广东省广州市第八十六中学2025-2026学年高二下学期数学第四周周测试题

广东省广州市第八十六中学高二数学下学期第四周周测试题（2026.03.24） 一．单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．下列求导结果正确的是（　　） A．（sin3）′＝cos3 B．（cosx）′＝sinx C． D． 2．已知函数，则（　　） A．2 B．4 C．8 D．16 3．已知函数f（x）在R上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（　　） A． B． C． D． 4．已知，则f′（2026）＝（　　） A．0 B．﹣2026 C．1 D．2026 5．“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，某单位龙舟队欲参加端午节龙舟赛，经过训练后，龙舟队的8名队员在左、右桨位中至少会一个，其中有5人会划左桨，5人会划右桨．现要选派3人划左桨、3人划右桨共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（　　） A．26种 B．31种 C．36种 D．37种 6．从0，2，4中选两个数字．从1，3，5中选一个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为（　　） A．6 B．12 C．18 D．24 7．函数f（x）＝sinx﹣xcosx在区间（﹣3π，3π）上的极值点个数为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 8．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数为f′（x），若f′（x）＜2x，且f（5）＝3，则不等式f（2x﹣1）+4x＞4x2﹣21的解集是（　　） A．（﹣∞，3） B．（3，+∞） C．（0，3） D． 二．多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9．已知函数f（x）＝x3+ax2﹣2x+1，则（　　） A．f（x）可能没有零点 B．f（x）有两个极值点 C．∀a∈R，f（x）在（﹣∞，0）有最大值 D．∃a∈R，f（x）在（0，+∞）单调递增 10．2025年春节档共上映6部电影全国电影票房达95.1亿元，刷新了中国影史春节档票房记录．其中，《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》分居票房第一、第二的宝座．小数想要观看这6部电影，则（　　） A．若将《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》放在相邻次序观看，则共有120种观看顺序 B．若《唐探1900》在《哪吒之魔童闹海》之前观看，则共有360种观看顺序 C．若将6部电影每2部一组随机分为3组，则共有90种分组方式 D．若将6部电影随机分为2组，则共有31种分组方式 11．已知函数在x＝3处取得极大值，f（x）的导函数为f′（x），则（　　） A． B．当0＜x＜1时，f（x）＞f（x2） C．f′（2+x）＝f′（2﹣x） D．当1≤x1≤x2≤3且x1+x2＜4时， 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．若函数在x＝x0处的导数值等于其在x＝x0处的函数值的2倍，则x0的值为　 ． 13．在如图所示的圆环形花园种花，将圆环平均分成A，B，C，D四个区域，现有牡丹、芍药、月季三种花可供选择，要求每个区域只种一种花且相邻区域的花不同，则不同的种植方法有　　 种． 14．已知a，b满足（e为自然对数的底数），则ab＝　 ． 四．解答题（本题共4小题，共57分） 15．（10分）（1）求的值； （2）解不等式． 16．（15分）已知函数的图象在x＝1处的切线与直线x+2y+1＝0平行，其中a为常数． （1）求a的值； （2）求不等式f（x2﹣1）＜f（5x﹣7）的解集． 17．（15分）已知函数． （1）当a＝2时，求f（x）的极值； （2）讨论f（x）的单调性． 18．（17分）已知函数． （1）若M是曲线y＝f（x）上一动点，点N是直线l：x+y+3＝0上一动点，求M，N两点间的最小距离； （2）求函数的极大值； （3）在（1）的M，N距离最小时，设T（x，y）是曲线y＝f（x）上异于M的动点，直线MT斜率为k，求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省广州市第八十六中学高二数学下学期第四周周测试题解析（2026.03.24） 1．下列求导结果正确的是（　　） A．（sin3）′＝cos3 B．（cosx）′＝sinx C． D． 【D】解：A，（sin3）′＝0，所以A错误； B，（cosx）′＝﹣sinx，所以B错误； C，（xlnx）′＝x′lnx+x（lnx）′＝lnx+1，所以C错误； D，，所以D正确． 2．已知函数，则（　　） A．2 B．4 C．8 D．16 【D】解：根据题意可知，函数，f′（x）＝x2﹣1， 2f'（3）＝2×（32﹣1）＝16． 3．已知函数f（x）在R上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（　　） A． B． C． D． 【B】解：根据题意，如图： 由导数的几何意义，f′（1）为曲线在x＝1处切线的斜率， f′（3）为曲线在x＝1处切线的斜率，kAB，为割线AB的斜率， 则有． 4．已知，则f′（2026）＝（　　） A．0 B．﹣2026 C．1 D．2026 【B】解：由，得， 取x＝2026，得， 所以2026f′（2026）＝f′（2026）﹣2025×2026，解得f′（2026）＝﹣2026． 5．“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，某单位龙舟队欲参加端午节龙舟赛，经过训练后，龙舟队的8名队员在左、右桨位中至少会一个，其中有5人会划左桨，5人会划右桨．现要选派3人划左桨、3人划右桨共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（　　） A．26种 B．31种 C．36种 D．37种 【D】解：依题意8名队员中有5人会划左桨，5人会划右桨，则既会划左桨又会划右桨的有5+5﹣8＝2人，记这两人分别为A、B， 所以只会划左桨有5﹣2＝3人，只会划右桨有5﹣2＝3人，据此分3种情况讨论： ①从只会划左桨的3人中选3人划左桨，从剩下的人中选3人划右桨，则有10种选法； ②从只会划左桨的3人中选2人划左桨，从A、B中选1人划左桨，再从剩下的会划右桨的4个人中选3人划右桨，则有种选法； ③从只会划左桨的3人中选1人划左桨，A、B这2人划左桨，另外会划右桨的3人划右桨，则有种选法， 综上所述，一共有10+24+3＝37种不同的选法． 6．从0，2，4中选两个数字．从1，3，5中选一个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为（　　） A．6 B．12 C．18 D．24 【B】解：从0，2，4中选两个数字．从1，3，5中选一个数字，组成无重复数字的三位数，先安排百位数，然后安排十位数，然后安排个位数．可得2×2×3＝12． 7．函数f（x）＝sinx﹣xcosx在区间（﹣3π，3π）上的极值点个数为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【A】解：由函数f（x）＝sinx﹣xcosx，可得f′（x）＝cosx﹣（cosx﹣xsinx）＝xsinx， 令f′（x）＝0，即xsinx＝0，可得x＝0或sinx＝0， 因为x∈（﹣3π，3π），可得x＝﹣2π，﹣π，0，π，2π， 当x∈（﹣3π，﹣2π）时，x＜0，sinx＜0，所以f′（x）＝xsinx＞0，f（x）单调递增； 当x∈（﹣2π，﹣π）时，x＜0，sinx＞0，所以f′（x）＝xsinx＜0，f（x）单调递减； 当x∈（﹣π，0）时，x＜0，sinx＜0，所以f′（x）＝xsinx＞0，f（x）单调递增； 当x∈（0，π）时，x＞0，sinx＞0，所以f′（x）＝xsinx＞0，f（x）单调递增； 当x∈（π，2π）时，x＞0，sinx＜0，所以f′（x）＝xsinx＜0，f（x）单调递减； 当x∈（2π，3π）时，x＞0，sinx＞0，所以f′（x）＝xsinx＞0，f（x）单调递增， 所以f（x）在（﹣3π，﹣2π）上递增，在（﹣2π，﹣π）上递减，在（﹣π，0）上递增， 在（0，π）上递增，在（π，2π）上递减，在（2π，3π）上递增， 其中x＝0两侧函数的单调性相同，可得x＝0不是函数f（x）的极值点， 所以f（x）在区间（﹣3π，3π）的极值点为x＝﹣2π，﹣π，π，2π，共有4个． 8．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数为f′（x），若f′（x）＜2x，且f（5）＝3，则不等式f（2x﹣1）+4x＞4x2﹣21的解集是（　　） A．（﹣∞，3） B．（3，+∞） C．（0，3） D． 【D】解：由题意定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数为f′（x）， 若f′（x）＜2x，且f（5）＝3， 可设g（x）＝f（x）﹣x2（x＞0），则g′（x）＝f′（x）﹣2x． 因为f′（x）＜2x，所以f′（x）﹣2x＜0，即g′（x）＜0，所以g（x）在（0，+∞）上单调递减． 不等式f（2x﹣1）+4x＞4x2﹣21等价于不等式f（2x﹣1）﹣（2x﹣1）2＞﹣22，即g（2x﹣1）＞﹣22． 因为f（5）＝3，所以g（5）＝f（5）﹣52＝﹣22，所以g（2x﹣1）＞g（5）． 因为g（x）在（0，+∞）上单调递减，所以0＜2x﹣1＜5，解得， 即不等式f（2x﹣1）+4x＞4x2﹣21的解集为（，3）． 9．已知函数f（x）＝x3+ax2﹣2x+1，则（　　） A．f（x）可能没有零点 B．f（x）有两个极值点 C．∀a∈R，f（x）在（﹣∞，0）有最大值 D．∃a∈R，f（x）在（0，+∞）单调递增 【BC】解：对于选项A，三次函数f（x）＝x3+ax2﹣2x+1，当x→+∞时，f（x）→+∞，当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞， 所以函数至少有一个零点，选项A错误； 对于选项B，f（x）＝x3+ax2﹣2x+1，对函数求导可得f′（x）＝3x2+2ax﹣2，判别式Δ＝4a2+24＞0， 故导数恒有两个不同的零点，对应原函数有两个极值点，选项B正确； 对于选项C，f（x）＝x3+ax2﹣2x+1，对函数求导可得f′（x）＝3x2+2ax﹣2，根据韦达定理，导函数的两个零点之积为，所以两个零点一正一负， 故在（﹣∞，0）内仅有一个极值，由于导函数二次项系数为正，该极值为极大值，也为最大值，选项C正确； 对于选项D，f（x）在（0，+∞）单调递增需f′（x）≥0恒成立，但f′（x）＝3x2+2ax﹣2开口向上，且必有一个正的变号零点， 导致原函数在（0，+∞）存在递减区间，选项D错误． 10．2025年春节档共上映6部电影全国电影票房达95.1亿元，刷新了中国影史春节档票房记录．其中，《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》分居票房第一、第二的宝座．小数想要观看这6部电影，则（　　） A．若将《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》放在相邻次序观看，则共有120种观看顺序 B．若《唐探1900》在《哪吒之魔童闹海》之前观看，则共有360种观看顺序 C．若将6部电影每2部一组随机分为3组，则共有90种分组方式 D．若将6部电影随机分为2组，则共有31种分组方式 【BD】解：对于A，若将《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》放在相邻次序观看，可将这两部电影看作一个整体，与其余4部电影全排列，再将这两部电影内部进行全排列，所以观看顺序为种，故A错误； 对于B，若《唐探1900》在《哪吒之魔童闹海》之前观看，则在6部电影的全排列中， 《唐探1900》在《哪吒之魔童闹海》之前的情况占总情况的一半，故共有种观看顺序，故B正确； 对于C，若将6部电影每2部一组随机分为3组，则可以从6部电影中先选出2部，再从4部电影中选出2部，最后除以消除重复情况，故分组方式为，故C错误； 对于D，若将6部电影随机分为2组，则可按两组分别有1和5部、2和4部、3和3部电影的三种情况分组，按3和3，有种分组方式； 按2和4，有种分组方式；按1和5，有种分组方式； 所以共有31种分组方式，故D正确． 11．已知函数在x＝3处取得极大值，f（x）的导函数为f′（x），则（　　） A． B．当0＜x＜1时，f（x）＞f（x2） C．f′（2+x）＝f′（2﹣x） D．当1≤x1≤x2≤3且x1+x2＜4时， 【ACD】解：由可得0＜x＜4， 则f（x）＝lnax＝ln（4﹣x）﹣lnx+ax，x∈（0，4），则， 因为函数f（x）在x＝3处取得极大值， 所以0，即，， 令f′（x）＜0，得0＜x＜1或3＜x＜4；令f′（x）＞0，得1＜x＜3， 所以函数f（x）在（0，1）和（3，4）上单调递减，在（1，3）上单调递增， 则函数f（x）在x＝3处取得极大值，符合题意，即，故A正确； 由上述可知函数f（x）在（0，1）上单调递减， 当0＜x＜1时，0＜x2＜x＜1，则f（x）＜f（x2），故B错误； 由，则， f′（2+x），故C正确； 因为1≤x1≤x2≤3，x1+x2＜4，则1≤x1＜4﹣x2≤3， 又函数f（x）在（1，3）上单调递增，则f（x1）＜f（4﹣x2）， 所以f（x1）+f（x2）＜f（x2）+f（4﹣x2）， 又f（4﹣x）+f（x）＝ln（4﹣x）﹣lnxlnx﹣ln（4﹣x）， 则，故D正确． 三．填空题（共3小题） 12．若函数在x＝x0处的导数值等于其在x＝x0处的函数值的2倍，则x0的值为　 ． 【﹣1】解：，根据题意得：， 化简得：，解得x0＝﹣1． 13．在如图所示的圆环形花园种花，将圆环平均分成A，B，C，D四个区域，现有牡丹、芍药、月季三种花可供选择，要求每个区域只种一种花且相邻区域的花不同，则不同的种植方法有　　 种． 【18】解：将圆环平均分成A，B，C，D四个区域，现有牡丹、芍药、月季三种花可供选择，要求每个区域只种一种花且相邻区域的花不同， 则A，C区域种同一种花，不同的种植方法有：3×2×1×2＝12； A，C区域种不同的花，不同的种植方法有：3×2×1×1＝6； 由分类加法计数原理可得，共有18种方法． 14．已知a，b满足（e为自然对数的底数），则ab＝　 ． 【﹣e3】解：由，可得ea+1＝﹣a，故a＝ln（﹣a）﹣1，即ln（﹣a）﹣a﹣1＝0， 由b（lnb﹣2）＝e3，可得lnb+ln（lnb﹣2）＝3，即ln（lnb﹣2）+（lnb﹣2）﹣1＝0， 令f（x）＝lnx+x﹣1，x＞0，则，故f（x）在（0，+∞）上单调递增， 所以f（﹣a）＝f（lnb﹣2）＝0，则﹣a＝lnb﹣2，即2﹣a＝lnb， 而﹣a＝1﹣ln（﹣a），故3﹣ln（﹣a）＝lnb， 则有ln（﹣a）+lnb＝ln（﹣ab）＝3，所以﹣ab＝e3，即ab＝﹣e3． 15．（1）求的值； （2）解不等式． 解：（1）； （2）由，得， 化简得x2﹣19x+84＜0，解得7＜x＜12．① 又，所以2≤x≤8．② 由①②及x∈N，得x＝8，即不等式的解集为{x|x＝8}． 16．已知函数的图象在x＝1处的切线与直线x+2y+1＝0平行，其中a为常数． （1）求a的值； （2）求不等式f（x2﹣1）＜f（5x﹣7）的解集． 解：（1）由函数可得：， 又在x＝1处的切线与直线x+2y+1＝0平行， 可得，∴； （2）∵函数的定义域为（0，+∞）， ∴x2﹣1和5x﹣7都大于0，可得， 又∵，即f（x）在（0，+∞）上单调递减 又f（x2﹣1）＜f（5x﹣7），故x2﹣1＞5x﹣7，解得：x＜2或x＞3， 因此原不等式的解集为． 17．已知函数． （1）当a＝2时，求f（x）的极值； （2）讨论f（x）的单调性． 解：（1）当a＝2时，函数f（x）的定义域为（0，+∞）， 得， 由f′（x）＞0，得0＜x＜1或x＞2；由f′（x）＜0，得1＜x＜2， 则f（x）在（0，1），（2，+∞）上单调递增，在（1，2）上单调递减， 所以f（x）的极大值为，极小值为f（2）＝2ln2﹣5． （2）f（x）的定义域为（0，+∞）， 得， 当a≤0时，由f′（x）＜0，得0＜x＜1；由f′（x）＞0，得x＞1， f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增； 当0＜a＜1时，由f′（x）＜0，得a＜x＜1；由f′（x）＞0，得0＜x＜a或x＞1， f（x）在（a，1）上单调递减，在（0，a），（1，+∞）上单调递增； 当a＝1时，f′（x）≥0恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递增； 当a＞1时，由f′（x）＜0，得1＜x＜a；由f′（x）＞0，得0＜x＜1或x＞a， 函数f（x）在（1，a）上单调递减，在（0，1），（a，+∞）上单调递增， 所以当a≤0时，f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增； 当0＜a＜1时，f（x）在（a，1）上单调递减，在（0，a），（1，+∞）上单调递增； 当a＝1时，f（x）在（0，+∞）上单调递增； 当a＞1时，f（x）在（1，a）上单调递减，在（0，1），（a，+∞）上单调递增． 18．已知函数． （1）若M是曲线y＝f（x）上一动点，点N是直线l：x+y+3＝0上一动点，求M，N两点间的最小距离； （2）求函数的极大值； （3）在（1）的M，N距离最小时，设T（x，y）是曲线y＝f（x）上异于M的动点，直线MT斜率为k，求证：． 解：（1）将直线l：x+y+3＝0平移， 当直线与相切时，切点到直线l：x+y+3＝0的距离最短， 设在点（x0，y0）处的切线与直线x+y+3＝0平行， 由于导函数，那么，解得x0＝1， 因此y0＝f（1）＝2，即切点坐标为（1，2）， 切点到直线x+y+3＝0的距离， 即M，N两点间的最小距离为． （2）由题意可得， 所以， 令h（x）＝g′（x），则， 由y＝lnx和在（0，+∞）单调递增，可知h′（x）在（0，+∞）单调递增， 由于，h′（1）＝2＞0，所以存在使得h′（x1）＝0， 因此当x∈（x1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）＝g′（x）单调递增， 当x∈（0，x1）时，h′（x）＜0，h（x）＝g′（x）单调递减， 因此g′（x）＝0至多有2个零点， 易知，，结合单调性可知存在使得g′（x2）＝0， 所以当时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当时，g′（x）＞0，g（x）单调递增， 当x∈（x2，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增， 因此g（x）的极大值为． （3）证明：根据第一问可知M（1，2），设， 那么， 要证，即， 当x＞1时，只需证，整理得， 当0＜x＜1时，只需证，整理得， 令， 则恒成立，所以F（x）单调递减， 又因为F（1）＝0，所以当0＜x＜1时，F（x）＜0，即， 当x＞1时，F（x）＞0，即， 原不等式得证． 1 学科网（北京）股份有限公司 $