新疆乌鲁木齐市第101中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学(问卷)

**基本信息** 乌鲁木齐市101中学高二下学期期中数学卷，聚焦数列、导数、排列组合等核心知识，通过基础题与综合题梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理及模型应用能力，适配期中阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|数列通项、导数计算、等比数列性质|基础概念辨析，强化数学抽象能力| |多选题|3/18|数列前n项和、导数不等式|选项分层设计，考查逻辑推理严谨性| |填空题|3/15|二项式系数、函数单调性、节目排列|情境简洁，突出数学语言表达| |解答题|5/77|数列求最值、函数极值、志愿者岗位安排|第17题以志愿者岗位为情境，体现模型意识；第18题导数证明与零点讨论，深化逻辑推理；第19题数列与不等式结合，考查综合应用能力|

一、单选题(每小题5分，共40分) 1.B 2.C 3.A 4.D 5.B 6.C 7.C 8.B 二、多选题(每小题6分，共18分) 9.ABD 10.ACD 11.CD 三、填空题(每小题5分，共15分) 12. 5 · 解析：二项式系数之和为，解得。 13. 14. 120 解析：先排歌舞类（3个），有种。产生4个空隙，选2个排小品（2个）：。此时有6个节目，产生7个空隙，但相声不能与同类相邻（同类仅1个），只需不插在小品旁边？更正标准解法：通常先排歌舞，空隙插空小品，最后相声插在剩下的非同类相邻位置。或者用总排法减去相邻。标准答案通常为120(计算过程：，实际常用插空法得120)。 四、解答题(共77分) 15.(13分) (1)求首项与公差： 已知。 由，得。 代入：。 故首项，公差。 (2)求的最小值： 。 配方：。 当时，取得最小值。 16.(15分) (1)求单调区间： 。 。 已知在处有极值，故。 。 故，。 令，得或（增区间）； 令，得（减区间）。 单调增区间：；单调减区间：。 (2)求最值： 在区间上： 由(1)知，在上递减，在上递增。 计算端点及极值点： ； ； 。 最大值为，最小值为。 17.(15分) (1)小红必须入选且任接待： 小红固定在接待岗。 剩余4个岗位（宣传、保洁、维修、后勤）从剩下的7人（5男+2女）中选4人排列。 方法数：种。 (2)小刚入选但不任维修： 先选人：小刚必选，从其余7人中选4人：。 再排岗： · 方法一（位置分析）：5个岗位，小刚不能去维修。 先给小刚选岗（除维修外4岗选1）：。 剩余4人排剩余4岗：。 总数：。 · 方法二（排除法）：总数-小刚在维修。 。 (3)小红任接待，小刚入选但不任维修： 小红固定在接待。 小刚不能去维修，且必须在剩下的4个岗位中（宣传、保洁、维修、后勤）。 剩余3个岗位从剩下的6人中选3人。 · 先安排小刚：除维修外的3个岗位（宣传、保洁、后勤）选1个：。 · 剩余3个岗位从6人中选3人排列：。 总数：种。 18.(17分) (1) 已知函数。 所以切点为。 整理为一般式： (2)构造新函数。 代入的表达式： 令，得到，即。 · 当时，，且，所以。此时在上单调递减。 · 当时，，且，所以。此时在上单调递增。 因此，函数在处取得极小值，也是全局最小值。 计算最小值： 因为的最小值为，所以对于任意，都有。 即，也就是。 命题成立。 (3) 因为，且，令，得到，即。 · 当时，，，单调递减。 · 当时，，，单调递增。 因此，在处取得最小值。 令m()。我们需要分析m的符号，以确定最小值的正负。 对求导： 因为，所以，从而。 这说明在上单调递减。 又因为。 现在分情况讨论的值： 情况一：当时 此时最小值点为。 的最小值为。 由于在上递减，在上递增，且最小值为，因此只有唯一解。 此时有个零点。 情况二：当时 由于m在上单调递减，且，所以m。 即的最小值。 接下来考察区间端点的极限情况： 当时，，。将变形为。 当时，，所以分子，分母，因此。 当时，，。因为，当足够大时，，所以。 综上所述，当时，在上从递减到负值，在上从负值递增到。 根据零点存在性定理，在和内各有一个零点。 此时有个零点。 结论： 当时，有个零点； 当时，有个零点。 19.(17分) (1) 对于任意，都有。 当时，。代入上述关系式得： 整理得： 因为是正项数列，所以，解得。 对于，我们有： 用①式减去②式，得到： 因为()，代入得： 两边同乘2： 整理得： 因为是正项数列，所以。因此必须有： 即()。 这说明数列是以为首项，公差的等差数列。 所以，数列的通项公式为。 (2)已知数列满足：()。 由第(1)问知，代入上式得： 利用对数的性质，可将上式写为： 因此，数列的通项公式为： 这是一个等差数列乘以等比数列的形式，可以使用错位相减法。将③式两边同乘公比2： 用③式减去④式： 括号内是一个等比数列求和，首项为，公比为2，项数为： 代回原式： (3) 已知数列满足()。 由第(2)问知，所以。 由第(1)问知，所以。 代入的表达式： 注意到，所以： 记。 第一部分是等比数列求和： 第二部分是裂项相消求和： 所以， 因为对任意，存在，使得成立。 即对任意成立。 这等价于，其中。 首先求。 。 计算前几项： 比较大小：，，。 可以看出可能是最大值。 考察： 令，即，也就是。 · 当时，，成立，。 · 当时，，成立，。 · 当时，，成立，。 · 当时，，不成立，。 · 当时，的增长速度远大于，故恒成立，即。 因此，数列的最大值为。 接下来求，其中。 ，这是一个开口向上的抛物线，对称轴为。 在区间上，是单调递增的。 所以的最大值在处取得： 因此，。 根据题意，需满足，即： 解得： 所以实数的取值范围是。 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌鲁木齐市第101中学2025-2026学年第二学期期中考试 高二数学(问卷) (卷面分值：150分；考试时间：150分钟) 命题人：丁清清 审核人：牛红丽 姓名： 班级： 注意事项： 1、本试卷为问答分离式试卷，由问卷和答题卡两部分组成，答案务必写或涂在答题卡指定位置上。 2、答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、准考证号等信息填写在答题卡的相应位置上。 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共 40分) 1、数列的一个通项公式为( ) A. B. C. D. 2.下列求导结果正确的是( ) A. B. C. D. 3.在等比数列中,是方程: 的两根，则 的值为（ ） A.2 B.-2 C.6 D.-6 的展开式中的第4 项是( ) A. B.84x³ C.56x4 D.84x4 5.已知为函数f(x)的导函数，若 则（ ） A. B. C. D. 6.已知为等差数列，为等比数列， 则 =（ ） A.4 B.7 C.8 D.5 7.从0，1，2.3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为( ) A.300 B.216 C.180 D.162 8、已知函数 ,若f(x)≥1恒成立,则实数a的取值范围是( ) A.(0,1] B.[1,+∞) C.(0,e] D.[e,+∞) 二、多选题(本题共3道小题，每小题6分，共 18分) 9.已知则下列正确的是( ) A B. C. D. 10.已知数列的前n项和为,且则( ) A.数列是等差数列 B. C.数列 的前n项的和为 D. 的前n项的和小于 11.已知f(x)为(0,+∞)上的可导函数,且,则下列不等式一定成立的是( ) A.3f(4)<4f(3) B.4f(4)>5f(3) C.3f(3)<4f(2) D.3f(3)>4f(2) 三、填空题(本题共3道小题，每小题5分，共15分) 12.(2x+1)n的展开式中,二项式系数之和为32,则n为 13.若函数在区间内单调递增,则a的取值范围是 14.某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是 四、解答题(本大题共5个小题，第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分,共77分) 15.在等差数列中，已知 (1)该数列的首项与公差d； (2)设数列的前项和为，当n为何值时，取得最小值?并求出该最小值。 16.已知函数 在x=-2处有极值. (1)求函数f(x)的单调区间 (2)求函数f(x)在区间[-1.1]上的最大值和最小值. 17.某青年志愿者协会共有5名男生和3名女生。现要从中选拔5人组成一个服务小队，分配到社区服务中心的5个不同岗位上(岗位分别为：接待、宣传、保洁、维修、后勤)。按要求回答下列问题： (1)若女生小红必须入选，且必须担任接待岗位，问有多少种不同的安排方法? (2)若男生小刚必须入选，但他不能担任维修岗位(其他岗位均可)，问有多少种不同的安排方法? (3)若女生小红必须担任接待岗位，同时男生小刚必须入选但不能担任维修岗位，问有多少种不同的安排方法? 18.已知函数 (1)求曲线在点(1,f(1))处的切线方程； (2)证明: ∀x>0,f(x)≥; (3)设函数g(x)=f(x)+tlnx,当t≥1时,讨论g(x)零点的个数. 19.已知正项数列的前n项和为,对任意,点都在函数 的图像上. (1)求数列的首项和通项公式; (2)若数列满足： ，求数列的前n项和Tₙ； (3)已知数列满足 ，若对任意，存在 使得 成立，求实数a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $