江苏南京市第一中学2025-2026学年第二学期4月阶段性检测试卷高三数学

江苏南京市第一中学2025-2026学年第二学期4月阶段性检测试卷高三数学 命题人：谢启芬 校对人：孔亚锋 审核人：孔亚锋、谢启芬 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，计40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题纸的指定位置填涂答案选项. 1. 集合的子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 2. 设复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，若，则的虚部为（　　） A. B. C. D. 3. 在四边形中，若，则“”是“四边形是正方形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且，则数列 的前5项和为 A. 或5 B. 或5 C. D. 5. 已知随机变量X的取值为0，1，2，若，，则 A. B. C. D. 6. 如图，三行三列的方阵中有9个数（i=1，2，3；j=1，2，3），从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（　 ） A. B. C. D. 7. 过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是 A. B. C. D. 8. 若函数在区间上单调递增，且，则的取值是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知的展开式中只有第7项的二项式系数最大．若展开式中所有项的系数和为1，则正确的命题是（ ） A. B. C. 展开式中所有二项式系数的和为4096 D. 展开式中第11项为 10. 已知椭圆的左，右焦点分别为，为椭圆上一点，则下列结论正确的是（ ） A. 的周长为10 B. 存在点，使得 C. 若，的面积为 D. 使得为等腰三角形的点共有4个 11. 如图，在正方体中，E，F是底面正方形四边上的两个不同的动点，过点的平面记为，则（ ） A. 截正方体的截面可能是正五边形 B. 当E，F分别是的中点时，分正方体两部分的体积之比是25∶47 C. 当E，F分别是的中点时，上存在点P使得 D. 当F是中点时，满足的点E有且只有2个 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，计15分，请把答案写在答题纸的指定位置上. 12. 已知，是平面单位向量，且．若平面向量满足，则_______． 13. 将函数（）的所有极小值点按从小到大的顺序排列成数列，则______． 14. 平面直角坐标系中，已知圆与圆交于点、两点，其中．两圆半径之积为，若两圆均与直线和轴相切，则直线的方程为________． 四、解答题：本大题共5小题，计77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15. 记的内角的对边分别为，面积为，已知 （1）求； （2）若边上的高为1且，求的面积． 16. 如图，四边形是圆柱的轴截面，是母线，点D在线段BC上，直线//平面. （1）记三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，证明：； （2）若，，直线到平面的距离为，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知数列的前项和为，且，，成等差数列.已知数列首项，且. （1）求数列的通项公式，并求数列的前项和. （2）若将数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值. （3）是否存在不同的，，使得，，成等差数列？如果存在，请求出，的值；如果不存在，请说明理由. 18. 平面直角坐标系中，椭圆C：的离心率是，抛物线E：的焦点F是C的一个顶点． （1）求椭圆C的方程； （2）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段的中点为D，直线与过P且垂直于轴的直线交于点M． （ⅰ）求证：点M在定直线上; （ⅱ）直线与轴交于点G，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点P的坐标． 19. 设a，b为实数，且，函数 （1）求函数的单调区间； （2）若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围； （3）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，满足. (注：是自然对数的底数) 江苏南京市第一中学2025-2026学年第二学期4月阶段性检测试卷高三数学 命题人：谢启芬 校对人：孔亚锋 审核人：孔亚锋、谢启芬 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，计40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题纸的指定位置填涂答案选项. 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】C 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】AC 【11题答案】 【答案】BCD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，计15分，请把答案写在答题纸的指定位置上. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本大题共5小题，计77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）证明：连接，设，连接， 因为直线//平面，平面，平面平面， 所以//， 又因为为的中点，则为的中点， 所以. （2） 【17题答案】 【答案】（1），； （2）； （3）不存在，理由如下： 假设存在不同的，， 不妨假设使得，，成等差数列， 则，即， 两边除以16，得. 因为，所以，所以，所以. 当时，；当时，，这与题设矛盾， 所以不存在不同的，使得，，成等差数列. 【18题答案】 【答案】（1） （2）（ⅰ）设，由可得， 所以直线的斜率为，其直线方程为，即． 设，联立方程组 消去并整理可得， 故由其判别式可得且， 故, 代入可得， 因为，所以直线的方程为． 联立可得点的纵坐标为，即点在定直线上． （ⅱ）的最大值为，此时点的坐标为 【19题答案】 【答案】(1)时，的单调递增区间为,无减区间； 时，函数的单调减区间为，单调增区间为. (2)； (3)证明：[方法一]【最优解】： 有2个不同零点，则，故函数的零点一定为正数. 由(2)可知有2个不同零点，记较大者为，较小者为， ， 注意到函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故，又由知， ， 要证，只需， 且关于的函数在上单调递增， 所以只需证， 只需证， 只需证， ，只需证在时为正， 由于，故函数单调递增， 又，故在时为正， 从而题中的不等式得证. [方法二]：分析+放缩法 有2个不同零点，不妨设，由得（其中）． 且． 要证，只需证，即证，只需证． 又，所以，即． 所以只需证．而，所以， 又，所以只需证． 所以，原命题得证． [方法三]： 若且，则满足且，由（Ⅱ）知有两个零点且． 又，故进一步有． 由可得且，从而．． 因为， 所以， 故只需证． 又因为在区间内单调递增，故只需证，即，注意时有，故不等式成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $