2026年中考数学二轮复习专项训练 二次函数提升 线段周长存在性问题

2026年中考数学二轮复习专项训练 二次函数提升 线段周长存在性问题 1．（25-26九年级上·山东济宁·期中）如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．       (1)求抛物线的解析式； (2)点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点，不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接．连接，当的面积为10时，求点的横坐标； (3)若为抛物线对称轴上一动点，使得以为直角边的直角三角形，请直接写出点的坐标． 2．（25-26九年级上·甘肃张掖·月考）如图，已知直线与轴，轴分别交于，两点，抛物线经过点，交轴于另一点，点是拋物线位于第一象限部分上的一点，设点的横坐标为． (1)①直接写出点，的坐标； ②求抛物线的解析式； (2)过点作轴，交直线于点，当时，求的值． 3．（25-26九年级上·山东济南·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过A、C两点，与轴的另一交点为点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点为直线上方抛物线上一动点； ①过点作轴，交直线AC于点，作轴．交直线于点，求周长的最大值； ②过点作，垂足为点，连接，是否存在点，使得中的某个角恰好等于的2倍？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 4．（24-25九年级上·贵州遵义·月考）如图，二次函数交轴于点，，交轴于点，顶点为． (1)求二次函数的解析式； (2)点是抛物线的对称轴上一个动点，连接，，当的长度最小时，求出点的坐标． 5．（25-26九年级上·甘肃张掖·月考）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)当时，直接写出y的取值范围； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使的周长最小？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由； (4)设点M在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，直接写出点M的坐标． 6．（24-25九年级上·云南红河·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点，点，与轴相交于点，点是抛物线上的一点． (1)求出该二次函数的表达式； (2)若，求点的坐标； (3)当点在第一象限内时，设点关于直线对称点为点，当线段最大时，求此时点的坐标，以及的最大值． 7．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求点A，B，C的坐标； (2)点P在线段上，过点P作x轴的垂线交直线于点M，交抛物线于点N，求线段的最大值； (3)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 8．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），点、的坐标分别是、，与轴交于点，点的坐标是，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； (3)点M是抛物线的顶点，点是轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以为边的矩形，求点的坐标 9．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，抛物线：的对称轴为，且与y轴交点的纵坐标为． (1)求b，c的值； (2)若抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），求A、B两点的坐标； (3)抛物线：经过抛物线的顶点P． ①请判断抛物线的顶点Q是否在抛物线上，并说明理由； ②若，点E是在点P和点Q之间抛物线上的一点，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，直接写出长度的最大值． 10．（2026九年级上·江苏泰州·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过两点，与x轴的另一个交点为C． (1)求拋物线的解析式． (2)点P是拋物线对称轴上的动点，是否存在点P使的周长最小，若存在，求点P坐标，若不存在，说明理由． (3)D为直线上方抛物线上一动点． ①求面积的最大值； ②连接交于点E，记，，求的最大值； ③是否存在点D，使得？如果存在，直接写出点D的坐标；如果不存在，请说明理由． 11．（25-26九年级上·重庆·月考）如图，抛物线和轴相交于点、两点，交轴于点，顶点为点，点是点关于抛物线对称轴的对称点，过点作轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是线段上方抛物线上一点，过点作轴交轴于点，交线段与点，当四边形的面积最大时，在线段上有一动点，在线段上有一动点，在轴上有一动点，且满足，连接，求的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线．点为新抛物线对称轴上一动点，连接、，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 12．（2024·广东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的图像交轴于点，与轴交于点．其中． (1)求该抛物线的解析式与顶点坐标． (2)点为中点，是轴下方抛物线上的一个动点，连接，，，，问是否存在点，使得．若存在，求点的坐标；若不存在，请给出理由． (3)如图2，点关于点的对称点为为线段上一点，连接，为线段上一点，且，连接，当的值最小时，直接写出的长． 13．（25-26九年级上·天津·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，连接交轴于点，平移后的抛物线上是否存在一点，使得，若存在，直接写出符合条件的点坐标，若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴ ， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将点，点的坐标分别代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∴， 根据题意得的面积为10， ∴ ， 解得：，， ∴的面积为时，点的横坐标为或； （3）解：点的坐标为，，，，理由如下: ∵抛物线， ∴对称轴为直线， 设， ∵，， ∴，，， ∵以为直角边的直角三角形， ∴如图，当， ∴， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； 如图，当， ∴， ∴， 解得：， ∴点的坐标为， 综上可得：点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与二次函数的性质，二次函数的应用——面积问题，线段周长问题，求抛物线与轴的交点坐标，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 2．(1)①；② (2)或． 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数的综合，涉及求点的坐标与函数解析式等知识点，综合运用“数形结合”的思想是解题的关键． （1）①分别令横纵坐标为0，并结合一次函数的解析式即可求得点B与点C的坐标；②利用待定系数法即可求得二次函数的解析式． （2）先表示出点P与点M的纵坐标，然后用点P与点M的纵坐标之差的绝对值等于2建立二次方程并求解，最后再结合m的取值范围即可确定点P的横坐标． 【详解】（1）解：①在直线中，令，得；令，得，即， 故， ②将两点的坐标代入中得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：已知设点P的横坐标为m，则， 当时，，即：， 因点P位于第一象限， ∴， 解方程得，或． 3．(1) (2)①；②-2或 【分析】（1）先求出点A，C的坐标，再利用待定系数法解答即可； （2）①设点，则，，可得，，再由，可得，然后周长为，结合二次函数的性质解答即可；②根据勾股定理的逆定理得到是以为直角的直角三角形，取的中点，求得，得到，过作轴的平行线交轴于，交的延长线于，情况一：，情况二，，解直角三角形即可得到结论． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴，， 抛物线经过、两点， ， ，， ∴抛物线解析式为； （2）解：①如图， 设点， ∵轴，轴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴周长为 ， ∵， ∴当时，周长最大，最大值为； ②对于， 当时，， 解得：， ∴， ∵，， ，，， ， ∴是以为直角的直角三角形， 取的中点， ∴， ， ，， ， 过点作轴的平行线交轴于，交的延长线于，则， 设， ，， 分以下两种情况： 情况一：当时，如图2， ∵， ， ， 即， ∴， （舍去），， ， 情况二：当时， ， 设， ，， ∵， ， ，， ∵，， ，， ∴， ， （舍去），， 综上所述：点的横坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，三角函数，解直角三角形，勾股定理等知识点． 4．(1) (2) 【分析】本题考查了求二次函数解析式、抛物线对称性、最短路径问题，灵活运用相关知识，采用数形结合的思想是解题关键． （1）设二次函数的解析式为，化为一般式，对照条件中的解析式可求出，从而得解； （2）当三点共线时，的长度最小，用待定系数法求出直线的解析式，求出抛物线对称轴，然后计算直线与抛物线对称轴交点坐标即可； 【详解】（1）解：根据题意，设二次函数的解析式为， 化为一般式得， ∵， ∴， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵点与点关于抛物线的对称轴对称， ∴当三点共线时，的长度最小， 此时点坐标为直线与抛物线对称轴交点， 令，代入得， ∴点， 设直线的解析式为， 将点坐标代入得， 解得：， ∴的解析式为， 由题意可得，抛物线的对称轴为直线， 将代入得， ∴点的坐标为． 5．(1)， (2) (3)存在，点P坐标为 (4)当是直角三角形时，点M的坐标为或或或 【分析】（1）由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再将抛物线的一般式转化为顶点式进而求出抛物线的顶点； （2）根据二次函数的图象和性质可知当时，y取得最大值为4，再分别求出当时和当时对应的y值，结合函数图象即可得出答案． （3）设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，此时的最小值为，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，利用抛物线顶点式可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标； （4）设点M的坐标为，则，，，分、、三种情况，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m的值，进而即可得出点M的坐标． 【详解】（1）解：由题意知，将，代入中， 得，解得：， ∴抛物线的解析式为， 将抛物线的一般解析式转化为顶点式为， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为． （2）解：由（1）可知， 则抛物线开口向下，且当时，y取得最大值为4， 当时，， 当时，， 故当时，． （3）解：存在， 如图，设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，此时的最小值为， 当时，有， 解得：，， ∴点B的坐标为， ∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 设直线的解析式为， 将、代入中， 得：，解得：， ∴直线的解析式为， ∵当时，， ∴当周长最小时，点P的坐标为． （4）解：如图，设点M的坐标为， 由勾股定理得，， ， ， 此时分三种情况考虑： ①当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， ②当时，有，即， 解得：，， ∴点M的坐标为或， ③当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， 综上所述，当是直角三角形时，点M的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了抛物线的解析式求解、求抛物线的顶点坐标、动点最值问题求解对称轴上点的坐标、勾股定理及直角三角形的性质应用． 6．(1)； (2)或或或 (3)点的坐标为时、最大为 【分析】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数与一次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可得； （2）根据，可得或，即可求解； （3）连接、，设交于，则，即当线段最大时，也最大，可得当最大时，的值最大，过作轴交于，设，求出直线的解析式为，可得，从而得到，进而得到，再根据二次函数的性质可得当，最大，然后根据，可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：、，， ，解得， ∴二次函数的表达式是：； （2）解：连接、． ∵、， ， ， ， 或． 当，解得：， 点、； 当，解得：， 点、； 综上所述，点P的坐标为或或或； （3）解：连接、． 、关于对称， 垂直平分， 设交于， ，即当线段最大时，也最大， ∵、， ∴， ∴当最大时，的值最大， 过作轴交于，设， 设直线的解析式为， 把、代入，得： ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， ， ， ， ， 当，最大， ∵， ， ， ， 当时，， 综上所述，点的坐标为时，最大为． 7．(1)点A坐标为；点B坐标为；点C坐标为 (2)4 (3)点Q的坐标为或 【分析】（1）根据二次函数性质，当时，，当时，，解得或，即可求解；      （2）设直线的函数表达式为，将点，点， 得，设点P坐标为，点M坐标为，点N坐标为，即可求解；         （3）在该抛物线的对称轴上存在点Q，设点Q坐标为，使，即，代入即可求解. 【详解】（1）解：当时，， ∴点C坐标为； 当时，，解得或， ∵点A在点B的左侧， ∴点A坐标为 ∴点B坐标为； （2）解：设直线的函数表达式为， ∵点，点， ∴，解得， ∴； 设点P坐标为， ∴点M坐标为，点N坐标为， ∴， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为4； （3）解：在该抛物线的对称轴上存在点Q，设点Q坐标为， 使，即， ∴，解得， ∴点Q的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查一元二次方程配方法、二次函数图象性质相关知识．熟练掌握二次函数图象性质，将问题转化，是解此题的关键． 8．(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）记与y轴的交点为，证明为等腰直角三角形， 过作轴交于，为等腰直角三角形， 则，设，则， 再建立二次函数，利用二次函数的性质解题即可； （3）如图，当在的右边，记直线交y轴于R，，则，求解直线的解析式为， 可得， 设，而四边形为矩形，可得，再利用勾股定理建立方程求解；如图，当在的左边，同理可得：． 【详解】（1）解： 把，，分别代入 得 ，解得 ， 抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知， 抛物线对称轴为直线， 点和点关于抛物线的对称轴对称， ， 设直线的解析式为， 把，分别代入得 ， 解得 ， 直线的解析式为 记与轴的交点为， 当时，，则， ， 为等腰直角三角形， ， 过作轴交于， ， 为等腰直角三角形， ， 设，则， ， 当时，有最大值， 的最大值为：； （3）解：如图，当在的右边， 记直线交轴于，，则， 设直线的解析式为， 把、分别代入得 ，解得 ， 直线的解析式为， 当时，，则， 设，而四边形为矩形， ， ∴， ， 解得：，即； 如图，当在的左边， 同理可得：， 解得：，即； 综上：或． 【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的性质，熟练地建立二次函数模型再利用二次函数的性质解决问题是解本题的关键． 9．(1)b的值为，c的值为 (2)， (3)①抛物线的顶点Q在抛物线上，见解析；② 【分析】本题考查二次函数图象性质，二次函数最值，二次函数顶点、对称轴，熟练掌握二次函数图象性质是解题的关键． （1）根据二次函数的性质即可解答； （2）把代入函数解析式即可解答； （3）①求得顶点P的坐标，代入，得到之间的关系，求得抛物线的顶点Q，代入即可判断； ②设点E的横坐标为，表示出的长度，根据二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：抛物线：的对称轴为， ， 解得， 抛物线与y轴交点的纵坐标为， ； （2）解：根据（1）可得抛物线的解析式为， 令， 解得， 点A在点B左侧， ，； （3）解：①抛物线的顶点Q在抛物线上，理由如下： ， ， 把代入抛物线：， 可得， ， 抛物线：， ， 把代入：， 可得， ， 把代入抛物线：， 可得， ∴抛物线的顶点Q在抛物线上； ②， ， ∴抛物线：，， 设，则， ， ， ， 当，取最大值为． 10．(1) (2)存在， (3)①4；②；③存在， 【分析】（1）根据直线求出点A、B的坐标，再利用待定系数法进行求解即可； （2）根据题意得到对称轴为，则的周长为，设点，由于点和点关于对称轴为对称，得到， 当、、三点共线时，值最小，即的周长最小，据此求解即可； （3）①过点作轴交直线于点，设点，则点，根据两点间的距离公式得到的长，根据面积为，进行计算求解即可； ②设点，过点C作直线交y轴于点，过点D作直线交y轴于点，过点M作，交直线于点，由于和同底，则，进而得到直线的解析式为，即点，同理可得点，进而得到，，据此解答即可； ③过点C作直线交于点，过点H作直线交y轴于点，证得，根据相似三角形的性质得到，在中，，进而得到，进而得到点，直线的表达式为，将与抛物线解析式联立，解得，从而得到点D坐标． 【详解】（1）解：将代入得：， 则点， 将代入得：， 则点， 将点，抛物线得： 解得： 因此，拋物线的解析式为； （2）解：存在点P使的周长最小，理由如下： 由（1）知，拋物线的解析式为， 则对称轴为，点， 则的周长为， 设点， 由于点和点关于对称轴为对称， 则， 因此，当、、三点共线时，值最小，即的周长最小， 将代入得： ， 则点坐标为； （3）①解：过点作轴交直线于点，如图： 设点，则点， 则， 因此面积为， 即， 当时，面积有最大值，最大值为4； ②解：设点， 过点C作直线交y轴于点，过点D作直线交y轴于点，过点M作，交直线于点，如图： 由于和同底， 则 即 设直线的解析式为，经过点 则， 解得， 直线的解析式为， 点， 同理可得：点 ，， ， 当时，的最大值为； ③解：存在，理由如下： 过点C作直线交于点，过点H作直线交y轴于点， 、、 在中，， 则， ， 设、则， 由勾股定理得， ，， 同理可得： 即点 设直线的表达式为， 将点代入得： 解得 则直线的表达式为， 将与抛物线解析式联立得： 解得或（舍去） 当时，， 即点． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合题，平行线的性质、解直角三角形、全等三角形的判定与性质，熟练掌握二次函数的性质，数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 11．(1) (2) (3)点的坐标是或 【分析】（1）将点、代入，解得的值，即得到抛物线的解析式； （2）由抛物线的解析式．可知对称轴为，从而得到， 因为点是点关于抛物线对称轴的对称点，故得点的坐标为，再利用待定系数法求得直线的解析式为，设点的坐标为，则点的坐标为，可得的长为，，由于，故当时，有最大值，从而得到点的坐标，将点向右平移个单位得到， 连接，可得四边形是平行四边形 ，故当点共线时，有最小值，从而得到的最小值． （3）根据题中提供的平移方式得新抛物线解析式为，从而得到新抛物线的对称轴为直线．由于点为新抛物线对称轴上一动点，设点的坐标为 由题意可知， 过点作交于点，则为等腰直角三角形，且．再过点作轴于点，过点作轴于点．易得．得到，由，可得，然后得到，解得或，从而求得点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点、两点， ∴ 解得： 抛物线的解析式为． （2）解：∵抛物线的解析式为． ∴对称轴为， ∴， 当时，，故， 点是点关于抛物线对称轴的对称点， 点的坐标为， ，， 设直线， 则， ∴ ∴直线的解析式为， 设点的坐标为，则点的坐标为， ， ， ， 当时，有最大值， 此时点的坐标为， ， 将点向右平移个单位得到， 连接， 则，而， ∴四边形是平行四边形 ， 作点关于轴的对称点，连接， 当点共线时，有最小值， 此时 的最小值为． （3）解：由上可得，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴将抛物线沿射线方向平移个单位，相当于将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移1个单位， ∵原解析式可化为， ∴平移后的解析式为 ∴所得新抛物线解析式为，所得新抛物线的对称轴为直线． 点为新抛物线对称轴上一动点， 设点的坐标为 ∵， ， 过点作交于点，    则为等腰直角三角形，且，， 再过点作轴于点，过点作轴于点． ∴， ∴， ∴． ， ， ， ∵ ∴， ∴， ， ∴， 解得或， 点的坐标是或． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质与四边形的综合题，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质等知识点． 12．(1)，顶点坐标为； (2)点为或； (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数面积综合，轴对称的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）不妨设，那么，那么，不妨设抛物线为，代入，即可求得，从而得到抛物线的解析式，然后再求得其顶点即可； （2）先求得，然后设交轴于点，不妨设，设直线为，代入，，求得直线的表达式，然后求得直线与轴的交点，然后利用列出方程求得答案； （3）先利用待定系数法求得直线为，不妨设，过点作于，过点作于点，先证明，通过对应边成比例，表示出点坐标，然后找的点的轨迹方程为，当的值最小时，即取得最小值，那么作点关于的对称点，连接交于点，当点与点重合时，取得最小值，且最小值为，此时，然后求得直线的表达式，联立直线与求得点坐标，最后利用勾股定理求得长度． 【详解】（1）解：不妨设，那么， ， 不妨设抛物线为，代入， ， 或（舍去）， ， ， 顶点坐标为； （2）解：设交轴于点，如图所示： 由（1）可知，， ， ， ， 点为中点， ， 不妨设，设直线为，代入，，得到， ， 直线为， 当时，， ， ， ， ， 或， 当时，，此时点为； 当时，，此时点为； 综上，点为或； （3）解：设直线为代入，那么有 ，解得， 直线为， 点关于点的对称点为， ， ， 不妨设，过点作于，过点作于点，如图所示： ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 点永远在上运动， 设交轴于点，交轴于点，连接、，如图， 当时，；当时，； 即， 为等腰直角三角形， ， ， ， 当的值最小时，即取得最小值， 那么作点关于的对称点，连接交于点，如图， 根据对称可知，，，，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 当点与点重合时，取得最小值，且最小值为，此时， 设直线为，代入，， 那么有，解得， 直线为， 联立直线与，有， 解得， ， 过点作轴，如图所示： ，， ， ． 故． 13．(1) (2)的最大值为9， (3)存在；或 【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可； （2）如图：过P作轴交直线于H，由二次函数的性质可得点，对称轴为直线；再通过证明是等腰直角三角形，即，进而得到；再运用待定系数法求得直线的解析式为，设点，则，进而得到，然后运用配方法求最值即可解答； （3）先直线的解析式为，再求得，然后确定平移后的抛物线解析式为；设，再用两点间距离公式表示出，然后再运用勾股定理列方程求得n即可解答． 【详解】（1）解：将两点代入可得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图：过点P作轴交直线于H， ∵抛物线的表达式为， ∴点，对称轴为直线， ∴， ∵， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，即， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点，则， ∴，， ∴ ， ∴当时，即时，的最大值为9． ∴的最大值为9，． （3）解：存在； 如图：设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， ∵连接交y轴于点M， ∴， ∵，抛物线沿射线方向平移个单位， ∴将抛物线向左平移两个单位，向上平移两个单位得到平移后的函数解析式为：， 设， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 整理得：， 解得：或， 把代入得： ， 把代入得： ， ∴点N的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与线段的综合、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用所学知识成为解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $