北京市广渠门中学2025—2026学年度第二学期期中试题高一年级数学学科

北京市广渠门中学2025—2026学年度第二学期期中试题 高一年级数学学科 时间：120分钟 2026.04 本试卷共2页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合要求的一项. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，.若，则实数m的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 设P是所在平面内的一点，，则 A. B. C. D. 5. 如图，三棱柱中，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则下列说法错误的是（ ）． A. E，F，G，H四点共面 B. 与是异面直线 C. ，，三线共点 D. 6. 已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是（ ） A. 若，，则. B. 若，，则. C. 若，，，则 D. 若，，则 7. 如图，在正方体中，E为棱AB的中点，F为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 设，是平面内两个非零向量，则“”是“”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 广渠门中学高一年级开展了沪杭研学，在乌镇参观时，某数学兴趣小组为测量某河道的宽度，进行了如下操作：如图，在河道一侧的水平步道上选取相距2米的A、B两个观测点，在河道对岸的水平岸线上选取点C.若该数学兴趣小组测得，，则可求得该河道的宽度（即点C到直线AB的距离）为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 10. 在平面内，，D为BC中点，动点A满足，动点M满足，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 二、填空题（本大题共5小题，共25分） 11. 已知向量a＝(m，3)，b＝(1，m＋1).若a⊥b，则m＝________． 12. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，，则__________. 13. 已知梯形中，，，，，且满足.则__________，的值为__________. 14. 设函数（）.若对函数，存在实数，使得，，满足，则的最小值为__________，当取此最小值时，一个符合要求的m的值为____________________（写出一个即可）. 15. 如图，正方体棱长为2.点E为AD中点，P为正方体侧面内（包含边界）的动点.记E、C、三点所在的平面为.给出下列四个结论： ①直线与平面所成角的正切值为； ②已知平面，若，则； ③若点P满足，则必有的面积为1； ④若点P满足，则必有. 其中所有正确结论的序号为__________. 三、解答题共6小题，共85分、解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足. （1）求角A的大小； （2）若，且△ABC的面积为，求a的值. 17. 已知函数. （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）求函数在区间上的最大值和最小值，并求相应的的值. 18. 如图所示，在四棱锥中，平面，是的中点．在底面内且． （1）求证：； （2）求证：平面； （3）若平面平面，求证：． 19. 如图，在正方体中，E，F分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求证：平面平面. 20. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足. （1）求角B的大小； （2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，完成以下两个问题的解答： （ⅰ）求b的值； （ⅱ）若是锐角三角形，求周长的取值范围. 条件①：外心（外接圆圆心）到边距离为； 条件②：. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 21. 设为正整数，若满足：①；②对于，均有；则称具有性质.对于和，定义集合. （1）设，若具有性质，写出一个及相应的； （2）设和具有性质，那么是否可能为，若可能，写出一组和，若不可能，说明理由； （3）设和具有性质，对于给定的，求证：满足的有偶数个. 北京市广渠门中学2025—2026学年度第二学期期中试题 高一年级数学学科 时间：120分钟 2026.04 本试卷共2页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合要求的一项. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】A 【9题答案】 【答案】B 【10题答案】 【答案】C 二、填空题（本大题共5小题，共25分） 【11题答案】 【答案】－ 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 ①. ## ②. 【14题答案】 【答案】 ①. ②. （答案不唯一） 【15题答案】 【答案】①③④ 三、解答题共6小题，共85分、解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）最小正周期；单调递增区间为 （2）当时，；当时， 【18题答案】 【答案】（1） 因为平面，平面，且平面平面， 所以． （2） 取中点，连接， 因为分别为中点，所以且， 又，，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面． （3） 因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面，又平面， 所以． 【19题答案】 【答案】（1） 如图，连接交于点，连接， 因为是正方形，所以是的中点，又是的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面. （2） 因为分别是的中点，所以，， 所以四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，所以平面. 又平面，且平面，， 所以平面平面. （3） 因为平面，平面，所以， 又，平面，， 所以平面， 又平面，所以平面平面. 【20题答案】 【答案】（1） （2）（i）选择①或②，均得到；（ii）. 【21题答案】 【答案】（1），；，；，；；，. （2）假设存在和均具有性质，且， 则， 因为与同奇同偶，所以与同奇同偶， 又因为为奇数，为偶数， 这与与同奇同偶矛盾，所以假设不成立. 综上所述：不存在具有性质的和，满足. （3）不妨设与构成一个数表， 交换数表中的两行，可得数表， 调整数表各列的顺序，使第一行变为， 设第二行变为， 令，则具有性质，且， 假设与相同， 则， 不妨设，，则有，故， 因为，所以， 因为，所以，与矛盾. 故对于具有性质的，若具有性质，且，则存在一个具有性质的，使得，且与不同，并且由的构造过程可以知道，当，确定时，唯一确定，由也仅能构造出. 所以满足的有偶数个. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $