精品解析：上海市行知中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

2025—2026上海市行知中学高二第二学期期中 2026.4 一、填空题（本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分，满分54分） 1. 直线的倾斜角为______． 2. 圆的半径为______． 3. 已知等比数列的各项均为正数，若，则______． 4. 已知，则______． 5. 若球的表面积为1，则其体积为______． 6. 向量在向量方向上的投影向量的坐标为______． 7. 已知项数不少于2的有穷数列中各数不全相等，它们的方差为，若数列中各数的方差为，则______． 8. 导电体中的电量关于时间的变化率称为电流强度．若，则时的电流强度为______． 9. 以0、1、2、3、4中随机选取4个不同的数排成一个四位数．已知3和4相邻，则该数为偶数的概率为______． 10. 在正方体中，是线段的中点，平面ACM将正方体分成体积分别为、的两部分，其中，则______． 11. 已知点，过原点O的动直线交椭圆于点B、C，则面积的最大值为______． 12. 甲同学走楼梯，每一步可跨1级台阶或2级台阶或3级台阶．若恰走完8级台阶，则有______种不同的走法． 二、选择题（本大题共4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分） 13. 是事件A和B为独立事件的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分条件也非必要条件 14. 若把该立体图形绕某条直线旋转角度，，使之与原图形重合，则该直线称为该立体图形的旋转轴．侧棱互相垂直的正三棱锥的旋转轴的条数为（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 4 15. 对于问题“已知直线l过抛物线的焦点F，且交抛物线于P、Q两点，由P、Q分别向准线引垂线PR、QS，垂足分别为R、S，设，，M为线段RS的中点，求的长度”，甲同学解得，乙同学解得．则下列正确的选项为（ ） A. 只有甲同学正确 B. 只有乙同学正确 C. 两人都正确 D. 两人都不正确 16. 设无穷数列的前n项和为，定义，则下列正确的选项为（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时，则 D. 当时， 三、解答题（本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤） 17. 已知等比数列的首项为2，公比为2，等差数列的首项为1，公差为1，设，的前n项和为． （1）求； （2）求． 18. 如图，将正四棱柱置于空间直角坐标系中，点D为坐标原点O，，，， （1）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角表示）； （2）记直线分别和、BC、BA所成角为、、，求证：． 19. 若函数和的图象有公共点P，各自过点P的切线均存在，则称两函数在点P处的切线的夹角为两函数在点P处的夹角．若两切线重合，则将重合的切线称为两函数在点P处的公切线． （1）若和在处有公切线，求实数a、b、c的值； （2）若，求和的公共点P及在点P处的夹角． 20. 设m为一个至少为2的正整数．在两个罐子中，各有m个形状和质地均相同的小球，都分别标记为1到m号．现在两个罐子中各任取一个小球，记两球上的数字的乘积可以被m整除的概率为， （1）当时，求两小球上的数字的乘积为奇数的概率； （2）求； （3）若恒成立，且有无数个m可以使得等号成立，求的表达式，并说明理由． 21. 已知双曲线：和双曲线：，其中常数s、t满足，O为坐标原点． （1）若直线和双曲线交于点P，求证； （2）若双曲线上有一条动弦AB，保持，求证：为定值； （3）若点A在上运动，点B在上运动，保持，点O在线段AB上的垂足为点D，求证：为定值的充要条件是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026上海市行知中学高二第二学期期中 2026.4 一、填空题（本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分，满分54分） 1. 直线的倾斜角为______． 【答案】 【解析】 【详解】由可知直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则， 因，故. 2. 圆的半径为______． 【答案】 【解析】 【详解】由，配方得， 故该圆的半径为． 3. 已知等比数列的各项均为正数，若，则______． 【答案】 【解析】 【详解】在等比数列中， ， 已知 ，所以， 又因为数列各项均为正数，所以． 4. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式，结合题意，直接计算即可. 【详解】， 故可得展开式的第三项为，展开式第四项为， 故，则. 故答案为：. 5. 若球的表面积为1，则其体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】由球的表面积求解球的半径，再由求解. 【详解】因为球的表面积为1，设该球的半径为，则，则， 则. 6. 向量在向量方向上的投影向量的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】由投影向量定义求在方向上的投影向量即可. 【详解】因为向量、向量，所以， ，由投影向量定义， 在方向上的投影向量. 7. 已知项数不少于2的有穷数列中各数不全相等，它们的方差为，若数列中各数的方差为，则______． 【答案】 【解析】 【详解】设数列的平均数为，则， 对于数列的平均数为，则， 所以． 8. 导电体中的电量关于时间的变化率称为电流强度．若，则时的电流强度为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据 “电流强度是电量对时间的变化率”，明确电流强度是电量函数的导数，再对用复合函数求导法则求导，最后将代入导函数计算即可． 【详解】电流强度是电量关于时间的变化率，也就是的导数：， 已知，， 所以． 9. 以0、1、2、3、4中随机选取4个不同的数排成一个四位数．已知3和4相邻，则该数为偶数的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出3和4相邻时组成四位数的总情况数，再求出其中偶数的情况数，最后根据概率公式求解. 【详解】先把3和4看做一个整体，有种排法，从0、1、2、中选2个数，有， 选法不含0即，共有种； 选法含0有2种：全排列再减掉0在千位的不合理排列， 共有种；因此共有种， 个位为0：则3和4相邻和一个非0数进行排列，共有； 个位为2：另外一个数为0时，有2种；另外一个数为1时， 有种；共种； 个位为4：相邻十位数一定是3，剩下两个位置从0,1,2中选两个进行排列， 有种； 故共有种；故所求概率为 10. 在正方体中，是线段的中点，平面ACM将正方体分成体积分别为、的两部分，其中，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用线面平行的性质，得出线线平行，从而作出平面与平面的交线，进而得出平面分正方体为两部分，再利用棱台的体积公式即可求出结果. 【详解】取的中点，连接，因为平面， 故平行于平面与平面的交线，又分别为的中点， 易知，即平面平面， 故平面分正方体为两部分，设正方体的边长为2，则正方体的体积为8， ，故 【点睛】 11. 已知点，过原点O的动直线交椭圆于点B、C，则面积的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先将直线与椭圆联立，求出点B、C坐标，求出，再由点到直线的距离公式求出，根据三角形面积公式计算求其最值即可. 【详解】当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 则，，解得， 故，，， 点到直线的距离，其中不等于， 所以， 令，则， 整理得关于的方程， 为使方程有实数解，判别式， 解得，则，此时， 当直线的斜率不存在时，， 故面积的最大值为. 12. 甲同学走楼梯，每一步可跨1级台阶或2级台阶或3级台阶．若恰走完8级台阶，则有______种不同的走法． 【答案】81 【解析】 【分析】递推得出计算即可； 【详解】最后一步跨1级：前面只需要走到第级需种； 最后一步跨2级：前面只需要走到第级需种； 最后一步跨3级：前面只需要走到第级需种； 故种， 由，， ． 二、选择题（本大题共4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分） 13. 是事件A和B为独立事件的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分条件也非必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】若，根据条件概率公式，两边同乘，因为有意义， 所以，可得：，满足独立事件的定义，因此事件，事件独立，充分性成立； 若事件，事件独立，可得：，只有当时，代入条件概率公式：，才能推导出，但当时，事件，事件仍然是独立的，此时无意义，故不成立，必要性不成立； 故是事件和为独立事件的充分不必要条件. 14. 若把该立体图形绕某条直线旋转角度，，使之与原图形重合，则该直线称为该立体图形的旋转轴．侧棱互相垂直的正三棱锥的旋转轴的条数为（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】侧棱互相垂直的正三棱锥中，仅过顶点与底面中心的直线为旋转轴(绕其旋转或重合)，其余直线无法满足旋转重合的条件. 15. 对于问题“已知直线l过抛物线的焦点F，且交抛物线于P、Q两点，由P、Q分别向准线引垂线PR、QS，垂足分别为R、S，设，，M为线段RS的中点，求的长度”，甲同学解得，乙同学解得．则下列正确的选项为（ ） A. 只有甲同学正确 B. 只有乙同学正确 C. 两人都正确 D. 两人都不正确 【答案】C 【解析】 【详解】如下图所示，连接，， ， ， 由抛物线的定义可知， ， ， 同理，，从而可得， 由直角三角形的性质可知， ， . 设直线，代入抛物线方程得， 设，则， 所以， 所以. 所以两人都正确. 16. 设无穷数列的前n项和为，定义，则下列正确的选项为（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时，则 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】根据选项不同的通项公式，求出与，逐一验证即可. 【详解】对于A，由可得，则，，故A错误； 对于B，因，则 ，则，，故B错误； 对于C，因，则， 则 故， 故，则，故C错误； 对于D，因，则，则， ， 故，故D正确． 三、解答题（本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤） 17. 已知等比数列的首项为2，公比为2，等差数列的首项为1，公差为1，设，的前n项和为． （1）求； （2）求． 【答案】（1）， （2）+2 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得数列、的通项公式再求即可； （2）结合错位相减法求和，即可得到答案. 【小问1详解】 等比数列的首项为2，公比为2，等差数列的首项为1，公差为1， 所以数列的通项公式为， 所以数列的通项公式为，故， 【小问2详解】 设数列的前项和为， 则， ， 两式相减，可得 ， 所以. 18. 如图，将正四棱柱置于空间直角坐标系中，点D为坐标原点O，，，， （1）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角表示）； （2）记直线分别和、BC、BA所成角为、、，求证：． 【答案】（1） （2） 连接，可知与的夹角为，， 同理，， 因为为长方体的体对角线，所以， 所以. 【解析】 【分析】（1）先根据题意建立空间直角坐标系，求得向量和向量的坐标，再利用线线角的向量方法求解. （2）根据题意表示，，，再根据体对角线公式计算即可. 【小问1详解】 点D为坐标原点O，，，， ，，，， 设异面直线与所成角为， ，所以； 【小问2详解】 略 19. 若函数和的图象有公共点P，各自过点P的切线均存在，则称两函数在点P处的切线的夹角为两函数在点P处的夹角．若两切线重合，则将重合的切线称为两函数在点P处的公切线． （1）若和在处有公切线，求实数a、b、c的值； （2）若，求和的公共点P及在点P处的夹角． 【答案】（1）、、 （2）， 【解析】 【分析】（1）根据公切线的定义可求得公切点，进而可得所求结果. （2）根据公切线的定义可求得公切点，进而可得所求结果. 【小问1详解】 因为函数的图像都经过点，， 即，解得；， 又因为在点处有相同的切线，所以. 而，，，即， 代入中，因此，故、、. 【小问2详解】 因为函数和的图像都经过点，， 即，，故点，而，， ，，设在点P处的夹角为， 故有，代入，计算得， 故夹角为. 20. 设m为一个至少为2的正整数．在两个罐子中，各有m个形状和质地均相同的小球，都分别标记为1到m号．现在两个罐子中各任取一个小球，记两球上的数字的乘积可以被m整除的概率为， （1）当时，求两小球上的数字的乘积为奇数的概率； （2）求； （3）若恒成立，且有无数个m可以使得等号成立，求的表达式，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 由题意，满足两球数字的乘积可以被整除的有序数对个数为， 设，根据题意对所有恒成立， 且无数个使得， 故不妨设取出小球编号为有序数对，，，，m为ab的因数， 当为质数时，由整除可得整除或整除，又因为， 所以，故， 故取，则此时成立； 当m为合数时，必然存在，，使之成立，故， 故此时，故恒成立满足题意，故． 【解析】 【分析】（1）设两小球上的数字的乘积为奇数为事件A，根据题意求出即可； （2）设取出两数为，乘积能被10整除的情况可分类计数：至少一个数为10；两数均不为10，计算概率即可； （3）不妨设取出小球编号为有序数对， 分类讨论取m为质数和m为合数即可． 【小问1详解】 由题意，时，抽取一个小球为奇数的概率为，设两小球上的数字的乘积为奇数为 事件A，则，故乘积为奇数的概率为． 【小问2详解】 设取出两数为，乘积能被10整除的情况可分类计数： 1、至少一个数为10，共有种， 2、两数均不为10，则一个为5，另一个为偶数，共有种， 共计种，故． 【小问3详解】 略 21. 已知双曲线：和双曲线：，其中常数s、t满足，O为坐标原点． （1）若直线和双曲线交于点P，求证； （2）若双曲线上有一条动弦AB，保持，求证：为定值； （3）若点A在上运动，点B在上运动，保持，点O在线段AB上的垂足为点D，求证：为定值的充要条件是． 【答案】（1） 由题意，联立，解得， 故，； （2） 由题意，直线OA，OB斜率存在且不为0，设，， 由（1）不妨设，，，， 故，； （3） 由（2）得，不妨设，，，， 故， 显然当为定值时，，； 反之为定值； 综上，为定值的充要条件是． 【解析】 【分析】（1）联立双曲线：和直线，计算得出点P坐标，计算即可； （2）写出点A和点B的坐标，表示和计算即可； （3）由题意表示，求其定值的充要条件即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $