广东东莞市众美中学2025-2026学年高二下学期第四周数学周测卷（3.29）

众美中学2025-2026学年高二下学期数学周测试卷3 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的) 1.已知函数f(x)的导函数f'(x)的图像如图所示，则f(x)() A.有极小值，但无极大值 B.既有极小值，也有极大值 C.有极大值，但无极小值 D.既无极小值，也无极大值 【答案】A 【分析】通过导函数大于0原函数为增函数，导函数小于0原函数为减函数判断函数的增减区间，从而确 定函数的极值， 【详解】 由导函数图像可知： 导函数y=f(x)在(-o,t)上小于0，于是原函数y=f(x)在(-n,t)上单调递减， y=∫(x)在(t,+∞)上大于等于0，于是原函数y=f(x)在(t,+o)上单调递增， 所以原函数在x=t处取得极小值，无极大值， 故选：A 2.由数字1,2,3组成的无重复数字的整数中，偶数的个数为( A.15 B.12 C.10 D.5 【答案】D 【详解】 分三类，第一类组成一位整数，偶数有2，共1个： 第二类组成两位整数，其中偶数有12和32，共2个： 第三类组成三位整数，其中偶数有132和312，共2个， 1/12 由分类加法计数原理知共有偶数5个. 故选：D 3.已知x=1是函数f(x)=(x-a)hx+x2+1的极值点，则a的值是() A.1 B.3 C.5 D.7 【答案】B 【分析】先求出导函数，再根据极值点处导数值为0，计算求参，最后代入检验即可 【详解】因为f'(x)=nx+X-+2x, 由x=1是函数∫(x)=(x-a@)nx+x2+1的极值点，得f'(①)=0→a=3, 经检验，a=3时，f()=n+:3+2x=nx+3+2x+1单调递增，得0=0， x∈(0,1)，f'(x)<0,f(x)单调递减；x∈(1，+o),f'(x)>0,f(x)单调递增； x=1是函数f(x)的极值点，符合题意： 故选B 4.函数f(x)=e-x+2在[-2,2]上的值域为() A.[3,e] B.[3,e2+4] c.e2+4,e2 D.「e+l,e2] 【答案】A 【分析】求导，得到函数的单调性，从而得到函数的最值，得到值域 【详解】由题意得f'(x)=e-1, 当-2≤x<0时，f"(x)<0,当0<x≤2时，f'(x)>0, 故f(x)在[-2,0)上单调递减，在[0,2]上单调递增 所以f(x)在x=0处取得极小值，也是最小值，故f(x)m血=f(O)=3, 因为f(-2)=e2+4<f(2)=e2,所以f(x)ms=e2 故所求的值域为[3，e]. 故选：A 5.若a=eb= 25 2c=n5'则以下不等式正确的是() A.c>b>a B.a>b>c 2/12 C.b>a>c D.b>c>a 【答案】A 【分析】先构造函数判断出α最小，再依据函数单调性去比较b、c的大小即可解决 【详解】令)=其x>0,则f)=血-日 Inx (Inx)2 由'(x)>0,得x>e,由f'x)<0,得0<x<e, 即当0<x<e时f(x)单调递减，当x>e时(x)单调递增， 即当x=e时f网取得最小值/e=总。-e, 则有f(2)>f(e),f(5)>f(e),即b>a,c>a, 又b=2=45 =C, In2 In4 In5 综上abc的大小关系为c>b>a. 故选：A 6.某公交车上有6位乘客，沿途4个车站，乘客下车的可能方式有( A.64种 B.4种 C.24种 D.360种 【答案】B 【详解】 由题意，每一位乘客都有4种选择，故乘客下车的可能方式有4×4×4×4×4×4=46种， 故选：B 7.若函数f(x)为定义在R上的偶函数，当x∈(-o,0)时，f'(x)<2x,则不等式 f(3x-1)-f(2)>(3x-3)3x+1)的解集为() A.（m,uL+四) C.(1,+）D. 【答案】A 【分析】先构造函数g(x)=f(x)-x2,判断函数g(x)的奇偶性和单调性：再将不等式等价变形；最后利用 函数8(x)的性质求解即可 【详解】令g(x)=f(x)-x2 :f(x)为定义在R上的偶函数 3/12 ·f(-x)=f(x) :g(-x)=f(-x)-(-x)=f(x)-x2 ∴g(-x)=g(x) 则函数g(x)为定义在R上的偶函数 g(x)=f"(x)-2x,当x∈(-o,0)时，f'(x)<2x .函数g(x)在(-0,0)上单调递减，在(0，+o)上单调递增. (3x-3)(3x+1)=[(3x-1)-2][(3x-1)+2]=(3x-1)2-2 ∴不等式f(3x-1)-f(2)>(3x-3(3x+)可变为f(3x-1)-(3x-1)>f(2)-22, 即g(3x-1)>g(2) 3 故3x-1>2,解得x>1或x<- 所以不等式解集为： （0,u(1+网， 故选：A 8.“切线放缩是处理不等式问题的一种技巧.如：y=e*在点(0,1)处的切线为y=x+1,如图所示，易知除切 点(0,1)外，y=e图象上其余所有的点均在y=x+1的上方，故有e*≥x+l.该结论可通过构造函数 f(x)=e-x-1并求其最小值来证明.显然，我们选择的切点不同，所得的不等式也不同.请根据以上材料， 判断下列命题中正确命题的个数是() =x+1 ①x>0,e1≥nr+l;②aeR,xreR,e≥e(x-a+l:③∀x∈R,cosx≥l-x: 2 ④”x>0,xe≥x+lnx+1. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 4/12 【分析】根据€≥x+1,结合换元思想，可以判断①②④的真假：构造函数f()=cosx+x-1,利用导数 求函数的最小值，可判断③的真假 【详解】对命题①：因为e*≥x+1,所以e-≥(x-1)+1=x恒成立， 则当x>0时，有lne≥lnx,即x-1≥hx,则x≥lnx+1, 所以e1≥x≥nx+1在(0，+o)上恒成立，且x=1时取“=”，所以①成立： 对命题②：因为e*≥x+1,所以ex-a≥x-a+l, 两边同乘以e得e≥e(x-a+1),所以②成立 对命题国：设/e)=cs+-1,则r)=-血x+, 设h(x)=-sinx+x,则M(x)=-cosx+1≥0恒成立， 所以h(r)=-sinx+x在(-o,+oo)上单调递增，又h(0)=0, 所以当x<0时h(x)<0,当x>0时h(x)>0, 所以∫(x)在(-0,0)上单调递减，在(0，+o)上单调递增，且∫(0)=0， 所以f()≥0恒成立，即x∈R,cosx≥1-1x2,所以③成立： 对命题④：因为e*≥x+1, 所以当x>0时，ex+ax≥x+lnx+l,即xe≥x+lnx+l,所以④成立， 所以4个命题都成立. 故选：D 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列不等式恒成立的是() A.e≥x+1 B.nx≤x-1 C.sinx≤x D.e≥2x+1 【答案】AB 【分析】首先构造函数利用导数求出最值，即可判断A,B正确，利用特殊值即可判断C,D错误. 【详解】对选项A,设f(x)=e-x-1,f"(x)=e-1, 5/12 当x∈（-w,0)时，f(x)<0,f(x)为减函数， 当x∈(0，+o)时，f(x)>0,∫()为增函数， 所以f(x)mm=∫(O)=0,即e≥x+1,故A正确. 对选项B,设g(9)=血x-x+1,g(x)=-1= 当x∈(0,1)时，g(x)>0,8(x)为增函数， 当x∈(1，+o)时，g'(x)<0,8(x)为减函数， 所以8(x)mx=8()=0,即nx≤x-1,故B正确 对选项c当=时(引-1，此时n行放C错误 对选项D,当x=1时，e<2+1,故D错误. 故选：AB 10.某学校高一年级数学课外活动小组中有男生7人，女生3人，则下列说法正确的是( A.从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，共有100种不同的选法 B.从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，共有21种不同的选法 C.从中选1人参加数学竞赛，共有10种不同的选法 D.若报名参加学校的足球队、羽毛球队，每人限报其中的1个队，共有100种不同的报名方法 【答案】BC 【详解】 对于A,选1人做正组长，1人做副组长需要分两步， 先选正组长有10种选法，再选副组长有9种选法，则共有10x9=90种不同的选法，故A错误； 对于B,从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，则共有7×3=21种不同的选法，故B正确： 对于C,选1人参加数学竞赛，既可以选男生，也可以选女生，则共有7+3=10种不同的选法，故C正确： 对于D,每人报名都有2种选择，共有10人，则共有2°=1024种不同的报名方法，故D错误. 故选：BC 11.已知函数f(x)=x2+ae*-e2x恰有3个零点，则a的取值可以为() 1 B.e- 1 D.e e c.e-3 【答案】ACD 6/12 【分析】若函数f(x)=心+e-e2恰有3个零点，则方程+-1=0有3个不同的实数根，令 g®)+1，则函数g心)恰有3个零点设1二求导分析单性，极值，分析V三+i-1的零鼠 e 即可得出答案. 【联解1a8-e心=0等价于+g-10: 设8心)上X+1,所以函数8四)恰有3个零点 令1则r=1 e 当x<1时，f>01=亡在(，1)上单调递增，当x>1时，t<0,1=。在0，+o)上单调递减， 当n时，i)0,当)m时：f→0，则君 因为函数8(x)恰有3个零点，所以y=P+t-1有一个负根和一个小于二的正根， 所以子+名-1>0，解得a心c是 1 e 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知曲线)=x++bx+1在点1，f(1))处的切线斜率为3，且x=名是=的极值点，则4+b 3 【答案】-2 【分行1先求导，根系自线在点1，f1》处的切线斜率为，有/四=3，又x号是y6x)的极值 点，得到 =0,两式联立求解 【详解】依题意得'(x)=3x2+2+b, 又因为在点(1，f(1))处的切线斜率为3，所以∫'(1)=3+2a+b=3 由于号是y网的极值点。所以 2=3×4+2x2a+b=0 (3 91 3 解得a=2,b=-4,则a+b=-2 故答案为：-2 13.己知关于x的方程x2+x-1=e有且只有两个实数根，则实数k的取值范围是 【答案】(-e,0U) 7/12 【分析】由题意构造函数)+x-一1，对该函数求导，并利用导数求得单调区间与极值，再画出函数图 象，即可求得k的取值范围。 【详解】原方程可变形为+x-1=k, ex 令函数)=+-1，则f时=-x+x-2) e 令f(x)=0,得x=-1或x=2, 当x>2或x<-1时，f'(x)<0,当-1<x<2时，f'(x)>0, 所以f(x)在(2，+∞)，(-∞，-1)上单调递减，在(-1,2)上单调递增， 所以当x=2时，f(心)取得极大值，且极大值为)三 当x=-1时，f(x)取得极小值，且极小值为f(1)=-e, 又当x趋向于+o时，∫(x)趋向于0，当x趋向于-o时，f(x)趋向于+0， 所以f(x,)的大致图象如图，所以实数k的取值范围是(-c,]U) 故答案为：（←e.0U总 VA 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求参数的范围问题本题的关键点是方程有且只有两个方程，构造 函数=+-一上，结合导数求得单调区间与极值，从而得到函数的大致图象，即可求得参数的取值范围 er 14从4男2女共6名学生中选出队长1人、副队长1人、普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至 少有1名女生，共有种不同的选法.（用数字作答） 【答案】168 【详解】 解：根据题意，分2步进行分析： ①先从4男2女共6名学生选出4人，要求至少有1名女生，有C。-C=14种情况， ②在选出的4人中任选1人，作为队长，剩余3人中选出1人作为副队长， 剩下2人作为队员，有C4C=12种情况， 则有14×12=168种不同的选法： 8/12 故答案为：168 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分14分) 设函数f(x)=1-xe,，曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y=-x+1. (1)求a,b的值： (2)求f(x)的单调区间. 【答案】(1)a=-1,b=1 (2)单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(-0,0)和(2，+∞) 【分析】(1)求出导函数，利用导数的几何意义及切点坐标列方程组求解即可 (2)求出导函数，解导函数不等式即可求解单调区间 【详解】(1)因为f(x)=1-xer+,xeR,所以f'(x)=-(2x+ax2)er, 因为f(x)在(1，∫(1)处的切线方程为y=-x+1, 所以f(1)=-1+1=0,f'(1)=-1, 1-12xea+=0 a=-1 则 -(2+a)ea=-1'解得 b=1 所以a=-1,b=1: (2)由(1)得f'(x)=(x2-2x)ex(x∈R), 令x2-2x=0,解得x=0或2，易知ex+1>0恒成立， 所以令f'(x)<0,解得0<x<2,f(x)在(0,2)上单调递减： 令f'(x)>0,解得x<0或x>2,f(x)在(-0,0)，(2，+n)上单调递增： 则f(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(-n,0)和(2，+0). 16.己知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(ab)表示平面上的点(a,b∈M).问： (1)P(a,b)可表示平面上多少个不同的点？ (2)P(a,b)可表示平面上多少个第二象限的点？ 【答案】(1)36：(2)6. 9/12 【详解】 解(1)确定平面上的点P(a,b)可分两步完成： 第一步，确定α的值，共有6种方法： 第二步，确定b的值，也有6种方法 根据分步乘法计数原理，得到平面上的点的个数是6×6=36. (2)确定第二象限的点，可分两步完成： 第一步，确定a,由于a<0,所以有3种不同的确定方法： 第二步，确定b,由于b>0,所以有2种不同的确定方法. 根据分步乘法计数原理，得到第二象限点的个数为3×2=6 17用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺序排成一个三位数，此时： (1)各位数字互不相同的三位数有多少个？ (2)可以排出多少个不同的三位数？ 【答案】(1)120：(2)216. 【详解】 (1)三位数的每位上数字均为1,2,3,4,5,6之一. 第一步，得首位数字，有6种不同结果： 第二步，得十位数字，有5种不同结果： 第三步，得个位数字，有4种不同结果， 故可得各位数字互不相同的三位数有6×5×4=120（个）： (2)三位数，每位上数字均可从1,2,3,4,5,6六个数字中得一个，共有这样的三位数有6×6×6=216（个） 18.(本小题满分16分) 已知函数f(x)=(x+a)e. (1)若f(x)在x=2处取得极值，求实数a的值： (2)若f(r)<ex恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)-3. (2)(-0,1) 【分析】(1)条件可转化为2为f'(x)的变号零点，列关系式求a: (2)条件可转化为a<e-x恒成立，利用导数求函数g(x)=e-x的最小值可得结果. 【详解】(1)因为f(x)=(x+a)e在x=2处取得极值，所以2为f"(x)的变号零点， 10/12众美中学2025-2026学年高二下学期数学周测试卷3 时长：120分钟 分值：150分3月29日晚20：10-10：10 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的) 1.己知函数f(x)的导函数'(x)的图像如图所示，则f(x)() A.有极小值，但无极大值 B.既有极小值，也有极大值 C.有极大值，但无极小值 D.既无极小值，也无极大值 2.由数字1,2,3组成的无重复数字的整数中，偶数的个数为（) A.15 B.12 C.10 D.5 3.已知x=1是函数f(x)=(x-a)nx+x2+1的极值点，则a的值是() A.1 B.3 C.5 D.7 4.函数f(x)=e-x+2在[-2,2]上的值域为() A.[3,e2] B.[3,e2+4] c.[e2+4,e2] D.[e+l,e2] 5若ab品c 5 ,则以下不等式正确的是() A.c>b>a B.a>b>c C.b>a>c D.b>c>a 6.某公交车上有6位乘客，沿途4个车站，乘客下车的可能方式有() A.64种 B.46种 C.24种 D.360种 7.若函数f(x)为定义在R上的偶函数，当x∈(-n,0)时，'(x)<2x,则不等式 f(3x-1)-f(2)>(3x-3)3x+1)的解集为() a（m+o)B.（ C.（1,+0) 高二数学周测试题 第1页共4页 8.“切线放缩”是处理不等式问题的一种技巧.如：y=e*在点(0,1)处的切线为 y=x+1,如图所示，易知除切点(0,1)外，y=e图象上其余所有的点均在y=x+1 的上方，故有e*≥x+l.该结论可通过构造函数f(x)=e-x-1并求其最小值来 J-er 证明.显然，我们选择的切点不同，所得的不等式也不同请根据以上材料，判断 下列命题中正确命题的个数是() 1 ①x>0,ex-1≥lnx+1;②Va∈R,xeR,e≥e(x-a+l)；③x∈R,cosx≥1-5x2: 2 ④”x>0,xe≥x+lnx+1. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列不等式恒成立的是() A.e≥x+1 B.nx≤x-1 C.Sinx≤x D.e*≥2x+1 10.某学校高一年级数学课外活动小组中有男生7人，女生3人，则下列说法正确的是( ) A.从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，共有100种不同的选法 B.从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，共有21种不同的选法 C.从中选1人参加数学竞赛，共有10种不同的选法 D.若报名参加学校的足球队、羽毛球队，每人限报其中的1个队，共有100种不同的报名方法 11.已知函数f(x)=x2+e*-e2x恰有3个零点，则a的取值可以为（) 1 1 B.e-- C.e-- D.e e 3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知曲线)=x+m+x+1在点1，了(1))处的切线斜率为3，且x=名是y=)的极值点，则a+b 3 13.己知关于x的方程x2+x-1=ke*有且只有两个实数根，则实数k的取值范围是 14.从4男2女共6名学生中选出队长1人、副队长1人、普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中 至少有1名女生，共有种不同的选法.（用数字作答） 高二数学周测试题 第2页共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.设函数f(x)=1-x2er",，曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y=-x+1. (1)求a,b的值： (2)求∫(x)的单调区间 16.已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(ab)表示平面上的点(a,b∈M).问： (1)P(a,b)可表示平面上多少个不同的点？ (2)P(a,b)可表示平面上多少个第二象限的点？ 17.用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺序排成一个三位数，此时： (1)各位数字互不相同的三位数有多少个？ (2)可以排出多少个不同的三位数？ 高二数学周测试题 第3页共4页 18.已知函数f(x)=(x+e. (1)若f(x)在x=2处取得极值，求实数a的值； (2)若f(x)<e2x恒成立，求实数a的取值范围. 19.已知函数f(x)=e-e2x-1. (1)讨论f(x)的最值： (2)设g(x)=e2x-n(x+1)+lnm+f(x),若g(x)恰有2个零点，求实数m的取值范围. 高二数学周测试题 第4页共4页