江苏省苏锡常镇四市2026届高三下学期数学二模选填变式练习（12-15）

**基本信息** 以苏锡常镇二模真题为母题，通过基础巩固提升三级变式构建数列、三角函数、解析几何专项训练，注重知识逻辑递进与抽象能力、推理意识等核心素养的渗透。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |等比数列计算|1真题+3变式|从基本量计算到结合等差中项、递增条件及前n项和|围绕定义与性质，构建“概念理解-性质应用-综合运算”逻辑链| |三角函数求值|1真题+3变式|从直接求值到结合角关系及方程根综合|以恒等变换为核心，形成“公式应用-条件转化-方程思想”递进关系| |圆与动点轨迹|1真题+3变式|从矩形存在性到中点轨迹及面积最值|基于圆的性质，建立“位置关系-轨迹方程-最值求解”思维路径| |数列综合|1真题+3变式|从等差通项求得到等比证明及递推应用|围绕递推与证明，体现“定义辨析-转化构造-逻辑推理”知识脉络|

江苏苏锡常镇四市2026届高三下学期教学情况调研（一）变式题集（12-15） 真题第12题 已知等比数列，则___________． 变式题 基础 在等比数列 中，已知，且，则 _______。 变式题 巩固 在递增等比数列 中，已知，且是和的等差中项，则 ___________。 变式题 提升 已知等比数列 的公比，前6项和，则 ______。 真题第13题 求值：___________． 变式题 基础 求值：___________。 变式题 巩固 已知，，则的值为__________。 变式题 提升 已知与是关于的一元二次方程的两个实数根，求 的值。 真题第14题 已知圆是上的两个动点，点．若四边形是矩形，则的取值范围为______． 变式题 基础 已知圆， 是圆上的两个动点，定点，且。若四边形是矩形，求动点的轨迹方程为 。 变式题 巩固 已知圆， 是圆上的两个动点，定点，且。设为线段的中点，求点到原点的距离的取值范围 。 变式题 提升 已知圆， 是圆上的两个动点，定点，且。若四边形是矩形，求矩形面积的最大值。 真题第15题 已知数列． (1)若是等差数列，求的通项公式； (2)设，证明：数列是等比数列. 变式题 基础 已知数列满足，。 (1) 求数列的通项公式； (2) 设，记数列的前项和为，求证： 。 变式题 巩固 已知数列 满足，。 (1)若 是等差数列，求 的通项公式； (2)设，证明：数列 是等比数列。 变式题 提升 已知数列 满足 ，且 (1) 求 的值； (2) 设，证明：数列 是等比数列，并求的通项公式。 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏苏锡常镇四市2026届高三下学期教学情况调研（一）变式题集（12-15） 真题第12题 已知等比数列，则___________． 变式题 基础 在等比数列 中，已知，且，则 _______。 变式题 巩固 在递增等比数列 中，已知，且是和的等差中项，则 ___________。 变式题 提升 已知等比数列 的公比，前6项和，则 ______。 真题第13题 求值：___________． 变式题 基础 求值：___________。 变式题 巩固 已知，，则的值为__________。 变式题 提升 已知与是关于的一元二次方程的两个实数根，求 的值。 真题第14题 已知圆是上的两个动点，点．若四边形是矩形，则的取值范围为______． 变式题 基础 已知圆， 是圆上的两个动点，定点，且。若四边形是矩形，求动点的轨迹方程为 。 变式题 巩固 已知圆， 是圆上的两个动点，定点，且。设为线段的中点，求点到原点的距离的取值范围 。 变式题 提升 已知圆， 是圆上的两个动点，定点，且。若四边形是矩形，求矩形面积的最大值。 真题第15题 已知数列． (1)若是等差数列，求的通项公式； (2)设，证明：数列是等比数列. 变式题 基础 已知数列满足，。 (1) 求数列的通项公式； (2) 设，记数列的前项和为，求证： 。 变式题 巩固 已知数列 满足，。 (1)若 是等差数列，求 的通项公式； (2)设，证明：数列 是等比数列。 变式题 提升 已知数列 满足 ，且 (1) 求 的值； (2) 设，证明：数列 是等比数列，并求的通项公式。 江苏苏锡常镇四市2026届高三下学期教学情况调研（一）变式题集（12-15）解析 真题第12题 【答案】2 【分析】利用等比数列通项公式以及等比数列性质求解即可. 【详解】等比数列的首项，设公比为， 当时，，由，解得， 当时，由不成立， 所以，， 由， 又， 将代入上式得： 解得：或（舍去）， 所以. 变式题基础 【答案】9 【分析】利用等比数列通项公式以及等比中项的性质求解 【详解】，。 变式题 巩固 【答案】512 【分析】利用等比数列通项公式以及等差中项的性质求解 【详解】， 易知，，∴联立两个式子可得。 变式题 提升 【答案】32 【分析】利用等比数列通项公式以及前n项和公式求解 【详解】,解得。==32 真题第13题 【答案】. 【分析】利用三角恒等变换化简即可 【详解】 . 变式题 基础 【答案】1 【分析】利用切化弦，结合三角恒等变换即可求解 【详解】 = = 变式题 巩固 【答案】 【分析】通过凑角=-，然后应用两角正切差公式即可求解 【详解】== 变式题 提升 【答案】-3 【分析】根据韦达定理得到两根积与和的关系，然后将所求转化为已知即可。 【详解】由韦达定理可得， 利用两角和的正切公式： 原式= 将整个表达式除以（注意 ）： 则原式= 真题第14题 【答案】 【分析】根据题意。设M为PQ中点，将转换为|OM|的函数，然后求解 【详解】由四边形为矩形，知对角线与互相平分且相等， 设的中点为，则也是的中点，且， 故问题转化为求的取值范围. 设，由可得， 又由垂径定理得：，即， 即， 整理得，即的轨迹是以为圆心、为半径的圆， ，而的取值范围可由的轨迹求得： ，其中， 所以的范围为： 所以， 故的取值范围为.      变式题 基础 【答案】 【分析】利用题中所给条件得到AB中点M的轨迹方程，然后利用坐标关系得到的轨迹方程 【详解】设，由于，设的中点为，则为 的中点， 设的坐标为。 由可得， 又由垂径定理得：，即， 即， 整理得，即的轨迹是以为圆心、为半径的圆， 将（1）式代入该轨迹即可得Q轨迹方程为 ，化简可得。可知Q轨迹也为圆。 变式题 巩固 【答案】 【分析】由题中所给条件得到M点轨迹后，利用几何性质获得|OM|的范围 【详解】由四边形为矩形，知对角线与互相平分且相等， 设的中点为，则也是的中点，且， 故问题转化为求的取值范围. 设，由可得， 又由垂径定理得：，即， 即， 整理得，即的轨迹是以为圆心、为半径的圆， ∴， ∴ 变式题 提升 【答案】 【分析】利用题中条件得到AB中点M轨迹后，利用基本不等式将面积最大值转化为动点到定点的最小值问题即可。 【详解】矩形面积， 在 中， 。 由基本不等式知， ，当且仅当时取等号。 因此， 。 ∴ 。 设，由可得， 又由垂径定理得：，即， 即， 整理得，即的轨迹是以为圆心、为半径的圆， ∴ ∴ 真题第15题 【答案】(1) (2)见详解 【分析】（1）利用等差数列的定义及通项公式求法计算即可； （2）根据递推关系及等比数列的定义证明即可. 【详解】（1）由题意. 因为是等差数列，所以公差. 所以. 满足，符合题设条件， 所以的通项公式为. （2）因为，所以， 由及可知，则，所以 ， 所以是等比数列. 变式题 基础 【答案】（1）= （2）答案见详解 【分析】（1）典型的一阶递推模型，通过构造等比数列求通项 （2）转化为等比数列求和后，根据通项判断范围即可 【详解】（1）由题， ∴{}为首项为2，公比为2的等比数列。 ∴= （2），∴ ，得证。 变式题 巩固 【答案】（1）=2n-1 （2）见详解 【分析】第（1）问，利用必要条件得到通项公式后，验证充分性即可。第（2）问利用等比数列的定义进行证明即可。 【详解】(1)令 ∵ 是等差数列，∴ ∴ 的通项公式为=2n-1。 将通项公式代入原递推式验证可知，满足。故=2n-1即为本题的解。 (2),故 是首项为4，公比为2的等比数列 变式题 提升 【答案】（1） （2） 【分析】第（1）问根据递推关系依次求出各项即可，第（2）问利用等比数列定义进行证明 【详解】由递推关系 ∴为首项为3，公比为2的等比数列。 ∴ 学科网（北京）股份有限公司 $