精品解析：北京汇文中学教育集团2025-2026学年度第二学期期中考试初二年级 数学学科

北京汇文中学教育集团2025—2026学年度第二学期 初二年级数学学科期中考试 本试卷共8页，共100分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效． 一、选择题（每题2分，共20分） 1. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 已知点，在一次函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 无法确定 4. 的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. ，， 5. 如图，的对角线，相交于点，下列哪个条件能够使得是矩形（ ） A. B. C. D. 6. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线和直线相交于点，则根据图象可知关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，，在数轴上，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在边长为的正方形中，为对角线，平分，于点，交于点，点为的中点，连接，则的长为（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，的垂直平分线分别交、于点、，连接，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 惠农种子公司以一定价格销售“丰收一号”玉米种子，如果一次购买以上(不含)的种子，超过的那部分种子的价格将打折，并依此得到付款金额y(单位：元)与一次购买种子质量x(单位：)之间的函数关系如图所示．下列四种说法：①一次购买种子时，付款金额为100元；②一次购买种子质量不超过时，销售价格为5元/；③一次购买以上的种子时，超过的那部分种子的价格打五折；④一次购买种子比分两次购买且每次购买种子少花20元钱．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 二、填空题（每题2分，共16分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 12. 已知一个正多边形其中一个外角为，则这个多边形的边数为______． 13. 一次函数的图象一定不经过第_________象限． 14. 在平面直角坐标系中，将直线向上平移5个单位长度后经过原点，b的值为 ______． 15. 在中，，为的中点，且，则________cm． 16. 如图，菱形的边长为，对角线交于点，，则菱形的面积为______． 17. 如图1，在矩形中，点P从点C出发，沿C→D→A→B方向运动至点B处停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，已知y随x的变化关系如图2所示，则y的最大值为____． 18. 如图，在正方形中，，是的中点，点是正方形内一个动点，连接、、，，过点向右侧作，且，连接，则线段的最小值为________． 三、解答题（19—24每题6分，25—28每题7分） 19. 计算： （1） （2） 20. 如图，已知的三个顶点坐标分别是，，． （1）将向左平移5个单位，再向下平移2个单位，得到，且点、、的对应点为、、，请在网格中画出； （2）点、两点之间距离是______． 21. 已知一次函数的图象经过点． （1）k的值为______； （2）请在图中画出该函数的图象，并直接写出当时，x的取值范围． 22. 如图，在矩形中，点E，F分别在边和上，且．求证：． 23. 下面是小乐设计的利用已知矩形作一个内角为角的菱形的尺规作图过程． 已知：矩形． 求作：菱形，使． 作法：①作的角平分线； ②以点为圆心，以长为半径作弧，交射线于点； ③分别以点，为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点，连接，，则四边形即为所求作的菱形． （1）请你用直尺和圆规，完成②③步的尺规作图（保留作图痕迹）； （2）填空： ①四边形是菱形的依据 ； ②连结，，四边形的形状是 ，依据是 ． 24. 在平面直角坐标系中，函数的图象是由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围． 25. 综合与实践 【发现问题】我国是世界上水资源最缺乏的国家之一，同时又有很多水龙头由于漏水造成大量的浪费，某校园内有一个漏水的水龙头，数学活动小组要探究其漏水造成的浪费情况． 【提出问题】小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面接水，探究量筒中的总水量（毫升）与时间（分钟）的函数关系． 【分析问题】小明每隔分钟记录量筒中的总水量，但因操作延误，开始计时时量筒中已有少量水，因而得到如下表的一组数据： 时间x（分钟） 0 1 2 3 4 … 总水量y（毫升） 5 10 15 20 25 … （1）请根据表格中信息在坐标系中描点、连线，画出关于的函数图象，根据图象发现容器内总水量（）与滴水时间（）符合学习过的 函数关系（选填正比例或一次）． （2）根据以上判断，求关于的函数表达式． 【解决问题】 （3）已知所用量筒的最大容量为，如果小明从上午开始计时，那么什么时候量筒内的水刚好达到最大容量？ （4）若一个成年人一天大约饮用毫升水，请你估算这个水龙头几小时的漏水量可供一个成年人一天饮用？ 26. 阅读下列材料，并按要求完成相应任务：勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载． （1）如图①②③，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有 个． （2）如图④所示，分别以直角三角形的三边a，b，c为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形的面积为，请判断，，的关系，并说明理由． 27. 在中，，，是的中点，是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转到线段． （1）若，，且点与点重合（如图），线段的延长线交射线于点，直接写出的度数． （2）如图2，点不与点，重合，线段的延长线与射线交于点，连接，若，求证：四边形是菱形． （3）在（2）的条件下，猜想与的数量关系并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于任意点，若点Q的坐标为，则称点Q是点P的半交换点． （1）点的半交换点为 ．点N的半交换点为，点N的坐标为 ． （2）在长方形中，，，，，已知线段，点，，其中． ①若线段上任意点T的半交换点在长方形的边上或内部，则k的最大值是 ，n的取值范围是 ． ②将长方形沿x轴负方向平移t个单位长度得到长方形，若存在满足的线段，且上的任意点的半交换点在的边上或内部，直接写出t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京汇文中学教育集团2025—2026学年度第二学期 初二年级数学学科期中考试 本试卷共8页，共100分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效． 一、选择题（每题2分，共20分） 1. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．，不符合题意； B．，不符合题意； C．，符合题意； D．，不符合题意； 故选：C 【点睛】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的判断方法是解本题的关键． 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质和二次根式的运算，根据二次根式的运算法则进行计算即可求解． 【详解】A、，故该选项正确； B、和不是同类二次根式，不能进行加减运算，故该选项错误； C、，故该选项错误； D、，故该选项错误， 故选：A． 3. 已知点，在一次函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．根据题中一次函数y随着x的增大而减少即可得出答案． 【详解】解：∵一次函数，， ∴y随着x的增大而减小． ， ∴， 故选：A． 4. 的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】利用勾股定理逆定理和三角形内角和定理，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：选项A， 展开等式得，整理得，根据勾股定理逆定理，是直角三角形，故选项A不符合题意． 选项B，∵三角形内角和为，， ，代入内角和得，即，是直角三角形，故选项B不符合题意． 选项C ，设，，， ， ，解得， ，是直角三角形，故选项C不符合题意． 选项D ， ， ， ， 不是直角三角形，故选项D符合题意． 5. 如图，的对角线，相交于点，下列哪个条件能够使得是矩形（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，熟悉掌握判定的方法是解题的关键． 根据矩形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：∵在平行四边形的基础上，需要加一个角为或对角线相等，才可以证明出矩形， ∴，，均不能判定出为矩形，故A，B，C错误； ∵是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形为矩形； 故选：B． 6. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线和直线相交于点，则根据图象可知关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与不等式的关系，明确函数图像上各交点坐标代表的意义是解决本题的关键．根据数形结合的思想可知，不等式的解集即为满足直线的图像位于直线图像的下方的x，然后结合两直线的交点为P即可得到答案． 【详解】解：由题意可知：直线与直线相交于结合函数图像可知，当时，直线的图像位于直线图像的下方，即关于的不等式的解集为：， 故选：C． 7. 如图，在中，，，，在数轴上，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理以及实数与数轴的关系．根据勾股定理得到的长，进而得出的长，即可得到点P所表示的数． 【详解】解：，，， ， 由题知，，点表示的数是， 点表示的数是， 故选：A． 8. 如图，在边长为的正方形中，为对角线，平分，于点，交于点，点为的中点，连接，则的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用证得，即可得出，，根据勾股定理求出的长，即可求出的长，再证得是的中位线，即可求出的长． 【详解】解：平分， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 正方形的边长为， ，， ， 在中，由勾股定理得： ， ， ，点为的中点， 是的中位线， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识点，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 9. 如图，在中，，，，的垂直平分线分别交、于点、，连接，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，设，则，，再在中利用勾股定理列方程求解． 【详解】解：设， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵，， 在中，由勾股定理得： ， 即， ， ， ， ， 故的长为． 10. 惠农种子公司以一定价格销售“丰收一号”玉米种子，如果一次购买以上(不含)的种子，超过的那部分种子的价格将打折，并依此得到付款金额y(单位：元)与一次购买种子质量x(单位：)之间的函数关系如图所示．下列四种说法：①一次购买种子时，付款金额为100元；②一次购买种子质量不超过时，销售价格为5元/；③一次购买以上的种子时，超过的那部分种子的价格打五折；④一次购买种子比分两次购买且每次购买种子少花20元钱．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，根据购买种子花费50元可得一次购买种子质量不超过时，销售价格为元/，据此可判断①；根据购买种子花费150元，可建立方程求出一次购买以上的种子时，超过的部分价格为元，据此可判断③；再分别求出一次购买种子，一次购买种子，分两次购买且每次购买种子的费用，即可判断①④． 【详解】解：由函数图象可知一次购买种子质量不超过时，销售价格为元/，故②正确； 设一次购买以上的种子时，超过的部分价格为m元， 由题意得，， 解得， ∴一次购买以上的种子时，超过的部分价格为元， ∵， ∴一次购买以上的种子时，超过的那部分种子的价格打五折，故③正确； ∵元， ∴一次购买种子时，付款金额为100元，故①正确； 一次购买种子时，所需费用为元， 分两次购买且每次购买种子的费用为元， ∴一次购买种子比分两次购买且每次购买种子少花25元钱，故④错误； ∴正确的有①②③， 故选：C． 二、填空题（每题2分，共16分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件列一元一次不等式求解即可． 【详解】解：式子在实数范围内有意义． ． 移项得． 不等式两边同除以，不等号方向改变，得． 12. 已知一个正多边形其中一个外角为，则这个多边形的边数为______． 【答案】 【解析】 【分析】任意多边形的外角和为正多边形的每个外角都相等，因此用外角和除以单个外角的度数，即可求出该正多边形的边数． 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，该多边形为正多边形，其中一个外角为， ∴这个正多边形的边数为． 13. 一次函数的图象一定不经过第_________象限． 【答案】四 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，掌握、的正负对图象的影响是解题的关键． 根据，时，一次函数的图象经过第一、二、三象限，判定即可． 【详解】解：∵， ∴图象经过一、三象限， ∵， ∴图象可能经过第一、二、三象限， ∴图象一定不经过第四象限， 故答案为：四． 14. 在平面直角坐标系中，将直线向上平移5个单位长度后经过原点，b的值为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象的平移，掌握平移规律“上加下减”是解题的关键． 根据题意得出直线向上平移5个单位长度后的解析式，再将原点坐标代入即可解决问题． 【详解】解：直线向上平移5个单位长度后的解析式为， 因为平移后的直线经过原点， 所以， 解得． 故答案为：． 15. 在中，，为的中点，且，则________cm． 【答案】16 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质，即可求解． 【详解】解：∵，点D是的中点， ∴为斜边的中线， ∵， ∴． 故答案为：16． 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一半是解题的关键． 16. 如图，菱形的边长为，对角线交于点，，则菱形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，利用菱形的性质可得，，，，进而由勾股定理可得，得到，再根据菱形的面积等于对角线积的一半计算即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为菱形，边长为， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为， 故答案为：． 17. 如图1，在矩形中，点P从点C出发，沿C→D→A→B方向运动至点B处停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，已知y随x的变化关系如图2所示，则y的最大值为____． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题应首先看清横轴和纵轴表示的量．动点P从点C出发，沿C→D→A→B运动至点B停止，而当点P运动到点A，D之间时，的面积不变．函数图象上横轴表示点P运动的路程，时，y开始不变，说明，时，接着变化，说明再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：动点P从点C出发，沿C→D→A→B运动至点B停止，而当点P运动到点A，D之间时，的面积不变． 函数图象上横轴表示点P运动的路程，时，y开始不变，说明， 时，接着变化，说明． ∴的最大面积，即矩形面积的一半为． 故答案为：15． 18. 如图，在正方形中，，是的中点，点是正方形内一个动点，连接、、，，过点向右侧作，且，连接，则线段的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，先证明，可得；由线段中点的定义得到，连接，由勾股定理得，根据，，可得当三点共线时，最小，即此时最小，据此即可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 如图所示，连接， 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴当三点共线时，最小，即此时最小， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（19—24每题6分，25—28每题7分） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据二次根式的乘法法则计算乘法，再将二次根式化为最简二次根式，最后合并同类二次根式． （2）先利用完全平方公式计算，再利用平方差公式计算，最后合并结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 如图，已知的三个顶点坐标分别是，，． （1）将向左平移5个单位，再向下平移2个单位，得到，且点、、的对应点为、、，请在网格中画出； （2）点、两点之间距离是______． 【答案】（1） 如图所示， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平移变换以及三角形面积求法． （1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）根据网格的特点，直接利用勾股定理计算得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：, 故答案为：． 21. 已知一次函数的图象经过点． （1）k的值为______； （2）请在图中画出该函数的图象，并直接写出当时，x的取值范围． 【答案】（1） （2）图象如图， 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法，画一次函数图象，利用图象解不等式； （1）将代入解析式，即可求解； （2）画出图象，根据图象找出轴下方图象对应的取值范围，即可求解； 掌握图象画法及会用图象解不等式是解题的关键． 【小问1详解】 解：一次函数的图象经过点， ， 解得：， 故答案：； 【小问2详解】 解：如图 由图象得： 当时，． 22. 如图，在矩形中，点E，F分别在边和上，且．求证：． 【答案】 证明：四边形是矩形， ， 又， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据矩形的性质，证，即可求证． 【详解】略 23. 下面是小乐设计的利用已知矩形作一个内角为角的菱形的尺规作图过程． 已知：矩形． 求作：菱形，使． 作法：①作的角平分线； ②以点为圆心，以长为半径作弧，交射线于点； ③分别以点，为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点，连接，，则四边形即为所求作的菱形． （1）请你用直尺和圆规，完成②③步的尺规作图（保留作图痕迹）； （2）填空： ①四边形是菱形的依据 ； ②连结，，四边形的形状是 ，依据是 ． 【答案】（1） 四边形即为所求菱形： （2）①四条边相等的四边形是菱形； ②平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【解析】 【分析】（1）根据题目给出的作图步骤，先用圆规以点为圆心、长为半径画弧，与角平分线交于点；再分别以点、为圆心、长为半径画弧，两弧交点为，最后连接、，保留所有作图痕迹即可． （2）①先根据作图过程得到四边形的四条边相等，再依据菱形的判定定理作答；②先根据矩形和菱形的性质，推导出四边形的一组对边平行且相等，再依据平行四边形的判定定理作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵由作图可知：，，， ∴， ∴四边形是菱形（依据：四条边相等的四边形是菱形）； ②∵四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形（依据：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． 24. 在平面直角坐标系中，函数的图象是由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2）且． 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析，平移的性质是关键． （1）根据平移得到，把点代入，运用待定系数法即可求解； （2）根据一次函数图象的性质求解即可． 【小问1详解】 解：函数的图象是由函数的图象平移得到， ∴， ∵函数经过点， ∴， 解得，， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：函数中，当时，，当时，， 函数的图象如下， 对于，当时，时，的值小于， 对于， ∵的值越大，越靠近轴，若的值大于， ∴， ∴，且， 综上所述，，且． 25. 综合与实践 【发现问题】我国是世界上水资源最缺乏的国家之一，同时又有很多水龙头由于漏水造成大量的浪费，某校园内有一个漏水的水龙头，数学活动小组要探究其漏水造成的浪费情况． 【提出问题】小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面接水，探究量筒中的总水量（毫升）与时间（分钟）的函数关系． 【分析问题】小明每隔分钟记录量筒中的总水量，但因操作延误，开始计时时量筒中已有少量水，因而得到如下表的一组数据： 时间x（分钟） 0 1 2 3 4 … 总水量y（毫升） 5 10 15 20 25 … （1）请根据表格中信息在坐标系中描点、连线，画出关于的函数图象，根据图象发现容器内总水量（）与滴水时间（）符合学习过的 函数关系（选填正比例或一次）． （2）根据以上判断，求关于的函数表达式． 【解决问题】 （3）已知所用量筒的最大容量为，如果小明从上午开始计时，那么什么时候量筒内的水刚好达到最大容量？ （4）若一个成年人一天大约饮用毫升水，请你估算这个水龙头几小时的漏水量可供一个成年人一天饮用？ 【答案】（1）如图所示； 一次 （2） （3） （4）小时 【解析】 【分析】（1）根据表格数据在坐标系中描点、连线，通过观察图象特征，判断函数类型． （2）利用待定系数法，结合表格数据求一次函数表达式． （3）将量筒最大容量代入函数表达式，求出对应时间，再计算达到最大容量的时刻． （4）将成年人日饮水量代入函数表达式，求出对应时间，再换算为小时并估算结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设关于的函数表达式为（）． 将，代入，得， 将，和代入，得， 解得， ； 【小问3详解】 解：令，则， 解得， 分钟， ∴量筒内的水刚好达到最大容量； 【小问4详解】 解：令，得， 解得， 分钟小时， ∴这个水龙头小时的漏水量可供一个成年人一天饮用． 26. 阅读下列材料，并按要求完成相应任务：勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载． （1）如图①②③，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有 个． （2）如图④所示，分别以直角三角形的三边a，b，c为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形的面积为，请判断，，的关系，并说明理由． 【答案】（1）3 （2） 解：，理由如下： 如图④， ， ． ∵由勾股定理得， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）如图①，，可得；如图②，，故得．如图③，如图，对于等边，若边长为a，过点H作，垂足为I，可求得，．同理，，．可证得 ； （2）如图④，，可证得． 【小问1详解】 解：如图①，， ∵由勾股定理得， ∴． 如图②，， ∵由勾股定理得， ∴． 如图③，对于等边，若边长为a，过点H作，垂足为I， 中，，， ∴． ∴． 同理有：，． ∵由勾股定理得， ∴； 故图①②③中面积关系满足的有3个． 【小问2详解】 略 27. 在中，，，是的中点，是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转到线段． （1）若，，且点与点重合（如图），线段的延长线交射线于点，直接写出的度数． （2）如图2，点不与点，重合，线段的延长线与射线交于点，连接，若，求证：四边形是菱形． （3）在（2）的条件下，猜想与的数量关系并证明． 【答案】（1）； （2） 证明：连接， ∵，是的中点， ∴，， ∵，， ∴四边形的对角线、互相垂直平分， ∴四边形是菱形； （3） 解：猜想：，理由如下：连接， ∵四边形是菱形， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴（） ∴，， 由旋转得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴ ． 【解析】 【分析】（1）先根据已知条件判断为等边三角形，再结合旋转的性质得到为等边三角形，通过全等三角形的判定与性质，结合等腰三角形三线合一的性质，求出的度数． （2）先由等腰三角形三线合一及，证明四边形的对角线互相垂直平分，从而判定其为菱形． （3）结合（2）中菱形的性质，利用全等三角形及旋转的性质，推导与的数量关系． 【小问1详解】 解：∵，， ∴是等边三角形， ∵是的中点， ∴，，， ∵点与重合，将线段绕点顺时针旋转到， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，∵，， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 28. 在平面直角坐标系中，对于任意点，若点Q的坐标为，则称点Q是点P的半交换点． （1）点的半交换点为 ．点N的半交换点为，点N的坐标为 ． （2）在长方形中，，，，，已知线段，点，，其中． ①若线段上任意点T的半交换点在长方形的边上或内部，则k的最大值是 ，n的取值范围是 ． ②将长方形沿x轴负方向平移t个单位长度得到长方形，若存在满足的线段，且上的任意点的半交换点在的边上或内部，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）； （2）①2；；② 【解析】 【分析】（1）根据新定义，直接求解即可； （2）①求出的半交换点，，进而得到点T的半交换点在线段上，根据任意点T的半交换点在长方形的边上或内部，得到的横纵坐标的范围，进行求解即可；②求出平移后的长方形的顶点坐标，根据线段上任意点T的半交换点在长方形的边上或内部，得到，结合，得到，进而得到，进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，点的半交换点为， ∵点N的半交换点为， ∴点N的坐标为，即； 【小问2详解】 解：①∵点，， ∴点的半交换点为，， ∵为线段上的任意点， ∴T的半交换点在线段上， ∵线段上任意点T的半交换点在长方形的边上或内部， ∴，， ∴，， ∴， ∴的最大值为2； ②∵将长方形沿x轴负方向平移t个单位长度得到长方形， ∴，，，， ∵点的半交换点为，，线段上任意点T的半交换点在长方形的边上或内部， ∴， ∵， ∴， ∴，解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $