上海市徐汇区2026年中考九年级数学模拟练习卷

**基本信息** 立足中考要求，融合新能源汽车充电、图书馆标志等时代情境与分层设计，全面考查数学抽象、推理及应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6题24分|幂运算、轴对称、反比例函数性质|结合文化场景（图书馆标志）考查几何直观| |填空题|12题48分|因式分解、概率、矩形性质、新定义“等对角四边形”|以春节游客数据考科学记数法，体现数据意识| |解答题|7题78分|函数应用（充电测试）、几何综合（动态圆）、二次函数与梯形综合|22题以新能源汽车充电为背景构建函数模型，25题通过动态几何问题发展推理能力|

上海市徐汇区2026年中考九年级数学模拟练习卷 时间：100 分钟 满分：150 分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（本题共6题，每小题4分，合计24分） 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．全民阅读有助于提升国家和民族的精神力量．上海各区和高校都有开放型图书馆提供给市民，以下是其中四个图书馆标志，其图案（忽略文字部分）不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．关于反比例函数的图象性质，下列说法不正确的是（    ） A．图象经过点 B．图象分别位于第二、四象限 C．图象关于原点对称 D．当时，随的增大而减小 4．已知非零向量，，，下列条件中，不能判定向量与向量平行的是（   ） A．， B．， C． D． 5．有7个按从小到大排列的数，平均数是38，前4个平均数是33，后4个是42，那么这组数的中位数是（    ） A．33 B．34 C．35 D．36 6．如图，中，，，分别以点C、A为圆心作圆C、圆A，有两个命题：①若圆C与边有唯一公共点，则圆C半径的取值范围是；②若圆A与圆C外切于点E，过点E作的垂线交三角形的其它边于点D，则线段的取值范围是．关于这两个命题说法正确的是（    ） A．命题①正确，命题②错误 B．命题①错误，命题②正确 C．命题①，②都正确 D．命题①，②都错误 二、填空题（本题共12题，每小题4分，合计48分） 7．计算______． 8．分解因式：________． 9．比较大小：___________ 10．不等式组的解集是_______． 11．2026年春节期间（2月15日-2月23日），上海全市共接待游客约人次，那么这9天上海全市平均每天接待的人数约为___________人次．（用科学记数法表示） 12．已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围为_________． 13．现有三张卡片，上面分别写着2、3、6，随机选择其中的两张，较大数能被较小数整除的概率是_______． 14．矩形的两条对角线的夹角为，较短的边长为，则较长的边长为_______． 15．如图，已知，，直线直线b，则___________． 16．为增强学生网络常识及安全意识，某校举行了一次全校名学生参加的安全知识竞赛．从中随机抽取名学生的竞赛成绩进行分析，将竞赛成绩分成五个等级（，；；；），并根据分析结果绘制了如图所示不完整的频数分布直方图．请据此估计全校学生中竞赛成绩低于分的人数约有______名． 17．定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．已知在中，，，将沿着过点的直线翻折，使点落在边上的点处，点是边上一点，若四边形是“等对角四边形”，则的值为__________． 18．如图，矩形的对角线，交于点，，垂足为点，且，，那么__________． 三、解答题（本题共7题，19–22题：每题 10 分，23–24题：每题 12分，25 题：14 分，合计78 分）， 19．先化简，再求值：已知代数式，其中． 20．如图，点为正比例函数图象上一点，点的坐标为． (1)求正比例函数的表达式： (2)将沿直线翻折得到，点的对应点为与轴交于点．求证：四边形是菱形； (3)在直线下方是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由， 21．如图，在中，，，点在边上，，且． (1)求线段的长； (2)求的值． 22． 背景 我国新能源汽车产销量连续10年全球第一，2025年出口261.5万辆，纯电动汽车占比超六成．凭借环保节能的优势，电动车越来越受到青睐，预计到2035年，纯电动汽车将占据市场绝对主导地位． 素材1 工程师对某品牌的款电动车进行充电测试，用快速充电桩和慢速充电桩分别对剩余电量为的两台款电动车同时充电，充电时，各自的电量与充电时间（小时）的函数图象分别为图中的线段和． 素材2 暑假里，小明一家驾驶某品牌的款电动车从家出发去外地旅游，途中发现电量不足，便驶入服务区充电．此时，车辆剩余电量为，但服务区内的快速充电桩已满，只能先使用慢速充电桩充电．小明一家在慢速充电40分钟后，恰好有快速充电桩空出，立即改为快速充电（切换时间忽略不计）．由于行程安排，他们在服务区最多能停留1.5小时． 问题解决 (1)任务一：根据素材1，试分别对快速充电和慢速充电两种情况，写出关于的函数解析式，并分别指出自变量的取值范围． (2)任务二：当他们离开服务区时，车辆的电量能否充至？请说明理由． 23．已知：如图，四边形是平行四边形，点在边上，点在的延长线上，，的延长线与相交于点，且．    (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，求证：点是边的中点． 24．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，抛物线与直线交于、两点，顶点的坐标是，过点作轴，交抛物线于点D，连接． (1)求该抛物线的表达式； (2)求的正切值； (3)点为抛物线上一点，当以、、、为顶点的四边形是梯形时，请直接写出点的坐标． 25．如图，在中，，点在的延长线上，，，点在边上，，的延长线交线段于点． (1)求证：； (2)当点是的中点时，求证：； (3)已知，，设，，求关于的函数解析式，并写出的取值范围． 试卷第6页，共6页 试卷第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 《上海市徐汇区2026年中考九年级数学模拟练习卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A D D C B B 1．A 【分析】利用单项式乘法法则、合并同类项法则、同底数幂除法法则、负整数指数幂运算法则，对各选项逐一计算判断，即可得到正确结果． 【详解】解：A、，选项计算正确，符合题意； B、，选项计算错误，不符合题意； C、，选项计算错误，不符合题意； D、，选项计算错误，不符合题意． 2．D 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项符合题意； 3．D 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；根据反比例函数的性质，当时，图象位于第二、四象限，关于原点对称，且在每一象限内y随x的增大而增大． 【详解】解：∵反比例函数为，， ∴A：当时，，∴图象经过点，正确； B：∵，∴图象位于第二、四象限，正确； C：反比例函数图象关于原点对称，正确； D：∵，∴当时，在第二象限，y随x的增大而增大，∴说法错误； 故选D． 4．C 【分析】本题考查平面向量．根据向量平行的定义，两个非零向量平行当且仅当它们的方向相同或相反，即存在实数使得．需逐一分析各选项是否满足此条件． 【详解】解：A、且．由平行的传递性可知，与方向均与相同或相反，故，可判定平行，该选项不符合题意； B、，．和均为的标量倍数，方向相同，故，可判定平行，该选项不符合题意； C、仅表示模长关系，未指明方向，不能判定平行，该选项符合题意； D、，即，方向相反，故，可判定平行，该选项不符合题意； 综上，选项C不能判定与平行． 故选：C． 5．B 【分析】本题考查平均数与中位数的计算与应用，关键在利用平均数之和的关系建立等式，通过已知条件消去未知数求解中位数． 利用总和与前4个和后4个的和的关系，通过方程求解中位数． 【详解】解：设7个数之和为，则， 前4个数之和为， 后4个数之和为， ∵， ∴， 即， ∴ ， 故中位数为34． 故答案为：B． 6．B 【分析】作，利用等腰三角形性质、勾股定理求出、．分析圆 与 有唯一公共点的情况，得出半径取值范围，判断命题①错误；由两圆外切知、、共线，公切线垂直连心线．分析的极值，得出其取值范围，判断命题②正确． 【详解】解：过作于， ， ， 在中，， 设， 则， 根据勾股定理得， 解得， 则，， 圆与有唯一交点时，或，命题①错误； 圆与圆外切于， 则共线，， 当在上且最长时， 最大值为，又， 故，命题②正确． 7． 【分析】本题考查负整数指数幂的运算，利用负指数幂的定义直接计算，即可解题． 【详解】解：根据负整数指数幂的运算法则，（其中 ）， 所以． 故答案为：． 8． 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解即可． 【详解】解：原式． 9． 【分析】本题考查向量，三角形法则，分两种情况：、不同向；、同向分别说明即可．利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：当、不同向时，， 当、共线且同向时，， ∴． 故答案为：． 10． 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法．分别求出每一个不等式的解集，根据解集确定口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解，确定不等式组的公共解集即可. 【详解】解：解不等式，移项得，系数化为得：， 解不等式，移项合并同类项得：， 不等式组的解集为． 11． 【分析】根据平均每天接待人数等于总接待游客人数除以天数，计算出结果后，将结果化为符合要求的科学记数法形式即可． 【详解】解：由题意得，平均每天接待人数为总人数除以天数，即． 12． 且 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义．直接利用一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义求解即可得． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ， 解得且． 故答案为：且． 13． 【分析】先列举出随机抽取两张卡片所有等可能的结果. 再找出其中满足较大数能被较小数整除的结果个数. 最后根据概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意，从写有，，的三张卡片中随机抽取两张，所有等可能的结果为：，，，共种等可能的结果， 其中较大数能被较小数整除的结果有：，，共种， 根据概率公式，可得所求概率为． 14． 【分析】画出图形，根据矩形的性质得出，根据得出是等边三角形，即可证明，利用勾股定理求出的长即可得答案． 【详解】解：如图，矩形的对角线交于点，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 15．70 【分析】根据平行线的性质和邻补角列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 16． 【分析】根据抽查的人数和各组的频数求出的人数，利用样本百分比求出全校名学生中成绩低于分的人数． 【详解】解：由图可知有名，有名，有名，有名， 的人数为名， 全校名学生大约有名． 17．或 【分析】先根据等腰三角形的性质求出各内角的度数，再结合“等对角四边形”的定义分两种情况进行解答即可． 【详解】解：在中，， ， 设过点的直线与相交于点P，连接， 由翻折的性质可知 当四边形是“等对角四边形”时，有以下两种情况： ①当时， ∵， ∴和点重合，如图所示， 此时， ∴ ∴四边形是“等对角四边形”； 设其中 ∴ ∵， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∴ 在和中， ∴ ∴， ∴， 整理得到， 解得， 即（不合题意，舍去）， ∴时，， 即 ②当时，如图所示， 同理可得， ∴ ∴四边形是“等对角四边形”； 设其中 ∴ ∵， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴， ∴ 由①可知， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ， 综上可知，的值为或． 18． 【分析】根据矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解分式方程以及勾股定理，进行解答即可． 【详解】解：， 设，则，（）． 四边形为矩形， ，， ． ， ， ， ， ， ， 即， 解得，，（负值已舍去）， 经检验，是原方程的解， ， 在中，． 19．， 【分析】先将括号内式子通分，变分式除法为分式乘法，约分化简，最后将代入求值． 【详解】解：原式 ， 将代入，得： 原式． 20．(1) (2)见解析 (3)或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出的长，由折叠的性质可得，则可证明，据此可证明结论； （3）分三种情况：点B为直角顶点，点C为直角顶点，点P为直角顶点，利用一线三垂直模型构造全等三角形求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：∵点为正比例函数图象上一点， ∴， ∴， ∴正比例函数的表达式； （2）证明：∵， ∴； ∵点的坐标为， ∴； 由折叠的性质可得， ∴， ∴四边形是菱形； （3）解：①如图，当点为直角顶点时，   ，， 过作轴于点，过作轴于点， ， ， ∵， ， 在和中 ， ， ，， 四边形是菱形， ，即轴， ∴点C的横坐标为4， ∵， ∴点C的纵坐标为， ∴点C的坐标为， ， ， ， ； ②如图，当点为直角顶点时，    过作轴于点，过作交的延长线于点， 同理可证明， ∴，， ， ； ③如图，当点为直角顶点时，    过作轴于点，过作交的延长线于点， 同理可证明， ∴， 设，则，， 又∵， ∴， ∴， ； 综上所述：点坐标为或或． 21．(1) (2) 【分析】（1）先得到为等腰直角三角形，再解即可； （2）过点作于点，分别解，求出，再由正弦的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴为等腰直角三角形，， ∵ ∴ ∴； （2）解：过点作于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，． 22．(1)快速充电的函数解析式为； 慢速充电的函数解析式为； (2)当他们离开服务区时，车辆的电量不能充至，理由见解析 【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可； （2）求出车辆的电量能充至所需时间，再与进行比较即可得到结论． 【详解】（1）解：设快速充电的函数解析式为， 把代入得，解得， 快速充电的函数解析式为； 设慢速充电的函数解析式为， 把，代入得，解得， 慢速充电的函数解析式为； （2）解：小时， 把代入得， 把代入得， 解得， 若充到，还需要（小时），， 车辆的电量不能充至， 当他们离开服务区时，车辆的电量不能充至. 23．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先证明，再证明，最后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可； （2）设，由求出，再由证明即可． 【详解】（1）证明：如图，    ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； （2）解：∵ ∴设 ∴ ∵ ∴（舍负）， ∵ ∴， ∵ ∴ ∴， ∴点是边的中点． 24．(1) (2) (3)点的坐标为或或 【分析】（1）先求出，设抛物线的解析式为，将代入解析式计算即可得出结果； （2）先求出，，作于点，则，求出，，最后由正切的定义计算即可得出结果； （3）先求出直线的解析式为，再结合梯形的性质，分三种情况：当时；当时；当时，分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：在中，当时，，即， ∵抛物线顶点的坐标是， ∴设抛物线的解析式为， 将代入解析式可得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵过点作轴， ∴当时，， 解得：，， ∴， 联立， 解得：或， ∴， 如图，作于点， 则， ∴，， ∴； （3）解：设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵以、、、为顶点的四边形是梯形， ∴当时，设直线的解析式为， 将代入解析式可得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴此时点的坐标为； 当时，此时点的纵坐标为， 在中，令，则， 解得：或， ∴此时点的坐标为； 当时，设直线的解析式为， 将代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴此时点的坐标为； 综上所述：点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，求二次函数的解析式，正切的定义，二次函数综合—特殊四边形问题，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 25．(1)见解析 (2)见解析 (3)，x的取值范围为． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形可得，再根据平行线的性质以及等腰三角形的判定定理可得，再根据平行线的性质可得，然后根据“边角边”即可证明结论； （2）由中点的定义可得，由可得，再证明，然后根据相似三角形的性质列比例式化简即可证明结论； （3）如图，延长交的延长线于点N，过A作于点H，过E作于点G，根据题意求出、根据平行线分线段成比例，列出比例式，求出即可得到关系式；然后再根据确定x的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵点是的中点， ∴， ∵， ∴，，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴，即． （3）解：如图，延长交的延长线于点N，过A作于点H，过E作于点G， ∵， ∴， ∵， ∴，即，解得：， ∵，， ∴， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∴, ∵, ∴，即，解得：， ∴， ∴， ∵（比值）， ∴，解得：． ∴，x的取值范围为． 答案第18页，共20页 答案第1页，共20页 学科网（北京）股份有限公司 $