第十章 二元一次方程组 单元试卷 2025-2026学年人教版数学七年级下册

第十章 二元一次方程组 2025-2026学年初中数学七年级下册 章节测试（人教版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．已知：，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．二元一次方程的正整数解（即x、y都是正整数）有（    ）对． A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知整式，其中为自然数，为正整数，下列说法： （1）若，则整式的值是3； （2）若，则； （3）若，则满足条件的整式共有5个． 其中正确的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．若关于x、y的方程有一组解是，则a的值是（    ） A．29 B． C．1 D． 6．若是二元一次方程的一个解，则（    ） A． B． C． D． 7．用代入消元法解二元一次方程组时，将变形为（    ） A． B． C． D． 8．若是关于x，y的二元一次方程的一个解，则m的值是（    ） A．8 B．5 C． D． 9．若是二元一次方程的一个解，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①方式放置，再交换木块的位置，按图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（   ） A． B． C． D． 11．已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了②中的b，得到方程组的解为．则乙把②中的b看成的数是（   ） A． B． C．6 D．3 12．对，定义一种新运算，规定（其中，均为非零常数），例如；若，，则下列结论正确的个数是（    ） ①，； ②，则； ③若，则，有且仅有4组正整数解． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 13．《九章算术》中记载：“今有人共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多3钱，问合伙人数、羊的总价钱各是多少？下列做法错误的为（   ） A．若设合伙人数为人，据题意可得： B．若设羊的总价钱为钱，据题意可得： C．若设羊的总价钱为钱，据题意可得： D．设合伙人数为人，羊的总价钱为钱，据题意可得： 14．某新能源汽车制造厂通过对车辆装配生产线进行智能化技术升级，提高生产效率现在平均每天比技术升级前多安装40辆汽车，技术升级前需5天才能装配的汽车数量，现在只需4天即可完成．设技术升级前每天装配x辆汽车，现在每天装配y辆汽车，则符合题意的方程组为（    ） A． B． C． D． 15．若多项式能被整除，则可设，其中M为关于x的多项式，可以发现当时，，从而求出；若多项式除以时，余数为6，则可设，其中N为关于x的多项式，当时，，从而求出．利用以上方法解决问题：若多项式除以，余数为3；若多项式除以时，余数为，则a，b的值分别为（   ） A．1，2 B．2，1 C．， D．1，1 二、填空题 16．已知，满足方程组，则的值为________ 17．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，每一行的三个数，每一列的三个数，斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为_________． 18．任意一个正整数都可以表示为（为正整数），在的所有表示结果中，当最小时，规定，例如．因为，所以，_________．已知一个正整数，（是自然数），如果与其各个数位上的数字之和能被整除，那么我们称这个数为“希望数”，则所有“希望数”中的最小值为______． 19．平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度． 例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下：        余0         余1         余2 若“和点”Q按上述规则连续平移18次后，到达点，则点Q的坐标为_________． 三、解答题 20．按要求解题： (1)求式中x的值：； (2)解方程组： 21．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求a的值． 22．某运输公司有大小两种型号的货车，2辆大货车与3辆小货车一次运货17吨，1辆大货车与2辆小货车一次可以运货10吨；3辆大货车与5辆小货车一次可以运货多少吨？ 23．定义新概念：若平面直角坐标系中的点的横、纵坐标满足方程，则称点是方程的坐标点，例如，点就是方程的坐标点． (1)写出方程的另一个坐标点是______．（答案不唯一） (2)若有一个点是方程的坐标点，求的值． 24．某快递公司使用机器人进行包裹分拣．若一台甲机器人工作，一台乙机器人工作，一共可以分拣件包裹；若一台甲机器人工作，一台乙机器人工作，一共可以分拣件包裹． (1)求甲、乙两台机器人每小时各分拣多少件包裹； (2)该快递公司现需要分拣件包裹，同时安排甲、乙机器人分拣小时（甲、乙机器人都需要有），请求出该快递公司这次分拣安排的甲、乙机器人数量的方案． 25．某运动会召开期间，大学生志愿者参与服务工作．某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车前往赛场，若只调配座新能源客车若干辆，则有人没有座位；若只调配座新能源客车，则用车数量将增加辆，并空出个座位． (1)调配座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？ (2)若同时调配座和座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？ 26．截至目前，我国有个项目列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录（名册），总数位居世界第一．年月日，“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”也列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．每逢春节，为了营造喜庆祥和的氛围，很多地方都会挂上红红的灯笼．在春节前夕，某商家购进、两种型号的灯笼共对，共用元．这两种型号的灯笼的进价、售价如表： 型号 进价（元/对） 售价（元/对） (1)求该商家购进、两种型号的灯笼各多少对？ (2)为迎接新春到来，某单位购买、两种型号的灯笼（两种型号都购买）共花费元，请你计算购买、两种型号的灯笼各多少对？并计算此时商家获利多少元？ 27．剪纸艺术是中华优秀传统文化瑰宝，学校以剪纸育美润心，传承非遗技艺，展现学子匠心与青春风采．学校打算开展“闽南剪纸文化艺术节”活动，需要在商场购买甲、乙两种剪纸彩纸制作窗花60朵，已知1张甲彩纸和1张乙彩纸共能剪窗花8朵，2张甲彩纸和3张乙彩纸共能剪窗花19朵．购买时正好赶上商场促销活动：买一张甲彩纸，就赠送一张乙彩纸．已知甲彩纸每张4元，乙彩纸每张3元．请你解决以下问题： (1)制作窗花的过程中，若甲、乙彩纸恰好充分利用，没有余料剩余，则做这些窗花需要两种彩纸各多少张，并求出最低采购费用． (2)由于实际需要，需要再制作闽南古厝纸雕42个．已知1张甲彩纸可做纸雕3个，1张乙彩纸可做纸雕2个．总共采购两种彩纸的费用要求低于65元．在尽可能减少甲乙两种彩纸的余料的情况下，请你设计出一种窗花、纸雕的制作数量方案（要求：同一张彩纸只能做同一类手工，即不能既做窗花又做纸雕）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第十章 二元一次方程组 2025-2026学年初中数学七年级下册 章节测试（人教版）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A C B D B D C B B 题号 11 12 13 14 15 答案 C D B B D 1．A 【分析】二元一次方程需要满足三个条件：为整式方程，含有两个未知数，所含未知数的项的次数均为1，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：∵A、含有两个未知数和，所含未知数的项的次数都是1，且是整式方程，符合二元一次方程的定义； B、中项的次数为2，不符合定义； C、只含有一个未知数，不符合定义； D、中是分式，不是整式方程，不符合定义； 2．A 【分析】本题利用非负数的性质求解，几个非负数的和为时 每个非负数都为，据此列出二元一次方程组求出的值，再代入计算即可． 【详解】解：由题意可知原式应为， ∵绝对值和平方数都是非负数，两个非负数的和为， ∴每个非负数均为，可得方程组， ， 将两个方程相加，得， 解得， 把代入，得， 解得， 将代入得：． 3．C 【分析】由，可得出，结合，均为正整数，即可求出二元一次方程的正整数解共有3对． 【详解】解：， ． 又，均为正整数， 或或， 二元一次方程的正整数解共有3对． 4．B 【分析】（1）可求出，用整体代入法求代数式的值判断正误，（2）当时，，把代入可判断正误；（3）根据条件分类讨论计数，判断说法正误． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴，原说法错误； （2）∵， ∴当时， ∵， ∴当时， ∴，原说法正确； （3）∵，且为自然数，为正整数， ∴当时，或或， 当时，或 当时，， ∴符合条件的整式A共有 个，原说法错误； ∴正确的只有（2）． 5．D 【分析】根据方程解的定义，将已知解代入原方程，得到关于a的一元一次方程，求解即可得到a的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴把，代入原方程得： ， 整理得 ， 移项计算得 ， 解得 ． 6．B 【分析】由二元一次方程的解的定义可得，再代入代数式计算即可求解． 【详解】解：∵是二元一次方程的一个解， ∴， ∴ ． 7．D 【分析】利用等式的基本性质，将方程整理为用含的式子表示的形式即可． 【详解】解：需要将方程变形，用含的式子表示， 等式两边同时减去， 可得 ． 8．C 【详解】解：把代入，得， 解得． 9．B 【分析】先根据方程的解得到的值，再代入代数式即可求解． 【详解】解：∵ 是二元一次方程 的一个解， ∴ 将， 代入， 得 ， ∴ ． 10．B 【分析】设桌子高度和木块长宽为未知数，根据两种放置方式列二元一次方程组，将两方程相加消去长宽差，直接算出桌子高度为． 【详解】解：设桌子高度为，长方体木块的长为，宽为， 根据两个放置方式可列方程：， 将两个方程相加，得：， 解得， 即桌子高度为． 11．C 【分析】甲看错方程①中的，因此甲得到的解满足正确的方程②；乙看错方程②中的，因此乙得到的解满足正确的方程①，先联立求出正确的的值，再设乙看错的为，代入乙的解即可求出的值. 【详解】∵ 甲看错方程①中的a，甲得到的解满足正确的方程②， ∴ 代入②得 ③， ∵ 乙看错方程②中的b，乙得到的解满足正确的方程①， ∴ 代入①得 ④， 联立③④，③+④得 ， 设乙把②中的b看成了，将，代入看错的方程② ， 得 ， 整理得 ， 解得 ， 则乙把②中的b看成的数是． 12．D 【分析】首先根据已知条件解出m和n的值，再分别验证各结论的正确性即可. 【详解】解：结论①：∵和， ∴， 解得：，故结论①正确； 结论②：∵， 得：， 解得：；与结论②一致，故结论②正确； 结论③：∵， ∴， 其正整数解为：，，，共4组，故结论③正确； 综上，正确结论为①②③共3个． 13．B 【分析】找准不变量（羊价不变/人数不变），根据题意推导每个选项的方程，即可找出错误选项． 【详解】解：设合伙人数为人，羊价为钱，根据题意： 每人出钱，还差钱， 羊价； 每人出钱，多钱， 羊价； 对选项A，由羊价相等可得，A正确； 对选项D，可得方程组，D正确； 若设羊价为钱，人数不变， 对变形得， 对变形得， 由人数相等得， 因此C正确，B错误． 14．B 【分析】根据提高生产效率现在平均每天比技术升级前多安装40辆汽车可得方程，根据技术升级前需5天才能装配的汽车数量，现在只需4天即可完成可得方程，据此列出方程组即可． 【详解】解：设升级前每天装配辆，现在每天装配辆， 由题意得，． 15．D 【分析】本题利用题干给出的余数性质，若多项式除以余数为，则时多项式的值等于，据此列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：根据题干给出的解题方法： ∵多项式除以余数为， ∴ 当时，， 代入得：， 整理得 ； ∵多项式除以余数为， ∴当时，， 代入得：， 整理得， 化简得， 联立①②，将得， 解得， 把代入①得， 解得， 因此． 16． 【分析】本题考查二元一次方程组的求解，观察方程组中两个方程的系数特征，可通过两个方程作差直接得到所求代数式的值． 【详解】解： 将①②得： 整理得． 17． 【分析】通过已知完整的对角线求出 “幻和”（即每行、每列、对角线的和），利用列或行的和建立方程，依次求出未知数和的值，最后计算． 【详解】解：从右上角到左下角的对角线上的三个数分别为、、， ， 第一列三个数分别为、、， ， 解得：， 从左上角到右下角的对角线上的三个数分别为、、， ， 解得：， ． 18． 【分析】先根据新定义求出，再根据“希望数”的定义找出所有满足条件的，分别计算各对应的，即可得到最小值． 【详解】解：将分解为（为正整数），可得， 计算得：，，， ∵， ∴， ∵，，，为自然数， 分两种情况讨论： ①当时，为两位数，十位数字为，个位数字为， ∴与其数位数字之和为：， ∵该和能被整除，且， ∴是的倍数， 又，可得或， 当时，解得，得； 当时，解得，得； ②当时，为三位数，百位数字为，十位数字为，个位数字为， ∴与其数位数字之和为：， ∵该和能被整除，， ∴是的倍数， 又，可得，即， 解得或，得或； 因此所有“希望数”为，分别计算： 对于：，，； 对于：，； 对于：，，； 对于：，，，， ∵， ∴当时最小，． 19．或 【分析】分析平移规则可知：若某点坐标和除以3的余数为1，则向上平移，新点坐标和的余数变为2；若余数为2，则向左平移，新点坐标和的余数变为1．因此，一旦坐标和除以3的余数不为0，平移就会导致余数在1和2之间循环，再利用规律列方程组求解即可． 【详解】解：根据题目中例题数据可以发现： “和点”，余数为0， ，余数为1， ，余数为2， ，余数为1，向上平移一个单位长度得到，此时余数为， ∴第一次平移后，余数始终按1→2→1→2⋯循环，每两次平移为一个循环，每个循环横坐标减1，纵坐标加1， ∵“和点”Q按上述规则连续平移18次后，到达点，设，其中，和都是整数， ∴①若的横纵坐标之和除以3余数为0， 此时第一次平移向右，横坐标变为，纵坐标不变，剩余17次平移包含8个完整循环加1次向上平移，因此最终横坐标为，最终纵坐标为， 可得方程组，解得，符合“和点”定义； ② 若的横纵坐标之和除以3余数为2： 第一次平移向左，横坐标变为，纵坐标不变，剩余17次平移包含8个完整循环加1次向上平移，因此最终横坐标为，最终纵坐标为， 可得方程组，解得，符合“和点”定义； ③ 若Q的横纵坐标之和除以3余数为1： 18次平移共包含9个完整循环，因此最终横坐标为，最终纵坐标为， 可得方程组，解得，此时，除以3余数为2，与假设矛盾，舍去． 综上所述，点Q的坐标为或． 20．(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解： ，得， 解得， 把代入②，得， 解得， ∴方程组的解为． 21． 【分析】把方程组中的两个方程相加得到，再根据题意可得，据此可得关于a的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解： 得，即， ∵， ∴， ∴． 22．27吨 【分析】设1辆大货车一次运货x吨，1辆小货车一次可以运货y吨，根据2辆大货车与3辆小货车一次运货17吨，1辆大货车与2辆小货车一次可以运货10吨得出二元一次方程组，将两个方程相加即可得解． 【详解】解：设1辆大货车一次运货x吨，1辆小货车一次可以运货y吨，由题意得 ， ∴两方程相加，可得， ∴3辆大货车与5辆小货车一次可以运货27吨． 23．(1)（答案不唯一） (2) 【分析】（1）选取符合方程的x、y值即可； （2）将点代入方程计算即可． 【详解】（1）解：∵当时， ∴ ∴是方程的一个坐标点（答案不唯一）； （2）解：∵点是方程的坐标点， ∴， 解得． 24．(1)甲机器人每小时分拣件包裹，乙机器人每小时分拣件包裹 (2)安排甲机器人台，乙机器人台． 【分析】（1）设甲机器人每小时分拣件包裹，乙机器人每小时分拣件包裹，根据题意列出方程组，求解即可； （2）安排的甲机器人台，乙机器人台，根据题意列出方程，变形得，结合、都是正整数可得，是的倍数，因此，最后写出具体安排方案即可． 【详解】（1）解：设甲机器人每小时分拣件包裹，乙机器人每小时分拣件包裹， 根据题意，可列方程：， 解得， 答：甲机器人每小时分拣300件包裹，乙机器人每小时分拣250件包裹． （2）解：设安排甲机器人台，乙机器人台， 根据题意，可列方程： ， 整理，得， 变形，得， ∵、都是正整数， ∴是的倍数，且， ∴， 当时，． 答：安排甲机器人台，乙机器人台． 25．(1)调配座新能源客车辆，该大学共有名志愿者 (2)调配座新能源客车辆，座新能源客车辆 【分析】（）设调配座新能源客车辆，该大学共有名志愿者，根据题意列出方程组即可求解； （）设调配座新能源客车辆，座新能源客车辆，根据题意列出方程解答即可求解； 【详解】（1）解：设调配座新能源客车辆，该大学共有名志愿者， 由题意得，， 解得， 答：调配座新能源客车辆，该大学共有名志愿者； （2）解：设调配座新能源客车辆，座新能源客车辆， 由题意得，， 化简得，， ∵均为正整数， ∴， 答：调配座新能源客车辆，座新能源客车辆． 26．(1)购进种型号的灯笼对，种型号的灯笼对 (2)购买种型号的灯笼对，种型号的灯笼对，此时商家获利元 【分析】（1）先设两种灯笼的数量为未知数，再根据“总对数为”和“总进价为元”列二元一次方程组，解方程组得到结果； （2）根据“总售价”列二元一次方程，再结合“正整数解”的限制条件，通过枚举法求解出购买灯笼的数量，然后计算商家利润． 【详解】（1）解：设商家购进型号的灯笼对，则购进型号的灯笼对， 根据题意可得， 解得， 故购进种型号的灯笼对，种型号的灯笼对． （2）解：设单位购进型号的灯笼对，购进型号的灯笼对， 根据题意可知，，即， 两种型号都买， 、均为正整数， 当，， 当，符合题意， 当，， 当，， 当，， 故购买种型号的灯笼对，种型号的灯笼对， 此时商家获利 元． 27．(1)最低采购费用为36元，对应方案：甲彩纸6张、乙彩纸10张，或甲彩纸9张、乙彩纸5张； (2)一种可行方案：窗花用甲6张、乙10张，纸雕用甲10张、乙6张，总费用64元． 【分析】（1）设1张甲彩纸能剪窗花朵，1张乙彩纸能剪窗花朵，根据题意列出二元一次方程组，可求得1张甲彩纸能剪窗花5朵，1张乙彩纸能剪窗花3朵；再设需要甲彩纸张，乙彩纸张，根据题意列出二元一次方程，求解即可； （2）设制作窗花用甲彩纸a张、乙彩纸b张；制作纸雕用甲彩纸m张、乙彩纸n张．根据题意列式计算即可求解． 【详解】（1）解：设1张甲彩纸能剪窗花朵，1张乙彩纸能剪窗花朵， 根据题意得， 解得， ∴1张甲彩纸能剪窗花5朵，1张乙彩纸能剪窗花3朵； 设需要甲彩纸张，乙彩纸张， 由题意得， 整理得，需满足是3的倍数，， ∴，；，；，；，； 促销规则：买1张甲彩纸赠送1张乙彩纸，所以实际需要购买的乙彩纸数量为 (若)，否则只需买甲彩纸； 方案1：，， 费用：元； 方案2：，， 费用：元； 方案3：，， 费用：元(因为，赠送的乙彩纸足够) ， 方案4：，， 费用：元； 所以最低采购费用为36元，对应方案：甲彩纸6张、乙彩纸10张，或甲彩纸9张、乙彩纸5张； （2）解：设制作窗花用甲彩纸a张、乙彩纸b张；制作纸雕用甲彩纸m张、乙彩纸n张． 满足： 1.窗花： (同第一问) ， 2.纸雕：， 3.总费用： 4.余料最少： 即a，b，m，n尽量满足等式，无多余； 由，m，n都是非负整数， ∴或或或或或或， 总费用：， 整理得， 当时，不满足； 当时，满足； 此时，总费用， ∴一种可行方案：窗花用甲6张、乙10张，纸雕用甲10张、乙6张，总费用64元，无余料． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $