精品解析：北京市广渠门中学2025—2026学年度第二学期期中试题高一年级数学学科

北京市广渠门中学2025—2026学年度第二学期期中试题 高一年级数学学科 时间：120分钟 2026.04 本试卷共2页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合要求的一项. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由向量减法与加法的三角形法则可得. 2. 已知向量，.若，则实数m的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量平行的坐标运算列方程即可求解． 【详解】由得，． 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出，再由二倍角公式计算可得. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：A 4. 设P是所在平面内的一点，，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】移项得.故选B 5. 如图，三棱柱中，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则下列说法错误的是（ ）． A. E，F，G，H四点共面 B. 与是异面直线 C. ，，三线共点 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用线线平行的传递性与平面公理的推论即可判断AB；利用平面的基本事实推理判断C；举反例即可判断D. 【详解】对于A，在三棱柱中，分别为的中点， 连接， 由是的中位线，得， 由，且，得四边形是平行四边形， 则，，因此四点共面，A正确； 对于B，因为平面，平面，， 所以与是异面直线，正确； 对于C，延长，相交于点， 由，平面，得平面， 由，平面，得平面， 而平面平面，则，三线共点，C正确； 对于D，由，且可知，四边形是梯形， 若∠=∠，则梯形是等腰梯形，而题设条件无法得出， 所以D不一定正确. 6. 已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是（ ） A. 若，，则. B. 若，，则. C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】由直线与平面、平面与平面的位置关系进行判断． 【详解】对于A，若，，则与可以平行或相交，故A项错误； 对于B，若，，则与可以平行，异面，相交，故B项错误； 对于C，若，，，则与可以平行，异面，相交，故C项错误； 对于D，若，由线面平行的定义，存在，使得， 由得，而，得，故D项正确． 7. 如图，在正方体中，E为棱AB的中点，F为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点，连接,可得异面直线与所成角（或其补角）为,结合余弦定理求解即可. 【详解】取的中点，连接 因为分别为的中点， 所以,且,所以四边形为平行四边形， 则,所以异面直线与所成角为（或其补角）, 不妨假设正方体的边长为, 则,,, , 所以在中，由余弦定理可得：, 所以异面直线与所成角的余弦值为 8. 设，是平面内两个非零向量，则“”是“”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】充分性：若，则， 又，故充分性成立； 必要性：若， 两边平方得：， 化简得：，即. 令(满足)，但，故必要性不成立. 综上：是的充分而不必要条件. 9. 广渠门中学高一年级开展了沪杭研学，在乌镇参观时，某数学兴趣小组为测量某河道的宽度，进行了如下操作：如图，在河道一侧的水平步道上选取相距2米的A、B两个观测点，在河道对岸的水平岸线上选取点C.若该数学兴趣小组测得，，则可求得该河道的宽度（即点C到直线AB的距离）为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理求得，再作出高，解直角三角形可得. 【详解】，，则， 由正弦定理得，， 作于， 则.. 10. 在平面内，，D为BC中点，动点A满足，动点M满足，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算，结合圆的性质，即可求解. 【详解】如图，建立平面直角坐标系， 由，为中点，可得坐标，，， 设动点，则 因此：， 即动点的轨迹为以原点为圆心的单位圆； 又设动点，则 由条件， 移项得， 即 即点在轴上，则 因为，所以，即， 故的最大值为. 二、填空题（本大题共5小题，共25分） 11. 已知向量a＝(m，3)，b＝(1，m＋1).若a⊥b，则m＝________． 【答案】－ 【解析】 【详解】由题意，知a·b＝m＋3(m＋1)＝0，解得m＝－. 【考查意图】考查两个向量垂直． 12. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】由正弦定理，可得. 13. 已知梯形中，，，，，且满足.则__________，的值为__________. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】设，利用向量的线性运算和向量数量积的运算律，即可求出，再结合条件得方程，解方程求出第一空的值，再利用向量数量积的运算求出第二空的值。. 【详解】设，则， 因为，则， 又，，，则， 所以，解得，所以. . 14. 设函数（）.若对函数，存在实数，使得，，满足，则的最小值为__________，当取此最小值时，一个符合要求的m的值为____________________（写出一个即可）. 【答案】 ①. ②. （答案不唯一） 【解析】 【分析】利用辅助角公式得，根据条件得区间内必须同时包含的最大值和最小值，即可求解. 【详解】因为，则， 又存在实数，使得，，满足， 则区间内必须同时包含的最大值和最小值，则， 又，所以，所以的最小值为； 当时，，由，得到，即， 由，得到，即， 又，所以均符合题意，令，得到， 所以一个符合要求的m的值为. 15. 如图，正方体棱长为2.点E为AD中点，P为正方体侧面内（包含边界）的动点.记E、C、三点所在的平面为.给出下列四个结论： ①直线与平面所成角的正切值为； ②已知平面，若，则； ③若点P满足，则必有的面积为1； ④若点P满足，则必有. 其中所有正确结论的序号为__________. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据正方体的性质，找到直线与平面所成角，求得其正切值，判断①；作出平面与平面的交线，求得，判断②；根据条件求得的面积，判断③；结合线面垂直的判定定理，确定点的轨迹，结合面面平行的判定定理和性质，判断与平面的关系，判断④. 【详解】对于①，如图，取的中点，连接. 则，且. 由正方体的性质知，平面，所以平面. 所以为直线与平面所成的角， 所以，所以①正确； 对于②，记，则. 由平面，得即为直线. 若，则，所以②错误； 对于③，取的中点，连接， 则. 又平面，平面，所以平面. 因为，且，所以四边形为平行四边形. 所以. 又平面，平面，所以 平面. 因为平面， 所以平面平面. 若点P满足，则平面，所以点的轨迹为. 因为，所以点到的距离为定值，等于. 所以有的面积为定值，等于. 所以③正确. 对于④，由①知，平面，所以. 由，，得. 因为平面，所以平面. 若点P满足，则平面， 则点的轨迹为. 由③知，平面平面，平面， 故必有.所以④正确. 三、解答题共6小题，共85分、解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足. （1）求角A的大小； （2）若，且△ABC的面积为，求a的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过正弦定理将边化为角，求出A即可； （2）由余弦定理及三角形面积公式联立即可求解. 【小问1详解】 由，根据正弦定理可得， 因为，则， 则，，得． 【小问2详解】 由余弦定理和三角形的面积公式得， 即，可得， 故． 17. 已知函数. （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）求函数在区间上的最大值和最小值，并求相应的的值. 【答案】（1）最小正周期；单调递增区间为 （2）当时，；当时， 【解析】 【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式可化简得到，根据正弦型函数最小正周期、单调区间的求法可求得结果； （2）由的范围可求得的范围，结合正弦函数的性质可确定最值点和最值. 【小问1详解】 ， 的最小正周期； 令，解得：， 的单调递增区间为. 【小问2详解】 当时，； 当，即时，； 当，即时，. 18. 如图所示，在四棱锥中，平面，是的中点．在底面内且． （1）求证：； （2）求证：平面； （3）若平面平面，求证：． 【答案】（1） 因为平面，平面，且平面平面， 所以． （2） 取中点，连接， 因为分别为中点，所以且， 又，，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面． （3） 因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面，又平面， 所以． 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定及性质即可证明； （2）取中点，连接，推出，即得，由线面平行的判定定理即可证明； （3）由面面垂直的性质得出线面垂直，再根据线面垂直的性质即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 如图，在正方体中，E，F分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求证：平面平面. 【答案】（1） 如图，连接交于点，连接， 因为是正方形，所以是的中点，又是的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面. （2） 因为分别是的中点，所以，， 所以四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，所以平面. 又平面，且平面，， 所以平面平面. （3） 因为平面，平面，所以， 又，平面，， 所以平面， 又平面，所以平面平面. 【解析】 【分析】（1）连接交于点，可得，由线面平行的判定定理可证； （2）易证平面，结合（1）利用面面平行的判定定理可证； （3）由题易证平面，利用面面垂直的判定定理得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足. （1）求角B的大小； （2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，完成以下两个问题的解答： （ⅰ）求b的值； （ⅱ）若是锐角三角形，求周长的取值范围. 条件①：外心（外接圆圆心）到边距离为； 条件②：. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2）（i）选择①或②，均得到；（ii）. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角结合三角恒等变换化简得解； （2）（i）若选择条件①，由已知条件求得外接圆半径，再结合正弦定理求得；若选择条件②，由余弦定理角化边化简得解；（ii）由（i）可得，，利用正弦定理得，，代入化简可得的周长关于的三角函数，利用正弦函数的性质求解. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 又，所以， 化简得，又，， 所以，即，又， 所以. 【小问2详解】 （i）若选择条件①，如图，设为外接圆的圆心，半径为，作，垂足为， 因为，所以，故， 又，所以，即， 所以. 若选择条件②，因为，由余弦定理得， 化简得. （ii）由，，得，所以，， 所以的周长 ， 因为是锐角三角形，所以，即，解得， 所以，故， 所以，即的周长的取值范围为. 21. 设为正整数，若满足：①；②对于，均有；则称具有性质.对于和，定义集合. （1）设，若具有性质，写出一个及相应的； （2）设和具有性质，那么是否可能为，若可能，写出一组和，若不可能，说明理由； （3）设和具有性质，对于给定的，求证：满足的有偶数个. 【答案】（1），；，；，；；，. （2）假设存在和均具有性质，且， 则， 因为与同奇同偶，所以与同奇同偶， 又因为为奇数，为偶数， 这与与同奇同偶矛盾，所以假设不成立. 综上所述：不存在具有性质的和，满足. （3）不妨设与构成一个数表， 交换数表中的两行，可得数表， 调整数表各列的顺序，使第一行变为， 设第二行变为， 令，则具有性质，且， 假设与相同， 则， 不妨设，，则有，故， 因为，所以， 因为，所以，与矛盾. 故对于具有性质的，若具有性质，且，则存在一个具有性质的，使得，且与不同，并且由的构造过程可以知道，当，确定时，唯一确定，由也仅能构造出. 所以满足的有偶数个. 【解析】 【分析】（1）根据性质的定义可得答案； （2）利用反证法以及性质的定义推出相互矛盾的结论可得解； （3）通过构造，证明当，确定时，唯一确定，由也仅能构造出，即可得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：理解性质的定义，通过构造法解题是解题关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市广渠门中学2025—2026学年度第二学期期中试题 高一年级数学学科 时间：120分钟 2026.04 本试卷共2页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合要求的一项. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，.若，则实数m的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 设P是所在平面内的一点，，则 A. B. C. D. 5. 如图，三棱柱中，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则下列说法错误的是（ ）． A. E，F，G，H四点共面 B. 与是异面直线 C. ，，三线共点 D. 6. 已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是（ ） A. 若，，则. B. 若，，则. C. 若，，，则 D. 若，，则 7. 如图，在正方体中，E为棱AB的中点，F为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 设，是平面内两个非零向量，则“”是“”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 广渠门中学高一年级开展了沪杭研学，在乌镇参观时，某数学兴趣小组为测量某河道的宽度，进行了如下操作：如图，在河道一侧的水平步道上选取相距2米的A、B两个观测点，在河道对岸的水平岸线上选取点C.若该数学兴趣小组测得，，则可求得该河道的宽度（即点C到直线AB的距离）为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 10. 在平面内，，D为BC中点，动点A满足，动点M满足，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 二、填空题（本大题共5小题，共25分） 11. 已知向量a＝(m，3)，b＝(1，m＋1).若a⊥b，则m＝________． 12. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，，则__________. 13. 已知梯形中，，，，，且满足.则__________，的值为__________. 14. 设函数（）.若对函数，存在实数，使得，，满足，则的最小值为__________，当取此最小值时，一个符合要求的m的值为____________________（写出一个即可）. 15. 如图，正方体棱长为2.点E为AD中点，P为正方体侧面内（包含边界）的动点.记E、C、三点所在的平面为.给出下列四个结论： ①直线与平面所成角的正切值为； ②已知平面，若，则； ③若点P满足，则必有的面积为1； ④若点P满足，则必有. 其中所有正确结论的序号为__________. 三、解答题共6小题，共85分、解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足. （1）求角A的大小； （2）若，且△ABC的面积为，求a的值. 17. 已知函数. （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）求函数在区间上的最大值和最小值，并求相应的的值. 18. 如图所示，在四棱锥中，平面，是的中点．在底面内且． （1）求证：； （2）求证：平面； （3）若平面平面，求证：． 19. 如图，在正方体中，E，F分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求证：平面平面. 20. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足. （1）求角B的大小； （2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，完成以下两个问题的解答： （ⅰ）求b的值； （ⅱ）若是锐角三角形，求周长的取值范围. 条件①：外心（外接圆圆心）到边距离为； 条件②：. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 21. 设为正整数，若满足：①；②对于，均有；则称具有性质.对于和，定义集合. （1）设，若具有性质，写出一个及相应的； （2）设和具有性质，那么是否可能为，若可能，写出一组和，若不可能，说明理由； （3）设和具有性质，对于给定的，求证：满足的有偶数个. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $