根据题意得∠ADE＝∠ACB＝90°，∠AED＝60°，∠DAE＝30°，∠CAB＝∠CBA＝45°， 当BC∥AE时，如图1，则∠BAE＝∠CBA＝45°； 当BC∥AD，此时AC∥DE， ∴∠BAD＝∠CBA＝45°； ∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝45°+30°＝75°； 当AB∥DE时，如图1，则∠BAD＝∠ADE＝90°， ∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°+30°＝120°， 综上所述，∠BAE的度数为45°或75°或120°． 故答案为：45°或75°或120°． 36．（ • ）如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，将△ABC绕点A顺时针旋转，使点C的对应点C′落在边BC上．连接BB′，若AB⊥B′C′，则∠ABB′＝ 　65　 °． 【答案】65． 【解答】解：∵AB⊥B′C′， ∴∠AOB'＝90°． 由旋转得，AB＝AB'，∠AB'C'＝∠ABC＝40°， ∴∠ABB'＝∠AB'B，∠BAB'＝50°， ∴∠ABB'65°． 故答案为：65． 37．（ •玄武区 ）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C，点A′落在线段BC上，此时A、C、B′三点也恰好共线，若D、D′分别是AB、A'B'的中点，则∠DCD′的度数是 　90　 °． 【答案】90． 【解答】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C， ∴∠ACB＝∠A′CB′， ∵点A′落在线段BC上，此时A、C、B′三点也恰好共线， ∴∠ACB+∠A′CB′＝2∠A′CB′＝180°， ∴∠BCB′＝∠A′CB′＝90°， ∴旋转角为90°， ∵D、D′分别是AB、A'B'的中点， ∴CD和CD′分别是Rt△ABC和Rt△A'B'C的斜边上的中线， ∵Rt△ABC斜边上的中线CD也绕点C旋转90°， ∴∠DCD′＝90°， 故答案为：90． 38．（ •玄武区 ）如图，将△ABC绕点O逆时针旋转一定角度α（0°＜α＜180°）得到△A′B′C′，使得A′B′∥AC，若∠B＝60°，∠C＝70°，则α＝ 　50　 °． 【答案】50． 【解答】解：连接OA、OB、OA′、OB′，AB与A′B′交于点D，OA′交AB于E点，如图， ∵∠ABC＝60°，∠C＝70°， ∴∠BAC＝180°﹣60°﹣70°＝50°， ∵△ABC绕点O逆时针旋转一定角度α（0°＜α＜180°）得到△A′B′C′， ∴OA＝OA′，OB＝OB′，AB＝A′B′，∠AOA′等于旋转角， ∴△OAB≌△OA′B′（SSS）， ∴∠OAB＝∠OA′B′， ∵∠OEA＝∠DEA′， ∴∠AOA′＝∠A′DE， ∵A′B′∥AC， ∴∠A′DE＝∠BAC＝50°， ∴旋转角为50°． 故答案为：50． 39．（ •建邺区校级 ）如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝30°，△ADE是直角三角形，∠ADE＝90°，∠E＝30°，且边AB与AD重合，将△ADE绕点A以每秒6°顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 　5或35　 秒时，DE∥AC． 【答案】5或35． 【解答】解：当DE在AC上方时，如图， ∵DE∥AC， ∴∠ADE+∠DAC＝180°． ∵∠ADE＝90°， ∴∠DAC＝90°． ∵∠C＝∠ABC＝30°， ∴∠BAC＝120°， ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝30°， 此时旋转了30°÷6°＝5（秒）； 当DE在AC下方时，如图， ∵DE∥AC， ∴∠ADE＝∠DAC＝90°． ∵∠C＝∠ABC＝30°， ∴∠BAC＝120°， ∴旋转角度为120°+90°＝210°， 第1页（共27页） 学科网（北京）股份有限公司 $