二次函数提升：线段周长问题、面积问题、相似问题专项训练-2026年中考数学二轮复习

二次函数提升：线段周长问题、面积问题、相似问题专项训练 二次函数提升：线段周长问题、面积问题、相似问题专项训练 考点目录 线段周长问题 面积问题 相似问题 考点一 线段周长问题 例1．（25-26九年级下·江西抚州·期中）已知抛物线与x轴交于，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点，D为对称轴与x轴的交点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，在x轴的上方且平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于P，Q两点，且为等腰直角三角形． （i）求的面积； （ii）点为该抛物线段上一动点，过点G作轴，与直线相交于点N，直接写出线段取得最大值时p的值． 例2．（2026·湖北襄阳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过两点，点P为第一象限抛物线上不与点B重合的一动点，作轴于点D，交直线于点C，设点P的横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，当点C为中点时，求m的值； (3)令． ①求d关于m的函数解析式； ②当d随m的增大而减小时，请直接写出m的取值范围． 例3．（25-26九年级下·河南南阳·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，P是抛物线上的任意一点，设点P的坐标为，过点P作轴于点M，作轴于点N． (1)求抛物线的函数表达式． (2)当时，是否存在一点P，使得的长度最大？若存在，求出m的值及的最大值；若不存在，请说明理由． (3)若在矩形内部的抛物线上的点的纵坐标y随x的增大而增大，请直接写出m的取值范围． 变式1．（2026·北京石景山·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点． (1)用含的式子表示； (2)若抛物线与轴的两个交点分别为点，（点在点左侧），与轴交于点．过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①当，时，直接写出的长； ②已知点从点运动到点的过程中，的长随的增大而减小，求的取值范围． 变式2．（2026·江苏泰州·一模）如图1，已知抛物线交x轴于点，点，交y轴于点C．过点C作，交抛物线于点D． (1)此抛物线对称轴为________；点D坐标为________；________，________； (2)点E是线段上一动点，连接，若平分，则点E的坐标为________； (3)将抛物线图象沿x轴正方向平移m个单位（）得到新抛物线的图象，对于新抛物线图象上的一点，当时，的最小值为． ①求m的值； ②如图2，在（2）的条件下，连接，点M为线段上一动点，过点M作y轴的平行线，交抛物线的图象于点N，当点M从左向右运动时线段的长度逐渐减小，求M的横坐标为t的取值范围． 变式3．（2026·浙江丽水·一模）已知二次函数的图象经过点和，点，是该二次函数图象上的两个动点，满足，且． (1)求该二次函数的表达式； (2)求的值； (3)已知一条平行于轴的直线过点交于点，一条平行于轴的直线过点交函数图象于，两点，且，求的最大值及此时对应的值． 考点二 面积问题 例1．（2026·宁夏·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，并且与轴交于另一点（点在点的右侧），点是抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是第二象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，设点的横坐标为，请用含的代数式表示出的长度； (3)在（2）的条件下，当三角形的面积为6时，求点的坐标． 例2．（25-26九年级上·陕西渭南·月考）如图，抛物线经过点、，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式和对称轴； (2)P是抛物线对称轴上的一点，求满足的值为最小的点P坐标； (3)点F是平面直角坐标系内一点，在第四象限的抛物线上是否存在点E，使四边形是以为对角线且面积为12的平行四边形？若存在，请求出点E坐标，若不存在，请说明理由． 例3．（2026·黑龙江佳木斯·一模）如图，抛物线 与x轴分别交于，B 两点（点 A 在点B的左侧），与 y 轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)线段下方的抛物线上是否存在一点E，使 ?若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1．（25-26九年级下·黑龙江牡丹江·月考）抛物线与x轴交于点和B两点，与y轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线下方的抛物线上是否存在一点P，使得，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 变式2．（25-26九年级下·江苏徐州·月考）如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点； (1)用配方法将二次函数化为的形式 ； (2)点为二次函数的图象第四象限的点，设点的横坐标为，当的面积最大时，求的最大面积，并写出此时点的坐标． 变式3．（2026·宁夏固原·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若点从点A出发，沿线段以每秒3个单位长度的速度运动，同时点从点B出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设运动时间为t秒． ①求的面积与的函数关系式，并求的最值； ②当的面积最大时，在抛物线上，是否存在点，使得．若存在，请直接写出点的横坐标，若不存在，说明理由． 考点三 相似问题 例1．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，已知抛物线交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y轴于点C． (1)写出图象W位于线段上方部分对应的函数关系式； (2)若直线与图象W有两个交点，请结合图象，请求出b的取值范围； (3)P为x轴正半轴上一动点，过点P作轴交直线于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使与相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 例2．（25-26九年级下·山东济宁·月考）如图，抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求抛物线的函数表达式和对称轴； (2)如图1，若点是第四象限内抛物线上的一个动点，当点运动到何处时，的面积恰好为面积的一半？求出此时点的坐标： (3)如图2，点是抛物线的顶点，直线交轴于点，若点是线段上的一个动点，是否存在以点为顶点的三角形与相似．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 例3．（2026·江苏苏州·模拟预测）抛物线过点，顶点为P，与x轴交于A、B两点（A在B点左侧），且． (1)求抛物线的解析式和顶点P的坐标； (2)若点D在抛物线上且，求点D的坐标； (3)若点Q在抛物线上，且，请直接写出满足条件的点Q坐标． 变式1．（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，抛物线与轴相交于、两点，与x轴相交于点，与轴相交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，若点是第四象限内抛物线上的一个动点，当点D运动到何处时，的面积最大？求出此时点D的坐标； (3)如图2，点是抛物线的顶点，直线交轴于点，若点是线段上的一个动点，是否存在以点，，为顶点的三角形与相似．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式2．（2025·海南海口·模拟预测）如图，已知抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，是第四象限内抛物线上一动点，过点作轴，交于点，连接、． (1)求该抛物线的函数关系式； (2)求面积的最大值，并求出此时点的坐标； (3)连接，当点运动到何位置时，与相似？ (4)是否存在点，使得线段与线段互相垂直平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式3．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，抛物线的顶点坐标为，且抛物线与y轴交于点，点B的坐标为，C（不与点A重合）为抛物线上一动点，以点C为圆心，的长为半径的圆交x轴于点M，N（点M在点N的左侧）． (1)求抛物线的解析式． (2)当点C在抛物线上运动时，弦的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出弦的长． (3)当与相似时，直接写出点M的坐标． 2 学科网（北京）股份有限公司 $二次函数提升：线段周长问题、面积问题、相似问题专项训练 二次函数提升：线段周长问题、面积问题、相似问题专项训练 考点目录 线段周长问题 面积问题 相似问题 考点一 线段周长问题 例1．（25-26九年级下·江西抚州·期中）已知抛物线与x轴交于，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点，D为对称轴与x轴的交点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，在x轴的上方且平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于P，Q两点，且为等腰直角三角形． （i）求的面积； （ii）点为该抛物线段上一动点，过点G作轴，与直线相交于点N，直接写出线段取得最大值时p的值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）代入点坐标，待定系数法求解析式即可； （2）（i）先通过对称轴公式求出D的坐标，设出点P的坐标，利用等腰直角三角形的性质，确定的中点与点P和点D的关系，并构建方程求出点P的坐标，即可计算求出各线段长，进而计算出面积； （ii）待定系数法求出直线的解析式，从而表示出点N的坐标，进而用含p的式子表示，得到关于p的二次函数，利用二次函数求最值的方法求解即可． 【详解】（1）解：代入和，得， 解得， ∴； （2）解：（i）由（1），得抛物线的对称轴为直线， ∴， 如图，设的中点为，则，， 设，则， ∴，， ∵， ∴， 解得，或（不合题意，舍去）， ∴，， ∴， ∴； （ii）设直线：， 代入，，得， 解得， ∴， 由题意，得，， ∴， ∵， 当时，取得最大值． 例2．（2026·湖北襄阳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过两点，点P为第一象限抛物线上不与点B重合的一动点，作轴于点D，交直线于点C，设点P的横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，当点C为中点时，求m的值； (3)令． ①求d关于m的函数解析式； ②当d随m的增大而减小时，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①；②或 【分析】本题考查了二次函数综合． （1）用待定系数法即可解答； （2）求出直线解析式，设，则， 根据轴于点D，点C为中点，列出等式，即可解答； （3）①先求出抛物线与x轴正半轴的交点坐标，再进行分类讨论即可；②根据①中的解析式，结合二次函数的增减性进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：把代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设直线解析式为， 将点代入得：， 解得：， ∴直线解析式为， 设，则， ∵轴于点D，点C为中点， ∴， 解得：（负值舍去）； （3）解：①当时， 解得：（负值舍去）， ∴抛物线交x轴正半轴于点， 设，则， ， 当时，，， ； 当时，，， ； 当时，，， ， 综上：； ②当时，， 开口向下，对称轴为直线， ∴当d随m的增大而减小； 当时，； 开口向上，对称轴为直线， ∴当d随m的增大而减小，不符合题意，舍去； 当时，， 开口向下，对称轴为直线， ∴当时，d随m的增大而减小． 综上：或． 例3．（25-26九年级下·河南南阳·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，P是抛物线上的任意一点，设点P的坐标为，过点P作轴于点M，作轴于点N． (1)求抛物线的函数表达式． (2)当时，是否存在一点P，使得的长度最大？若存在，求出m的值及的最大值；若不存在，请说明理由． (3)若在矩形内部的抛物线上的点的纵坐标y随x的增大而增大，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)存在， (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意得出．确定当时，，然后确定，结合二次函数的性质求解即可； （3）根据题意得出抛物线的对称轴为直线，设点C关于对称轴对称的点为D，则，然后结合函数图象分情况分析即可求解． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ∴， 解得． ∴抛物线的函数表达式为． （2）存在．∵点P的坐标为，为抛物线上任意一点， ∴． 令， 解得或． ∴． ∴当时，． ∴． ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． （3）∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设点C关于对称轴对称的点为D，则． 如图，分情况讨论： ①当时，此时y随x的增大而增大． ②当时，抛物线不在矩形内部，不符合题意． ③当时，此时y随x的增大而增大． ④当时，抛物线不在矩形内部，不符合题意． ⑤当时，y随x的增大而减小，不符合题意． 综上所述，m的取值范围为或． 变式1．（2026·北京石景山·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点． (1)用含的式子表示； (2)若抛物线与轴的两个交点分别为点，（点在点左侧），与轴交于点．过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①当，时，直接写出的长； ②已知点从点运动到点的过程中，的长随的增大而减小，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】()将代入抛物线解析式，即可获得答案； ()①结合题意，分别确定点的坐标，即可获得答案； ②由()及已知得，然后分情况分析：时，当时，分别作出相应图象，然后结合二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴； （2）①当，时，， ∴ 当时，， 解得：， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴， 此时点P与点A重合， 设直线的函数解析式为， ∴， 解得：， ∴， 当时，， ∴； ②根据题意得：， 当时，， 解得：， 当时，， ∴， 当时， ∴， 同理得：直线的函数解析式为， ∵点从点运动到点， ∴， ∴， ∴， 对称轴为，开口向下， ∴， ∴； 当时， ∴， 同理得：直线的函数解析式为， ∵点从点运动到点， ∴， ∴， ∴， 对称轴为，开口向下， ∵的长随的增大而减小， ∴， ∴； 当时， ∴， ∴， 对称轴为，开口向上， ∵的长随的增大而减小， ∴不符合题意，舍去； 综上：或． 变式2．（2026·江苏泰州·一模）如图1，已知抛物线交x轴于点，点，交y轴于点C．过点C作，交抛物线于点D． (1)此抛物线对称轴为________；点D坐标为________；________，________； (2)点E是线段上一动点，连接，若平分，则点E的坐标为________； (3)将抛物线图象沿x轴正方向平移m个单位（）得到新抛物线的图象，对于新抛物线图象上的一点，当时，的最小值为． ①求m的值； ②如图2，在（2）的条件下，连接，点M为线段上一动点，过点M作y轴的平行线，交抛物线的图象于点N，当点M从左向右运动时线段的长度逐渐减小，求M的横坐标为t的取值范围． 【答案】(1)，，， (2) (3)①；② 【分析】（1）根据抛物线的对称性求出对称轴和点D的坐标，根据待定系数法求出a、b的值； （2）过E作于F，根据角平分线的性质，然后根据可得出关于的方程，解方程即可求解； （3）①先求出平移后抛物线的解析式，分两种情况讨论：；，根据二次函数的性质求解即可； ②待定系数法求出的解析式，根据题意求出，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于点，点， ∴抛物线对称轴为直线， 当时，， ∴， ∵，交抛物线于点D， ∴C、D关于直线对称， ∴， ∵抛物线交x轴于点，点， ∴， 解得； （2）解：∵，， ∴，， ∴， 过E作于F， ∵平分，， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴； （3）解：①由（1）知， ∵抛物线图象沿x轴正方向平移m个单位（）得到新抛物线的图象， ∴， ∴新抛物线的对称轴为， 当，即时， ∵， ∴新抛物线开口向下， ∴到对称轴的距离越大点的函数值越小， ∵，当时，的最小值为， ∴当时，的最小值为， ∴， 解得（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去）； 当，即时， ∵， ∴新抛物线开口向下， ∴到对称轴的距离越大点的函数值越小， ∵，当时，的最小值为， ∴当时，的最小值为， ∴， 解得（不符合题意，舍去）或， 综上，； ②设直线解析式为， 则， 解得， ∴， ∵点M为线段上一动点， M的横坐标为t， ∴M的纵坐标为，， 由①知：， ∵轴， ∴， ∴ ， ∴当时，随t的增大而减小， 又， ∴， 即当时，点M从左向右运动时线段的长度逐渐减小． 变式3．（2026·浙江丽水·一模）已知二次函数的图象经过点和，点，是该二次函数图象上的两个动点，满足，且． (1)求该二次函数的表达式； (2)求的值； (3)已知一条平行于轴的直线过点交于点，一条平行于轴的直线过点交函数图象于，两点，且，求的最大值及此时对应的值． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可得，，再根据得到，据此可得答案； （3）设，则，可求出，，则直线的表达式，进而得到，进一步可推出，故当时，有最大值，最大值为6，根据题意可得点B和点C关于对称轴对称，则点B和点C到对称轴的距离都为3，求出点B的横坐标，进而求出点B的纵坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点和， ∴， 解得， ∴该二次函数的表达式为； （2）解：∵点，是该二次函数图象上的两个动点， ∴，； ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：设，则， ∴，， ∴，； 设直线的表达式， 则，解得， ∴直线的表达式， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为6， ∵轴， ∴点B和点C关于对称轴对称， ∴点B和点C到对称轴的距离都为3， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴点B的横坐标为（不妨设点B在点C的左侧）， 在中，当时，， ∴． 考点二 面积问题 例1．（2026·宁夏·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，并且与轴交于另一点（点在点的右侧），点是抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是第二象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，设点的横坐标为，请用含的代数式表示出的长度； (3)在（2）的条件下，当三角形的面积为6时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出点A、B的坐标，然后代入二次函数解析式，求出b、c的值即可； （2）如图，设，则，然后根据求解即可； （3）根据列式求解即可． 【详解】（1）解：对于， 当时，；当时，， ∴，， 代入抛物线，得 ， 解得， ∴ （2）解：设，， （3）解：如图，连接， ， 解得或， 故或． 例2．（25-26九年级上·陕西渭南·月考）如图，抛物线经过点、，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式和对称轴； (2)P是抛物线对称轴上的一点，求满足的值为最小的点P坐标； (3)点F是平面直角坐标系内一点，在第四象限的抛物线上是否存在点E，使四边形是以为对角线且面积为12的平行四边形？若存在，请求出点E坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为，对称轴为 (2)满足的值为最小的点P坐标为 (3)存在，点E的坐标为或 【分析】（1）把点、代入，得到关于a，b的二元一次方程组，求解方程组，即可得到解析式；然后利用抛物线对称轴公式求出对称轴； （2）根据两点之间线段最短，当B、P、C三点共线时，的值最小，所以先求出直线的解析式，再求其与对称轴的交点即为点P； （3）先根据面积求出点E的纵坐标，再代入抛物线解析式求出横坐标，同时结合点E在第四象限的条件筛选出符合的坐标． 【详解】（1）把点、代入，得， 解得， 抛物线的解析式为． 函数的对称轴为直线． （2）如图1，连接交对称轴于点P，因为点A、B关于对称轴对称，∴的最小值为， 易得C点的坐标为， 将点B、C的坐标代入一次函数表达式：得：， 解得， 直线BC的表达式为：， 当时，， 故点． （3）存在，理由： 如图2，图3，四边形是以为对角线且面积为12的平行四边形， 则， 点E在第四象限，则， 将该坐标代入二次函数表达式得：． 解得：或4， 故点E的坐标为或． 例3．（2026·黑龙江佳木斯·一模）如图，抛物线 与x轴分别交于，B 两点（点 A 在点B的左侧），与 y 轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)线段下方的抛物线上是否存在一点E，使 ?若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）设，过作轴交于点，求出直线的函数解析式，求出的表达式，根据题意得到，据此列方程进行解答即可． 【详解】（1）解：因为抛物线经过点 和点两点，所以， 解得 ， 所以抛物线解析式为：． （2）解：令，则，解得，， ∴， 设，过作轴交于点， 设直线的函数解析式为． 因为直线经过点和，所以 ， 解得， 所以，直线的函数解析式为：． ∴， ∴， ∵ ∴， 即， ∴， 解得或， ∴或 变式1．（25-26九年级下·黑龙江牡丹江·月考）抛物线与x轴交于点和B两点，与y轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线下方的抛物线上是否存在一点P，使得，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，， 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得直线的解析式，求得，过点P作轴交于点K，根据，利用三角形面积公式列式计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：令，则， 解得或， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 设， ∵，， 设直线的解析式为， 由题意得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，过点P作轴交于点K， 则， ∴， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或． 变式2．（25-26九年级下·江苏徐州·月考）如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点； (1)用配方法将二次函数化为的形式 ； (2)点为二次函数的图象第四象限的点，设点的横坐标为，当的面积最大时，求的最大面积，并写出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）加减一次项系数一半的平方，配方解答即可； （2）过点P作轴于点F，交直线于点Q，求出直线的解析式， 设，则， 则，表示三角形的面积，进行求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：∵ ∴当时，；当时，解得， ∴，， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． ∵点是抛物线上的一动点，且在第四象限，点P的横坐标为m， 故， 过点P作轴于点F，交直线于点Q，则， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当，的面积最大，且最大值为，此时． 变式3．（2026·宁夏固原·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若点从点A出发，沿线段以每秒3个单位长度的速度运动，同时点从点B出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设运动时间为t秒． ①求的面积与的函数关系式，并求的最值； ②当的面积最大时，在抛物线上，是否存在点，使得．若存在，请直接写出点的横坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①的最小值为，最大值为；②存在，点E的横坐标为或 【分析】（1）先设交点式，把代入求出的值，从而得到抛物线解析式； （2）①由题意求出，确定的取值范围，用表示出，过点N作于点D，由得到，所以，利用面积公式建立函数，再利用顶点式求最值；②当最大时，由相似三角形求出点的坐标为，设，利用坐标法表示面积，根据面积比列方程求解，注意绝对值方程要分两种情况讨论． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 抛物线过点， ， ， ， ， 故抛物线解析式为； （2）解：①由题意得，， ， ， 点从出发，沿以每秒3个单位运动， 运动时间的取值范围是， 点从出发，沿以每秒1个单位运动， ， 点从出发，沿运动， ， 如图，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， ， 与的函数关系式为， ， 当时， ， ， ∴ 当秒时，取得最大值为； 当或时，取得最小值为， ②最大时，， 又， ， 设点的横坐标为, 则， 如图，过点作轴于点，交于点G 直线过， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为， 点的坐标为， ， 解得， 综上，点的横坐标为或． 考点三 相似问题 例1．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，已知抛物线交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y轴于点C． (1)写出图象W位于线段上方部分对应的函数关系式； (2)若直线与图象W有两个交点，请结合图象，请求出b的取值范围； (3)P为x轴正半轴上一动点，过点P作轴交直线于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使与相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，P点坐标为（1，0）或（，0）或（1，0）． 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，包括待定系数法求函数解析式，二次函数与方程、不等式的关系以及二次函数相关存在性问题，综合运用以上知识是解题的关键． （1）先求出点C坐标，再求出点A，点B坐标，运用待定系数法求出图象W位于线段上方部分对应的函数关系式； （2）运用数形结合思想，找到一次函数与图象W有两个交点时，对应b的范围，联立方程组，整理得：，求出时，；把，分别代入，得及，结合函数图象得到符合条件的b的范围； （3）根据相似三角形的判定定理及性质，结合图象，分情况逐一讨论求得点P坐标． 【详解】（1） 解：由翻折可知：， 令， 解得：，， ∴，， 设图象W的解析式为， 代入，解得， ∴对应函数关系式为； （2） 解：联立方程组， 整理，得：， 由， 得：， 此时方程有两个相等的实数根， 把代入，得； 把代入，得， ∵直线与图象W有两个交点； ∴b的取值范围是或； （3） 解：存在．如图，当时，， 此时，N与C关于直线对称， ∴点N的横坐标为1，； 如图， 当时，， 此时，N点纵坐标为2， 由， 解得，（舍）， ∴N的横坐标为， 所以； 如图，当时，， ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴是等腰直角三角形． 延长交x轴于点Q， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴． 此时，设直线的解析式为， ∵，， ∴将，代入中， ， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立方程组：， 解得，（舍）， ∴N的横坐标为1， 所以， 综上所述：P点坐标为或或． 例2．（25-26九年级下·山东济宁·月考）如图，抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求抛物线的函数表达式和对称轴； (2)如图1，若点是第四象限内抛物线上的一个动点，当点运动到何处时，的面积恰好为面积的一半？求出此时点的坐标： (3)如图2，点是抛物线的顶点，直线交轴于点，若点是线段上的一个动点，是否存在以点为顶点的三角形与相似．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；对称轴为直线； (2)或 (3)存在，点的坐标为或． 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，进而求出对称轴即可； （2）求出点坐标，进而求出的解析式，设点的坐标是，过点作交于点，表示出的面积，列出方程进行求解即可； （3）连接，求得，再求出的解析式，设点，求得分两种情况讨论，即①当时，②当时，利用相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：把点，代入，得 ，解得， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：抛物线的解析式为， 令，即， 解得，， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入可得， ， 解得， 所以直线的解析式为， 设点的坐标是， 点是第四象限内抛物线上的一个动点， ， 过点作于点，则， ， 的面积， ∵，，， ∴， 由题意，，解得或， ∴当时，；当时，； ∴或； （3）解：， ， 如图，连接， 设的解析式为， 将、代入， 可得， 解得， 直线的解析式为， 令，即，解得， 点的坐标为， ，且， ， ， 设点， 点在线段上， ， 则， ， 分情况讨论： ①当时，有， ， 解得，满足， 则此时， 此时点的坐标为． ②当时，有， ， 解得，满足， 此时， 此时点的坐标为， 点的坐标为或． 例3．（2026·江苏苏州·模拟预测）抛物线过点，顶点为P，与x轴交于A、B两点（A在B点左侧），且． (1)求抛物线的解析式和顶点P的坐标； (2)若点D在抛物线上且，求点D的坐标； (3)若点Q在抛物线上，且，请直接写出满足条件的点Q坐标． 【答案】(1)；顶点的坐标为； (2)或； (3) 【分析】（1）先求得，再利用待定系数法求解即可； （2）先求得点的坐标为，在线段上取点，使，此时，求得，则，分点在轴上方和下方时，两种情况讨论，分别求得直线的解析式，联立解一元二次方程即可求解； （3）根据相似三角形的性质可得，作交的延长线于点，过点作轴，分别过点和作的垂线，垂足分别为和，证明，求得点的坐标为，求得直线的解析式，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴, ∴； ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 把点B和点C的坐标代入抛物线的解析式得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点的坐标为； （2）解：在中，当时，则， 解得或， ∴点的坐标为， ∴； 如图所示，在线段上取点，连接，使得，则， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ∴， ∴； ∵， ∴， 如图所示，当点在轴上方时，设直线交轴于点， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为，则， ∴ ∴直线的解析式为， 联立，解得或 ∴点的坐标为； 如图所示，当点在轴下方时，设交轴于点， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为，则， ∴ ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴点的坐标； 综上，点的坐标或； （3）解：∵， ∴， 由（1）可得是等腰直角三角形， ∴， ∴； 如图，作交的延长线于点，过点作轴，分别过点和作的垂线，垂足分别为和， ∴是等腰直角三角形，且， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 整理得， 解得或， 当时，， ∴点的坐标． 变式1．（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，抛物线与轴相交于、两点，与x轴相交于点，与轴相交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，若点是第四象限内抛物线上的一个动点，当点D运动到何处时，的面积最大？求出此时点D的坐标； (3)如图2，点是抛物线的顶点，直线交轴于点，若点是线段上的一个动点，是否存在以点，，为顶点的三角形与相似．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，的面积最大 (3)或 【分析】（1）将，代入抛物线，即可解得、的值，即求得抛物线的函数表达式； （2）先求出点的坐标为，设点的坐标是，过点作交于点，表示出的面积，根据二次函数的性质即可得到答案； （3）连接，求得，再求出的解析式，设点，求得分两种情况讨论，即①当时，②当时，利用相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：抛物线的解析式为， 令，即， 解得，， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入可得， ， 解得， 所以直线的解析式为， 设点的坐标是， 点是直线下方抛物线上的动点， ， 过点作于点，则， ， 的面积， 当时，的面积最大值为， 当时，； （3）解：， ， 如图，连接， 设的解析式为， 将、代入， 可得， 解得， 直线的解析式为， 令，即，解得， 点的坐标为， ，且， ， ， 设点， 点在线段上， ， 则， ， 分情况讨论： ①当时，有， ， 解得，满足， 则此时， 此时点的坐标为． ②当时，有， ， 解得，满足， 此时， 此时点的坐标为， 点的坐标为或． 变式2．（2025·海南海口·模拟预测）如图，已知抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，是第四象限内抛物线上一动点，过点作轴，交于点，连接、． (1)求该抛物线的函数关系式； (2)求面积的最大值，并求出此时点的坐标； (3)连接，当点运动到何位置时，与相似？ (4)是否存在点，使得线段与线段互相垂直平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)面积的最大值为，点的坐标是 (3)当点运动到或时，与相似 (4)不存在，理由见解析 【分析】（1）设抛物线函数关系式为，把代入，求出的值即可； （2）设，则，，可得，根据二次函数的性质得出时，面积的最大值为，进而求出点坐标即可； （3）根据，得出，，设，则，得出，，分和两种情况，利用相似三角形的性质求解即可； （4）过点作于，交抛物线于，过点作轴于，得出是等腰直角三角形，，，可得是等腰直角三角形，，设，则，，列方程求出，得出，即可得出，即可得出不是的垂直平分线，得出不存在点． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点、点， ∴设抛物线函数关系式为 ∵抛物线与轴交于点， ∴， 解得： ∴抛物线的函数关系式为，即． （2）解：设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∵是第四象限内抛物线上一动点， ∴， ∴， ∴， ∴当时，面积取最大值，最大值为， 当时，， ∴． （3）解：设，则， ∴，， ∵，， ∴，， 如图，当时， ∴，即， 解得：，（舍去）， ∴， ∴． 如图，当时， ∴，即， 解得：，（舍去）， ∴， ∴； 综上所述：当点运动到或时，与相似． （4）解：不存在，理由如下： 如图，过点作于，交抛物线于，过点作轴于， 当时， ∵， ∴是等腰直角三角形，，， ∴是等腰直角三角形，， 设，则，， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴不是的垂直平分线， ∴不存在点，使得线段与线段互相垂直平分． 变式3．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，抛物线的顶点坐标为，且抛物线与y轴交于点，点B的坐标为，C（不与点A重合）为抛物线上一动点，以点C为圆心，的长为半径的圆交x轴于点M，N（点M在点N的左侧）． (1)求抛物线的解析式． (2)当点C在抛物线上运动时，弦的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出弦的长． (3)当与相似时，直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2)不变，6 (3)点M的坐标为或 【分析】本题主要考查了圆的基本性质、二次函数解析式、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）设顶点式，代入，即可得解； （2）过点C作，连接，，根据垂径定理求出，即可得求出； （3）易得，设点，则点，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设此抛物线的解析式为． ∵抛物线与y轴的交点的坐标为， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：弦的长度不变． 设抛物线上动点C的坐标为，则有， ∴点C的坐标为． 如图，过点C作，连接，则，且点H的横坐标为t． 在中，， ∴， ∴（负值不合题意，舍去）， ∴． （3）解：当与相似时，由点M，N在x轴上，， 可设点，则点． ∵和均为直角三角形， ∴，即． 由于，，， ∴，即． 当时，展开得，解得； 当时，展开得，解得（不符合题意，舍去）． 综上所述，当与相似时，点M的坐标为或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $