广东广州市第六中学2025-2026学年高二下学期数学第四周周测试题（3月29日）

广州六中高二数学第四周周测 2026.3.29 一、单选题 1．已知乘积展开后共有60项，则的值为（   ） A．5 B．7 C．10 D．12 2．从1，3，5，7，9这五个数中，依次取出两个不同的数a，b，共可得到的不同值的个数是（    ） A．10 B．16 C．18 D．20 3．向高为的容器中注水，且任意相等的时间间隔内所注入的水体积相等，若容器内水面的高度与注水时间的函数关系的图象如图所示，则该容器的形状可能是（   ） A． B． C． D． 4．若函数的图象在点处的切线也是函数的图象的切线，则实数（   ） A． B． C．0 D．1 5．已知，若函数恰有1个零点，则（   ） A．e B． C．1 D．3 6．“回文”是古今中外都有的一种修辞手法，如“我为人人，人人为我”等，数学上具有这样特征的一类数称为“回文数”､“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如121，241142等，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有（    ） A．100个 B．125个 C．225个 D．250个 7．已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，其中是自然对数的底数.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．某班星期一上午要安排语文、数学、英语、物理4节课，且该天上午总共4节课，下列结论正确的是（    ） A．若数学课不安排在第一节，则有18种不同的安排方法 B．若语文课和数学课必须相邻，且语文课排在数学课前面，则有6种不同的安排方法 C．若语文课和数学课不能相邻，则有12种不同的安排方法 D．若语文课、数学课、英语课按从前到后的顺序安排，则有3种不同的安排方法 10．已知，则下列正确的是（   ） A．直线为的切线 B．若，则 C．若在上单调递增，则 D．设为曲线在处的两条切线，若，则 11．已知且，则函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 三、填空题 12．某班联欢会原定3个节目已排成节目单，开演前又增加了2个节目，如果将这2个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为（    ） 13．函数在上的单调递增区间为___________． 14．已知对任意，且当时，都有，则的取值范围是______． 四、解答题 15．在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求角B的值； (2)若，求的取值范围． 16．设函数． (1)若，求在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若恒成立，求实数的取值范围． 17．已知数列中，，. (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)构造新数列，若，求数列的前项和. 18．如图1，已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，过点作倾斜角为的直线交抛物线于两点（点在第一象限）．当时，． (1)求抛物线的方程； (2)如图2，把沿翻折为，使得二面角的大小为． ①若，求直线与平面所成角的正弦值； ②证明：三棱锥的体积为定值． 19．已知函数 (1)当 时，求的极值. (2)已知. （i）证明: ； （ii）若 在 上恒成立，求实数t的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《广州六中高二数学第四周周测（3月29日）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C C B C B C B ABC 题号 11 12 答案 ACD BCD 1．C 【难度】0.85 【分析】根据二项展开式定理可得展开式中共有项，即可得的值. 【详解】易知的展开式中共有6项， 则乘积展开后共有项， 因此可得，解得. 故选：C 2．C 【难度】0.85 【分析】从五个数中选两个数排列后，减去两组比值相同的情况即可. 【详解】总的有序数对的个数为,因为 ，所以不同值的个数即为不同比值的个数. 在20个比值中，由于 以及，存在两组比值相同的情况，因此实际不同值的个数为. 3．C 【难度】0.65 【分析】根据函数图象可知在相等时间间隔内容器内水面的高度增加量越来越大，结合容器形状可确定选项. 【详解】根据函数图象可知，随着注水时间的增大，在相等时间间隔内容器内水面的高度的增加量越来越大，即的变化率逐渐增大， 故该容器从下到上宽度应逐渐减小，选项C中容器符合要求. 故选：C. 4．C 【难度】0.67 【分析】对求导，即可求解的图象在点处的切线方程，进而对求导，即可得解. 【详解】由题意得，则，所以的图象在点处的切线方程为，即． 设直线与的图象相切于点， 又，则，解得， 所以，即，则． 故选：C． 5．B 【难度】0.65 【详解】由，可得恒为的一个零点， 令，则恰有1个零点， 等价于的唯一零点是，或无零点. 因为，且， 所以恒成立，在上单调递增. 又时，时，因此必然存在唯一零点. 当的零点是时，可得 即，解得，. 6．C 【难度】0.65 【分析】根据给定的信息，确定五位正整数中的“回文数”特征，再由0出现的次数分类求解作答. 【详解】依题意，五位正整数中的“回文数”具有：万位与个位数字相同，且不能为0；千位与十位数字相同， 求有且仅有两位数字是奇数的“回文数”的个数有两类办法： 最多1个0，取奇数字有种，取能重复的偶数字有种，它们排入数位有种，取偶数字占百位有种， 不同“回文数”的个数是个， 最少2个0，取奇数字有种，占万位和个位，两个0占位有1种，取偶数字占百位有种， 不同“回文数”的个数是个， 由分类加法计算原理知，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有个. 故选：C 7．B 【难度】0.65 【分析】构造函数，利用导数法求最值得，从而有，再利用函数单调递减得，利用函数单调递增得，即可比较大小. 【详解】对，因为，则，即函数在单调递减， 且时，，则，即，所以， 因为且，所以， 又，所以. 故选：B 8．C 【难度】0.65 【分析】求导后结合基本不等式可得在上单调递增，令g，从而可得在上单调递增，且为奇函数，从而可化为，求解即可. 【详解】， 在上单调递增. 令，在上单调递增， 因为，所以为奇函数， 则化为 所以，解得， . 故选：C 9．B 【难度】0.94 【分析】利用插空法结合排列组合计数方法求解. 【详解】这2个新节目插入节目单中， 若2个新节目相邻，则在原定3个节目已排成节目单产生的4个空位中， 选1个位置安排2个新节目，且两个新节目顺序可变， 此时有种插法， 若2个新节目不相邻，则在原定3个节目已排成节目单产生的4个空位中， 选2个位置安排2个新节目，且两个新节目顺序可变， 此时有种插法， 所以共有种插法， 故选:B. 10．ABC 【难度】0.85 【分析】选项A将数学排在后三节，再将其余3个科目全排列即可；选项B采用捆绑法进行求解；选项C采用插空法进行求解；选项D根据除序法进行求解. 【详解】对于A，有种排法，故A正确； 对于B，采用捆绑法，有种排法，故B正确； 对于C，采用插空法，有种排法，故C正确； 对于D，有种排法，故D错误． 故选：ABC 11．ACD 【难度】0.63 【分析】根据导数的几何意义可求得 处切线为得到A正确；通过举反例证明B错误；根据导数的代数意义结合分离参数求范围即可求出C正确；根据导数的几何意义求出切线方程，结合两切线平行，找到相应等式即可求得D正确. 【详解】已知，求导得 选项A：当 时，，且，因此处切线斜率为0，切线方程为， 故直线一定是的切线，故A正确； 选项B：当时，，故 B错误； 选项C：若在单调递增，则在恒成立，当时，， 因此需要对所有恒成立，即，解得，即，故C正确； 选项D：求导得：，切线等价于 ， 整理得：， 因为，两边除以得， 即，故D正确. 12．BCD 【难度】0.4 【分析】由函数求导，明确导函数的单调性，并构造函数，求导研究其单调性，可得原函数的最值，根据最值的取值范围，可得答案. 【详解】由，求导可得，易知函数在单调递增， 令，求导可得在上恒成立， 则在上单调递增，所以， 易知，使得，则，即， 当时，，则函数在上单调递减； 当时，，则函数在上单调递增， 所以，由，则， 当，即时，，故A错误，B可能正确； 当，即时，令，求导可得， 则函数在上单调递减. 由，,则存在，使得， 所以当时，此时符号不定，故CD可能正确. 故选：BCD. 13．， 【难度】0.85 【分析】根据给定条件，利用导数求出函数的单调递增区间. 【详解】函数，求导得， 当时，由，得，解得或， 所以所求单调递增区间为，. 故答案为：， 14． 【难度】0.4 【分析】先把转化为，设，原问题就转化成在上单调递减，然后利用在上，恒成立，分离参数，结合基本（均值）不等式，可求的取值范围. 【详解】由，且， 所以. 设，， 则原问题转化为在上单调递减. 所以在上恒成立， 即，恒成立. 因为（当且仅当即时取“”） 所以. 故答案为： 【点睛】方法点睛：本题的关键是把转化为，设，原问题就转化成在上单调递减，然后利用函数在给定区间上的单调性求参数的取值范围. 15．(1) (2) 【难度】0.65 【分析】（1）利用正弦定理边化角后整理化简即可； （2）利用正弦定理得到，则，利用三角公式变形整理，利用三角函数的性质求最值. 【详解】（1）因为， 由正弦定理边化角可得， 所以，又， 所以，又为锐角， 则； （2）由正弦定理， 则， 所以， ， 因为在锐角三角形中，得， 所以， 则， 所以的取值范围为. 16．(1) (2)答案见解析 (3) 【难度】0.65 【分析】（1）先求，进而求切线斜率，再用点斜式求方程即可； （2）分和两种情况，分别研究的正负性即可； （3）利用参变分离，构造函数，求其最小值即可. 【详解】（1）由题意，得，所以切线的斜率为， 所以曲线在处的切线方程为，即， 则在处的切线方程为. （2）由，则，， 当时，恒成立，则在上单调递增； 当时，得；得， 则在上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． （3）由题意恒成立， 因为，即得恒成立，即，， 记，，则， 令得；可得， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 则实数a的取值范围为． 17．(1)证明见解析 (2) (3) 【难度】0.65 【分析】（1）把已知等式变形为乘法形式，再结合等差数列的性质可得； （2）由等差数列的基本量法可求； （3）由裂项相消法求和即可. 【详解】（1）由题意证明如下，， 在数列中，，， ∴，即， ∴是以为首项，1为公差的等差数列. （2）由题意及（1）得，， 在数列中，首项为3，公差为1， ∴，即； （3）， 所以. 18．(1) (2)①；②证明见解析. 【难度】0.4 【分析】（1）先根据倾斜角得出点的坐标，再应用两点间距离求出，进而得出抛物线； （2）①联立方程得出点的坐标，再应用空间向量法计算线面角正弦即可；②应用三棱锥体积公式结合三角形面积公式计算求解. 【详解】（1）当时，，所以点的坐标为， 因为，所以， 解得， 所以抛物线的方程为． （2）①在平面直角坐标系中，若，则直线的方程为， 联立 所以点的坐标分别为． 过O点作平面的垂线为轴，如图建立空间直角坐标系，则， 当二面角的大小为时，点，即， 所以， 设平面的法向量为， 则即解得取，得， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． ②由题意得． ， 当时，， 当时，在平面直角坐标系中，设直线的斜率为，则直线的方程为， 设点的坐标分别为， 联立得， 则， 因为，所以，得， 所以， ， 综上所述，三棱锥的体积为定值． 19．(1)极大值，极小值 (2)（i）证明见解析；（ii） 【难度】0.35 【分析】（1）先对函数求导得到，通过导数的正负判断单调性，进而确定极值点并计算极值； （2）（i）通过构造辅助函数并分析导数符号证明不等式； （ii）分离参数后构造函数，利用导数分析单调性求最值，从而确定参数范围. 【详解】（1）时，，， 令，得，解得， 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减； 所以当时，取得极大值， 当时，取得极小值. （2）时，. （i）要证，，即证， 令，则， 令，则，即化为， 因为，所以，所以，即，在单调递增， 又，所以，即. （ii）由得， 当时，显然成立； 当时，不等式可化为，令，则 则， 令， 当时，，由得，又， 所以，所以，在单调递增，所以对，； 下面证明当时，，即，也即证： 令，则， 因为，所以，所以，所以， 所以在单调递增，所以，即， 所以. 综上，时，，所以，即实数的取值范围为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $