吉林长春市2025—2026学年第二学期（八）年级期中考试（数学）试题（五四）

**基本信息** 融合科技前沿（人工智能产品测试）、文化传承（《九章算术》负数）与生活实践（梯子安全角度），通过分层探究（相似三角形综合题）和动态几何（平行四边形旋转）考查数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|实数、整式运算、函数|第1题结合《九章算术》考负数概念，体现文化传承| |填空题|6/18|四边形性质、方程根的判别式|第14题矩形尺规作图结论判断，考查几何直观与推理| |解答题|10/78|代数应用、几何证明、综合探究|23题分层设计猜想证明-计算-应用，24题动态旋转考查分类讨论，契合中考探究趋势|

2025—2026学年第二学期 （八）年级期中考试（数学）试题（五四） 本试卷包括三道大题，共24道小题，共8页，满分120分，考试时间为120分钟。考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2.答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效。 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．我国古代的《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数.若气温零上6℃记作+6℃，则气温零下11℃记作 A．-11℃ B．-5℃ C．+5℃ D．+11℃ 2．下列运算中，结果正确的是 A．a6÷a3=a2 B．（2ab2）=2a2b4 C．a·a2=a3 D．（a+b）2=a2+b2 3．四月的长春，繁花盛开，春意满满，伊通河樱花岛成为一道迷人的风景线．已知每片樱花重约0.000018克，数据0.000018用科学记数法表示为 A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，点到轴的距离是1，到轴的距离是3，在第四象限，点的坐标是 A． B． C． D． 5．将函数y=-2x+b的图象向上平移3个单位长度后经过点（1，2），则b的值为 A．1 B．3 C．4 D．7 6．关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣2）x+m2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为 A．m＞1 B．m＜1 C．m＞﹣1 D．m＜﹣1 7．如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下部分的面积为 （第7题） （第8题） A． B． C． D． 8．如图，点在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象和的图象之间，且轴，则点B的坐标可能是 A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．分解因式： ． 10．点A （-2, -5） 关于x轴的对称点的坐标为________________. 11．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若OB=9，则AC的长为______． （第11题） （第14题） 12．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0无实数根，则实数k的取值范围是________． 13． 在平行四边形ABCD中，∠A＋∠C＝240°，则∠B＝______°． 14．如图，在矩形中，，连接，分别以点A和点C为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，直线分别交于点E、F，连接.给出下面四个结论： ①；②四边形是菱形；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是 __________． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. （每题3分，共6分）计算： （1）＋（3－π）0－2sin60° （2）×＋（－1）2 16.（6分）先化简，再求值： ，其中． 17.（6分）某公司自使用豆包后，每小时比原来多完成100件作品，且使用豆包完成600件作品所用时间与原来完成300件作品所用时间相等．问该公司使用豆包后每小时能完成多少件作品？ 18.（7分）已知：在△ABC中，AB=AC，AF⊥BC于点F，四边形ABFE中，∠ABF=∠BAE=90°，AB=AE。连接BE交AD于点M，连接BD交AF于点N，D为AC的中点。 （1）求证：四边形ABFE是矩形； （2）若AB=4，BC=6，求tan∠NBF的值 （第18题） 19.（7分）如图，图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，正方形ABCD的四个顶点均在格点上，BD为正方形的对角线。只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求画图，保留必要的作图痕迹。 （1）在图①中，点M是BC边上的格点，BM=1，画出线段BD的中点P （2）在图②中，点E是BC边上的格点，BE=2，点F是CD边上的格点，DF=1，在线段BD上确定一点O，连接OE、OF，使得∠BOE=∠DOF。 （3）在图③中，点P在BC边上且不是格点，满足tan∠PDC=，在线段CD上确定一点Q，使得BP=DQ。 （第19题） 20.（7分）近年来，人工智能的迅速崛起，极大地提高了人们的工作效率．某公司计划从 A，B两个人工智能产品中选择一个使用．该公司对A，B两个人工智能产品的语言交互能力、分析能力和学习能力进行了测试（每项测试满分均为10分），每项能力均进行10次测试，取10次测试得分的平均数作为该项的测试成绩． 测试结束后，小李和小张分别对测试成绩进行如下整理： ①小李将A，B两个人工智能产品语言交互能力10次测试得分整理成如下折线统计图： ②小张将A，B两个人工智能产品的三项的能力测试成绩整理如下表： 人工智能产品 测试成绩/分 语言交互能力 分析能力 学习能力 A m 9 8 B 7.5 8 9 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）填空：m=                  ； （2）请从“中位数”评价哪个人工智能产品的语言交互能力更强？ （3）如果规定语言交互能力、分析能力、学习能力按2:5:3的比例计算最终成绩，那么该公司应该选择使用哪个人工智能产品？ 八 年 级 数 学 第 1 页 （共 8 页） 八 年 级 数 学 第 2 页 （共 8 页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 21.（8分）知识小提示：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足．（参考数据：，，，，，，，，）如图，现有一架长4m的架子AB斜靠在一竖直的墙AO上． （1）当人安全使用这架梯子时，求梯子顶端A与地面距离的最大值； （2）当梯子底端B距离墙面1.64m时，计算等于多少度？并判断此时人是否能安全使用这架梯子？ （第21题） 22.（9分）如图，无人机甲和无人机乙同时分别从地面的点A处和楼顶B处起飞竖直上升，其中点B距离楼顶边缘点D的水平距离为，从地面点A处测得楼顶端D的仰角为（点B，D，C，A在同一平面内）．两架无人机距离地面的高度h（单位：m）与上升时间t（单位：s）之间的函数图象如图2． （第22题） （1）求起飞前无人机甲和无人机乙之间的水平距离（结果保留整数，） （2）求两架无人机距离地面的高度与无人机上升的时间之间的函数关系式； （3）求一架无人机观察另一架无人机的仰角不超过的时长． 23.（10分） 综合与探究 问题情境：在初中数学“相似三角形的性质与综合应用”主题探究课上，老师带领同学们以“三角形中的平行线与中线的关联性质”为核心，设计了分层递进的探究任务。基础图形设定为：如图1，在任意△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且满足DE∥BC，点F是BC边的中点，连接中线AF，线段AF与DE交于点G。同学们围绕该图形，从“基础性质猜想、深度拓展计算、综合模型应用”三个维度展开探究，请你完成下列所有探究任务： 猜想证明 （1）探究初期，有同学提出猜想：点G是线段DE的中点，即DG=EG。请你判断该猜想是否成立，并写出完整的证明过程。 深入探究 （2）如图2，在（1）的结论基础上，同学们对图形进行拓展延伸：连接CD、CG，已知CG⊥DE，CD平分∠ACB，且∠EDC=∠BCD，CD=10，AE=5。①求证：△DCE为等腰三角形；②求的值；③直接写出△DGC与△AFC的面积之比。 拓展应用 （3）如图3，在平行四边形ABCD中，∠BAD=120°，对角线AC与BD相交于点O，E为线段AO上一点，EG∥BD交AD于点G，EF⊥EG交BC于点F，连接FG。若∠EGF=30°，FG平分∠EFC，FG=6，AB=4，则BF的长为__________。 图1 图2 图3 （第23题） 24.（12分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，AD=6，∠B为锐角，且cosB=。 图1 图2 备用图 （第23题） （1）如图1，求AB边上的高CH的长，以及平行四边形ABCD的面积； （2）P是边AB上的一动点，点C、D同时绕点P按逆时针方向旋转90°得到点C'、D'，连接AC'、AD'、C'D'。 ①如图2，当点C'恰好落在射线CA上时，求BP的长； ②当△AC'D'是直角三角形时，请直接写出所有满足条件的BP的长。 2025—2026学年第二学期八年级（五四制）期中数学试题 参考答案 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1. A 2. C 3. B 4. D 5. A 6. B 7. B 8. C 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 9. 2x(x²+4)(x+2)(x−2) 10. (−2,5) 11. 18 12. k>1 13. 60° 14.①②④ 三、解答题（共 78 分） 15.（每题 3 分，共 6 分） (1) 原式 = = = (2) 原式 = = = 16.（6 分） 代入 ： 17.（6 分） 设使用后每小时完成 件，则原来每小时 件。 解得： 经检验，符合题意。 答：使用豆包后每小时完成 200 件。 18.（7 分） (1) 证明： ∵ ，∴ 。 ∵ ，，∴ 。 ∵ 是 中点，易证 且 ， ∴ 四边形 是平行四边形。 又 ，∴ 四边形 是矩形。 (2) ∵ ，∴ 。 在 中，。 易证 ，得 。 19.（7 分） （画图题，略。按要求保留痕迹即可得分） 20.（7 分） (1) (2) A 中位数为 8，B 中位数为 7.5，A 更强。 (3) A 最终成绩： B 最终成绩： ∴ 选 A 产品。 21.（8 分） (1) 当 时， 米。 (2) ，对应角 66°。 ∵ ，∴ 安全。 22.（9 分） (1) 水平距离 米。 (2)甲： 乙： (3) 仰角≤45° 时长：5 秒。 23.（10 分） (1) 猜想成立。 证明：由 ，得 。 ∵ ，∴ 。 (2) ① 易证 ，故 等腰。 ② ③ 面积比：1:4 (3) 24.（12 分） (1) 面积： (2) ① ② 满足条件的 长：1、3、5 学科网（北京）股份有限公司 $