江苏省海安高级中学等校2026届高三年级阶段性学情测试数学

高三年级阶段性学情测试 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，.在复平面内，对应的点所在的象限为（ ） A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 3. 抛物线上横坐标为的点到其焦点的距离为，则抛物线焦点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 一个正六棱锥的高为，底面边长为，则它的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，满足，，则，的夹角为（ ） A. B. C. D. 7. 设是函数的一个零点，则函数在区间内所有极值点之和为（ ） A. B. C. D. 8. 设是定义在上周期为1的函数，在区间上，其中集合，则方程在区间上解的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知事件，满足，，则（ ） A. 事件，相互独立 B. 事件，互斥 C. D. 10. 设函数，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值可以为（ ） A. B. C. D. 11. 设满足以下两个条件的有穷数列为阶“期待数列”：①；②；则下列说法正确的是（ ） A. 若等比数列为的“期待数列”，则公比 B. 若等差数列既是的“期待数列”又是递增数列，则公差 C. 记阶“期待数列”的前项和为，则 D. 若存在，使得阶“期待数列”的前项和，则数列总不能为阶“期待数列” 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列，等比数列满足，，且，，成等差数列，，，成等比数列，则______. 13. 在中，，是的中点，若，则________． 14. 已知椭圆的右焦点为，经过坐标原点且斜率的直线与椭圆交于，两点，设的中点为，的中点为，以线段为直径的圆经过点，则的离心率的取值范围________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图是一把直角三角尺，其中间做了镂空设计，设直角三角尺外轮廓的三角形的三边为，其对应的内角为，被挖去的三角形与直角三角尺的外轮廓三角形相似，且二者外接圆半径之比为1:2． （1）若被挖去的三角形的外接圆面积为16，求：的值； （2）若直角三角尺的外轮廓三角形的外接圆半径为6，求：该直角三角尺做镂空设计前绕其一边旋转一周而成的几何图形体积的最小值的最大值． 16. 已知数列的前项和为，且. （1）证明：数列是等比数列； （2）定义集合且，记的元素个数为，求； 17. 已知盒子中共有个大小相同的球，有红、黄、黑三种颜色，其中黄球有个，随机不放回依次取出一个球，直到将球全部取出． （1）求第二次取出的球是黄球的概率． （2）若，且红球和黑球的个数比为，求黄球最先被全部取出（取出最后一个黄球时盒子里还有红球和黑球）的概率． （3）记随机变量为最后一个黄球取出时总共所取出球的个数，是的数学期望，证明：． 18. 设函数的定义域为，且在上存在导函数，若实数满足对任意的、都有，则称函数具有“性质”. （1）设，判断函数是否具有“性质”？ （2）已知函数具有“性质”，且，记，求证：； （3）对任意的、，，都有，判断函数是否一定具有“性质”？并证明你的结论. 19. 已知是坐标原点，双曲线左顶点，直线过点交的右支于两点，记的面积分别为，．且当直线与轴垂直时，． （1）求双曲线的标准方程； （2）已知直线交轴于点， （i）若，求证：为定值； （ii）在（i）条件下，若，当时，求的取值范围． 高三年级阶段性学情测试 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】BC 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）16 （2） 【16题答案】 【答案】（1）证明：因为数列的前项和， 所以当时，，解得，所以； 当时，， 由，得， 化简得， 所以，两边加1得， 所以数列是首项为3、公比为3的等比数列； （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） （3）由题知随机变量的取值为， 则随机变量的分布列为 所以随机变量的期望 ． 所以． 【18题答案】 【答案】（1）具有 （2）由具有“性质”， 令，，得. 当时，由得， 整理得，所以. 当时，由可得， 由题意可得，可得， 由可得， 整理可得，所以， 因为，故，所以，即，故. （3）具有“性质”，证明如下： 对任意的，设，， 则，且， 当时， ． 当时，在中， 将替换为，将替换为， 可得， 整理得（*）. 当时，由（*）得，即， 当时，由（*）得，即． 所以在上严格增，在上严格减，从而. 因此对任意的．都有． 即，所以具有“性质”． 【19题答案】 【答案】（1） （2）（i）显然直线不为0，故设直线为 ， 又直线交轴于点，故直线与轴不垂直，故， 与 联立可得， ， 设，则， 过点交的右支于两点，故，不妨设， ，即， 即，解得，， ，同理可得 ，， 则； （ii） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $