第四章 2 提公因式法-【初中必刷题】2025-2026学年八年级下册数学同步课件(北师大版·新教材)
2026-05-05
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教辅
摘要：
该初中数学课件聚焦八年级下册“提公因式法”，通过实例导入确定公因式的三“定”方法，衔接后续因式分解及应用，搭建从基础识别到综合运用的学习支架。
特色在于分层设计（刷基础、提升、素养），融入实际应用（如面积计算）、传统文化（杨辉三角）及规律探究，培养运算能力与推理意识。学生能巩固方法并拓展思维，教师可高效开展分层教学。
内容正文：
数 学
八年级下册 BS
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第四章 因式分解
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提公因式法
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刷基础
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基础
知识点1 确定公因式
1.【2025陕西咸阳期末】与 的公因式是( )
B
A. B. C. D.5
【解析】与的公因式是 .故选B.
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2.【2025山东济南期末】把 分解因式时，应提取的公
因式是( )
B
A. B. C. D.2
【解析】 ，故把
分解因式时，应提取的公因式是 .故选B.
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归纳总结
确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的
最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③
定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．
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3.为正整数，若中各项的最大公因式是，则 等于( )
C
A. B. C. D.
【解析】因为，所以 中各项的最
大公因式是，即 ，故选C.
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4.【2024四川达州校级期末】多项式 中各项的最大公因
式是__________．
【解析】中各项的最大公因式是 ．故答案为
．
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5. 开放性试题【2024江苏徐州丰县期中】写出一个各项的最大公因式为
的多项式：_________________________．
（答案不唯一）
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知识点2 用提公因式法因式分解
6.【2025河北石家庄质检】如图是甲、乙两位同学因式分解 的结果，下列
判断正确的是( )
甲同学：原式 ;
乙同学：原式 .
A
A.甲、乙的结果都正确 B.甲、乙的结果都不正确
C.只有甲的结果正确 D.只有乙的结果正确
【解析】甲同学：提取公因式,原式；乙同学：提取公因式 ，原
式， 甲、乙的结果都正确.故选A.
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7.多项式 提公因式后，余下的部分是( )
A
A. B. C. D.
【解析】 .故选A.
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8.【2025黑龙江大庆二模】分解因式： ___________.
【解析】 .
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9.分解因式： ____________________.
【解析】 .故答案为
.
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10.把下列各式因式分解：
（1） ；
【解】原式 .
（2） ;
【解】原式 .
（3） .
【解】原式 .
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思路分析
分解对象
改写
提取公因式
另一个因式
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易错警示
提公因式后，另一个因式的项数与原多项式项数相同，不能漏掉商为1的项.因式
分解是否正确，也可以用整式乘法来检验.
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知识点3 用提公因式法因式分解的应用
11.如图，长、宽分别为， 的长方形的周长为10，面积为6，则
的值为( )
B
A.15 B.30 C.60 D.120
【解析】由题意,得，， ，
，故选B.
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12.【2024安徽宿州埇桥区期中】父亲今年岁，儿子今年 岁，父亲比儿子大26岁，
并且 ，请你求出父亲和儿子今年各多少岁.
【解】由题意得 .
， ，
解得，则 ．
答：父亲和儿子今年分别是40岁、14岁．
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13.已知 可因式分解成
，其中，，均为整数，求 的值.
【解】 ,
，， ，
.
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提升
1.【2025黑龙江哈尔滨期中，中】把多项式 提取公因式
后，余下的部分是( )
C
A. B. C. D.
【解析】 ，原式提取公
因式后，余下的部分是 .故选C.
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2.【2024山东东营调研，中】已知为有理数，则整式 的值
( )
A
A.不是负数 B.恒为负数 C.恒为正数 D.不等于0
【解析】原式 ，即不为负数，故选A.
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3.【2024浙江宁波质检，中】已知的三边长，， 满足
，则 是( )
D
A.等腰三角形 B.等腰直角三角形
C.等边三角形 D.等腰三角形或直角三角形
【解析】， ，
，，则 或
，则或， 是等腰三角形或直角三角
形．故选D.
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4. 传统文化【2025湖北武汉质检，中】杨辉是我国南宋数学家，他著作的
《详解九章算法》中有一道计算问题：已知， ，由
，可得 ；由
，可得； .依此方法计
算 的值是( )
A
A.29 B.30 C.31 D.32
【解析】由题意得，， ，
，， ,
， ，
，，, ,依次类
推，, .故选A.
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5.【2025安徽池州调研，中】【观察思考】毕达哥拉斯常在沙滩上摆小石子，产
生了一系列的形数.如图（1），当小石子的数是1，3，6， 时，小石子能摆成
三角形，这些数叫三角形数.如图（2），当小石子的数是1，4，9， 时，小石
子能摆成正方形，这些数叫正方形数.
图（1）
图（2）
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【规律发现】
（1）图（1）中，第个三角形数是_ ______；图（2）中，第 个正方形数是____.
（请用含 的式子表示）
【解】由题意知第个三角形数为，第 个正方形数为
.故答案为， .
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【猜想验证】
（2）毕达哥拉斯进一步发现了三角形数和正方形数之间的内在联系： ，
，请证明：任意两个相邻三角形数之和是正方形数.
【证明】设任意两个三角形数为第个数和第 个数，则
，所以第 个和
第个三角形数之和恰好等于第 个正方形数,即任意两个相邻三角形
数之和是正方形数.
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刷素养 走向重高
6.核心素养 运算能力【2025广东深圳期中，较难】阅读下列因式分解的过程，再
回答问题：
.
（1）上述过程中用到的分解因式的方法是提公因式法，共应用了____次.
两
【解】由题中的解题过程可知，共应用了两次提公因式的方法分解因式.故答案为两.
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（2）分解因式： .
【解】原式 .
（3）分解因式：
（为正整数） ___________.
【解析】原式 .
故答案为 .
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（4）利用（3）中结论计算： .
【解】原式 .
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思路分析 次提取公因式
关键点拨
每提取一个公因式后,剩余部分又会出现公因式 ，而项数会少1，依次不
断提取公因式，剩余部分项数不断减少，直到最终无法再提取公因式 .
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