精品解析：江苏镇江市第一中学2025-2026学年高二下学期4月期中考试数学试题

2024级高二下学期4月期中考试 （数学） 2026.4 一､单选题 1. 有4封不同的信投入3个不同的信箱，可有不同的投入方法种数为（ ） A. 81 B. 64 C. 27 D. 24 2. 某地区7月1日至7月10日白天的平均气温的折线图如图所示，则下列判断错误的是（ ） A. 从7月2日到7月5日白天的平均气温呈下降趋势 B. 这10天白天的平均气温的极差大于6℃ C. 这10天中白天的平均气温为26℃的频率最大 D. 这10天中白天的平均气温大于26℃的有5天 3. 若这五个数的平均数等于其中位数，则 A. 0或5 B. 0或 C. 5或 D. 0或5或 4. 某AI公司有男性30人，女性10人，在一次知识竞技团建中，男性平均成绩为110分，方差为55，女性平均成绩为130分，方差为95，则在这次团建中，该公司的平均成绩和方差分别为（ ） A. 120分，75 B. 120分，20 C. 115分，65 D. 115分，140 5. 记，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 6. 将4个不加区分的红球和2个不加区分的黄球随机排一行，则2个黄球不相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 在一个不透明的口袋中装有大小､形状完全相同的3个小球，并将它们编号为1，2，3，每次从口袋中随机抽取一个小球，记录编号后将球放回，重复操作直至取遍所有小球后立刻停止摸球，则“经过3次摸球未能停止摸球”的条件下，经过5次摸球停止摸球的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 类比排列数，定义函数（其中），将右边展开并用符号表示的系数，得，以下说法正确的是：（ ） A. B. C. D. 二､多选题 9. 一组数据满足，若去掉后组成一组新数据.则新数据与原数据相比（ ） A. 极差变小 B. 平均数变大 C. 方差变小 D. 第25百分位数变小 10. 下列各式正确的是（   ） A. 已知，则的取值为6或7 B. C. 将8个相同小球放入4个不同盒子中，每个盒子至少放一个小球，则共有70种不同放法 D. 的展开式中的系数为 11. 下列说法正确的有（    ） A. 掷一枚质地均匀的骰子一次，事件 “出现奇数点”，事件“出现点或点”，则和相互独立 B. 掷一枚质地均匀的骰子一次，事件 “出现奇数点”，事件“出现点或点”，则和互斥 C. 甲，乙两名射击运动员进行射击比赛，假设两人的射击结果相互独立，甲的中靶率为，乙的中靶率为，则“至少一人中靶”的概率为 D. 柜子里有三双不同的鞋，如果从中随机地取出只，那么“取出的鞋不成双”的概率是 三､填空题 12. 的个位数为______． 13. 现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，所抽取卡片上数字的最小值为2的概率是______． 14. 个人进行篮球训练，互相传球接球，要求每个人接球后马上传给别人，开始由甲发球，并作为第一次传球，第五次传球后，球又回到甲手中，不同的传球方法数为________. 四､解答题 15. 已知的二项展开式有7项． （1）求，并求出所有二项式系数之和； （2）求展开式中含项的系数； （3）求展开式中的有理项． 16. 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出40名学生，将其成绩分成六段[40，50），[50，60）…[90，100]后画出如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题： （1）求第四小组的频率； （2）估计这次考试的平均分和中位数（精确到0.01）； （3）从成绩是40～50分及90～100分的学生中选两人，记他们的成绩分别为，求满足“”的概率． 17. 甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品有4个正品和3个次品． （1）从甲箱中任取2个产品，求这2个产品中至少有1件是正品的取法有多少种？ （2）若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率． 18. 近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元．某地区随机调查了经常使用某AI工具的360名用户，统计他们的年龄，得到如下的统计表： 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 年龄 人数 30 150 90 60 30 （1）利用统计表中的数据试估计该AI工具用户的平均年龄； （2）已知用分层随机抽样的方法，从上面360名用户中随机抽取了12人，现从这12人中随机抽取4人，记抽到第一组的人数为，第二组的人数为．求的概率； （3）已知该AI工具对某20个问题能准确答对其中的（，）个，其余个问题均无法答对．若从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，记事件为“抽取的10个问题中，AI恰好答对3个问题”，若对于不同的，要使概率最大，求此时的值． 19. 如图所示数阵，第行共有个数，第m行的第1个数为，第2个数为，第个数为.规定：. （1）试判断每一行的最后两个数的大小关系，并证明你的结论； （2）求证：每一行的所有数之和等于下一行的最后一个数； （3）从第1行起，每一行最后一个数依次构成数列，设数列的前n项和为是否存在正整数k，使得对任意正整数n，恒成立？如存在，请求出k的最大值，如不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高二下学期4月期中考试 （数学） 2026.4 一､单选题 1. 有4封不同的信投入3个不同的信箱，可有不同的投入方法种数为（ ） A. 81 B. 64 C. 27 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】利用分步计数原理，每封信独立选择信箱，将各步的方法数相乘得到总方法数。 【详解】每封信都有3种选择，所以将4封不同的信投入3个不同的信箱，共有种方法． 故选：A. 2. 某地区7月1日至7月10日白天的平均气温的折线图如图所示，则下列判断错误的是（ ） A. 从7月2日到7月5日白天的平均气温呈下降趋势 B. 这10天白天的平均气温的极差大于6℃ C. 这10天中白天的平均气温为26℃的频率最大 D. 这10天中白天的平均气温大于26℃的有5天 【答案】D 【解析】 【分析】 观察折线图可得选项A和选项B正确；选项C，这10天中白天的平均气温为26℃的频率比其他平均气温的频率都要大，所以该选项正确；选项D，白天的平均气温大于26℃的只有4天，所以该选项错误. 【详解】选项A，从7月2日到7月5日白天的平均气温呈下降趋势，所以该选项正确；. 选项B，这10天白天的平均气温的极差大于6℃，所以该选项正确； 选项C，这10天中白天的平均气温为26℃的频率为0.3，比其他平均气温的频率都要大，所以该选项正确； 选项D，这10天中白天的平均气温大于26℃的只有4天，所以该选项错误. 故选：D. 3. 若这五个数的平均数等于其中位数，则 A. 0或5 B. 0或 C. 5或 D. 0或5或 【答案】D 【解析】 【分析】先求出这5个数的平均数，然后对m进行分类讨论，求得其中位数，再求出m的值. 【详解】易知这五个数的平均数为 当，其中位数为2，则，解得m=0； 当，其中位数为3，则，解得m=5； 当，其中位数为m，则，解得 故选D 【点睛】本题主要考查了平均数和中位数的求法，本题的解题关键是对m进行分类讨论，才能求出其中位数，属于中档题. 4. 某AI公司有男性30人，女性10人，在一次知识竞技团建中，男性平均成绩为110分，方差为55，女性平均成绩为130分，方差为95，则在这次团建中，该公司的平均成绩和方差分别为（ ） A. 120分，75 B. 120分，20 C. 115分，65 D. 115分，140 【答案】D 【解析】 【详解】因为某AI公司有男性30人，女性10人，男性平均成绩为110分，方差为55，女性平均成绩为130分，方差为95， 所以该公司的平均成绩为分， 该公司成绩的方差为. 5. 记，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用赋值法，分别令和，再结合二项式定理求解即可. 【详解】令，由， 得， 则， . 6. 将4个不加区分的红球和2个不加区分的黄球随机排一行，则2个黄球不相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据插空法和古典概型的概率公式可求出结果. 【详解】将4个不加区分的红球和2个不加区分的黄球随机排一行，共有种， 其中2个黄球不相邻的有种， 所以所求事件的概率为. 故选：C 7. 在一个不透明的口袋中装有大小､形状完全相同的3个小球，并将它们编号为1，2，3，每次从口袋中随机抽取一个小球，记录编号后将球放回，重复操作直至取遍所有小球后立刻停止摸球，则“经过3次摸球未能停止摸球”的条件下，经过5次摸球停止摸球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设A事件为“经过3次摸球未能停止摸球”， B事件为“经过5次摸球停止摸球”，求出，利用条件概率公式求解. 【详解】设A事件为“经过3次摸球没有能停止摸球”， B事件为“经过5次摸球停止摸球”. 则 选择前4次涉及的2个编号：从3个中选2个，共种选法， 前4次摸球的情况数：这2个编号需至少各出现1次（否则前4次仅1个编号，无法满足“恰好2个编号”）， 因此前4次的情况数为（减去“全选第1个”和“全选第2个”的2种无效情况）， 第5次摸球：必须选第3个未被前4次摸到的编号，仅1种选法， 因此，事件B的情况数为，总摸球可能数为， 所以​，由题意， 所以. 8. 类比排列数，定义函数（其中），将右边展开并用符号表示的系数，得，以下说法正确的是：（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为 ， ， ，令， ， 当时，系数为； 当时，系数为； 当时，系数为， 对任意，有， 与选项A一致，故A正确． 二､多选题 9. 一组数据满足，若去掉后组成一组新数据.则新数据与原数据相比（ ） A. 极差变小 B. 平均数变大 C. 方差变小 D. 第25百分位数变小 【答案】AC 【解析】 【详解】由题意可知，原数据是公差为的等差数列， 设，则，去掉后，新数据为共8个数. 选项A：原极差：，  新极差：， 极差变小，A正确； 选项B：原平均数：，  新平均数：，平均数不变，B错误； 选项C：原平均数和新平均数均为， 原方差 新数据的方差 所以方差变小，C正确； 选项D：原数据共个：，向上取整得第25百分位数为第3个数 新数据共个：，第25百分位数为第2、3个数的平均， 百分位数变大，D错误. 10. 下列各式正确的是（   ） A. 已知，则的取值为6或7 B. C. 将8个相同小球放入4个不同盒子中，每个盒子至少放一个小球，则共有70种不同放法 D. 的展开式中的系数为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由组合数的性质判断A，B；由隔板法判断C；由二项式定理判断D. 【详解】对于A，因为， 所以或， 解得或,故A正确； 对于B，由组合数的性质可知： ， 所以， 所以 ，故B正确； 对于C，利用隔板法可知，原问题即为将8个相同小球排成一列，在中间7个空隙中放入3个隔板即可， 所以共有种不同放法，故C错误； 对于D，因为的展开通项为：， 而的展开式中的系数由两部分组成： 第一部分是与的展开式中的系数的积，即； 第二部分是的系数-1与的展开式中的系数的积，即， 所以的展开式中的系数为，故D正确. 11. 下列说法正确的有（    ） A. 掷一枚质地均匀的骰子一次，事件 “出现奇数点”，事件“出现点或点”，则和相互独立 B. 掷一枚质地均匀的骰子一次，事件 “出现奇数点”，事件“出现点或点”，则和互斥 C. 甲，乙两名射击运动员进行射击比赛，假设两人的射击结果相互独立，甲的中靶率为，乙的中靶率为，则“至少一人中靶”的概率为 D. 柜子里有三双不同的鞋，如果从中随机地取出只，那么“取出的鞋不成双”的概率是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据相互独立事件的概率公式可验证是否相互独立，即可判断A，根据互斥事件的定义可判断B，根据对立事件的概率和独立事件的概率乘法公式先求甲乙两人均未中靶的概率，再结合对立事件概率公式求“至少一人中靶”的概率即可判断C，根据古典概型概率公式求“取出的鞋不成双”的概率即可判断D. 【详解】对于A，掷一枚质地均匀的骰子一次，则，，而=“出现3点”， 所以，则，故事件和相互独立，故A正确； 对于B，由选项A知，，即事件与事件能同时发生，故不互斥，故B错误， 对于C，由已知事件甲乙两人均未中靶的概率为， 所以事件“至少一人中靶”的概率为，故C正确， 对于D，先从三双中取出两双，再从取出的两双中每双各取一只， 所以“取出的鞋不成双”的概率为，故D正确. 三､填空题 12. 的个位数为______． 【答案】3 【解析】 【分析】从  开始，所有后面的阶乘都含有因子 ，故对的个位没有影响，求出的个位数即可. 【详解】、、、的个位数分别为1，2，6，4， 而，个位数为3. 从  开始，所有后面的阶乘都含有因子 ， 故的个位是0． 所以原式的个位数是：3. 13. 现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，所抽取卡片上数字的最小值为2的概率是______． 【答案】 【解析】 【详解】从这7张卡片中随机抽取3张，总共， 已知所抽取卡片上数字的最小值为2， 必须抽到2，且不能抽到1， 第一种情况，只抽到一张2，另外2张卡片必须从3，4，5，6中选取， 故不同的抽取数为； 第二种情况，抽到2张2，另外1张卡片必须从3，4，5，6中选取， 故不同的抽取数为 所抽取卡片上数字的最小值为2的概率是：． 14. 个人进行篮球训练，互相传球接球，要求每个人接球后马上传给别人，开始由甲发球，并作为第一次传球，第五次传球后，球又回到甲手中，不同的传球方法数为________. 【答案】 【解析】 【分析】设第次传球后，球又回到甲手中的传球方法有种，探索数列的首项和递推公式，从而求的值. 【详解】设第次传球后，球又回到甲手中的传球方法有种，经过次传球后，所有可能的传球方法总数为. 这些方法可分为两类：一类是球在甲手中，有种方法， 另一类是球不在甲手中，有种方法， 第次传球后球要回到甲手中，当且仅当第次传球后球不在甲手中，然后由持球人传给了甲， 因此，，即， 由于甲是发球者，一次传球后球又回到甲手中的传球方法是不存在的，所以． 利用递推关系可以得到：． 这说明经过次传球后，球仍回到甲手中的传球方法有种． 四､解答题 15. 已知的二项展开式有7项． （1）求，并求出所有二项式系数之和； （2）求展开式中含项的系数； （3）求展开式中的有理项． 【答案】（1）；64 （2）1215 （3），，， 【解析】 【分析】（1）由二项展开式有7项，可得，所有二项式系数之和为； （2）先求出二项展开式的通项为，再令，解得，代入通项计算即可； （3）分析得出要得到有理项，必须让为整数，从而得到，再代入通项计算即可. 【小问1详解】 因为的二项展开式有7项，所以， 所以所有二项式系数之和为； 【小问2详解】 由（1）知，所以的二项展开式的通项为 ， 令，解得， 所以展开式中含项的系数为； 【小问3详解】 因为的二项展开式的通项为， 因为，且，所以能使为整数的， 所以展开式中的有理项分别为 ，， ，. 16. 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出40名学生，将其成绩分成六段[40，50），[50，60）…[90，100]后画出如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题： （1）求第四小组的频率； （2）估计这次考试的平均分和中位数（精确到0.01）； （3）从成绩是40～50分及90～100分的学生中选两人，记他们的成绩分别为，求满足“”的概率． 【答案】（1）0.3（2）平均分71，中位数73.33（3） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图直接求出第4小组的频率． （2）由频率分布直方图能估计平均分和中位数． （3）设成绩满足“|x﹣y|≤10”为事件A，由频率分布直方图得成绩在[40，50）分的学生记为1，2，3，4，成绩在[90，100）分的学生记为a,b，将从成绩是40～50分及90～100分的学生中选两人的基本事件一一列出，从中找出事件A包含的基本事件，由此能求出满足“|x﹣y|≤10”的概率． 【详解】（1）由频率分布直方图可知 所以第4小组的频率为：a=1﹣0.1﹣0.15﹣0.15﹣0.25﹣0.05=0.3． （2）由频率分布直方图可得平均分为： 0.1×45+0.15×55+0.15×65+0.3×75+0.25×85+0.05×95=71 第一、二、三组的频率之和为0.1+0.15+0.15=0.4 所以中位数= 70+≈73.33 （3）由频率分布直方图可得，成绩是40～50分的有40×0.1=4人，记为1，2，3，4，90～100分的学生有40×0.05=2人，记为a,b. 记“|x﹣y| ≤10”为事件A， 基本事件有(1,2) (1,3) (1,4) (1,a) (1,b) (2,3) (2,4) (2,a) (2,b) (3,4) (3,a) (3,b) (4,a) (4,b) (a,b) 共计15个， 事件A中包含的基本事件数为(1,2) (1,3) (1,4) (2,3) (2,4) (3,4) (a,b)共7个. 所以 P(A)=. 【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查平均数、中位数、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 17. 甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品有4个正品和3个次品． （1）从甲箱中任取2个产品，求这2个产品中至少有1件是正品的取法有多少种？ （2）若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先算出总的组合数，再求出对立事件对应的取法，用总的取法减去全是次品的取法即可； （2）根据甲箱中取出2件的类型，分成3种情况，分别计算三种情况的发生概率，再利用全概率公式计算求解． 【小问1详解】 已知甲箱中共有8件产品，任取2件的取法为：种， 2个产品中至少有1件是正品的对立事件为2件均为次品，取法为：种， 这2个产品中至少有1件是正品的取法为：种． 【小问2详解】 从甲中取2个正品，概率为，此时乙箱中有6件正品3件次品， 抽到正品的概率为； 从甲中取1个正品1个次品，概率为，此时乙箱中有5件正品4件次品， 抽到正品的概率为； 从甲中取2个次品，概率为，此时乙箱中有4件正品5件次品， 抽到正品的概率为； ． 18. 近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元．某地区随机调查了经常使用某AI工具的360名用户，统计他们的年龄，得到如下的统计表： 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 年龄 人数 30 150 90 60 30 （1）利用统计表中的数据试估计该AI工具用户的平均年龄； （2）已知用分层随机抽样的方法，从上面360名用户中随机抽取了12人，现从这12人中随机抽取4人，记抽到第一组的人数为，第二组的人数为．求的概率； （3）已知该AI工具对某20个问题能准确答对其中的（，）个，其余个问题均无法答对．若从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，记事件为“抽取的10个问题中，AI恰好答对3个问题”，若对于不同的，要使概率最大，求此时的值． 【答案】（1）平均年龄32.5 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以每组数据的区间中点值为该组数据的代表值进行估算； （2）先根据分层抽样的概念确定第一次抽取的12人样本中第一组和第二组的人数，再根据古典概率公式求其概率即可； （3）先得到恰好答对3题的概率，设，分析函数的单调性，求最大值的值. 【小问1详解】 估计平均年龄； 【小问2详解】 由题意得，这12人中，年龄在第一组内的有（人）， 年龄在第二组内的有（人）， 设“”为事件A， 所以； 【小问3详解】 从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问， 恰好答对3个问题的概率为， 设，由，且，得， 所以， 显然， 令， 当时，有，即， 此时： 当时，有，即， 此时，即，所以． 19. 如图所示数阵，第行共有个数，第m行的第1个数为，第2个数为，第个数为.规定：. （1）试判断每一行的最后两个数的大小关系，并证明你的结论； （2）求证：每一行的所有数之和等于下一行的最后一个数； （3）从第1行起，每一行最后一个数依次构成数列，设数列的前n项和为是否存在正整数k，使得对任意正整数n，恒成立？如存在，请求出k的最大值，如不存在，请说明理由. 【答案】（1）相等， 第1行最后两数，第2行的最后两数. 第m（）行的第m个数为，第个数为， 猜测：， 即证：， 法一：因为， 只要证明，该式显然成立， 所以， 所以每行最后两个数相等. 法二： 因为 ； 又因为 . 即：. 所以每一行的最后两个数相等. （2）证明：第1行所有数之和为，第2行的最后一个数为， 此时结论成立. 因为， 第m（）行的个数之和为： . 而第行倒数第二个数为， 由（1）得每行最后两个相等，所以结论得证. （3）存在，3 【解析】 【分析】（1）首先写出第1行和第2行的最后两个数，根据结论预测每一行最后2个数的大小关系，再利用组合数的性质和组合数的阶乘公式，即可证明； （2）首先写出第m（）行的个数之和，并利用组合数公式和性质进行化简，再根据（1）的结果，即可证明； （3）首先根据特殊值判断的最大值，再利用放缩法求数列的前项和的不等式，即可证明不等式. 【小问1详解】 相等，证明略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当，时，，，当时，此时显然不成立. 猜测：存在正整数k，使得恒成立，k的最大值为3. 下证：当时，恒成立. 由（1）知，，则， 因为 . 又，当时，. 当时，，所以. 综上：存在正整数k，k的最大值为3，使得恒成立. 【点睛】关键点点睛：本题前2问的关键是抽象出每行的组合数以及最后两个数的组合数，再利用组合数的性质和公式，即可证明，第3问的关键是利用迭代的方法证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $