上海市行知中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

2025—2026上海市行知中学高二第二学期期中 2026.4 一、填空题（本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分，满分54分） 1. 直线的倾斜角为______． 2. 圆的半径为______． 3. 已知等比数列的各项均为正数，若，则______． 4. 已知，则______． 5. 若球的表面积为1，则其体积为______． 6. 向量在向量方向上的投影向量的坐标为______． 7. 已知项数不少于2的有穷数列中各数不全相等，它们的方差为，若数列中各数的方差为，则______． 8. 导电体中的电量关于时间的变化率称为电流强度．若，则时的电流强度为______． 9. 以0、1、2、3、4中随机选取4个不同的数排成一个四位数．已知3和4相邻，则该数为偶数的概率为______． 10. 在正方体中，是线段的中点，平面ACM将正方体分成体积分别为、的两部分，其中，则______． 11. 已知点，过原点O的动直线交椭圆于点B、C，则面积的最大值为______． 12. 甲同学走楼梯，每一步可跨1级台阶或2级台阶或3级台阶．若恰走完8级台阶，则有______种不同的走法． 二、选择题（本大题共4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分） 13. 是事件A和B为独立事件的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分条件也非必要条件 14. 若把该立体图形绕某条直线旋转角度，，使之与原图形重合，则该直线称为该立体图形的旋转轴．侧棱互相垂直的正三棱锥的旋转轴的条数为（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 4 15. 对于问题“已知直线l过抛物线的焦点F，且交抛物线于P、Q两点，由P、Q分别向准线引垂线PR、QS，垂足分别为R、S，设，，M为线段RS的中点，求的长度”，甲同学解得，乙同学解得．则下列正确的选项为（ ） A. 只有甲同学正确 B. 只有乙同学正确 C. 两人都正确 D. 两人都不正确 16. 设无穷数列的前n项和为，定义，则下列正确的选项为（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时，则 D. 当时， 三、解答题（本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤） 17. 已知等比数列的首项为2，公比为2，等差数列的首项为1，公差为1，设，的前n项和为． （1）求； （2）求． 18. 如图，将正四棱柱置于空间直角坐标系中，点D为坐标原点O，，，， （1）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角表示）； （2）记直线分别和、BC、BA所成角为、、，求证：． 19. 若函数和的图象有公共点P，各自过点P的切线均存在，则称两函数在点P处的切线的夹角为两函数在点P处的夹角．若两切线重合，则将重合的切线称为两函数在点P处的公切线． （1）若和在处有公切线，求实数a、b、c的值； （2）若，求和的公共点P及在点P处的夹角． 20. 设m为一个至少为2的正整数．在两个罐子中，各有m个形状和质地均相同的小球，都分别标记为1到m号．现在两个罐子中各任取一个小球，记两球上的数字的乘积可以被m整除的概率为， （1）当时，求两小球上的数字的乘积为奇数的概率； （2）求； （3）若恒成立，且有无数个m可以使得等号成立，求的表达式，并说明理由． 21. 已知双曲线：和双曲线：，其中常数s、t满足，O为坐标原点． （1）若直线和双曲线交于点P，求证； （2）若双曲线上有一条动弦AB，保持，求证：为定值； （3）若点A在上运动，点B在上运动，保持，点O在线段AB上的垂足为点D，求证：为定值的充要条件是． 2025—2026上海市行知中学高二第二学期期中 2026.4 一、填空题（本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分，满分54分） 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】81 二、选择题（本大题共4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分） 【13题答案】 【答案】A 【14题答案】 【答案】B 【15题答案】 【答案】C 【16题答案】 【答案】D 三、解答题（本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤） 【17题答案】 【答案】（1）， （2）+2 【18题答案】 【答案】（1） （2） 连接，可知与的夹角为，， 同理，， 因为为长方体的体对角线，所以， 所以. 【19题答案】 【答案】（1）、、 （2）， 【20题答案】 【答案】（1） （2） （3） 由题意，满足两球数字的乘积可以被整除的有序数对个数为， 设，根据题意对所有恒成立， 且无数个使得， 故不妨设取出小球编号为有序数对，，，，m为ab的因数， 当为质数时，由整除可得整除或整除，又因为， 所以，故， 故取，则此时成立； 当m为合数时，必然存在，，使之成立，故， 故此时，故恒成立满足题意，故． 【21题答案】 【答案】（1） 由题意，联立，解得， 故，； （2） 由题意，直线OA，OB斜率存在且不为0，设，， 由（1）不妨设，，，， 故，； （3） 由（2）得，不妨设，，，， 故， 显然当为定值时，，； 反之为定值； 综上，为定值的充要条件是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $