2026年河北保定市部分学校中考二模九年级数学试卷

数学试卷 注意事项：1.本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置。 3.所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效。答题前，请仔细阅读答 题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题。 4.答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑：答非选择题时，请在答 题卡上对应题目的答题区域内答题。 5.考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1.如图1，在数轴上表示-3+1的结果的是 () A.a B.b C.c D.d a b 0 1 c d 图1 图2 2.如图2是由3个相同的小正方形组成的图形，若再补画一个相同的小正方形，使补画后的图形 是轴对称图形，则不同的补画方法一共有 () A.2种 B.3种 C.4种 D.5种 3.某快递中心每小时能分栋8×I0'件包裹，为提升效率，在优化流程后每小时分拣量为原来的35 倍.若将优化后每小时的分拣量用科学记数法表示为α×10°，则a的值是 A.8 B.4.375 C.3.5 D.35 4.将一根质地均匀的细铁丝，裁剪成三段或四段，不可以围成三角形或四边形的是 () 品品 。品 品品品 品品品 A B C D 5.已知点A(-2,m)和B(3,n)在反比例函数y=一(k<0)的图象上，直线y=ax(a.≠0)与该反比例 函数的图象交于A,C两点，则下列结论正确的是 () A.点A在点B的下方 B.点C在点A的上方 C.点B在点C的上方 D.点A,B均在x轴的下方 6.化简分式4.2的结果为 x2-9x-3 A,2 ”x-3 B.x-3 C.- 2 ”x+3 D.x+3 7.若一元二次方程x(x-2)=5的两根之和为m,两根之积为n,则下列说法正确的是（) A.m+n=2 B.n=-5 C.mn=10 D.m+n=-3 悉巴样 8.如图3，在正方形ABCD中，AB=6,E为边AB上一点，连接DE,过点C作CF⊥DE于点F,记CF =y,DE=x.当x,y的值变化时，下列代数式的值不变的是 A,) D C B.x+) C. E D.x2+y2 图3 9.如图4是某地某月1日-5日的每天最高气温.若该月1日-7日每天最高气温的中位数与前五 天每天最高气温的中位数相同，则6日与7日的最高气温可能是 () +最高气温/℃ 日期 012345 图4 A.4℃和1℃ B.6℃和4℃ C.8℃和6℃ D.10℃和9℃ 10.如图5是6×9的网格，其中每个小正方形的边长均为1.△ABC与△A'B'C是一对位似三角形， 且点B和点B'是对应点，现给出了点A和点C的位置，则点B的位置 （) A 图5 A.有2个，一个在网格中，一个在网格外 B.有且只有1个，在网格外 C.有2个，均在网格中 D.没有在网格中的 11.如图6-1，M,N分别是矩形ABCD的边AD,BC上两点，连接MW,将矩形沿MN折登，AB交 DM于点P,连接B并延长交CD于点Q,将矩形沿NQ折叠得到图6-2，则下列结论中不正 确的是 () M N N 图6-1 图6-2 A.∠DMN=∠MNQ B.∠DPB+∠CNB=90 C.LMNB=6O+∠MNC 3 D.CQ∥MD 鬟田全任 0-……22-2- 12.如图7是某外卖平台统计的甲，乙，丙三名骑手的某天的配送数据，甲，乙，丙上午配送数据分 别用M,M2,M,表示，下午配送数据分别用N,N2,N,表示.若定义一天的配送效率= 全天配送总时长，则下列说法正确的是 全天配送总单量 ↑配送单（件） M, .N, M, N M N 0 配送时长（小时） 图7 A.甲的配送效率最高 B.丙的配送效率最高 C.甲的配送效率最低 D.乙的配送效率最低 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13.计算√12÷√5= 14.“燕几”（宴几）是世界上最早的一套组合桌，全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张 中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等.七张桌面可以排列组合，按需设席.如图8，给出了《燕 儿图》中名称为“回文”的桌面组合方式，若长桌的宽为x,则-一张小桌的面积为 长 回文 图8 15.如图9，在△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD的中点，连接BF并延长交AC于点E,则g 的值为 图9 16.如图10，菱形ABCD的对角线AC,BD的长分别为6,8，点P,Q分别在边AB,CD上（均不与边的 端点重合)，连接PQ,请写出一个PQ长的整数值为 图10 影巴全赶 0-……22-2- 三、解答题（本大题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(本小题满分8分) 2(x-1)≥4x-5, (1)计算：V2-15-21+(子)2x4; (2)解不等式组： 18.（本小题满分7分) 一道习题及其错误的解答过程如下： 化简：x+x2-x(1-2x)-(x-1)2 解：原式=x+x2-x+22-(x2-1) 第一步 =x+x2-x+2x2-x2+1 第二步 =22+1.… 第三步 (1)以上化简过程从第 步开始出现错误，错误的原因是 ； (2)请写出正确的化简过程。 19.（本小题满分8分) 如图11，在△ABC中，点D,E分别在边AC,AB上，连接BD,CE相交于点O,∠BEC=∠CDB,CE=BD. (1)求证：△ABD≌△ACE; (2)连接DE,求证：DE∥BC. 0 图11 影巴全年 022-2- 20.(本小题满分8分) 某学校开展AI数字创作实践活动，每次任务系统会从“标准创作”和“创意创作”两种任务等 级中随机确定一种，且每种创作中有“绘画类"和“文案类"任务，每次只完成其中一种任务.任 务等级与创作类型随机分配，每种结果可能性相同. (1)嘉祺参与一次AI数字创作 ①分配到“标准创作”的概率为 ②请利用列表或画树状图的方法，求分配的是“创意创作”且任务是“文案类”的概率； (2)为鼓励学生，活动设置创作积分（积分可用于兑换学习资料），完成不同类型的创作，可获 得对应积分，具体得分规则如下表： 文案类 绘画类 标准创作 3 4 创意创作 4 5 嘉祺在一周内共完成18次创作任务.系统统计显示，她完成的“绘画类”任务是“文案类”任务 次数的2倍，求她在这些“文案类”任务中，能获得的最大得分是多少分？ 21.(本小题满分9分) 如图12，直线L:y=4x+4交x轴于点A,交y轴于点B,已知点C(3,-1). (1)如图12，过点C作直线l2:y=k+b. ①用含k的代数式表示b; ②若直线l,与线段AB有交点（不包含A,B两点），求k的取值范围； (2)平行于x轴的直线分别交L,l于D,E两点，点E在点D的右侧，点E的横坐标为m,若 DE=1,且k,m均为整数，求m的值. 0 图12 鬟田全任 022-2- 22.(本小题满分9分) 综合与实践 【问题情境】在学习了平分矩形周长的方法后，嘉嘉和淇淇探究将如图13-1所示的一个五边形 铁板余料（部分数据已标出）切割成面积相等的两部分. 8 B d 135° D 图13-1 【操作探究】(1)嘉嘉认为利用尺规作边CD的垂直平分线MN,直线MN即可将五边形面积平 分.请用尺规作图根据嘉嘉的想法作出直线MN(保留作图痕迹，不写作法)； (2)如图13-2，淇淇考虑到图形所具有的性质，认为利用直尺连接BD,CE交于点O,作直线 AO,直线AO即为切割线，求BD的长； 9 59 D 图13-2 【拓展探究】(3)如图13-3，点P,Q分别在边AE,BC上，直线PQ平分五边形ABCDE的面积， 当线段PQ长最大时，过点C作CF⊥PQ于点F,直接写出CF的长 8 8 p B E 135° 4 C D 图13-3 鬟田全任 022-2- 23.（本小题满分11分) 如图14，在平行四边形ABCD中，AB=8,BC=16,点P在边BC上（不与点B,C重合），连接AP, ⊙O是△ABP的外接圆. (1)若∠C=120° ①当AP⊥BC时，∠BAP的度数为 ②当P是BC的中点时，求AP的长； (2)若tanD=子，当⊙0与边AD或边CD所在直线相切时，求CP的长 .0 0 图14 备用图 影巴全目 022-2- 24.（本小题满分12分)》 如图15，在平面直角坐标系中，抛物线乙1y=之2+mx+n与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),与y 轴交于点C,抛物线L2:y=ax2+bx+c(a>0)经过A,B两点，与y轴交于点D. (1)求m与n的值； (2)若抛物线L,的顶点为E,连接AE,当直线AE恰好经过点C时，求b的值； (3)点P在线段AB上（不与点A,B重合），过点P作垂直于x轴的直线，分别交抛物线L,L2 于点M,N,且M是PN的中点 ①求MN的最大值； ②设M(t,y),N(t,y2),若实数d满足关于t的方程d=y2y,在-1<<3内有实数根，求d的 取值范围. 图15 暴田全 0-……22-2-数 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 快速对答案：1~5 BCCBC6~I0 CDABC 11-12DA 1.B 2C【解析】如解图，要使补画后的图形是轴对称图 形，补画的小正方形的位置有①，②，③，④、共4种 ④ ① ②③ 第2题解图 3C【解折8x10-3.5x10 4.B【解析】由三角形三边关系“任意两边之和大于 第三边”可得A选项能围成三角形，B选项无法围 成三角形，C选项四段铁丝的长度相等，可以围成 菱形等，D选项有两对长度相等的铁丝，可以围成 平行四边形等。 5.C【解析】解法一：画出大致图象如解图，由解图 可得C选项正确. B 第5题解图 解法二：：点A(-2,m)和B(3,n)在反比例函数y =(k<0)的图象上，“点A在第二象限，点B在第 四象限，故A,D选项错误；：直线y=ax(a≠0)与 该反比例函数图象交于A,C两点，∴.C(2,-m),:k <0,点C在点A的下方，故B选项错误；y= (k<0)心在同一象限内，7随x的增大而增大 :B(3,n),点B,C均在第四象限，3>2，.点B 在点C的上方，故C选项正确 6.c【解析】原式=(x+3(x-3)(+3)(x-3) 4x 2(x+3) 2(x-3)。2 (x+3)(x-3)x+3 7.D【解析】：一元二次方程x(x-2)=5,即x2-2x- 学 5=0的两根之和为m,两根之积为m= =2, a n=￡=-5，mtn=-3,mn=-10. 【易错警示】需要注意m是两根之和，n是两根之 积，m,n不是方程的两个根. 8.A【解析】如解图，连接CE,由题意易得SACDE= CD·A0=DE,CP,:四边形ABCD是正方形， ∴.CD=AD=AB=6,.DE·CF=CD2,即xy=36. D B 第8题解图 9.B【解析】从折线图可得1日-5日的每天最高气 温的中位数为5℃，而1日-7日这七天的每天最 高气温的中位数与前五天每天最高气温的中位数 相同，∴.6日与7日的温度既不能同时大于5℃，也 不能同时小于5℃，故B选项正确. 10.C【解析】画出△ABC如解图，由解图可得C选 项正确。 图① 图② 第10题解图 11.D【解析】如解图，补全折叠前的矩形，，四边形 A'B'CD是矩形，.A'D∥B'C',.∠DMN= ∠MNB',由折叠的性质得∠MNB'=∠MNQ, ∠DMN=∠MNQ,故A选项正确，不符合题意：过 点B作BE∥MD交MN于点E,∴.∠DPB=∠PBE, 又：DM∥NC',BE∥NC',LEBN=∠C'NB,由 折叠的性质得∠CNB=∠C'NB,,∠CWB= ∠EBN,∴∠DPB+∠CNB=∠PBE+∠EBN= ∠ABN=∠A'B'N=90°，故B选项正确，不符合题 意：：DM∥B'C',.∠DMN+∠MNC'=180°，即 ∠DMN+∠MNC+2∠C'NB=180°，，∠DMN= ∠MNB,∠MWB+∠MNC+2∠C'NB=180°，又， ∠C'NB=180°-∠MNB-∠MNB'=180°-2∠MNB, ∴.∠MNB+∠MNC+2(180°-2∠MNB)=180°，化 1 简得LMNB=60+与∠MNC,故C选项正确，不符 合题意；由于点M,N位登不确定，因此∠C'NB不 一定是45°，.∠CWC'不一定是90°，CQ不一定 平行MD,故D选项错误，符合题意. 1 B 第11题解图 12.A 囻解题思路 如解图，连接MN1,M2N2,M3N,分别取M,N1, M2N2,MN的中点Q1,Q2,Q,连接0Q1,0Q2, 00,设M1（x上，y上)，N（x1,y下1)，则Q1 色，型)，则甲一天的配送效率为 2 2 y上+y下 y=2一，同理可表示出乙的配送效率和 x上+x下1x上1+x下1 2 丙的配送效率，由懈图可得0Q,的倾斜程度>0Q: 的倾斜程度>0Q,的倾斜程度（直线的倾斜程度表 示配送效率，倾斜程度越大，配送效率越高)，即甲 一天的配送效率>乙一天的配送效率>丙一天的配 送效率。 ↑配送单量（件） Q:Q QN, N 配送时长小时) 第12题解图 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共2分） 3.2【解析】12÷√5=25÷√5=2. 4.2x2【解析】小：长桌的宽为x,每张桌面的宽都相 等，小桌的宽为x,由题图可得小桌的长为2x, .一张小桌的面积为2x2 【解折】如解图，过点D作DGBB交AC于点 6.1 G,:AD是BC边上的中线，.BD=CD,.EG= CGEF∥DG,F是AD的中点，，E是AG的中 点，AE=EGAE=EG=CGEC2 AE 1 D 第15题解图 6.5(答案不唯一)【解析】如解图，设AC与BD交 于点0，当PQ⊥AB时，PQ有最小值.过点0作 AB的垂线分别交AB,CD于点P,Q,:四边形 ABCD是菱形，.AC⊥BD,PQ=2OP,B0=D0= 4,A0=C0=3,AB=VB02+A02=5,S60n= 80A0-48.0P0p800-号 AB P0=学…号≤P0<8,放P0长数值为5政 6或7. P C 第16题解图 Q新考法解读教有部发布的《关于加强初中学 业水平考试命题工作的意见》中明确指出：提商开 放性试题比例.近年的中考试题中开放性试题的 比例越来越商，这类试题主要的考查形式有：条件 开放、过程开放和结论开放，其中2025年山西、湖 北、武汉、广东等地均有考查.其中，条件开放：主 要有①添加/补充条件类试题；②选择条件；③组 合多选.结论开放：主要有①写出满足条件的值或 解析式；②提出合理化的建议、给出合理化的评 价、制定合理化的标准，均在统计题中考查. 三、解答题（本大题共8小题、共72分、解答应写出文 字说明、证明过程或汶箅步骤) 17.解：(1) 圆答题模板 原式=25-(2-√5)+×4…(2分) =3万-1；…(4分) (2) ®圆答题模板 [2(x-1)≥4x-5,① fo 解不等式0，得：≤号 …（5分) 解不等式②，得x>-3,…(6分) ·原不等式组的解集为-3x≤2 3 …(8分) 18.解：(1)一，完全平方公式运用错误；…(4分) (2)正确化简过程如下： 原式=x+x2-x+2x2-(x2-2x+1) =x+x2-x+2x2-x2+2x-1 =2x2+2x-1.…（7分）》 19.证明：(1)：∠BEC=∠CDB, .LAEC=LADB, 在△ABD和△ACE中， [∠A=∠A, LADB=∠AEC, BD=CE, ∴△ABD≌△ACE(AAS);·（(4分) (2)由(1)得△ABD≌△ACE, .AD=AE,AB=AC, ∴.∠AED=L∠ADE,∠ABC=∠ACB, ·∠AED=180°-LA =∠ABC. 2 ,DE/∥BC.…(8分） 20.解：(1)0； (2分) ②画树状图如解图， 开始 标准创作 创意创作 文案类 绘画类文案类 绘画类 第20题解图 由树状图可得，共有4种等可能的结果 分配的是“创意创作”且任务是“文案类“的概 第为00 (5分) (2)设“文案类"的个数为x个，则“绘画类"的个 数为(18-x)个， 依题意得18-x=2x, 解得x=6, 、完成“标准创作文案类“得3分，“创意创作文案 类"得4分， “文案类"任务吸大得分是24分.…(8分) 21.解：(1)①：点C(3,-1)在直线2：y=kx+b上， .-1=3k+b, .b=-3k-1;… …(2分)》 ②：直线L:y=4x+4交x轴于点A,交y轴于 点B, .A(-1,0),B(0,4), 由①得b=-3k-1, 直线l2:y=kx+b=kx-3k-1, 当直线2：y=kc-3k-1经过点A(-1,0)时， 0=-k-3k-1, 僻得k=4 1 当直线b2:y=k-3k-1经过点B(0,4)时， 4=-3k-1, 解得=月 直线L2与线段AB有交点（不包含A,B两点） 时，k的原值流调为号<行…(6分 (2):平行于x轴的直线分别交L1,l2于D,E两 点，点E在点D的右侧，点E的横坐标为m,DE =1, 设D(m-l,n),E(m,n), 又：点D在直线l1上，点E在直线2上， ∴.n=4(m-1)+4,n=km-3k-1, .4(m-1)+4=km-3k-1, k=4nm+_4(m-3）+13=4+13 m-3m-3 m-3’ k,m均为整数， .m的值为2或4或16或-10.…（9分) 22.解：(1)作直线MN如解图①所示；·（2分) 【解法提示】易得该五边形是轴对称图形，点A在 线段CD的垂直平分线MN上.直线MN将五边 形分成面积相等的两部分.作图步骤：以点C为圆 心，大于行C0长为半径面弧，以点D为圆心，以同 样长为半径画弧，分别交前弧于点M,N,直线MN 即为线段CD的垂直平分线. B 135 第22题解图① (2)在五边形ABCDE中，∠BAE=∠ABC=∠AED =90°，∠BCD=135°， :五边形ABCDE的内角和为(5-2)×180°=540°， ∴.∠CDE=54O°-∠BAE-∠ABC-∠AED-∠BCD =135°， 如解图②，延长BC,ED交于点G, .∠DCG=∠CDG=45°， ∴∠G=90°， .四边形ABGE是矩形， 又：AB=AE, .四边形ABGE是正方形， ∴.BG=GE=AE=8, .CG=DG=4, .BD=√BG+DG=4V5; …（6分)》 8 B 1350 G 第22题解图② (3)CP的长为32√1西 113 …(9分)》 【解法提示】由(2)可得，五边形ABCDE的面积为 822×4x4=56,:PQ平分五边形的面积四边 形ABQP的面积为28，如解图③，连接BP,BE,易 得△ABE的面积为32，.点P不能与点E重合， 设BQ=,则Samn=am+9Am=方X8AP+号 X8x=28,..AP =7-x,PQ BP-BQ,BP √B2+p=√64+(7-x),.当x=0,即点Q与 点B重合时，PQ最大，此时BP=√I了，如解图 ④，：∠ABP+∠PBC=9O°，LFCB+LPBC=90°， .∠ABP=∠FCB,:∠A=∠BFC=90°，.△ABP 、ABBP Y△FCB,FcCB·FC=2I13 113 P B(Q) B E 夕E 135 135° 图③ 图④ 第22题解图 23.解：(1)①30°；…（2分) ②.四边形ABCD是平行四边形， .∠B=180°-∠C=60°， P是BC的中点， BC=16, .BP=8=AB, .△ABP是等边三角形， .AP=AB=8, 如解图①，连接A0,0P,过点0作OE⊥AP于 点E, .∠A0P=2∠B=120°， .OA=OP, LA0E-LAOP60AEA4, 3 .OA= AE485 in60°√5 3 2 85 120XTx .P的长为 3165π 180 9i…(5分) B P 第23题解图① (2)当⊙0与AD边所在直线相切时，A是切点，如 解图②，连接A0并延长交BC于点M, ∴.∠0AD=90°， ,四边形ABCD是平行四边形， AD∥BC,LB=∠D, .∠AMP=180-∠OAD=90、 BM=PM(垂径定理)、 4 .AB=8,Inn D=n B= 3 AN 4 ÷8MaB= .AB2=BM2+AM2, 易得8 BP=28M=48 ·CP=BC-BP=32 (7分) M 第23题解图② 当⊙0与CD所在直线相切时，如解图③，设切点 为Q,连接Q0并延长，交AB于点N,过点A作AH ⊥BC于点H,连接OA,OB, .∠0QD=90°， 易得A的= 24 5.BH- , SoBm=AH·BC=NQ·CD, ∴N0=H·BC64 CD=5, :AB∥CD, ·.∠0NB=L0QD=90°， 六w=4 0B2=0N2+BN, 即08=g084， 解得08=281 40 ÷0N=NQ-0B=2 40, LAOB=2LAPB,LAOB=2LBON, .∠APH=∠BON, 又，∠AHP=∠BNO=90°， ∴.△APH∽△BON, 32 PH_AH PH 4p= 31 ON BN' 231 25 40 :CP-BC-BH-HP-25 49 综上所述，当⊙0与边AD所在直线相切时，CP的 32 长为号，当O0与边cD所在直线相切时，CP的长 为号 （11分) 第23题解图③ 24.解：(1)：抛物线L1:y=)+xtn与：轴交于点 2 A(-1,0),B(3,0), 将点A(-1,0),B(3,0)代入， 0=2x(-12-mtn, 得 1 0=2×3+3mtn, m=-1, 解得 3 …(3分)》 n=- 2 （②)由(1)得揽简线乙的解析式为y一宁。 :抛物线1y=) 2 x3与y轴交于点C, 2 设直线AC的解析式为y=kx+g(k≠0)， 3 0=-k+g, k-2 了3解得 28, 3 2 ·直线AC的解析式为y=3x3 22 :抛物线L2:y=ax2+bx+c(a>0)经过点A(-1,0),， B(3,0), “抛物线的对称轴为直线x= 3+(-1)=1, 2 .设点E(1,h), 、点E在直线AC上、 h号1号-3 2 .设抛物线L2的解析式为y=α(x-1)2-3, 将点A(-1,0)代人， 得0=a(-1-1)2-3, 3 解得a=4 六抛物线么的解析式为y号(x-1)-3=+- 39 2-4 b=3 …(8分) (3)心抛物线乙y=子号---2， ·抛物线L,的顶点坐标为(1，-2)， .PM的最大值是2， M是PN的中点， .MN的最大值是2；…(10分) ②-2≤d<0.…（12分) 【解法提示]：点M的横坐标为点M,- 【》,点P(,0),抛物线y=a2+he+c(a>0)经 过点A(-1,0),B(3,0)抛物线的僻析式为y= a(x+1)(x-3),点W[b,a(+1)(k-3)],M是 Pw的中点PN=m-(宁》=立a( +1)(-3),解得a=1,y=(x+1)(x-3)=x2-2x- 3N,-2-3)d=471=(-2-3)-(2 -》=-号当e-1或=3时，d=0当 -1dc3时，dk0,~关于1的方程d=%Y,即式 七d=0,在-1<3内有实数根，4=(-1) 4宁X(-号)≥0，解得d≥-2，…d的取值范图 为-2≤d<0.